Основы экономического моделирования

2

КОНТРОЛЬНая РАБОТа

по дисциплине «Основы экономического моделирования»

1. Опишите процесс моделирования в принятии управленческого решения из опыта вашей деятельности (производственной или по управлению домашним хозяйством), отмечая отдельные этапы и выделив критерии отбора оптимального решения. Выделите экзогенные и эндогенные переменные в модели. Постройте модель

Пример (рассмотрим постановку задачи планирования выпуска при ограниченных ресурсах из курса линейного программирования) (постановка задачи приведена в [5, с. 130-134]):

Проблема. Руководители фирмы, производящей несколько видов продукции, хотят выяснить, каким должен быть план выпуска по каждому виду продукции, чтобы предприятие работало наиболее эффективно.

Постановка задачи: Имеется фирма, производящая несколько видов продукции. Определить объемы производства с целью максимизации прибыли.

Анализ ситуации: Для того чтобы решить задачу, необходимо выделить наиболее существенные элементы и отбросить незначительные, то есть нужно построить модель, доступную с точки зрения расчета и в то же время отражающую самые главные свойства процесса. Анализ производится с учетом реальной ситуации. Решение о том, какие факторы будут выбраны как существенные, во многом субъективно, то есть зависит от способностей, личной заинтересованности и компетентности модельера.

Будем считать, что из анализа ситуации мы узнали следующее. В процессе производства используется три вида ресурсов: оборудование, рабочая сила и сырье; ресурсы однородны; количества их известны и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Известен расход каждого из ресурсов, а также прибыль на единицу продукции каждого вида.

Что мы не учли при постановке?

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение. В действительности, по крайней мере:

ресурсы могут быть взаимозаменяемы;

затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску (постоянные и переменные);

объемы ресурсов не строго фиксированы, так могут продаваться, покупаться, сдаваться в аренду;

ресурсы неоднородны и разные их составляющие по разному влияют на выпуск;

цена продукта может зависеть от объема реализации (неконкурентный рынок), то же - и цена ресурса;

фирма может использовать не одну, а выбирать из нескольких технологий, характеризующихся определенными сочетаниями ресурсов;

размер прибыли может быть оценен по-разному, это, например, зависит от налоговой системы;

предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли, значит, целевая функция должна учитывать и другие количественные и качественные показатели;

реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени, важны динамические взаимосвязи;

на ситуацию могут оказать влияние случайные факторы, которые необходимо принять во внимание.

Построение гипотезы: Построение модели в рамках линейного программирования (формулирование целевой функции, ограничений и граничных условий), несмотря на простоту модели, даст решение, приемлемое в реальной обстановке.

Формализация (построение математической модели - в виде формул или алгоритмов): включает в себя выбор переменных и установление связей между ними. В нашем случае это три неравенства, ограничивающие затраты ресурсов и выражение для расчета прибыли в качестве целевой функции.

Введем обозначения для эндогенных переменных - тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не известны заранее. В нашем случае - это неизвестные объемы производства x₁...x_n.

Опишем экзогенные переменные (заданные вне модели, то есть известные заранее). В задаче заданы количества К, L и количества сырья R, а также коэффициенты их расхода на единицу продукции каждого вида: к_i, l_i, r_i.

Для каждого вида продукции, расходов ресурсов на единицу продукции и для прибыли на единицу р_i мы ввели индекс i, он меняется от 1 до n. Индексы позволяют нам записать связи в наиболее компактной, удобной для восприятия форме.

Закончив описание переменных и параметров, переходим к установлению связей между переменными задачи.

Совокупный расход каждого вида ресурса не должен превышать допустимое значение:

x₁? к₁+ x₂? к₂+ x_n? к_n<= K ?

x₁? l₁+ x₂? l₂+ x_n? l_n<= L ?- ограничения по ресурсам

x₁? r₁+ x₂? r₂+ x_n? r_n<= R ?

x₁? p₁+ x₂? p₂+ x_n? p_n?max - целевая функция (размер прибыли)

Мы сформулировали задачу линейного программирования - известному математическому методу. Далее пользуясь методом и подставляя реальные значения, мы можем дать руководителям фирмы вполне конкретные рекомендации по плану выпуска продукции. Следует отметить, что не всегда задача сводится к известным математическим приемам, она может потребовать разработки и нового способа решения.

Анализ адекватности модели - последний этап моделирования. Здесь, например, можно принять во внимание, что расходы ресурсов на единицу продукции, и другие экзогенные переменные являются случайными величинами. Поэтому достижение максимальной прибыли возможно лишь с вероятностью, определение которой и даст ответ на вопрос о приемлемости решения.

Для примера, опишем модель производства творога, сметаны, сыра.

Пусть:

x₁ - количество творога, x₂ - количество сметаны, x₃ - количество сыра;

p₁=80, p₂=110, p₃=130;

k₁=1,5; k₂=2; k₃=3,5; l₁ =2; l₂=3; l₃=4; r₁=1,5; r₂=2,5; r₃=4; K=110; L=250; R=800.

Тогда:

x₁? 1,5+ x₂? 2+ x₃? 3,5<= 110 ?

x₁? 2+ x₂? 3+ x₃? 4<=250 ?- ограничения по ресурсам

x₁? 1,5+ x₂? 2,5+ x₃? 4<=800 ?

x₁? 80+ x₂? 110+ x₃? 130 ? max - целевая функция (размер прибыли)

2. Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса, при ценах благ p₁=7, p₂=3 и доходе I=55, со следующими функциями полезности: U=(x₁-1)^3/4?(x₂ -3)^1/3?max

Изобразите допустимое множество и кривые безразличия

Пояснение к решению задачи:

Функция полезности U в модели Стоуна характеризуется минимальным объемом потребления x₁⁰ _, x₂⁰ и коэффициентом полезности для каждого из товаров ?₁ и ?₂, соответственно. В нашем случае x₁⁰ =1_, x₂⁰=3, ?₁=3/4 и ?₂=1/3.

Функция спроса имеет вид:

x_i= x_i⁰+ ?_i (I - p_j x_j⁰) / ?p_i?_j? , где i = 1..n - вид товара.

Используя формулу, получаем:

x₁= 1+0,75*(55-7*1-3*3)/(7*(0,75+0,33)) = 4,8690

x₂= 3+0,33*(55-7*1-3*3)/(3*(0,75+0,33)) = 6.9722.

; 6.9722-3) =4.36894

Далее составим таблицу с допустимым множеством значений и построим кривые безразличия и прямую бюджетного ограничения.

3. Для оформления офиса фирма приобретает живые и искусственные цветы. Цена за единицу товара 4 и 11 условных денежных единиц соответственно. С определенной регулярностью фирма приобретает 8 живых цветов и 3 искусственных.

Общая полезность приведена в таблице 3.

А) Каковы расходы фирмы?

Б) Какую полезность она получает от потребления такой комбинации товаров?

В) Рассчитайте предельную полезность, получаемую от потребления живых и искусственных цветов?

Г) Изобразите на рисунке кривую предельной полезности искусственных цветов.

Д) Можете ли вы установить, максимизирует ли фирма полезность?

Е) Какую полезность она получит, если все средства будет тратить на покупку искусственных цветов?

Ж) Рассчитайте отношение предельной полезности к цене для каждого из товаров.

З) При какой комбинации двух товаров полезность окажется максимальной?

Таблица 1