Общая теория статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

1. Проведение выборочного наблюдения

2. Осуществление группировки

3. Построение интервального ряда распределения

4. Характеристика используемых статистических показателей (относительные, абсолютные и т.п.)

5. Расчет средних величин и показателей вариации

5.1 Расчет средней арифметической по исходной выборке и оценка ее по структурным данным, характеристика оценки по критериям

5.2 Структурные средние (по сгруппированным данным)

5.3 Абсолютные показатели вариации (по исходным данным)

5.4 Относительные показатели вариации (по исходным данным)

Список использованной литературы

1. Проведение выборочного наблюдения

-Обосновать размер выборки (обеспечивающий необходимый уровень ошибки)

- Провести выборку одним из способов бесповторным или повторным методом

В основе выборочного наблюдения лежит идея о том, что отобранная в случайном порядке некоторая часть единиц может представлять всю изучаемую совокупность явления по интересующим исследователя признакам. Целью выборочного наблюдения является получение информации, прежде всего, для определения сводных обобщающих характеристик всей изучаемой (генеральной) совокупности. Преимущества этого метода по сравнению со сплошным можно оценить, если оно организовано и проведено в строгом соответствии с научными принципами теории выборочного метода, а именно обеспечение случайности отбора единиц и достаточного их числа. Соблюдение этих принципов позволяет получить такую совокупность единиц, которая представляет всю изучаемую совокупность по интересующим исследователя признакам, т.е. является репрезентативной (представительной).

При проведении выборочного наблюдения обследуются не все единицы изучаемого объекта, т.е. не все единицы совокупности, а лишь некоторая специально отобранная часть. Первый принцип отбора -- обеспечение случайности -- заключается в том, что при отборе каждой из единиц изучаемой совокупности обеспечивается равная возможность попасть в выборку. Случайный отбор -- это не беспорядочный отбор, а отбор при соблюдении определенной методики, например, осуществление отбора по жребию, применение таблицы случайных чисел и т.д.

Второй принцип отбора -- обеспечение достаточного числа отобранных единиц -- тесно связан с понятием репрезентативности выборки. Поскольку любое выборочное наблюдение проводится с определенной целью и четко сформулированными конкретными задачами, то понятие репрезентативности как раз и связано с целью и задачами исследования. Отобранная из всей изучаемой совокупности часть должна быть репрезентативной, прежде всего, в отношении тех признаков, которые изучаются или оказывают существенное влияние на формирование сводных обобщающих характеристик.

Выборочный метод - это наиболее совершенная с научной точки зрения разновидность несплошного статистического наблюдения на основе статистической индукции, при котором характеристики всей статистической (генеральной) совокупностью (N) получаются в результате изучения некоторой ее части (n), отобранной с соблюдением определенных правил (на основе случайного отбора) и поэтому являющейся репрезентативной, т.е. репрезентативной и достоверной.

Одно из них - генеральная совокупность (N) - совокупность едениц, из которой производится отбор некоторой их части для статистического исследования.

Следующее - выборочная совокупность (n) - совокупность единиц, которая отобрана из генеральной совокупности и подвергнута наблюдению (регистрации интересующих нас признаков).

В зависимости от способа отбора единиц различают:

-отбор по схеме возвращенного шара, обычно называемый повторной выборкой. При повторном отборе вероятность попадания каждой отдельной единицы в выборку остается постоянной, так как после отбора какой то единицы (шара) она (он) снова возвращается в совокупность (в урну) и снова может быть выбранной (выбран);

-отбор по схеме невозвращенного шара, называемой. В этом случае каждая повторная единица не возвращается обратно, и вероятность попадания отдельных единиц в выборку все время изменяется. Разность между показателями выборочной и генеральной совокупности называется ошибкой выборки. Ошибки выборки подразделяются на ошибки регистрации и ошибки репрезентативности. Расхождение между значениями изучаемого признака выборочной и генеральных совокупностей является ошибкой репрезентативности (представительности).

Рассмотрим на примере, насколько отличаются выборочные и генеральные показатели по данным обследования веса расфасованного груза (мешков муки).

Таблица 1 Результаты выборочного обследования распределения 60 отобранных мешков по весу

Вес мешка, кг	40-45	45-50	50-55	55-60	60-65
Число мешков	3	6	40	7	4

1)Определим средне арифметическое взвешенное изучаемого признака.

Таблица 2 Промежуточные расчеты

Группы мешков по весу	Число мешков, fi	Середина интервала, xi	xi*f	хi-хср	(хi-хср)2	(хi-хср)2*fi
40-45	3	42,5	127,5	-10,3	106,09	318,27
45-50	6	47,5	285,0	-5,3	28,09	168,54
50-55	40	52,5	2100,0	-0,3	0,09	3,6
55-60	7	57,5	402,5	4,7	22,09	154,63
60-65	4	62,5	250,0	9,7	94,09	376,36
Итого	60	262,5	3165	-	-	1021,4

Х_ср=3165/60= 52,8 кг.

2) Рассчитаем дисперсию

у²=?(х_i-х_ср)²*f_i/?f_i = 1021,4 : 60 = 17,02

3) Рассчитаем среднеквадратическое отклонение: у= vу² = v17,02= 4,13

4) Определим среднюю ошибку выборким_х= у : vn,

где n - совокупность единиц, которая отобрана из генеральной совокупности и подвергнута наблюдению (регистрации интересующих нас признаков)

м_х=4,13: v60=0,53

5) Рассчитаем предельную ошибку выборки с вероятностью 0.954 (коэф доверия t=2)?_х=t*м_x=2*0,53=1,06

6) Определяем границы изменения генеральной среднейх-?_х?х?х+?_х 51,74 ?х?53,86Вывод: На основании проведенного выборочного исследования с вероятностью 0.954 можно утверждать что средний вес мешка муки находится в пределах от 51,74 кг до 53,86 кг.

2. Осуществление группировки

Группировка -- объединение единиц совокупности в некоторые группы, имеющие свои характерные особенности, общие черты и сходные размеры изучаемого признака. Результаты группировки оформляются в виде группировочных таблиц, делающих информацию обозримой. Таблица содержит сводную числовую характеристику исследуемой совокупности по одному или нескольким существенным признакам, взаимосвязанным логикой анализа.

Всю совокупность признаков можно разделить на 2 группы: факторные и результативные.

Факторными, называются признаки, под воздействием которых изменяются другие признаки - объединяемые в группу результативных признаков.

Рассмотрим аналитическую группировку исходных данных в таблице 3. Данные таблицы 3 характеризуют зависимость между весом муки и числом мешков.

Таблица 3 Аналитическая группировка

Группы мешков по весу, кг	Число мешков	В % к итогу
40-45	3	5
45-50	6	10
50-55	40	66,7
55-60	7	11,7
60-65	4	6,6
Итого	60	100,0

В практике проведения статистического исследования для определения количества групп наибольшее распространение получила формула Стерджесса n=1+3.322*lgN, гдеn-число группN-число единиц совокупности

В данном случае число групп по исходным данным равно 5.

3. Построение интервального ряда

Для построения интервального ряда необходимо определить величину частых интервалов. Считая, что все частые интервалы имеют одну и ту же длину для каждого интервала. Следует установить его верхнюю и нижнюю границы, а затем в соответствии с полученной упорядоченной совокупностью частных интервалов сгруппировать результаты наблюдения.

Из табл. 2 по сгруппированным данным находим, что наибольшим значением случайной величины является 65, наименьшим - 40.

Величина интервала равна:

R=Х наиб - Х наим = 65 - 40 = 25 кг.Величина равного интервала определяется по формуле:h=R/n, где n - число групп;h=25/5=5 кг.Промежуточные интервалы получают прибавляя к концу предыдущего интервала длину частичного интервала(h), В нашем случае h = 5 кг.

Промежуточные интервалы составят:

По 1 группе: 40 - (40 + 5), т.е. 40-45 кг;

По 2 группе: 45 - (45 + 5), т.е. 45 - 50 кг;

По 3 группе: 50 - (50 + 5), т.е. 50 - 55 кг;

По 4 группе: 55 - (55 + 5), т.е. 55 - 60 кг;

По 5 группе: 60 - (60 + 5), т.е. 60 - 55 кг

4. Характеристика используемых статистических показателей (относительные, абсолютные и т.п)

Статистическое наблюдение, независимо от его масштабов и целей, всегда дает информацию о тех или иных социально-экономических явлениях и процессах в виде абсолютных показателей, т.е. показателей, представляющих собой количественную характеристику социально-экономических явлений и процессов в условиях качественной определенности. Качественная определенность абсолютных показателей заключается в том, что они напрямую связаны с конкретным содержанием изучаемого явления или процесса, с его сущностью. В связи с этим абсолютные показатели и абсолютные величины должны иметь определенные единицы измерения, которые наиболее полно и точно отражали бы их сущность (содержание).

Абсолютные показатели являются количественным выражением признаков статистических явлений. Например, рост -- это признак, а его значение -- это показатель роста.

Абсолютный показатель должен характеризовать размер изучаемого явления или процесса в данном месте и в данное время, он должен быть "привязан" к какому-нибудь объекту или территории и может характеризовать либо отдельную единицу совокупности (отдельный объект) -- предприятие, рабочего, либо группу единиц, представляющую часть статистической совокупности, либо статистическую совокупность в целом, например, численность населения в стране, и т.п. В первом случае речь идет об индивидуальных абсолютных показателях, а во втором -- о сводных абсолютных показателях.

Применим абсолютные показатели к нашему исследованию.

Абсолютные показатели:

- число групп равно 5;

- число мешков - 60;

- число мешков в 1-ой группе - 3;

- число мешков во 2-ой группе - 6;

- число мешков в 3-ьей группе - 40;

- число мешков в 4-ой группе - 7;

- число мешков в 5-ой группе - 4.

Средний вес мешка по группам составит:

- по 1-ой - 42,5 кг;

- по 2-ой - 47,5 кг;

- по 3-ей - 52,5 кг;

- по 4-ой - 57,5 кг;

- по 5-ой - 62,5 кг;

Относительные показатели:

1) Относительный показатель структуры (ОПС):

Показатель, характеризующий часть совокупности

Показатель по всей совокупности

Так, в таблице 3 мы видим рассчитанные относительные показатели (для числа мешком муки):

Для группы № 1 - 3: 60* 100 = 5%

Для группы № 2 - 6: 60* 100 = 10%

Для группы № 3 - 40: 60* 100 = 66,7%

Для группы № 4 - 7: 60* 100 = 11,7%

Для группы № 5 - 4: 60* 100 = 6,6%

2) Относительный показатель координации (ОПК):

Показатель, характеризующий i-ую часть совокупности

Показатель, характеризующий часть совокупности, выбранную в качестве сравнения

В качестве сравнения выберем группу № 3.

Рассчитаем относительные показатели координации (для числа мешков):

Для группы № 1 - 3: 40* 100 = 7,5%

Для группы № 2 - 6: 40* 100 = 15%

Для группы № 3 - 40: 40* 100 = 100%

Для группы № 4 - 7: 40* 100 = 17,5%

Для группы № 5 - 4: 40* 100 = 10%

2) Относительный показатель сравнения (ОПС):

Показатель, характеризующий объект А

Показатель, характеризующий объект Б

Относительные показатели сравнения (для числа мешков):

ОПС = 40: 3 = 13,3 раз. Это означает, что число мешков в группе № 3 больше числа мешков в группе № 1 в 13,3 раза.

ОПС = 40: 6 = 6,7 раза. Это означает, что число мешков в группе № 3 больше числа мешков в группе № 2 в 6,7 раза.

ОПС = 40: 7 = 5,7 раза. Это означает, что число мешков в группе № 3 больше числа мешков в группе № 4 в 5,7 раз.

ОПС = 40: 4 = 10 раз. Это означает, что число мешков в группе № 3 больше числа мешков в группе № 5 в 10 раз.

5. Расчет средних величин и показателей вариации

5.1 Расчет средней арифметической по исходной выборке и оценка ее по структурным данным, характеристика оценки по критериям

Среднее арифметическое дает возможность: -охарактеризовать исследуемую совокупность одним числом; -сравнить отдельные величины со средним арифметическим; -определить тенденцию развития какого-либо явления; -сравнить разные совокупности;

-вычислить другие статистические показатели, т.к многие статистические вычисления опираются на среднее арифметическое.Средняя арифметическая выборки (Х) характеризует средний уровень значений изучаемой случайной величины в наблюдавшихся случаях и вычисляется путем деления суммы отдельных величин исследуемого признака на общее число наблюдений: Х=х₁+х₂+х₃+…х_n /n=?х_i/n, где x_i - значение конкретного показателя;?- признак суммирования;n- число показателей (случаев).Х=3+6+40+7+4/5=12 мешковт.е среднее число мешков 12 чел.Средне арифметическая взвешенная Х=40*3+45*6+50*40 + 55*7+60*4/60= 120 + 270+ 2000 + 385 + 240 / 60 = 50,3 кг.

т.е средний вес мешка муки = 50,3 кг.

При расчете средней арифметической по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам.

Тогда зависимость для расчета средней арифметической взвешенной имеет вид: Х=?Хi*f/?f Хi-середина i-го интервала.

Х=(3*42,5)+(6*47,5)+(40*52,5)+(7*57,5)+(4*62,5)/60=

127,5 + 285 + 2100 + 402,5 + 250 / 60 = 52,8 кг.

5.2 Структурные средние (по сгруппированным данным)

К структурным средним величинам в статистике относят моду и медиану. Модой в статистике (М_о) называют величину признака(варианты), которая чаще всего встречается в совокупности. Медианой в статистике (М_е) называется варианта, которая находится в середине ряда. Модальным интервалом называется интервал с наибольшей частотой. Медианным интервалом называется интервал, где кумулятивная частота ?f_i/2. Кумулятивная частота текущего интервала получается суммированием кумулятивной частоты предшествующего интервала и частоты текущего интервала. Для сгруппированных данных в виде дискретных рядов распределения определения моды и медианы рассмотрим в нашем примере, исходные данные которого приведены в таблице 4. Таблица 4

Распределение мешков по весу

Группы мешков по весу, кг	Число мешков	Середина интервала
40-45	3	42,5
45-50	6	47,5
50-55	40	52,5
55-60	7	57,5
60-65	4	62,5
Итого	60	262,5

Наибольшую частоту имеют мешки с весом 50-55 кг, именно этот ряд является модальным.

Для определения медианного значения признака необходимо определить номер медианной единицы ряда по следующей зависимости:Nм_е=n+1/2=60+1/2=30,5.Полученное значение указывает на то, что точная середина находится на порядковом номере 30,5. Необходимо определить к какой группе относятся мешки с этим порядковым номером. Это можно установить, рассчитав накопленную частоту. Очевидно, что мешки с этим номером нет в 1-ой группе, т.к накопленная частота для 1 группы = 3. Медианным является 3 группа, т.к частота будет равна = (9+40) = 49.

Таблица 5. Распределение мешков по весу

Группы мешков по весу, кг	Число мешков	Накопленная частота	Накопленные частоты, % к итогу
40-45	3	3	5
45-50	6	9	15
50-55	40	49	81,7
55-60	7	56	93,3
60-65	4	60	100,0
Итого	60	-	-

х_мо - нижняя граница интервала, содержащего моду;

i_мо - величина модального интервала;

f_мо - частота модального интервала;

f_мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному.

f_мо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Алгоритм расчёта моды:

1) Определяем модальный интервал, это 50-55. 2) Определяем нижнюю границу модального интервала х_мо , она равна 50. 3) Определяем величину модального интервала i, она равна 5.

4) Рассчитываем

выборочный распределение вариация интервальный

М_о = 52,5 кг

Следовательно, наибольшее число мешков имеют средний вес 52,5 кг.

Медиана рассчитывается по формуле:

Х_ме- нижняя граница медианного интервала I _ме- величина медианного интервалаS_{Me - 1} - накопленная частота интервала, предшествующего медианномуf_Me - частота медианного интервала.Алгоритм расчета медианы.

1) Определяем медианный интервал, для чего рассчитываем накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор пока она не превысит половину суммы накопленной частот. Для нашего примера это (60+1)/2 = 30,5 тогда медианный интервал 50-55.

2) Определим нижнюю границу медианного интервала Х_ме, она =50.

3) Определим величину медианного интервала i, она =5.

4) Рассчитаем М_е.

Таким образом, половина мешков имеют средний вес менее 52,6 кг, остальные - более 52,6 кг.

3) Соотношение М_мо и М_ме и средней арифметической позволяет оценить асимметрию распределения признака в совокупности.В асимметричных распределениях все три характеристики совпадают. Чем больше расхождения между модой и медианой, тем больше асимметричен ряд.|М_о-Х|=3|М_е-Х||0,3|=3|0,2|Вывод: в нашем случае ряд является ассиметричным.

5.3 Абсолютные показатели вариации (по исходным данным)

R=Х_мак-Х_минR=65-40=25 кг

Среднее линейное отклонение - показатель, отражающий среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней.

d_ср=?|х_i-х_ср| f_i /? f_i

Рассмотрим пример расчета среднего линейного отклонения по исходным данным таблицы 2.Алгоритм расчета среднего взвешенного линейного отклонения (табл.6):

1) Принимаем середины интервалов за варианты признака и определяем их значение х_i. 2)Находим произведение середины интервалов на их вес х_i*f_i, и получаем 3165. 3) Рассчитываем среднее значение показателей по формуле средней арифметической взвешенной. Х=?Х_i*f_i/?f_i=3165/60=52,8 кг.4) Определяем значение величины |х_i-хср|.5) Рассчитаем произведение |х_i-хср|*f_i, в результате получаем значение 146,4 кг.6) Окончательно рассчитывается взвешенное среднее линейное отклонение d_ср=146,4/60= 2,44 кг.

Таблица 6 Промежуточные расчеты

Группы мешков по весу	Число мешков, fi	Середина интервала	xi*f	хi-хср	|хi-хср|	|хi-хср|*fi
40-45	3	42,5	127,5	-10,3	10,3	30,9
45-50	6	47,5	285,0	-5,3	5,3	31,8
50-55	40	52,5	2100,0	-0,3	0,3	12
55-60	7	57,5	402,5	4,7	4,7	32,9
60-65	4	62,5	250,0	9,7	9,7	38,8
Итого	60	262,5	3165	-	-	146,4

Среднее линейное отклонение позволяет определить обобщенную характеристику колеблемости признака в совокупности, однако при его исчисления приходится иметь дело с модулями алгебраических выражений, что при упрощенных конечных выражениях может приводить к ошибкам и неточностям.

5.4 Относительные показатели вариации

Эти показатели используются для сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности, либо при сравнении колеблемости одного и того же признака в разных совокупностях. Базой структуры этих показателей является средняя арифметическая.

К относительным показателям вариации относятся;

- Коэффициент осцилляции:

V_R=R/x_ср*100%=25/52,8 = 47,3 %

- Линейный коэффициент вариации:

V_d=d_ср/x_ср*100% = 2.44 /52,8 *100% = 4,6%

-Коэффициент вариации:

V_у=у/x*100% = 4,13/52,8= 7,8%

Список используемой литературы

1. Общая теория статистики. Учебник / под ред. А.М. Гольдберга, B.C. Козлова. М.: Финансы и статистика, 2012. - 540с.

2. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учебник. М.: Финансы и статистика, 2009. - 510с.

3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики -М.:Финансы и статистика, 2010. - 620с.

4. Сергеев С.С. и др. Общая теория статистики. Альбом наглядных пособий. М.: Финансы и статистика, 1991. - 290с.

5. Суслов И.П. Общая теория статистики. М.:Статистика, 2007. - 480с.

Размещено на Allbest.ru