Расчет статистических показателей

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Белгородский государственный технологический университет

им. В.Г. Шухова

КАФЕДРА Экономики и организации производства

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: Эконометрика

Выполнил: студентка 2 курса

группа 6 ЭКд-21в

Волобуева Е.В.

Проверил: Гавриловская С.П.

Старый Оскол 2013

Задача №1

В выборке представлены данные по цене P некоторого блага и количеству (Q) данного блага, приобретаемому хозяйством ежемесячно в течение года.

Месяц	1	2	3	4	5	6
P	10,17	20,17	15,17	25,17	30,17	35,17
Q	110,17	75,17	100,17	80,17	60,17	55,17
Месяц	7	8	9	10	11	12
P	40,17	35,17	25,17	40,17	45,17	40,17
Q	40,17	80,17	60,17	30,17	40,17	30,17

1) Постройте корреляционное поле и по его виду определите формулу зависимости между P и Q.

2) Оцените по МНК параметры уравнения линейной регрессии.

3) Оцените выборочный коэффициент корреляции rpq.

4) Проинтерпретируйте результаты.

Решение:

1) Корреляционное поле, построенное по статистическим данным, приведено на рисунке 1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1 Корреляционное поле

По виду корреляционного поля можно сделать предположение, что связь между ценой и количеством блага линейная и обратная..

2) Оценим по МНК параметры уравнения линейной регрессии

Для наглядности построим таблицу 1:

Таблица 1

Благо i	xi	yi	xi2	xiyi	yi2		ei	ei2
1	10,17	110,17	103,43	1120,43	12137,43	106,10	4,07	16,58
2	20,17	75,17	406,83	1516,18	5650,53	84,80	-9,63	92,70
3	15,17	100,17	230,13	1519,58	10034,03	95,45	4,72	22,30
4	25,17	80,17	633,53	2017,88	6427,23	74,15	6,02	36,27
5	30,17	60,17	910,23	1815,33	3620,43	63,50	-3,33	11,07
6	35,17	55,17	1236,93	1940,33	3043,73	52,85	2,32	5,39
7	40,17	40,17	1613,63	1613,63	1613,63	42,20	-2,03	4,11
8	35,17	80,17	1236,93	2819,58	6427,23	52,85	27,32	746,50
9	25,17	60,17	633,53	1514,48	3620,43	74,15	-13,98	195,38
10	40,17	30,17	1613,63	1211,93	910,23	42,20	-12,03	144,67
11	45,17	40,17	2040,33	1814,48	1613,63	31,55	8,62	74,34
12	40,17	30,17	1613,63	1211,93	910,23	42,20	-12,03	144,67
Итого	362,04	762,04	12272,75	20115,75	56008,75	761,97	?0,0	1493,98
Среднее	30,17	63,50	1022,73	1676,31	4667,40

По МНК имеем

Получили уравнение линейной регрессии, выражающее взаимосвязь между признаком y (количество) и фактором х (цена):

Параметр показывает усредненное влияние на результативный признак (количество) неучтенных факторов, а - показывает, во сколько изменяется в среднем значение результативного признака (цена) при изменении факторного на единицу его собственного измерения.

То есть при увеличении цены блага на один рубль, количество блага уменьшается на 2,13.

По этому уравнению рассчитаем , также еi = y?i -.

3) Оценим тесноту корреляционной зависимости и рассчитаем линейный коэффициент корреляции, характеризующий силу взаимосвязи между фактором и результатом.



где - среднее квадратическое отклонение фактора ;

- среднее квадратическое отклонение фактора .

Коэффициент корреляции т.е. связь между фактором и результатом сильная. Но так как значение 0,896 отрицательное, то связь не прямая, а обратная.

Задача №2

Имеются данные за 10 лет по прибылям X и Y (в %) двух компаний:

Год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	19,217	15,817	12,517	10,317	5,717	-5,817	-3,517	5,217	7,317	6,717
Y	20,117	18,017	10,317	12,517	6,017	-6,817	-2,817	3,017	8,517	8,017

1) Постройте регрессионную модель Y=b0+b1X+e.

2) Оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии.

3) Оцените коэффициент детерминации R2 данного уравнения.

4) Постройте регрессионную модель Y=bX+u.

5) Приведите формулы расчета коэффициента b, его стандартной ошибки Sb и стандартной ошибки регрессии S (обратите внимание на число степеней свободы при расчете данной оценки).

6) Значимо или нет различаются коэффициенты b1 и b?

7) Какую из построенных моделей вы предпочтете?

8) Можно ли на основе построенных регрессий утверждать, что прибыль одной из компаний является следствием прибыли другой?

Решение:

1. Построим регрессионную модель Y=b0+b1X+e.

Рис.2 Корреляционное поле

По виду корреляционного поля можно сделать предположение, что связь между прибылью двух фирм линейная и прямая

2. Оценим по МНК параметры уравнения линейной регрессии

Для наглядности построим таблицу 2:

Таблица 2

Года i	xi	yi	xi2	xiyi	yi2		ei	ei2
1	19,217	20,117	369,293	386,588	404,694	20,269	0,152	0,152
2	15,817	18,017	250,177	284,975	324,612	16,665	-1,352	-1,352
3	12,517	10,317	156,675	129,138	106,440	13,167	2,850	2,850
4	10,317	12,517	106,440	129,138	156,675	10,835	-1,682	-1,682
5	5,717	6,017	32,684	34,399	36,204	5,959	-0,058	-0,058
6	-5,817	-6,817	33,837	39,654	46,471	-6,267	0,550	0,550
7	-3,517	-2,817	12,369	9,907	7,935	-3,829	-1,012	-1,012
8	5,217	3,017	27,217	15,740	9,102	5,429	2,412	2,412
9	7,317	8,517	53,538	62,319	72,539	7,655	-0,862	-0,862
10	6,717	8,017	45,118	53,850	64,272	7,019	-0,998	-0,998
Итого	73,502	76,902	1087,351	1145,709	1228,947	761,97	0.00	21,689
Среднее	7,35	7,69	108,74	114,57	122,89	76,902

==1,06

=7,69-1,06·7,35=-0,101

Получили уравнение линейной регрессии, выражающее взаимосвязь между признаком y (прибыль в первой компании) и признаком х (прибыль во второй компании):

Параметр показывает усредненное влияние на результативный признак (прибыль 2-ой фирмы) неучтенных факторов, а - показывает, во сколько изменяется в среднем значение результативного признака (прибыль 1-ой фирмы) при изменении факторного на единицу его собственного измерения.

То есть при увеличении прибыли 2-ой фирмы на один %, количество прибыли 2-ой фирмы увеличивается на 1,06.

Отсюда рассчитаем и e1.

Для расчета теоретического коэффициента детерминации определим значение линейного парного коэффициента корреляции через МНК-оценку коэффициента регрессии:

=

=0,713

Коэффициент корреляции , т.е. связь между фактором и результатом сильная. Так как значение 0,713 положительное, то связь прямая.

Теоретический коэффициент детерминации будет равен: . Следовательно 50,8% вариации прибыли фирмы Y объясняется уравнением линейной регрессии, а значит и прибыли фирмы X. А 100 - 50,8 = 49,2 % вариации прибыли фирмы Y обусловлено влиянием не учтенных в модели факторов.

Коэффициент множественной корреляции равен: . Близость к единице данного показателя свидетельствует о хорошей аппроксимации модели фактических данных.

Для расчета средней квадратической ошибки уравнения регрессии нужно теоретические значения результативного признака , остатки и их квадраты.

Тогда=1,647 (в нашем примере п =10, h=2).

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации. Для нашего примера А = =0,1522 (15,22 %), что свидетельствует о незначительной погрешности модели.

3. Для оценки надежности выборочного уравнения регрессии воспользуемся формулой

=

где - дисперсия результативного признака, обусловленная регрессией, т.е. влиянием на факторных переменных, включенных в модель; - дисперсия результативного признака, обусловленная влиянием второстепенных факторов и случайных помех; - объём выборки; - количество факторных переменных.

Так как , дополнительно вычислим У(Yi - ??Y)2

Таблица 2.1

Yi	20,117	18,017	10,317	12,517	6,017	-6,817	-2,817	3,017	8,517	8,017	76,902	7,69
(Yi - ??Y)2	154,430	106,647	6,901	23,300	2,799	210,453	110,397	21,837	0,684	0,107	637,55
Xi	19,217	15,817	12,517	10,317	5,717	-5,817	-3,517	5,217	7,317	6,717	73,502	7,35
(Xi - ??X)2	140,826	71,690	26,698	8,803	2,667	173,370	118,092	4,550	0,001	0,401	547,096

Отсюда =· 637,55=70,84

· 21,689=2,41

==227,15

По статистическим таблицам распределения Фишера на -ном уровне значимости при числе степеней свободы и находим критическую точку

Так как делаем вывод о значимости полученного уравнения регрессии.

Для оценки надёжности парного коэффициента корреляции применим формулу

По таблице распределения Стьюдента на -ном уровне значимости при числе степеней свободы находим критическую точку

Так как делаем вывод о значимости т. е., отклоняем гипотезу об отсутствии линейной корреляционной связи в генеральной совокупности, рискуя ошибиться при этом лишь в 5%-х случаях.

4. Для линейного парного уравнения регрессий стандартная ошибка коэффициента вычисляется по формуле:

==0,07

==0,734

корреляция уравнение зависимость регрессия

Стандартную ошибку вычисляем по приближенной формуле:

0,378.

5. Построим регрессионную модель Y=bX+u в матричной форме

Задача №3

Для прогноза возможного объема экспорта на основе ВНП предложено использовать линейную регрессионную модель. При этом используются данные за 1995 - 2004 годы.

Годы	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
ВНП	1000	1090	1150	1230	1300	1360	1400	1470	1500	1580
Экспорт	190	220	240	240	260	250	280	290	310	350

1) Сформулируйте соответствующую регрессионную модель, дав интерпретацию ее параметров.

2) Рассчитайте на основе имеющихся данных оценки параметров модели.

3) Вычислите стандартную ошибку регрессии.

4) Рассчитайте стандартные ошибки коэффициентов.

5) Определите 90 и 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

6) Проанализируйте статистическую значимость коэффициентов при уровнях значимости =0,1 и =0,05.

7) Оцените коэффициент корреляции между ВНП и экспортом.

8) Дайте прогнозы по объему экспорта на 2006 и 2009 годы.

9) Определите 95%-е доверительные интервалы для этих прогнозов.

10) Рассчитайте коэффициент детерминации и сравните его с коэффициентом корреляции.

11) Какие предпосылки относительно случайного отклонения модели необходимы для обоснованности выводов по предыдущим пунктам?

12) Сделайте выводы по предыдущим пунктам.

Решение:

1. Корреляционное поле, построенное по статистическим данным, приведено на рисунке 3

Рис.3 Корреляционное поле

По виду корреляционного поля можно сделать предположение, что связь между ВНП и экспортом линейная и прямая..

2. Оценим по МНК параметры уравнения линейной регрессии

Для наглядности построим таблицу 3:

Таблица 3

Года i	xi	yi	xi2	xiyi	yi2		ei	ei2
1995	1000	190	1000000	190000	36100	190,93	-0,93	0,86
1996	1090	220	1188100	239800	48400	211,99	8,01	64,19
1997	1150	240	1322500	276000	57600	226,03	13,97	195,22
1998	1230	240	1512900	295200	57600	244,75	-4,75	22,54
1999	1300	260	1690000	338000	67600	261,13	-1,13	1,27
2000	1360	250	1849600	340000	62500	275,17	-25,17	633,43
2001	1400	280	1960000	392000	78400	284,53	-4,53	20,50
2002	1470	290	2160900	426300	84100	300,91	-10,91	118,98
2003	1500	310	2250000	465000	96100	307,93	2,07	4,29
2004	1580	350	2496400	553000	122500	326,65	23,35	545,32
Итого	13080	2630	17430400	3515300	710900	2630	0,00	1606,61
Среднее	1308	263	1743040	351530	71090	263



== 0,234

=263-0,234·1308= - 43,072

Получили уравнение линейной регрессии, выражающее взаимосвязь между признаком y (экспорт) и признаком х (ВНП):

Параметр показывает усредненное влияние на результативный признак (экспорт) неучтенных факторов, а - показывает, во сколько изменяется в среднем значение результативного признака (ВНП) при изменении факторного на единицу его собственного измерения.

То есть при увеличении ВНП на один рубль, размер экспорта увеличивается на 0,234.

Отсюда рассчитаем и e1.

Для расчета теоретического коэффициента детерминации определим значение линейного парного коэффициента корреляции через МНК-оценку коэффициента регрессии:

=

=0,957

Коэффициент корреляции , т.е. связь между фактором и результатом очень сильная. Так как значение 0,953 положительное, то связь прямая.

Теоретический коэффициент детерминации будет равен: . Следовательно 91,6% вариации экспорта Y объясняется уравнением линейной регрессии, а значит и ВНП X. А 100 - 91,6 = 8,4 % вариации экспорта Y обусловлено влиянием не учтенных в модели факторов.

3. Стандартную ошибку вычисляем по приближенной формуле:

0,378

4. Для линейного парного уравнения регрессий стандартная ошибка коэффициента вычисляется по формуле:

==0,07

==0,734

5. Доверительный интервал для параметров регрессии bi записываемся в виде следующей формулы: .

Определим доверительные границы для параметра регрессии b1, b0 обычно не рассматривается, т. к. лишен экономического смысла.

Вычислим стандартную ошибку оценки параметра регрессии, а для этого сначала вычислим стандартные отклонения. Построим ещё одну таблицу 3.1

Таблица 3.1

Xi	1000	1090	1150	1230	1300	1360	1400	1470	1500	1580	13080	1308
(Xi - ??X)2	94864	47524	24964	6084	64	2704	8464	26244	36864	73984	321760

SX===189,08

Sо===13,36

Зададимся уровнем значимости . Число степеней свободы для нашего примера . По таблице Стьюдента находим, что . В соответствии получаем следующие доверительные границы для b1

или 0,234±0,0578

Итак, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что неизвестное знамение параметра регрессии b1 содержится в интервале

При построении доверительного интервала для коэффициента корреляции генеральной совокупности прибегают к преобразованию Фишера по формуле:

Подставляя выборочный коэффициент корреляции получаем значение Z:

Стандартная ошибка вычислена выше.

Доверительные границы для величины на заданном уровне значимости определяются по формуле : .

При уровне значимости . Таким образом, доверительные границы для величины при p = 0,95 будут следующими:

или

и доверительный интервал для

Доверительные границы для коэффициента корреляции находят путем обратного пересчета величины по формуле:

Произведем обратный пересчет в r

Итак, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что коэффициент корреляции в генеральной совокупности содержится в интервале

Теперь определим 90%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

Зададимся уровнем значимости . Число степеней свободы для нашего примера . По таблице Стьюдента находим, что . В соответствии получаем следующие доверительные границы для b1

или 0,234±0,0465

Итак, с вероятностью 0,9 можно утверждать, что неизвестное знамение параметра регрессии b1 содержится в интервале

При построении доверительного интервала для коэффициента корреляции генеральной совокупности прибегают к преобразованию Фишера по формуле:

Подставляя выборочный коэффициент корреляции получаем значение Z:

Стандартная ошибка вычислена выше.

Доверительные границы для величины на заданном уровне значимости определяются по формуле : .

При уровне значимости . Таким образом, доверительные границы для величины при p = 0,9 будут следующими:

или

и доверительный интервал для

Доверительные границы для коэффициента корреляции находят путем обратного пересчета величины по формуле:

Произведем обратный пересчет в r

Итак, с вероятностью 0,90 можно утверждать, что коэффициент корреляции в генеральной совокупности содержится в интервале

Задача №4

Предполагается, что объем Q предложения некоторого блага для функционирующей в условиях конкуренции фирмы зависит линейно от цены P данного блага и заработной платы W сотрудников фирмы, производящих данное благо:

.

Статистические данные, собранные за 16 месяцев, занесены в следующую таблицу:

Q	20	35	30	45	60	69	75	90	105	110	120	130	130	130	135	140
P	10	15	20	25	40	37	43	35	38	55	50	35	40	55	45	65
W	12	10	9	9	8	8	6	4	4	5	3	1	2	3	1	2

1) Оцените по МНК коэффициенты уравнения регрессии.

2) Проверьте гипотезы о том, что при прочих равных условиях рост цены товара увеличивает предложение; рост заработной платы снижает предложение.

3) Определите интервальные оценки коэффициентов при уровне значимости =0,1. Как с их помощью проверить гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии?

4) Оцените общее качество уравнения регрессии.

5) Является ли статистически значимым коэффициент детерминации R2?

6) Проверьте гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.

7) Сделайте выводы по построенной модели.

Решение:

1. Найдем МНК-оценки параметров линейного двухфакторного уравнения регрессии:

.

Расчет необходимых сумм для системы нормальных линейных уравнений сведем в таблицу 4

Таблица 4

Месяц	Q - предложение	P-цена	W- заработная плата	QP	QW	P2	W2	PW
1	20	10	12	200	240	100	144	120
2	35	15	10	525	350	225	100	150
3	30	20	9	600	270	400	81	180
4	45	25	9	1125	405	625	81	225
5	60	40	8	2400	480	1600	64	320
6	69	37	8	2553	552	1369	64	296
7	75	43	6	3225	450	1849	36	258
8	90	35	4	3150	360	1225	16	140
9	105	38	4	3990	420	1444	16	152
10	110	55	5	6050	550	3025	25	275
11	120	50	3	6000	360	2500	9	150
12	130	35	1	4550	130	1225	1	35
13	130	40	2	5200	260	1600	4	80
14	130	55	3	7150	390	3025	9	165
15	135	45	1	6075	135	2025	1	45
16	140	65	2	9100	280	4225	4	130
	1424	608	87	61893	5632	26462	655	2721

Тогда система нормальных линейных уравнений будет иметь вид:

Решив систему, найдем значения :

; ;

Параметр =0,7 показывает, что предложение некоторого блага в среднем увеличивается на 0,7 усл.ед. при увеличении цены блага на 1 усл.ед. при условии, что заработная плата сотрудников фирмы не меняется и фиксирована на среднем уровне; параметр = - 9,44 показывает, что предложение некоторого блага в среднем уменьшается на 9,44 усл.ед. при увеличении заработной платы сотрудников фирмы на 1 усл.ед. при условии, что цена блага не изменилась и фиксирована на среднем уровне.

Параметр не интерпретируем, т. к. в выборке отсутствуют значения признаков P и W близкие к нулю.

2. Оценим качество данного уравнения регрессии, т.е. рассчитаем коэффициент множественной детерминации:

Для этого вычислим и , ryx1 и ryx2.

Задача №5

Анализируя прибыль предприятии Y(млн $) в зависимости от расходов на рекламу X(млн $). По наблюдениям за 9 лет получены следующие данные:

Y	5,17	7,17	13,17	15,17	20,17	25,17	22,17	20,17	17,17
X	0,817	1,017	1,817	2,517	4,017	5,717	7,517	8,317	8,817

1) Постройте корреляционное поле и и выдвиньте предположение о формуле зависимости между рассматриваемыми показателями.

2) Оцените по МНК коэффициенты линейной регрессии Y=b0+b1X+e.

3) Оцените качество построенной регрессии.

4) Оцените по МНК коэффициенты квадратичной регрессии

Y=b0+b1X+b2X2+ e.

5) Оцените качество построенной регрессии. Какую из моделей вы предпочтете?

Задача № 6

В таблице приведены статистические данные по процентному изменению заработной платы (Y) , росту производительности труда (X1) и уровню инфляции (X2) за 20 лет:

Y	6,017	8,917	9,017	7,117	3,217	6,517	9,117	14,617	11,917	9,417
X1	2,817	6,317	4,517	3,117	1,517	7,617	6,717	4,217	2,717	3,517
X2	3,017	3,117	3,817	3,817	1,117	2,317	3,617	7,517	8,017	6,317
Y	12,017	12,517	8,517	5,917	6,817	5,617	4,817	6,717	5,517	4,017
X1	5,017	2,317	1,517	6,017	2,917	2,817	2,617	0,917	0,617	0,717
X2	6,117	6,917	7,117	3,117	3,717	3,917	3,917	4,817	4,317	4,817

1) По МНК постройте уравнение регрессии

.

2) Оцените качество построенного уравнения, включая наличие автокорреляции и гетероскедастичности.

3) По МНК постройте уравнение регрессии , учитывая, что x10=3,5; x20=4,5.

4) Оцените качество построенного уравнения.

5) Сравните построенные модели. Какая из них предпочтительнее и почему?

Размещено на Allbest.ru