Математическое ожидание случайной величины
Генеральная и выборочная совокупности. Выборочные характеристики. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационные ряды. Выборочное среднее и выборочная дисперсия. Точечная оценка математического ожидания. Свойства математического ожидания.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.08.2008 |
| Размер файла | 44,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
2
|
Санкт-Петербургский Государственный Университет |
Математическое ожидание случайной величины
|
Выполнила студентка |
|
|
Урвилова Наталия Евгеньевна |
Санкт-Петербург
2006
Содержание
- Содержание………………………………………………………………………2
- Введение………………………………………………………………………….3
- 1. Генеральная и выборочная совокупности. Выборочные характеристики…4
- 1.1. Генеральная и выборочная совокупности…………………………………4
- 1.2. Свойства выборочной совокупности……………………………………….5
- 1.3. Вариационные ряды………………………………………………………….6
- 1.5. Выборочное среднее и выборочная дисперсия…………………………….7
- 2. Точечная оценка математического ожидания……………………………….9
- 3. Свойства математического ожидания………………………………………...9
- Заключение………………………………………………………………………10
- Литература………………………………………………………………………10
Введение
Математическая статистика - наука, изучающая методы исследования закономерностей в массовых случайных явлениях и процессах по данным, полученным из конечного числа наблюдений за ними.
Построенные на основании этих методов закономерности относятся не к отдельным испытаниям, из повторения которых складывается данное массовое явление, а представляют утверждения об общих вероятностных характеристиках данного процесса. Такими характеристиками могут быть вероятности, плотности распределения вероятностей, математические ожидания, дисперсии и т.п [6].
Найденные характеристики позволяют построить вероятностную модель изучаемого явления. Применяя к этой модели методы теории вероятностей, исследователь может решать технико-экономические задачи, например, определять вероятность безотказной работы агрегата в течение заданного отрезка времени. Таким образом, теория вероятностей по вероятностной модели процесса предсказывает его поведение, а математическая статистика по результатам наблюдений за процессом строит его вероятностную модель. В этом состоит тесная взаимосвязь между данными науками.
Очевидно, что для обнаружения закономерностей случайного массового явления необходимо провести сбор статистических сведений, т.е. сведений, характеризующих отдельные единицы каких-либо массовых явлений. Собранный материал рассматривается лишь как некоторая пробная группа, одна из многих возможных пробных групп. Конечно, выводы сделанные на основании этого ограниченного числа наблюдений, отражают данное массовое явление лишь приближенно. Математическая статистика указывает, как наилучшим способом использовать имеющуюся информацию для получения по возможности более точных характеристик массового явления.
Определение некоторых числовых параметров, таких, как математическое ожидание, тоже входит в функции теории статистики.
1. Генеральная и выборочная совокупности. Выборочные характеристики
1.1. Генеральная и выборочная совокупности
Для обнаружения закономерностей, описывающих исследуемое массовое явление, необходимо иметь опытные данные, полученные в результате обследования соответствующих объектов, отображающих массовое явление.
Зачастую реально существующую совокупность объектов можно мысленно дополнить любым количеством таких же однородных объектов. Такие совокупности объектов будем называть генеральными совокупностями.
Каждой генеральной совокупности соответствует случайная величина, определяемая изучаемым признаком объекта. Так как понятия генеральной совокупности и соответствующей случайной величины связаны с наблюдениями (измерениями) в неизменных условиях, то для ее обозначения будем использовать прописные буквы латинского алфавита (например, ).
Часть отобранных объектов из генеральной совокупности называется выборочной совокупностью или выборкой.
Результаты измерений изучаемого признака объектов выборочной совокупности порождают значений случайной величины . Число называется объемом выборки.
Наряду с генеральной совокупностью будем рассматривать независимых случайных величин, обозначаемых той же буквой, что и генеральная совокупность, и имеющих точно такое же распределение, как генеральная совокупность. Итак, - независимых экземпляров . Если - функция распределения генеральной совокупности , то у каждой случайной величины функция распределения также равна . Понятно, что получить значений случайной величины все равно что получить одно значение n-мерной случайной величины (). Поэтому каждую выборку объема мы можем рассматривать как одно значение n-мерной случайной величины ().
Поясним сказанное на примере. Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения 1,2,3,4,5,6, каждое с вероятностью . Данную случайную величину, или в новой терминологии - генеральную совокупность, мы можем вообразить как урну, содержащую одинаковое количество шаров с номерами от 1 до 6. Производя выбор с возвращением трёх шаров, и записывая их номера, мы получим выборку объема 3 из генеральной совокупности . Вообразим себе три урны того же содержания, т.е. три копии урны . Выберем из каждой урны по одному шару. Получим выборку из генеральной совокупности .
1.2. Свойства выборочной совокупности
Для того чтобы по отобранным значениям некоторого количественного показателя можно было достаточно уверенно судить обо всей совокупности, полученная выборка должна быть репрезентативной (представительной), т.е. правильно отражать пропорции генеральной совокупности. Предположим, например, что вся совокупность состоит из равного большого количества белых и черных шаров, помещенных в ящик, на дне которого имеется отверстие. Если черные шары сосредоточены в нижней части ящика, а белые - в верхней, то открывая некоторое небольшое количество раз заслонку в отверстии ящика, мы получим выборку только из черных шаров [3]. На основании такого способа отбора шаров мы не сможем сделать правильных выводов о содержании всей совокупности шаров, т.е. такая выборка не будет репрезентативной. Выборка будет представительной лишь тогда, когда все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Для этого шары должны быть перемешаны.
Другими словами, репрезентативность выборки обеспечивается случайностью отбора объектов в выборку.
Существует несколько способов отбора, обеспечивающих репрезентативность выборки.
Пусть небольшие по размеру объекты генеральной совокупности находятся, например, в ящике. Каждый раз после тщательного перемешивания (если оно не вызывает разрушение объектов) из ящиков наудачу берут один объект. Эту операцию повторяют до тех пор, пока не образуется выборка нужного объема. Очевидно, что такая техника отбора невозможна, если генеральная совокупность состоит из больших (по размерам) или хрупких объектов. В этих случаях поступают следующим образом. Все объекты генеральной совокупности нумеруют, и каждый номер записывается на отдельную карточку. После этого карточки с номерами тщательно перемешиваются и из пачки карточек выбирают одну. Объект, номер которого совпал с номером выбранной карточки, включается в выборку. Номера объектов можно "отбирать" с помощью таблиц случайных чисел - это целесообразно при большом объеме генеральной совокупности.
1.3. Вариационные ряды
После получения (тем или иным способом) выборочной совокупности все ее объекты обследуются по отношению к определенной случайной величине - т.е. обследуемому признаку объекта. В результате этого получают наблюдаемые данные, которые представляют собой множество расположенных в беспорядке чисел. Анализ таких данных весьма затруднителен, и для изучения закономерностей полученные данные подвергаются определенной обработке.
Пример. На телефонной станции проводились наблюдения над числом Х неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие 60 значений:
3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1; 4; 3; 3; 1;
4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3;
1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5.
Очевидно, что число X является дискретной случайной величиной, а полученные данные есть значения этой случайной величины. Анализ ис-ходных данных в таком виде весьма затруднителен.
Численность отдельной группы сгруппированного ряда данных называется частотой , где - индекс варианта, а отношение частоты данного варианта к общей сумме частот называется частностью (или относительной частотой) и обозначается , , т.е.
.
Дискретным вариационным рядом называется ранжированная совокупность вариантов с соответствующими им частотами или частностями .
1.5. Выборочное среднее и выборочная дисперсия
Для описания группирования и рассеивания наблюдаемых данных используются так называемые числовые характеристики выборочной совокупности, из которых рассмотрим выборочное среднее [5].
Выборочным средним называется случайная величина, определенная формулой
.
Так как конкретная выборка является реализацией значений случайных величин , то среднее значение выборки
является одной из реализаций случайной величины . Другими словами, есть одно из значений случайной величины .
Если данные представлены в виде вариационного ряда, то целесообразно для вычисления выборочного среднего одно из следующих соотношений:
для дискретного вариационного ряда
;
для интервального вариационного ряда
,
где - частность (относительная частота), соответствующая i-й варианте или i-му частичному интервалу; - середина i-го частичного интервала, т.е.
Сравним математическое ожидание дискретной случайной величины Х, вычисляемой по формуле
,
и значение выборочного среднего. Прежде всего, очевидна их внешняя схожесть. Однако в формуле - возможные значения случайной величины, а - вероятности. - варианты случайной величины, полученные в результате наблюдений, - их относительная частота. Далее, математическое ожидание не является случайной величиной, а выборочное среднее - случайная величина, значение которой меняется от выборки к выборке. Несмотря на это, как будет показано ниже, выборочное среднее при определенных условиях выступает как «хорошая» оценка математического ожидания.
2. Точечная оценка математического ожидания
Математическое ожидание генеральной совокупности назовем генеральной средней , т.е.
.
Теорема. Выборочное среднее есть состоятельная и несмещенная оценка генеральной средней .
Доказательство. Вначале покажем, что есть состоятельная оценка для , т.е.
.
По следствию из теоремы Чебышева для одинаково распределенных случайных величин имеем
.
Так как , то используя свойства математического ожидания, получим
3. Свойства математического ожидания
Для случайной величины дискретного типа (СВДТ) и непрерывного типа (СВНТ) математическое ожидание находится по формулам [4]
mX = M[X] =
Математическое ожидание существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части формулы сходится абсолютно. Если mX = 0, то СВ Х называется центрированной (обозначается ).
Свойства математического ожидания:
M[C] = C, где С - константа;
M[CX] = CM[X];
M[X+Y] = M[X]+M[Y], для любых СВ X и Y;
Заключение
Математическое ожидание - одно из центральных понятий математической статистики, отражает наиболее ожидаемое значение случайной величины. Но она является хорошей характеристикой, когда плотность распределения «симметрична», как у нормального закона [2]. В ином случае она не является адекватной характеристикой. Тем не менее, математическое ожидание используется для определения законов распределения, проверки множества гипотез и имеет огромное значение в статистике и многих других дисциплин, используется в практической деятельности.
Литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1997.
3. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1994.
4. Мацкевич И.П., Свирид Г.П., Булдык Г.М. Сборник задач и упражнений по высшей математике (Теория вероятностей и математическая статистика). Минск: Вышейша школа, 1996.
5. Тимофеева Л.К., Суханова Е.И., Сафиулин Г.Г. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике / Самарск. экон. ин-т. Самара, 1992.
6. Тимофеева Л.К., Суханова Е.И., Сафиулин Г.Г. Теория вероятностей и математическая статистика / Самарск. гос. экон. акад. Самара, 1994.
Подобные документы
Выборочная ковариация как мера взаимосвязи между двумя переменными. Основные правила расчета ковариации исходя из данных выборок. Математическое ожидание, дисперсия и теоретическая ковариация по ряду наблюдений. Коэффициент корреляции как её показатель.
контрольная работа [30,1 K], добавлен 15.12.2009Понятия доверительного интервала и доверительной вероятности и их применение в эконометрических задачах. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной и при неизвестной дисперсии, генеральная совокупность.
реферат [2,0 M], добавлен 12.12.2009Методика установления необходимого объема статистической выборки (количества наблюдений). Проверка на нормальность распределения выборочной совокупности. План проведения экспериментов. Регрессионная модель, коэффициенты детерминации и корреляции.
контрольная работа [79,5 K], добавлен 13.05.2011Построение регрессионных моделей. Смысл регрессионного анализа. Выборочная дисперсия. Характеристики генеральной совокупности. Проверка статистической значимости уравнения регрессии. Оценка коэффициентов уравнения регрессии. Дисперсии случайных остатков.
реферат [57,4 K], добавлен 25.01.2009Статистический анализ выборочной и генеральной совокупности. Степень колеблемости и однородности признака. Применение правила "трех сигм". Прогнозная оценка размаха вариации признака в генеральной совокупности. Нахождение показателя коэффициента эксцесса.
лабораторная работа [260,5 K], добавлен 01.02.2011Нахождение вероятности за определенный промежуток времени. Плотность распределения вероятностей. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. Интегральная теорема Лапласа, распределение Стьюдента. Исправленная выборочная дисперсия.
контрольная работа [110,5 K], добавлен 28.05.2012Расчет параметров A и B уравнения линейной регрессии. Оценка полученной точности аппроксимации. Построение однофакторной регрессии. Дисперсия математического ожидания прогнозируемой величины. Тестирование ошибок уравнения множественной регрессии.
контрольная работа [63,3 K], добавлен 19.04.2013Поиск несмещенных оценок математического ожидания и для дисперсии X и Y. Расчет выборочного коэффициента корреляции, анализ степени тесноты связи между X и Y. Проверка гипотезы о силе линейной связи между X и Y, о значении параметров линейной регрессии.
контрольная работа [19,2 K], добавлен 25.12.2010Генеральная, выборочная совокупность. Методологические основы вероятностно-статистического анализа. Функции MathCad, предназначенные для решения задач математической статистики. Решение задач, в MS Excel, с помощью формул и используя меню "Анализ данных".
курсовая работа [401,4 K], добавлен 20.01.2014Основные проблемы эконометрического моделирования. Использование фиктивных переменных и гармонических трендов. Метод наименьших квадратов и выборочная дисперсия. Смысл коэффициента детерминации. Расчет функции эластичности. Свойства линейной модели.
контрольная работа [18,6 K], добавлен 06.11.2009
