Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Актуальность данной курсовой работы обусловлена тем, что имитационное моделирование применяется к процессам, в ход которых может время от времени вмешиваться человек, руководящий операцией, который может в зависимости от сложившейся обстановки, принимать те или другие решения.

Цель курсовой работы - рассмотреть основные методы имитационного моделирования и построить модель временного ряда.

Для достижения цели необходимо выполнить задачи:

1. понять сущность имитационной модели;

2. рассмотреть этапы ее построения;

3. рассчитать основные показатели;

4. построить модель временного ряда.

Предмет исследования - временной ряд, объект - имитационное моделирование.

Имитационные модели строят, когда объект моделирования настолько сложен, что описать его поведение, например, математическими уравнениями невозможно или очень трудно.

1. Понятие имитационной модели и имитационного моделирования

Слово «имитация» (от лат. imitation - подражание) означает воспроизведение определенным образом явлений, действий, объектов и т.п.

Имитационные модели строят, когда объект моделирования настолько сложен, что описать его поведение, например, математическими уравнениями невозможно или очень трудно.

Но не смотря на то, что имитационные модели воспроизводят сложные объекты, при разумном подходе они обеспечивают большую близость модели к моделируемому объекту, чем при применении какого-либо одного точного математического метода. Большая близость получается путем воспроизведения тех или иных свойств объекта или воздействия на него в форме, понятной большинству людей, являющихся специалистами по различным аспектам деятельности данного объекта. Таким образом, экспертами при имитационном моделировании может выступать больший круг людей, а следовательно, обеспечивается большая адекватность модели реальному объекту.

Этапы построения имитационных моделей:

1. Процедура построения имитационных моделей заключается в выполнении этапов работ в следующей последовательности.

2. Содержательное описание объекта моделирования в виде системы, постановка задачи и формирование целей.

3. Формализация задачи, построение структуры модели, определение целевых функций и критериев достижения целей.

4. Выбор методов моделирования для конкретных элементов моделируемой системы.

5. Построение модели, разработка моделирующего алгоритма и апробация на конкретном примере, необходимая корректировка модели.

6. Моделирование системы, включая планирование имитационных реализаций, имитирование входных и управляющих сигналов, помех, пробных и несанкционированных воздействий на те или иные атрибуты системы, вычисление различных статистических характеристик.

7. Анализ результатов моделирования, выбор наиболее эффективной структуры и стратегии поведения моделируемой системы с учетом наиболее вероятных входных и возмущающих воздействий.

8. Подготовка отчета об имитационном моделировании в терминах данного объекта или процесса и планирование внедрения результатов моделирования в практику.

1.1 Расчет показателей динамики развития экономических процессов

Этот расчет проводится на основе статистического анализа одномерных временных рядов экономической динамики. Для статистического анализа одномерных временных рядов экономических показателей вида абсолютные уровни моментных и интервальных рядов, а также уровни из средних величин должны быть преобразованы в относительные величины. Их можно получить соотнесением уровней ряда с одним и тем же уровнем, взятым за базу (за базу сравнения чаще всего принимают начальный уровень временного ряда ), либо последовательными сопоставлениями с предыдущим уровнем. В первом случае получают базисные показатели, во втором - цепные.

При анализе временных рядов для определения изменений, происходящих в данном явлении, прежде всего вычисляют скорость развития этого явления во времени. Показателем скорости служит абсолютный прирост, вычисляемый по формуле

, (1)

где - i-й уровень временного ряда (i=2, 3,…, n); индекс k=1, 2,…, n-1 определяет начальный уровень и может быть выбран любым в зависимости от целей исследования: при k=1 получаются цепные показатели, при k=i-1 получаются базисные показатели с начальным уровнем ряда в качестве базисного и т.д.

Абсолютный прирост выражает величину изменения показателя за интервал времени между сравниваемыми периодами. Если подходить более строго, то скоростью называют прирост в единицу времени; эта величина носит название среднего абсолютного прироста:

. (2)

В частности, средний абсолютный прирост за весь период наблюдения для данного временного ряда равен

(3)

и характеризует среднюю скорость изменения временного ряда.

Для определения относительной скорости изменения изучаемого явления в единицу времени используют относительные показатели: коэффициенты роста и прироста (если эти показатели выражены в процентах, то их называют соответственно темпами роста и прироста). Заметим, что во всех последующих формулах индекс начального уровня, по отношению к которому осуществляется сопоставление, определяется точно так же с помощью индекса k, как и ранее для показателя абсолютного прироста.

Коэффициент роста для i-го периода вычисляется по формуле

. (4)

, если уровень повышается; , если уровень понижается; при уровень не меняется.

Коэффициент прироста равен

или

. (5)

На практике чаще применяют показатели темпа роста и темпа прироста:

, (6)

где - темп прироста i-го периода;

или

, (7)

где - темп прироста для i-го периода.

Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень одного периода увеличился (уменьшился) по сравнению с уровнем другого периода, т.е. этот показатель выражает относительную величину прироста в процентах. Сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же промежутки времени показывает, что в реальных экономических процессах замедление темпа прироста не сопровождается уменьшением темпов абсолютных приростов.

Зависимость значений уровней временного ряда от предыдущих (сдвиг на 1), предыдущих (сдвиг на 2) и так далее уровней того же временного ряда называется автокорреляцией во временном ряду. Для получения числовой характеристики такой внутренней зависимости вычисляют взаимную корреляционную функцию между исходным рядом и этим же рядом, сдвинутым во времени на величину . Такая функция называется автокорреляционной, она характеризует внутреннюю структуру временного ряда и состоит из множества коэффициентов автокорреляции (нециклических), рассчитываемых по формуле:

. (8)

Задавая различные значения =1, 2, 3,…, получаем последовательность значений . На практике рекомендуется вычислять такие коэффициенты в количестве от n/4 до n/3.

График автокорреляционной функции называется коррелограммом. Величина сдвига , которому соответствует наибольший коэффициент автокорреляции, называется временным лагом.

1.2 Аномальные уровни во временных рядах

Аномальные уровни во временных рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющийся эпизодически, очень редко - ошибка второго рода; они устранению не подлежат.

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.

Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы:

, (9)

где среднеквадратическое отклонение рассчитывается в свою очередь с использованием формул:

; . (10)

Расчетные значения , и т.д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина , и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным. Значения критерия Ирвина для уровня значимости , то есть с 5% ошибкой, приведены в табл. 1.

Табл. 1. Значения критерия Ирвина

n	2	3	10	20	30	50	100
	2,8	2,8	1,5	1,3	1,2	1,1	1

Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяется метод проверки разностей средних уровней, который состоит из 4 этапов:

1. Исходный временной ряд разбивается на две примерно равные по числу уровней части: в первой части первых уровней исходного ряда, во второй - остальных уровней (+=).

2. Для каждой из этих частей вычисляются средние значения и дисперсии:

; ; (11)

; .

3. Проверяются равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значения этого критерия

Если расчетное значение F меньше табличного , то гипотеза о равенстве дисперсий принимается. Если F больше или равно , гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и делается вывод, что данный метод для определения наличия тренда ответа не дает.

4. Проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

, (12)

где - среднеквадратическое отклонение разности средних:

(13)

Если расчетное значение t меньше табличного значения статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости , гипотеза принимается, т.е. тренда нет, в противном случае тренд есть. Заметим, что в данном случае табличное значение берется для числа степеней свободы, равного , при этом данный метод применим только для рядов с монотонной тенденцией.

1.3 Сезонный временной ряд

Сезонность, как правило, связывается исключительно со сменой природно-климатических условий в рамках ограниченного промежутка времени - годового периода. Наиболее ярко эта связь видна там, где исследуемые процессы прямо связаны с естественными особенностями того или иного времени года: в сельском хозяйстве, добывающих отраслях, отраслях легкой промышленности, обрабатывающих сельскохозяйственную продукцию и др. Однако сезонные колебания формируются не только под влиянием природно-климатических факторов, но и, пусть в меньшей мере, под влиянием иных особенностей системы, уходящих корнями в экономику.

Под сезонными колебаниями понимают регулярные, периодические наступления внутригодовых подъемов и спадов производства, связанных со сменой времени года, а под сезонностью - ограниченность годового периода работ под влиянием того же природного фактора.

Оценки коэффициентов пропорциональности могут быть получены следующим образом:

, (14)

где - постоянная пропорциональности для j-го месяца, не меняющаяся от года к году;

(15)

- индексами сезонности.

Рассматривают не просто ряд из относительных величин , а ряд процентов, по которому строится сезонная волна:

. (16)

Способ нахождения сезонной составляющей использует ряд Фурье в качестве аналитической модели сезонности. Уравнение ряда Фурье выглядит следующим образом:

. (17)

В этом уравнении определяет номер гармоники ряда Фурье. Обычно используются от 1 до 5 гармоник в зависимости от необходимой точности и формы сезонной составляющей. Для нахождения параметров уравнения используется метод наименьших квадратов.

. (18)

Найдя частные производные этой функции и приравняв их к нулю, получим систему нормальных уравнений, решение которых дает следующие формулы для вычисления параметров:

; ; (19)

Далее определяется количество необходимых гармоник, и аналитическое выражение сезонной составляющей () найдено.

1.4 Оценка адекватности и точности трендовых моделей

Независимо от вида и способа построения экономико-математической модели вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования экономического явления может быть решен только после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.

Трендовая модель конкретного временного ряда y_t считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента (t = 1, 2,…, n) удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда: случайность колебаний уровней остаточной последовательности, соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты.

Поворотной точкой считается е_t, общее число поворотных точек для остаточной последовательности е_t обозначается через p.

В случайной выборке математическое ожидание числа точек поворота р и дисперсия выражаются формулами:

; . (20)

Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости является выполнение неравенства

, (21)

где квадратные скобки означают целую часть числа. Если это неравенство не выполняется, трендовая модель считается неадекватной.

Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю, если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия задается формулой

. (22)

где - среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности е_t;

- стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности.

Если расчетное значение t меньше табличного значения t_б статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости б и числом степеней свободы n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.

Вывод об адекватности трендовой модели делается, если все указанные выше четыре проверки свойств остаточной последовательности дают положительный результат.

Для адекватных моделей имеет смысл ставить задачу оценки их точности. Статистическим показателем точности является средняя относительная ошибка аппроксимации

, (23)

1.5 Прогнозирование экономических показателей на основе трендовых моделей

имитационный сезонный трендовый прогнозирование

Прогнозирование экономических показателей на основе трендовых моделей, как и большинство других методов экономического прогнозирования, основано на идее экстраполяции. Как уже отмечалось, под экстраполяцией обычно понимают распространение закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы. В более широком смысле слова ее рассматривают как получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему. В процессе построения прогнозных моделей в их структуру иногда закладываются элементы будущего предполагаемого состояния объекта или явления, но в целом эти модели отражают закономерности, наблюдаемые в прошлом и настоящем, поэтому достоверный прогноз возможен лишь относительно таких объектов и явлений, которые в значительной степени детерминируются прошлым и настоящим.

Стандартная (средняя квадратическая) ошибка оценки прогнозируемого показателя определяется по формуле:

, (24)

где y_t - фактическое значение уровня временного ряда для времени t;

- расчетная оценка соответствующего показателя по модели (например, по уравнению кривой роста);

n - количество уровней в исходном ряду;

k - число параметров модели.

В случае прямолинейного тренда для расчета доверительного интервала можно использовать аналогичную формулу для парной регрессии, таким образом доверительный интервал прогноза U_y в этом случае будет иметь вид

, (25)

где L - период упреждения;

- точечный прогноз по модели на (n+L) - й момент времени;

n - количество наблюдений во временном ряду;

- стандартная ошибка оценки прогнозируемого показателя, рассчитанная по формуле (62) для числа параметров модели, равного двум;

t_б - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости б и для числа степеней свободы, равного n-2. Если выражение обозначить через К, то формула для доверительного интервала примет вид

. (26)

Значения величины К для оценки доверительных интервалов прогноза относительно линейного тренда табулированы.

Формула для расчета доверительных интервалов прогноза относительно тренда, имеющего вид полинома второго или третьего порядка, выглядит следующим образом:

. (27)

Аналогично вычисляются доверительные интервалы для экспоненциальной кривой роста, а также для кривых роста, имеющих асимптоту (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), если значение асимптоты известно.

2. Показатели динамики развития

Исходные данные представлены в табл. 2, необходимо рассчитать: цепной абсолютный прирост, базисный абсолютный прирост, цепной средний абсолютный прирост, базисный средний абсолютный прирост, прирост за весь период наблюдения, цепной коэффициент роста, базисный коэффициент роста, цепной коэффициент прироста, базисный коэффициент прироста, цепной темп роста, базисный темп роста, цепной темп прироста, базисный темп прироста.

Табл. 2. Исходные данные

t	Уt
1	7
2	11
3	14
4	14
…
97	89
98	94
99	98
100	100

Табл. 3. Показатели динамики развития

?y ср	?yt	?yt ср	К(р)	К(пр)	Т(р)	Т(пр)
	ц	б	ц	б	ц	б	ц	б	ц	б	ц	б
0,9
	4	4	4	4	1,57	1,57	0,57	0,57	157,14	157,14	57,14	57,14
	3	7	7	1,50	1,27	2	0,27	1	127,27	200	27,27	100
	0	7	7	0	1	2	0	1	100	200	0	100
	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
	5	82	82	0,05	1,06	12,71	0,06	11,71	105,95	1271,43	5,95	1171,43
	5	87	87	0,05	1,06	13,43	0,06	12,43	105,62	1342,86	5,62	1242,86
	4	91	91	0,04	1,04	14,00	0,04	13	104,26	1400	4,26	1300
	2	93	93	0,02	1,02	14,29	0,02	13,29	102,04	1428,57	2,04	1328,57

3. Построение и анализ модели

3.1 Выявление аномальных уровней и наличие тренда

Для расчета берутся исходные данные табл. 2.

Используются формулы (9,10,11,12,13) для необходимого расчета табл. 4:

Табл. 4. Проверка значений на аномальность

	Аномально / Неаномально
0,15	Неаномально
0,11	Неаномально
0,00	Неаномально
…	…
0,19	Неаномально
0,19	Неаномально
0,15	Неаномально
0,08	Неаномально

=1,17 < = 1,61 - гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

t = 16,23 > ta = 1,98 - гипотеза об отсутствии тренда принимается.

> ta = 1,98 - гипотеза от отсутствии тренда в среднем и тренда в дисперсии отстраняется.

3.2 Коэффициенты автокорреляции

Расчёты произведены по формуле (8) (табл. 5):

Табл. 5. Коэффициенты автокорреляции

Уt			Временной лаг
7	1	0,992654	Нет
11	2	0,972436	Нет
14	3	0,944009	Нет
14	4	0,91431	Нет
12	5	0,891261	Нет
8	6	0,880497	Нет
4	7	0,885258	Нет
2	8	0,904455	Нет
1	9	0,933221	Нет
3	10	0,963989	Нет
7	11	0,988087	Нет
12	12	0,998624	Лаг

Далее строится коррелограмм (рис. 1):

Рис. 1. Коррелограмм

Наибольший коэффициент автокорреляции = 0,998624, соответственно он является временным лагом.

3.3 Сезонность

По формуле (16) был произведен расчет индекса сезонности (табл. 6).

Табл. 6. Расчет индекса сезонности

63,03195
73,47281
80,89714
81,42861
76,64661
68,36218
58,74124
53,59099
51,03766
54,06046
63,27099
75,45934

По табл. 6 строиться сезонная волна (рис. 2).

Рис. 2. Сезонная волна

Пик волны приходится на 3 и 4 месяца, а спад на 9 месяц.

3.4 Аналитическая модель ряда Фурье

По формулам (17,18,19) найдены коэффициенты и построены гармоники (табл. 7), (рис. 3).

Табл. 7. Расчет гармоник

V1	48,03	50,10	51,03	50,60	48,91	46,41	43,78	41,72	40,78	41,21	42,91	45,40
V2	47,19	48,69	49,44	49,25	48,16	46,46	44,62	43,12	42,37	42,57	43,66	45,35
V3	46,36	47,52	48,25	48,35	47,80	46,74	45,46	44,29	43,56	43,46	44,01	45,07
V4	45,45	46,49	47,37	47,86	47,83	47,28	46,36	45,32	44,44	43,95	43,98	44,53
V5	44,66	45,70	46,79	47,65	48,04	47,86	47,16	46,12	45,02	44,16	43,77	43,95

Рис. 3. Сезонная составляющая компонента

3.5 Оценка адекватности, точности и прогнозирование модели

На основе формул (20,21,22,23,24,25,26,27), получены следующие результаты (табл. 8, 9) и построена трендовая модель .

Табл. 8. Оценка адекватности и точности

t	Фактическое	Расчетное	Отклонение	Точки пиков
1	7	13,53	-6,53	-	0,93
2	11	14,32	-3,32	1	0,30
3	14	15,11	-1,11	1	0,08
4	14	15,90	-1,90	1	0,14
…	…	…	…	…	…
97	89	89,37	-0,37	1	0,004
98	94	90,16	3,84	1	0,04
99	98	90,95	7,05	1	0,07
100	100	91,74	8,26	-	0,08
5050	4 788,00	5263,50	-475,50	98	59,32

= 57,14 следовательно неравенство (21) выполняется, свойство случайности ряда остатков подтверждается, модель адекватна, но не точной, т.к. ошибка аппроксимации = 59,32%

Табл. 9. Прогнозирование

Время, t	Шаг, L	Точечный прогноз	Доверительный интервал прогноза
			Нижняя граница	Верхняя граница
101	1	92,53	93,20669	94,28019
102	2	93,32	94,02512	95,09864
103	3	94,11	94,84592	95,91946
104	4	94,9	95,66908	96,74266

Заключение

Имитационное моделирование - метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов.

В результате построения модель имеет вид: , она оказалась адекватной и неточной, т.к. ошибка аппроксимации равна 59,32%. Пик сезонной волны приходится на 3 и 4 месяца, а спад на 9 месяц. Наибольший коэффициент автокорреляции = 0,998624.

Литература

1. Бокс, Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.

2. Ермаков, С.М. Статистическое моделирование: учебное пособие / С.М. Ермаков, Г.А. Михайлов. - М.: Наука.

3. Строгалев В.П., Толкачева И.О. Имитационное моделирование. - МГТУ им. Баумана, 2008.

Размещено на Allbest.ru