Основы статистки

Для измерения влияния только структурных изменения на исследуемый средний показатель исчисляют индекс структурных сдвигов как отношение среднего уровня индексируемого показателя базисного периода, рассчитанного на отчетную структуру, к фактической средней этого показателя в базисном периоде:

,

I стр. = ( x0f1 / f1) : ( x0f0 / f0) = Х ср. / Х ср. 0 (9)

Между индексами переменного, постоянного составов и индексом структурных сдвигов существует следующая взаимосвязь:

Iх ср. = I х * I стр. (10)

Т.е. индекс переменного состава выступает как произведение двух индексов: индекса постоянного состава и индекса структурных сдвигов.

Часто в ходе экономического анализа изменение индексируемых величин изучают не за два, а за ряд последовательных периодов. Следовательно, возникает необходимость построения индексов за ряд последовательных периодов, которые образуют индексные системы.

При построении системы индексов важно решить два важных методологических вопроса:

1) выбор базы сравнения;

2) выбор весов индексов.

Системой индексов называется ряд последовательно построенных индексов. Такие системы характеризуют изменения, происходящие в изучаемом явлении в течение исследуемого периода времени. В зависимости от базы сравнения системы индексов бывают базисными и цепными.

Система базисных индексов - это ряд последовательно вычисленных индексов одного и того же явления с постоянной базой сравнения, т.е. в знаменателе всех индексов находится индексируемая величина базисного периода.

Система цепных индексов - это ряд индексов одного и того же явления, вычисленных с меняющейся от индекса к индексу базой сравнения.

Системы цепных и базисных индексов могут быть построены для индивидуальных и общих индексов.

Системы индивидуальных индексов

Название индивидуального индекса	Система индексов
	Базисных	цепных
Индекс стоимости	p1q1 p2q2 pnqn ------ ; --------; --------; p0q0 p0q0 p0q0	p1q1 p2q2 pnqn -------- ---------- ---------- p0q0 p1q1 pn-1qn-1
Индекс физического объема	q1 q2 qn ----- ---- ------ q0 q0 q0	q1 q 2 q n ------ ------ ------ q0 q1 qn-1
Индекс цен	p1 p2 pn ------- ------- ------ p0 p0 p0	p1 p2 pn ------- -------- -------- p0 p1 pn-1

Пример: Рассмотрим способы вычисления базисных и цепных индексов цен и физического объема на данных таблицы:

Товар	Среднесуточная продажа, кг	Цена за1 кг, руб
	Октябрь	Ноябрь	Декабрь	Октябрь	Ноябрь	Декабрь
А	1200	1000	600	8	10	12
Б	800	300	100	11	15	20

Для изучения изменения цен по месяцам 4 квартала определяются цепные и базисные общие индекс цен.

Среднее изменение цен в ноябре по сравнению с октябрем:

pн qн 10 * 1000 + 15 * 300

I pн/о = -------------- = ----------------------------- = 14500/ 11300 = 1.26 (11)

pо qн 8 * 1000 + 11 * 300

Среднее изменение цен в декабре по сравнению с ноябрем:

 pд qд 12 * 600 + 20 * 100

Ip д/н = ------------ = -------------------------------- = 9200 /7500 = 1,227 ( 12 )

p нqд 10 * 600 + 15 * 100

Среднее изменение цен в декабре по сравнению с октябрем:

pд qд 12 * 600 + 20 * 100

Ip д/o = ------------ = -------------------------------- = 9200 /5900 = 1.56 (13)

p oqд 8* 600 +11 * 100

В системе индексных сопоставлений индексы (11) и (12) образуют цепные индексы цен: ноября по отношению к октябрю (126%) и декабря по отношению к октябрю ( 122,7%). А индексы (11) и (13) образуют базисные индексы цен: ноября по отношению к октябрю (126%) и декабря по отношению к октябрю (156%).

Формирование системы индексов цен и физического объема отличается от уже рассмотренных в этом вопросе. Это связано с тем, что при их построении можно использовать постоянные и переменные веса.

Системой индексов с постоянными весами называется система сводных индексов одного и того же явления, вычисленных с весами, не меняющимися при переходе от одного индекса к другому. Постоянные веса позволяют исключить влияние изменения структуры на величину индекса. Например, система базисных индексов физического объема продукции с постоянными весами ( Р0) имеет следующий вид:

q1p0 q2p0 qnp0

------------- ; ---------------; …… -------------; (14)

q0p0 q0p0 q0p0

а систему цепных индексов с теми же постоянными весами можно представить так:

q1p0 q2p0 qnp0

------------- ; ---------------; ……… ------------- ; (15)

q0p0 q1p0 qn-1p0

Система индексов в переменными весами представляет собой систему сводных индексов одного и того же явления, вычисленных с весами, последовательно меняющимися от одного индекса к другому. Переменные веса - это веса отчетного периода.

Например, система базисных индексов цен с переменными весами следующая:

p1q1 p2q2 pnqn

-------------; ---------------; ………… -----------; (16)

p0q1 p0q2 p0qn

Система цепных индексов цен с переменными весами выглядит так:

p1q1 p2q2 pnqn

------------- ; ---------------; ……. ----------- ; (17)

p0q1 p1q2 pn-1qn

Пример: Для определения индексов с постоянными весами воспользуемся данными таблицы:

Товар	Среднесуточная продажа, кг	Цена за 1 кг в октябре, руб. p0 8	Расчетные графы
	Октябрь Q о	Ноябрь Q н	Декабрь Q д		qо pо	q н pо	qд pо
А	1200	1000	600		9600	8000	4800
Б	800	300	100	11	8800	3300	1100
Итого	-	-	-	-	18400	11300	5900

В расчетных графах для каждого товара определена стоимость продажи по месяцам 4 квартала в ценах октября. По итоговым данным таблицы определим изменение физического объема реализации по месяцам квартала.

Среднее изменение объема реализации в ноябре по сравнению с октябрем:

q н pо

I q н/о = ------------ = 11300 / 18400 =0,6141 или 61,41 % (18)

q о pо

Общее изменение объема реализации в декабре по сравнению с ноябрем:

q д pо

I qд/н = ------------- = 5900 11300 = 0, 5221 или 51,21 % (19)

q н pо

Индексы (18) и (19) образуют цепные индекс физического объема с постоянными

Весами - соизмерителями.

Среднее изменение объема реализации товаров в декабре по сравнению с октябрем:

q д pо

I q д/о = ------------ = 5900 / 18400 = 0,3207 или 32,07 % (20)

qо pо

Индексы (18) и (20) образуют базисные индексы физического объема с постоянными весами - соизмерителями. В них используются веса - соизмерители, взятые на уровне одного и того же базисного периода.

Цепные и базисные индексы с постоянными весами находятся в следующем взаимосвязи: 1)произведение цепных индексов дает базисный индекс (последнего периода);

2)деление последующего базисного индекса на предыдущий базисный индекс дает цепной индекс (последующего периода).

В индексах с переменными весами такой взаимосвязи нет.

Вопросы для проверки

1. Какие индексы называются общими, а какие индивидуальными?

2. Какими способами строятся общие индексы?

3. В чем суть построения агрегатных индексов?

4. Какие индексы называют базисными и какие цепными?

5. В чем суть индексов переменного и постоянного состава?

6. Что представляет собой индекс структурных сдвигов?

Раздел 8. «ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ В СТАТИСТИКЕ»

Тема 8.1 «СПОСОБЫ ФОРМИРОВАНИЯ ВЫБОРОЧНОЙ СОВОКУПНОСТИ»

Выборочным называется такое несплошное наблюдение, при котором признаки регистрируются у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности, отобранных с использованием специальных методов, а полученные в процессе обследования результаты с определенным уровнем вероятности распространяются на всю исходную совокупность.

Вспомним, что помимо выборочного наблюдения несплошное обследование может осуществляться путем монографического описания, методом основного массива или на основе различных видов анкетирования.

Статистическое исследование может осуществляться по данным несплошного наблюдения, основная цель которого состоит в получении характеристик изучаемой совокупности по обследованной её части. Под выборочным понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой её части, на основе положений случайного отбора. Выборочное наблюдение - такое несплошное наблюдение, при котором статистическому обследовании подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным способом. Надежность результатов выборочного исследования гарантирует случайность отбора. Для случайной выборки необходимо, чтобы каждый отдельный элемент совокупности и каждая комбинация отдельных элементов, принадлежащих исходной совокупности, имели одинаковую вероятность попасть в выборку. Выборки, проведенные с нарушением принципа случайности, являются нерепрезентативными, а, следовательно, полученные результаты выборочного обследования приведут к ошибочным выводам.

При выборочном методе обследованию подвергается сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно до 5-10%, реже до 15 - 20%). При этом подлежащая изучению исходная статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью.

Выборочная совокупность (или просто выборка) - это отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергшаяся обследованию.

Значение выборочного метода состоит в том, что при минимальной численности обследуемых единиц проведение исследования осуществляется в более короткие сроки и с минимальными затратами. Часто этот метод является единственно возможным (например, при проверке на соответствие стандартам пакетов с соком или молочной продукцией, которые надо вскрывать).

Преимущества выборочного наблюдения заключаются в существенной экономии различных видов ресурсов:

- финансовых ресурсов, затрачиваемых на сбор и обработку данных, подготовку и оплату труда кадров;

- материально - технических (канцелярские товары, оргтехника, расходные материалы, транспортное обслуживание);

- трудовых ресурсов, привлекаемых к обследованию на всех его этапах;

- времени, затрачиваемого как на получение первичной информации, так и на последующею обработку, вплоть до публикации итоговых материалов.

Главными вопросами теории выборочного исследования являются:

- определение предела случайной ошибки репрезентативности для различных типов выборочных характеристик с учетом особенностей отбора;

определение объема выборки, обеспечивающего необходимую репрезентативность выборочной характеристики, с учетом особенностей отбора.

В процессе проведения выборочного наблюдения статистика выделяет два вида ошибок: регистрации и репрезентативности. Ошибки регистрации могут иметь случайный (непреднамеренный) или систематический характер. Их можно избежать при правильной организации и проведении наблюдения. Ошибки репрезентативности возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную.

Проведение исследования выборочным методом складывается из ряда последовательных этапов:

1. обоснование в соответствии с задачами и целями исследования целесообразности применения выборочного метода;

2. составление рабочей программы проведения стат. исследования выборочным методом;

3. решение организационных вопросов сбора и обработки информации;

4. установление объема выборки, т.е. части подлежащих обследованию единиц генеральной совокупности;

5. обоснование способов отбора единиц из генеральной совокупности;

6. осуществление отбора единиц выборочной совокупности;

7. фиксация в отобранных единицах значений изучаемых признаков;

8. статистическая обработка полученной информации с определением обобщающих характеристик изучаемых признаков;

9. проведение оценки ошибки выборки;

10. распространение обобщающих выборочных характеристик на генеральную совокупность.

По степени охвата единиц совокупности различают большие и малые выборки (n 30).

По виду различают индивидуальный, групповой и комбинированный отбор. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности; при групповом отборе - качественно однородные группы или серии изучаемых единиц; комбинированный отбор предполагает сочетание первого и второго видов.

По методу отбора различают повторную и бесповторную выборки.

При повторной выборке общая численность единиц генеральной совокупности в процессе выборки остается неизменной. Ту или иную единицу, попавшую в выборку, после регистрации снова возвращают в генеральную совокупность, и она сохраняет равную возможность со всеми прочими единицами при повторном отборе вновь попасть в выборку («отбор по схеме возвращенного шара»).

На практике методология повторного отбора обычно используется в тех случаях, когда объем генеральной совокупности не известен (например, при проведении маркетинговых исследований трудно оценить, какое число потребителей предпочитает стиральный порошок конкретной торговой марки, сколько покупателей предпочитает делать покупки именно в данном супермаркете, поэтому один и тот же покупатель может дважды прийти в магазин и дважды подвергнуться обследованию).

При бесповторной выборке единица совокупности, попавшая в выборку, в генеральную совокупность не возвращается и в дальнейшем в выборке не участвует; т.е. последующую выборку делают из генеральной совокупности уже без отобранных ранее единиц («отбор по схеме невозвращенного шара»). Таким образом, при бесповторной выборке, численность единиц генеральной совокупности сокращается в процессе исследования. Такой отбор целесообразен и практически возможен в тех случаях, когда объем генеральной совокупности четко определен. Получаемые при этом результаты, как правило, являются более точными.

Способом отбора определяется конкретный механизм или процедура выборки единиц из генеральной совокупности.

В практике выборочных обследований наибольшее распространение получили следующие виды выборки: собственно-случайная, механическая, типическая, серийная, комбинированная.

К собственно - случайной выборке относится отбор единиц из всей генеральной совокупности (без предварительного расчленения её какие-либо группы) посредством жеребьевки или с помощью таблицы случайных чисел. Например, тиражи выигрышей: из общего количества выпущенных билетов наугад отбирается определенная часть номеров, на которые приходятся выигрыши. Причем всем номерам обеспечивается равная возможность попадания в выборку. При этом количество отобранных в выборочную совокупность единиц, обычно определяется исходя из принятой доли выборки.

Механическая выборка состоит в том, что отбор единиц в выборочную совокупность из генеральной, разбитой по нейтральному признаку на равные интервалы (группы) производится таким образом, что из каждой такой группы в выборку отбирается лишь одна единица. Чтобы избежать систематической ошибки, отбираться должна единица, находящаяся в середине каждой группы.

При организации механического отбора единицы совокупности предварительно располагают (обычно в списке) в определенном порядке (например, по алфавиту, местоположению, в порядке возрастания или убывания значений какого-либо показателя), после чего заданное число единиц механически, через определенный интервал.

Типическая выборка используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько качественно однородных, однотипных групп по признакам, от которых зависят изучаемые показатели. Она применяется для отбора единиц из неоднородной совокупности.

При обследовании предприятий такими группами могут быть, например, отрасль или форма собственности. Затем из каждой типической группы собственно-случайным или механическим способом производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.

Серийная выборка предполагает случайный отбор из генеральной совокупности не отдельных единиц, а их равновеликих групп (гнезд, серий) с тем чтобы, в таких группах подвергать наблюдению все без исключения единицы.

В практике статистических обследований помимо рассмотренных выше способов отбора применяется и их комбинация. Так, например, можно комбинировать типическую и серийную выборки, когда серии отбираются в установленном порядке из нескольких типических групп. Возможна также комбинация серийного и собственно-случайного отбора, при которой единицы отбираются внутри серии в случайном порядке.

Вопросы для проверки

1. Что такое выборочное наблюдение?

2. Какие существуют способы отбора (виды выборки)?

3. От чего зависит точность выборки?

4. Что такое повторная и бесповторная выборки?

Тема 8.2 «МЕТОДЫ ОЦЕНКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫБОРОЧНОГО НАБЛЮДЕНИЯ»

Основные характеристики параметров генеральной и выборочной совокупности обозначаются символами:

N - объем генеральной совокупности (число входящих в неё единиц)

N - объем выборки (число обследованных единиц)

X - генеральная средняя (среднее значение признака в генеральной совокупности)

X - выборочная средняя;

P - генеральная доля (доля единиц, обладающих данным значением признака в общем числе единиц генеральной совокупности)

W - выборочная доля;

- генеральная дисперсия;

S - выборочная дисперсия того же признака;

- среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности;

S - среднее квадратическое отклонение в выборке.

В процессе проведения выборочного наблюдения, как и вообще при анализе данных любого обследования, статистика выделяет два вида ошибок: регистрации и репрезентативности. Ошибки регистрации могут иметь случайный (непреднамеренный) или систематический (тенденциозный) характер. Их можно избежать при правильной организации и проведении наблюдения. Ошибки репрезентативности органически присущи выборочному наблюдению и возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Избежать ошибок репрезентативности нельзя, однако, пользуясь методами теории вероятностей, основанными на использовании предельных теорем закона больших чисел, эти ошибки можно свести к минимальным значениям.

Применяя выборочный метод в статистике, обычно используют два вида обобщающих показателей: среднюю величину количественного признака и относительную величину альтернативного признака (долю или удельный вес единиц в стат. совокупности, которые отличаются от всех других единиц этой совокупности только наличием изучаемого признака).

Выборочная доля w, или частость, определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком к общему числу единиц выборочной совокупности:

w = m / n

Для характеристики надежности выборочных показателей различают среднюю и предельную ошибки.

Ошибка выборки или, иначе говоря, ошибка репрезентативности представляет собой разность соответствующих выборочных и генеральных характеристик:

А) для средней количественного признака:

Ех = | Хср. выб. - Х ср. ген.| (1)

Б) для доли (альтернативного признака)

Ew = | w - p | (2)

Ошибка выборки свойственная только выборочным наблюдениям. Чем больше значение этой ошибки, тем в большей степени выборочные показатели отличаются от соответствующих генеральных показателей.

Выборочная средняя и выборочная доля по своей сути являются случайными величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в выборку. Следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок - среднюю ошибку выборки.

Средняя ошибка выборки зависит от двух факторов:

1) от объема выборочной совокупности: при соблюдении принципа случайного отбора, чем больше численность генеральной совокупности при прочих равных условиях, тем меньше величина средней ошибки выборки.

2) от степени варьирования изучаемого признака (которая характеризуется дисперсий для количественного признака или w(1 -w) для альтернативного признака. Чем меньше вариация признака, а следовательно, и дисперсия, тем меньше средняя ошибка выборки, и наоборот. При нулевой дисперсии (признак не варьирует) средняя ошибка выборки равна нулю, т.е. любая единица выборочной совокупности будет совершенно точно характеризовать всю совокупность по этому признаку.

Зависимость средней ошибки выборки от этих факторов отражена в формулах, с помощью которых можно рассчитать среднюю ошибку выборки в условиях выборочного наблюдения, когда генеральные характеристики (х и р) неизвестны, и следовательно, не представляется возможным нахождение реальной ошибки выборки непосредственно по формулам (1) и (2).

При случайном повторном отборе средние ошибки теоретически рассчитывают по формулам:

А) для средней количественного признака

х = S / n (3)

б) для доли (альтернативного признака)

w ( 1 - w)

w = ------------- (4)

n

При случайном бесповторном отборе в приведенные выше формулы расчета средних ошибок выборки необходимо подкоренное выражение умножить на 1 - (n | N), поскольку в процессе бесповторной выборки сокращается численность единиц генеральной совокупности. Следовательно, для бесповторной выборки расчетные формулы средней ошибки выборки примут вид:

А) для средней количественного признака:

х = S / n * ( 1 - n / N) (5)

б) для доли (альтернативного признака):

w ( 1 - w)

w = ------------- * (1 - n / N) (6)

n

«2»

Конечной целью выборочного наблюдении является характеристика генеральной совокупности на основе выборочных результатов. Выборочные средние и относительные величины распространяют на генеральную совокупность с учетом предела их возможной ошибки.

В каждой конкретной выборке расхождение между выборочной средней и генеральной, т.е. | Х выб. Ср. - Х ген. Ср. | может быть меньше средней ошибки выборки , равно или больше её. Причем каждое их этих расхождений имеет различную вероятность (объективную возможность появления события). Поэтому фактические расхождение между выборочной средней и генеральной можно рассматривать как некую предельную ошибку, связанную со средней ошибкой и гарантируемую с определенной вероятностью ( Р).

При случайном повторном отборе предельную ошибку выборки для средней можно рассчитать по формуле:

Х ср. выр. = t* х = t * s / n (7)

где t - нормированное отклонение - «коэффициент доверия», зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки.

Аналогичным образом может быть записана формула предельной ошибки выборки для доли:

w = t * w ( 1 - w) | n (8)

При случайном бесповторном отборе в формулах расчета предельных ошибок выборки (5) и (6) необходимо умножить подкоренное выражение на 1 - (n / N).

Для выборок достаточно большого объема значения «коэффициента доверия» таковы:

Степень вероятности 0,683 0,950 0,954 0,990 0,997

Коэффициент доверия 1 1,96 2 2,58 3

Предельная ошибка выборки отвечает на вопрос о точности выборки с определенной вероятностью. Так, при t = 1 предельная ошибка составит = . Следовательно с вероятностью 0,683 можно утверждать, что разность между выборочными и генеральными показателями не превысит одной средней ошибки выборки. Другими словами, в 68,3 % случаев ошибка репрезентативности не выйдет за пределы +- 1.

При t = 2 с вероятностью 0,954 она не выйдет за пределы +- 2, при t = 3 с вероятностью 0,997 - за пределы +- 3.

Предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы:

А) для средней Х = Х +- Х

Б) для доли p = w +- w

Это означает, что с заданной вероятностью можно утверждать, что значение генеральной средней следует ожидать в пределах от до

Аналогичным образом может быть записан доверительный интервал генеральной доли:

При проектировании выборочного наблюдения с заранее заданным значением допустимой ошибки выборки очень важно правильно определить численность (объем) выборочной совокупности, которая с определенной вероятностью обеспечит заданную точность результатов наблюдения. Формулы для определения необходимой численности выборки легко получить непосредственно из формул ошибок выборки (предварительно возведя в квадрат обе части равенства:

Повторный случайный отбор:

А) для средней количественного признака

Б) для доли (альтернативного признака)

Бесповторный случайный отбор:

А) для средней

Б) для доли.

Вопросы для проверки

1. Как рассчитать среднюю и предельную ошибки выборки?

2. Как рассчитать необходимую численность выборки, обеспечивающую ту или иную точность выборки?

3. В чем особенность определения ошибок выборки при малой выборки?

Раздел 9. «СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ СВЯЗИ МЕЖДУ ЯВЛЕНИЯМИ»

Тема 9.1 «МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ СВЯЗИ МЕЖДУ ЯВЛЕНИЯМИ»

Исследование объективно существующих связей между явлениями - важнейшая задача общей теории статистики. Причинно-следственные отношения - это связь явлений и процессов, при которой изменение одного из них - причины - ведет к изменению другого - следствия.

Причина - это совокупность условий, обстоятельств, действие которых приводит к появлению следствия. Особенностью причинно-следственных связей в социально-экономических явлениях является их транзитивность, т.е. причина Х и следствие У связаны соотношением Х Х Х У , а не непосредственно Х У. Однако промежуточные факторы, как правильно, опускаются.

Социально- экономические явления представляют собой результат одновременного воздействия большого числа причин. Следовательно, при изучении этих явлений необходимо, абстрагируясь от второстепенных, выявлять главные, основные причины. Процесс изучения взаимосвязей включает три этапа:

1. Качественный анализ изучаемого явления методами экономической теории, социологии, конкретной экономики.

2. Построение модели связи на основе методов статистики: группировок, средних величин, таблиц и т.д.

3. Интерпретация результатов анализа.

Связи между явлениями и их признаками классифицируются по:

- степени тесноты связи;

- направлению

- аналитическому выражению.

В статистике различают функциональную и стохастическую зависимость. Функциональной (жестко детерминированной) называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно и только одно значение результативного признака. Её можно представить уравнением Yi = f(Xi)

Эта связь проявляется во всех случаях наблюдения и для каждой конкретной единицы исследуемой совокупности. Довольно часто функциональная связь проявляется в физике, химии. А в экономике её примером может служить прямая зависимость между оплатой труда и выпуском продукции при простой сдельной оплате. Так, если сдельная расценка за единицу изготовленной продукции составляет 10 руб, то эта связь описывается уравнением У = 10 * Х

Стохастическая связь проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда каждому значению факторного признака соответствует некоторый интервал вероятных значений функции. При этом некоторое увеличение аргумента влечет за собой лишь среднее увеличение или снижение функции, тогда как конкретные значения её величин будут отличаться от среднего. Поскольку значения зависимой переменной подвержены случайному разбросу, они не могут быть предсказаны с достаточной точностью, а только указаны с определенной вероятностью.

Модель стохастической связи может быть представлена уравнением:

Yi = f (xi) + i

Yi - расчетное значение результативного признака;

f (xi) - часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием учтенных известных факторных признаков, находящихся в стохастической связи с признаком;

I - часть результативного признака, возникшая вследствие действия неконтролируемых или неучтенных признаков, неизбежно сопровождающаяся некоторыми случайными ошибками.

Например, в сельском хозяйстве это может быть связь между средней урожайностью и количеством внесенных удобрений. Очевидно, что удобрения участвуют в образовании урожая, но на каждом конкретном поле (участке) одно и то же количество удобрений вызовет разный прирост урожайности, так как во взаимодействие находится еще целый ряд факторов (погода, качество семян, состояние почвы и т.д.), которые и формируют конечный результат.

Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.

По направлению связи бывают прямыми и обратными. При прямой связи с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного. Например, рост производительности труда способствует увеличению уровня рентабельности производства. В случае обратной связи значение результативного признака изменяется под воздействием факторного, но в противоположном направлении. Так, с увеличением уровня фондоотдачи снижается себестоимость единицы производимой продукции. Прямая связь (положительная) - зависимая переменная растет с увеличением факторного признака. Обратная связь (отрицательная) - рост факторного признака вызывает снижение функции.

По своей аналитической форме выражения выделяют связи прямолинейные и нелинейные. Если статистическая связь между явлениями может быть приближенно выражена уравнением прямой линии, то её называют линейной связью; если же она выражается уравнением какой-либо кривой линии (параболы, гиперболы, степенной, показательной), то такую связь называют нелинейной (криволинейной).

По количеству взаимодействующих факторов различают связи парные (два фактора) и множественные (больше двух)

По силе различают слабые и сильные связи, теснота которых определяется специальными критериями.

Для изучения статистических взаимозависимостей применяют различные методы: приведение параллельных данных, аналитических группировок, графический, корреляционных, регрессионный.

Корреляция - это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

Взаимосвязь двух признаков изображается графически с помощью поля корреляции. В системе координат на оси абсцисс откладываются значения факторного признака, а на оси ординат - результативного. Каждое пересечение линий, проводимых через эти оси, обозначаются точкой. При отсутствии тесных связей наблюдается беспорядочное расположение точек на графике. Чем сильнее связь между признаками, тем темнее будут группироваться точки вокруг определенной линии, выражающей форму связи.

Задачи корреляционного анализа:

- измерение тесноты связи между факторами;

- выявление неизвестных причин связей;

- оценка факторов, оказывающих максимальное влияние на результат.

Основная задача корреляционного анализа - количественное измерение тесноты связи между признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи). Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции.

Для того чтобы результаты корреляционного анализа нашли практическое применение и дали желаемый результат, должны выполняться определенные требования:

- однородность исследуемой совокупности;

- достаточность числа наблюдений;

- ограничение числа факторов, вводимых в анализ.

Задачи регрессионного анализа:

- установление формы зависимости;

- определение уравнения регрессии;

- использование этого уравнения для оценки неизвестных значений зависимой переменной.

Традиционные методы корреляции и регрессии широко представлены в пакетах стандартных программ для ЭВМ, но знание принципов такого анализа обязательно для статистического исследования.

По форме зависимости различают:

1) линейную регрессия, которая выражается уравнением прямой вида

Ух = а0 + а1Х

2) нелинейную регрессии., которая выражается уравнением вида:

Ух = А0 + А1Х + А2Х*Х - парабола

Ух = А0 + А1/х - гипербола

Вопросы для проверки

1. Какие этапы включает процесс изучения связи между явлениями?

2. Какие существуют виды зависимости?

3. как классифицируют связи между явлениями?

Тема 9.2 «КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ»

Методы оценки тесноты, или силы, связи подразделяются на параметрические и непараметрические. Первые основы на оценке нормального распределения и применяются, когда изучаемая взаимосвязь априорно подчиняется этому закону. Собственно, параметрические методы и принято называть корреляционными.

Непараметрические методы не накладывают ограничений на закон распределения изучаемых величин, поэтому вычисления здесь проще.

Для ответа на вопрос о наличии или отсутствии корреляционной связи используется ряд специфических методов:

1) элементарные приемы;

2) дисперсионный анализ.

В состав элементарных приемов входят:

1)сопоставление двух параллельных рядов;

2)построение корреляционной таблицы;

3) построение групповой таблицы;

4) графический метод.

Простейшим приемом обнаружение связи является сопоставление двух параллельных рядов - ряда значений факторного признака и соответствующих ему значений результативного признака. При этом значения факторного признака располагают в возрастающем порядке, а затем прослеживают направление изменения величины результативного признака.

Например, по 20 туристическим фирмам были установлены затраты на рекламу (факторный признак) и количество туристов, воспользовавшихся услугами каждой фирмы (результативный признак). В таблице 1. фирмы ранжированы по величине затрат на рекламу:

Таблица 9.2.1

Ранжирование 20 туристических фирм по факторному и результативному признакам

Порядковые номера фирм	Затраты на рекламу, тыс. руб	Количество туристов, человек
1	8	800
2	8	850
3	8	720
4	9	850
5	9	800
6	9	880
7	9	950
8	9	820
10	10	900
11	10	920
11	10	1060
12	10	950
13	10	950
14	11	900
15	11	1200
16	11	1150
17	11	1000
18	12	1200
19	12	1100
20	12	1000

Можно видеть, что в целом для всей совокупности фирм увеличение затрат на рекламу приводит к увеличению количества туристов. Однако, в отдельных случаях такой зависимости не усматривается. Например, сопоставим данные по фирмам № 7 и № 11. Здесь мы видим обратное соотношение: у фирмы 11 количество туристов меньше, чем у фирмы 7 и составляет 920 чел, хотя затраты на рекламу выше. В каждом отдельном случаем количество туристов, воспользовавшихся услугами фирмы, будет зависеть не только от размера затрат на рекламу, но и от того, как сложатся прочие факторы.

Еще одним приемом выявления связи между факторами является составление корреляционной таблицы. Построение корреляционной таблицы начинают с группировки значений факторного и результативного признаков. Так кА в приводимом примере факторный признак представлен всего пятью вариантами повторяющихся значений, достаточно в первом столбце записать эти варианты.

Для результативного признака необходимо определить величину интервала по формуле Стэрджеса:

Y max - Y min 1200 - 720

I = ------------------- = -------------------- = 96 человек

N 5

N = 1 + 3,322 lg 20 = 5

В корреляционной таблице факторный признак Х, как правило располагают в строках, а результативный признак У - в столбцах 9графах). Числа, расположенные на пересечении срок и столбцов таблицы, означают частоту повторения данного сочетания значений Х и У. В целях более четкого выявления основной тенденции связи, можно для каждой строки рассчитать средние значения результативного признака, соответствующие определенному значении признака-фактора.

Так, среднее число туристов для первой группы, состоящей из трех фирм, которые тратят на рекламу 8 тыс. руб в месяц, будет равно 800 человек: (768 * 2 + 865 * 1) /3 = 800

Таблица 9.2.2

Группировка значений факторного и результативного признаков

Центральное значение интервала	768	865	962	1059	1156	Fx	Yj ср.
Группы по Группы У По Х	720 - 816	817 - 913	914 - 1010	1011 - 1107	1108 - 1207
1	2	3	4	5	6	7	8
8	2	1				3	800
9	1	3	1			5	865
10		1	3	1		5	962
11		1	1		2	4	1035
12			1	1	1	3	1059
Fy	3	6	6	2	3	20

Yj ср. - среднее значение результативного признака j-той группы значений факторного признака;

Fx - частота повторения данного варианта факторного признака для всей совокупности;

Fy - частота повторения результативного признака по всей совокупности.

Увеличение средних значений результативного признака с увеличением значений факторного признака еще раз свидетельствует о возможном наличии прямой корреляционной зависимости между Х и У.

Макет заполнения корреляционной таблицы

У Х	У1	У2	Уj	Yn	Итого	Yj ср.
Х1	F11	F12	F1j	F1n	f1j	Y1 ср.
Х2	F21	F22	F2j	F2n	f2j	Y2 ср.
Хi	Fi1	Fi2	Fij	Fin	fij	Yi ср.
Хm	Fm1	Fm2	Fmj	Fmn	fmj	Yn ср.
Итого	Fi1	fi2	fij	fin	-	Y ср.
Х ср.	Х1 ср.	Х2 ср.	Х j ср	Х m ср	Х ср	-

Если частоты расположены в таблице беспорядочно, то можно утверждать, что между факторами связь отсутствует, а если они образуют какой-либо порядок, то между Х и У допустима связь прямая или обратная, если частоты концентрируются около одной из диагоналей. При прямой связи в движении слева направо частоты располагаются вокруг воображаемой диагонали, идущей сверху вниз (из левого верхнего угла в правый нижний угол), а при обратной - вокруг воображаемой диагонали, идущей снизу вверх ( из правого верхнего угла в левый нижний угол).

В итогах корреляционной таблицы по строкам и столбцам приводятся два средних распределения: одно по Х, другое - по У, причем каждое их них рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная величина.

Графическая последовательность точек (Xi Yj ср.) дает эмпирическую линию регрессии, наглядно показывающую зависимость результативной величины У от фактора Х.

Другим возможным приемом обнаружения связи является построение групповой таблицы. Все наблюдения разбиваются на группы в зависимости от величины признака-фактора, и по каждой группе вычисляются средние значения результативного признака:

Таблица 9.2.3

Группы туристических фирм по затратам на рекламу (тыс. руб)	Число фирм в группе	Среднее число туристов, воспользовавшихся услугами данной группы фирм (человек)
1	2	3
8	3	790
9	5	860
10	5	966
11	4	1063
12	3	1100
Итого	20

Примечание: различие в величине среднего числа туристов каждой группы, вычисленных в корреляционной и групповой таблицах, объясняется тем, что при расчете средних в корреляционной таблице действительные значения результативного признака заменяются центральными значениями интервалов группировки.

Для предварительного выявления наличия связи и раскрытия её характера применяется также графический метод - точечный график, называемым «полем корреляции» . Если изобразить в этой же системе координат значения среднего числа туристов и соединить их отрезками, то мы получим эмпирическую линию связи, по виду которой можно определить какова эта связь - прямолинейная или криволинейная.

По существу, и таблица, и поле корреляции, и линия предварительно уже характеризуют взаимосвязь, но для количественной оценки её тесноты используется линейный коэффициент корреляции, предложенный английским ученым К.Пирсоном и определяемый по формуле:

XY - (X*Y) |n

r = -------------------------------------------------------------------- (1)

[X*X - (X * X) | n] [ Y*Y - (Y * Y) |n]

Существуют и другие формулы коэффициента корреляции, которые выглядят проще, но вычисления по ним сложнее и требуют предварительного расчета среднеквадратических отклонений Х и У:

(xi - x ср) ( Yi - Yср)

r = ------------------------------ (2)

n * x * y

При использовании формулы (1) отпадает необходимость вычисления отклонения индивидуальных значений признаков от средней величины, что исключает ошибку в расчетах при округлении средних величин.

Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от -1 до +1. Чем ближе этот коэффициент по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак линейного коэффициента корреляции указывает на направление связи: прямой зависимости соответствует знак «+», обратной - знак «-».

По данным таблицы 1 рассчитаем линейный коэффициент корреляции: r=0,8105

Связь считается слабой при |r| 0,3, заметной при |r| = 0,3 - 0.5, умеренной при |r|= 0,5 - 0,7 и сильной при |r| 0,7. При |r| = 1 связь функциональная.

Квадрат коэффициента корреляции носит название коэффициента детерминации.

Для рассматриваемого примера его величина равна 0,6569, а это означает, что 65,69% вариации числа клиентов, воспользовавшимися услугами фирмы, объясняется вариацией затрат фирм на рекламу своих услуг.

В дополнение к найдено величине коэффициента корреляции рекомендуется проверить её значение с помощью критерия Стьюдента, расчетное значение которого определяется по формуле:

n-2

Sp = r * .-------------

1 - r*r

Полученное значение сравнивается с табличным значением St распределения Стьюдента при уровне значимости 0,05 или 0,01 и числе степеней свободы (n-2). При выполнении условия Sp St найденный коэффициент корреляции признается достаточно значимым.

По таблице t-критерия Стьюдента для числа степеней свободы К = n-2 = 18 и уровня значимости 0,01 (или 1%) находим, что t = 2,878. Таким образом, лишь с вероятностью меньше 1 % можно утверждать, что величина t=5,872 могла появиться в силу случайностей выборки. Такое событие является маловероятным, а поэтому можно считать с вероятностью 99%, что в генеральной совокупности действительно существует прямая зависимость между изучаемыми признаками.

Коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тестоны связи лишь в случае наличия линейной зависимости между признаками.

При наличии же криволинейной зависимости целесообразно использовать в качестве показателя тесноты связи эмпирическое корреляционное отношение, предложенное К.Пирсоном. Его расчет основан на использовании известной теоремы сложения дисперсий : общая дисперсия результативного признака является суммой двух составляющих: межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий. Межгрупповая дисперсия характеризует ту часть колеблемости результативного признака, которая складывается под влиянием изменения признака-фактора, положенного в основу группировки. Отношение межгрупповой дисперсии к общей дисперсии - это эмпирический коэффициент детерминации, о корень квадратный из данного показателя - эмпирическое корреляционное отношение.

Составим таблицу 9.2.4 для расчета межгрупповой дисперсии У:

Группы туристических фирм по затратам на рекламу, тыс. руб	Число фирм в группе	Среднее количество туристов, воспользовавшихся услугами данной группы фирм, человек	2 (Yi ср - Y0ср. )* nj
1	2	3	4
8	3	790,0	79218,75
9	5	860,0	42781,25
10	5	966,0	911,25
11	4	1062,5	48400,00
12	3	1100,0	62268,75
Итого	20	952,5	236580,00

Межгрупповая дисперсия составит: 236580 / 20 = 11829

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками - результативным и факторным. Аналитическая связь между ними описывается следующими уравнениями

Прямой Yx = a0 + a1*x

гиперболы Yx = A0 + A1|x

параболы Yx = A0 + A1*x + A2 * X * X

Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графически. Однако существуют более общие указания:

1)если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то это свидетельствует о линейной связи между ними, а при обратной связи - гиперболическая.

2)если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный - значительно быстрее, то используется связь параболическая или степенная.

Оценка параметров уравнения регрессии (а0,А1,а2 в уравнении параболы второго порядка) осуществляется методом наименьших квадратов. Сущность метода наименьших квадратов состоит в нахождении параметров модели (А0,А1) при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии: 2

S = (Y - Yx) min

Для нахождения параметров линейной регрессии система нормальных уравнений имеет вид:

n*A0 + A1x = Y

A0 X + A1 X*X = X*Y

n - объем исследуемой совокупности.

В уравнении регрессии параметр Ф0 показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов; параметр

А1 ( а в уравнении параболы и А2) - коэффициент регрессии, который показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного значения.

Например, Х - стоимость оборудования. У - производительность труда. Уравнение зависимости между этими переменными имеет вид: У = 12,14 + 0.208 * Х , то

А1= 0,208 означает, что увеличение стоимости оборудования на 1 тыс. руб ведет в среднем к росту производительности труда на 0,208 тыс. руб.

Метод наименьших квадратов обладает замечательным свойством: делает число нормальных уравнения равным числу неизвестных коэффициентов. Так, уравнение параболы второго порядка имеет три неизвестных коэффициента: А0, А1 и А2.

Система нормальных уравнений примет вид:

nA0 + A1x + A2X*X = Y

A0X + A1X*X + A2 X*X*X = X*Y

A0 X*X + A1 X*X*X + A2 X*X*X*X = Y * X * X

Система нормальных уравнений для нахождения параметров гиперболы можно представить следующим образом:

NA0 + A1 1|x = Y

A0 1|x + A1 1 | X*X = Y|X

Парная корреляция и регрессия могут рассматриваться как частный случай множественной, когда требуется оценить связь всего множества независимых факторов с зависимой переменной У. Прежде всего надо установит набор независимых факторов Х, включаемых в уравнение регрессии, что делается на основе теоретических положений. На практике они подкрепляются коэффициентами парной корреляции, отобрать наиболее значимые из которых можно с помощью ЭВМ, решая попутно вопрос о форме уравнения регрессии.

Этот традиционных прием, называемый пошаговой регрессией, позволяет достичь приемлемых результатов, если не противоречит теоретическим предпосылкам. Параметры уравнения множественной регрессии, как правило, находятся методом наименьших квадратов.

Одним из этапов анализа взаимосвязей является проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии. Она осуществляется путем расчета F-критерия и величины средней ошибки аппроксимации . Значение средней ошибки аппроксимации не должно превышать 12 - 15 %.

Наиболее сложным этапом, завершающим регрессионный анализ, является интерпретация уравнения, т.е. перевод его с языка статистики и математики на язык экономики.

Вопросы для проверки

1. В чем сущность корреляционной связи между показателями?

2. Какие существуют показатели измерения тесноты зависимости?

3. Какие существуют формы линейного коэффициента корреляции?

4. Определите понятие множественной корреляции.

5. Как определяются параметры уравнения регрессии при линейной зависимости (на основе метода наименьших квадратов)?

ГЛОССАРИЙ

1. Аналитическая группировка - характеризует взаимосвязь между двумя и более признаками, из которых один рассматривается как результат, другой (другие) - как фактор (факторы).

2. Аналитическое выравнивание - выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду динамики, одновременно освободила его от незначительных колебаний.

3. Вариация - колеблемость, изменение значений признака в статистической совокупности.

4. Вариант признака - возможное значение признака у единицы статистической совокупности.

5. Группировка - разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку.

6. Динамика - процесс развития, движения социально-экономических явлений во времени.

7. Индекс - относительный статистический показатель, характеризующий соотношение во времени или в пространстве социально-экономических явлений.

8. Медиана - значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

9. Механическое выравнивание - выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней.

10. Мода - значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности.

11. Ошибки регистрации - образуются вследствие неправильного установления фактов в процессе наблюдения или ошибочной их записи, или того и другого вместе.

12. Ошибки репрезентативности - возникают в результате того, что состав отобранной для обследования части единиц совокупности недостаточно полно отображает состав всей изучаемой совокупности, хотя регистрация сведений по каждой отобранной для обследования единице была проведена точно.

13. Признак - характеристика единицы совокупности, которая может быть определена и измерена.

14. Признак альтернативный - признак, имеющий только два варианта значений.

15. Признаки атрибутивные - признаки варианты, которые выражаются в виде понятий или наименований.

16. Признаки количественные - признаки варианты, которые имеют количественное выражение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1 Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. и др. Общая теория статистики: Учебник. М.: Инфра-М, 2005.

2 Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории статистики: Учебное пособие. - М.: Финансы и статистика, 2005.

3 Статистика: Учебное пособие /под ред. проф. М.Р. Ефимовой. - М.: ИНФРА-М, 2006.

4 Методологические положения по статистике (выпуски 1, 2, 3) - М.: Госкомстат РФ, 2000 - 2008 гг.

5 Российский статистический ежегодник - М.: Госкомстат РФ.

Дополнительная

6 Теория статистики: Учебник/ под ред. проф. Г.Л. Громыко. - М.: ИНФРА - М., 2006.

7 Шмойлова Р.А. Общая теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2009.

8 Статистический словарь. - М.: Финансы и статистика, 2000.

Вопросы к дифференцированному зачету по дисциплине «Статистика»

для специальности 080110.51; 080110.52 Экономика и бухгалтерский учет (в промышленности)

1. Понятие и задачи статистики

2. Этапы становления статистической науки

3. Понятие и признаки вариации. Статистическая совокупность

4. Предмет и метод статистики

5. Основные разделы статистической науки

6. Роль статистики на современном этапе развития

7. Основные категории статистики

8. Организация государственной статистики в РФ

9. Основные этапы статистических исследований

10. Статистическое наблюдение - первичный этап статистического исследования

11. Программно - организационные вопросы статистического наблюдения

12. Формы, виды статистического наблюдения

13.Способы статистического наблюдения

14.Статистическая сводка данных

15.Основное содержание и задачи статистической сводки

16. Статистическая группировка

17. Виды группировок

18. Принципы построения группировок

19. Виды интервалов, показатели границ интервалов, порядок образования групп

20. Статистические ряды распределения

21. Виды и элементы рядов распределения

22. Графическое изображение рядов распределения

23. Статистические таблицы, их элементы

24. Статистические графики

25. Статистические показатели, их виды

26. Абсолютные статистические показатели (величины), единицы их измерения

27. Относительные статистические величины, единицы их изменения

28. Виды относительных показателей, их взаимосвязь

29. Порядок расчета относительных статистических величин

30. Сущность и значение средних величин

31. Виды и характеристики средних величин

32. Степенные средние величины и порядок их расчета

33. Структурные средние величины, порядок их вычисления

34. Показатели вариации, их виды и исчисление

35. Понятие и виды рядов динамики

36. Сопоставимость уровней и смыкание рядов динамики

37. Показатели изменения уровней рядов динамики

38. Выявление и характеристика основной тенденции развития в ряде динамики

39. Статистическое прогнозирование социально-экономических явлений

40. Понятие и характеристика индексов

41. Виды индексов

42. Индивидуальные индексы

43. Сводные индексы в агрегатной форме