Основы статистки

Поэтому нельзя ограничиться вычислением одной средней величины. Надо изучать и отклонения от неё, поскольку именно в отклонениях виден весь процесс явления в его диалектическом развитии.

Пример: рассмотрим данные о распределении стажа работы сотрудников в двух филиалах фирмы:

Стаж работы сотрудников фирмы

Номер работника	Стаж работы, лет
	Филиал № 1	Филиал № 2
1	1	6
2	2	6
3	3	7
4	3	7
5	4	7
6	9	7
7	10	8
8	12	8
9	13	8
10	15	8
Итого	72	72
Средний стаж работы, лет	Х1 = 72/10 = 7.2	Х2 = 72 / 10 = 7,2

статистика наблюдение группировка распределение

Данные этого примера показывают, что во втором филиале стаж работников близок к средней величине, в то время как в первом филиале нет даже работников, имеющих стаж от 5 до 8 лет. Значит, значение средней величины не типично для первого филиала, а во втором филиале вариация стажа значительно меньше.

Для вариационного ряда распределения важно изучить степень сплоченности всех отдельных значений признака вокруг его среднего значения, степень разбросанности этих значений, степень колеблемости их. Для этого в теории статистики используются показатели вариации, которые делятся на две группы - абсолютные и относительные.

К абсолютным показателям вариации относятся:

- размах вариации;

- среднее линейное отклонение;

- дисперсия;

- среднее квадратическое отклонение.

К относительным показателя вариации, которые рассчитываются как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (или медиане) относятся:

- коэффициент осцилляции;

- коэффициент вариации;

- относительное линейное отклонение.

Размах вариации (амплитуда колебаний) показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака. Размах рассчитывают как разность между максимальным и минимальным значениями варьирующего признака:

R = X max - X min

Боле точной характеристикой вариации являются отклонения каждого из вариантов от средней величины.

Средняя применяется в качестве своего рода центра тяжести, вокруг которого происходят колебания, рассеяние значений признака.

Среднее линейное отклонение (d ср) вычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант Хi и Х (простая формула) или взвешенная (в зависимости от исходных условий):

n

Xi - X

i = 1

D = ---------------- (простоя формула)

n

k

Xi - X *fi

i = 1

D = ----------------------- (взвешенная формула)

k

Покажем расчет среднего линейного отклонения по данным таблицы:

Обеспеченность населения города общей жилой площадью

Группы населения по размеру общей жилой площади на одного члена семьи. кв.м. Xi	Число семей, % к итогу Fi	Середина интервала Xi ср.	Xi ср * fi	Xi ср - x	Xi ср - x *f
А	1	2	3	4	5
До 10	30	9	270	3,06	91,8
10 - 12	25	11	275	1,06	26,5
12 - 14	26	13	338	0,94	24,4
14 - 16	9	15	135	2,94	26.5
16 - 18	4	17	68	4,94	19,8
18 - 20	3	19	57	6,94	20,8
Свыше 20	3	21	63	8,94	26,8
Итого	100,0	-	1206	-	236,6

Алгоритм расчета среднего линейного отклонения следующий:

1. Найдем середину интервала по исходным данным и запишем в таблицу (графа 2)

2. Определим произведения значений середины интервала на соответствующие им веса (графа 3). В итоге получим 1206. Рассчитаем среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной

3. Для расчета линейного отклонения найдем абсолютные отклонения середины интервалов, принятых нами в качестве вариантов признака от средней величины (графа 4)

4. Наконец, вычислим произведения отклонений на их веса, подсчитаем сумму их произведений (графа 5). Она равна 236,6

5. Делим эту сумму на сумму весов, чтобы получить искомую величину D ср.

D ср. = 236,6 / 100 = 2,366 кв.м.

Среднее линейное отклонение имеет ту же размерность, что и признак, для которого оно исчисляется.

Таково в среднем отклонение вариантов признака от их средней величины. Это отклонение по сравнению со средней величиной признака небольшое, что свидетельствует об однородности совокупности.

Среднее линейное отклонение сравнительно редко применяется для оценки вариации признака, обычно вычисляется дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины и в зависимости от исходных данных вычисляется по формулам простой дисперсии или взвешенной:

n 2

( Xi - X)

2 i = 1

= ---------------- (простая формула)

n

k 2

( Xi - X) *fi

2 i = 1

= ----------------------- (взвешенная формула)

k

fi

i = 1

Математические свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину «А» не меняет величины дисперсии.

3. Уменьшение всех значений признака в «К» раз уменьшает дисперсию в К раз, а среднее квадратическое отклонение - в «К» раз.

4. Дисперсия от средней всегда меньше дисперсий, исчисленных от любых других величин , т.е. она имеет свойство минимальности.

На приведенных свойствах дисперсии основан метод расчета дисперсии по способу моментов, или способу отсчета от условного нуля.

Среднее квадратическое отклонение () равно корню квардратному из дисперсии. Оно может простым или взвешенным.

Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения. Они выражаются в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, рублях)

В зарубежной литературе используется показатель нормированное (стандартизированное) отклонение.

По свойству мажорантности средних величин средне квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. Если распределение признака близко к нормальному или симметричному распределению, то между и dср существует взаимосвязь:

dср.= 0,8 или = 1,25 dср

Среднее квадратическое отклонение играет важную роль в анализе вариационных рядов распределения. В условиях нормального распределения существует следующая взаимосвязь между величиной и количеством наблюдений:

1) в пределах Хср. +- 1 располагается 0,Ю683 или 68.3 % количества наблюдений;

2) в пределах Хср +- 2 - 0,954 или 95,4 % наблюдений;

3) в пределах Хср +- 3 - 0,997 или 99,7 % количества наблюдений

На практике почти не встречаются отклонения, которые превышают +- 3. Отклонение 3 может считаться максимально возможным. Это положение называют правилом трех сигм.

Относительные показатели вариации используются для двух целей:

1) сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности; 2) же для сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях.

Базой для сравнения должна служить средняя арифметическая . Чаще всего они выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оценку вариации. Но ис дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Используя в качества абсолютного показателя размах вариации, среднее линейное и среднее квадратическое отклонение, получим следующие относительные показатели вариации:

Коэффициент осцилляции (относительный размах вариации)

К r = R / Хср * 100 %

Относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации)

К d = D / Х ср * 100 %

Коэффициент вариации (относительное квадратическое отклонение)

К = / Хср. * 100 % или V = Хср. * 100 %

Наиболее часто применяется коэффициент вариации, который абстрагирует различие абсолютных величин и дает возможность сравнивать степень вариации различных признаков, разных совокупностей.

Чем больше коэффициент вариации, тем менее однородна совокупность и тем менее типична средняя, тем менее она характеризует изучаемое явление. И наоборот, чем коэффициент вариации меньше, тем однороднее совокупность, тем точнее средняя отображает значения варьирующего признака, для которого она вычислена.

Рассмотрим расчет показателей вариации по данным о распределении работников двух фирм по тарифным разрядам.

Распределение работников фирмы «А» по тарифному разряду

Тарифный разряд Хi	Число работников, чел fi	fi * Хi	Хi - X ср	(Хi - X ср)2	(Хi - X ср)2* fi
12	1	12	-3	9	9
13	5	65	- 2	4	20
14	30	420	-1	1	3-
15	60	900	0	0	0
16	30	480	1	1	30
17	5	85	2	4	20
18	1	18	3	9	9
Итого	132	1980	-	-	118

Распределение работников фирмы «Б» по тарифному разряду

Тарифный разряд Хi	Число работников, чел fi	fi * Хi	Хi - X ср	(Хi - X ср)2	(Хi - X ср)2* fi
12	30	360	-3	9	270
13	20	260	-2	4	80
14	10	140	-1	1	10
15	50	750	0	0	0
16	10	160	1	1	10
17	20	340	2	4	80
18	30	540	3	9	270
Итого	170	2550	-	-	720

Фирма «А»:

2

Х1 ср. = 1980 / 132 = 15 разряд = 119/132 = 0,89 = 0,94 разряда

Фирма «Б»

2

Х2 ср.= 2550 /170 = 15 разряд = 720/170 = 4,23 = 2,06 разряда

Коэффициенты вариации составят:

Для фирмы «А» V = 0,94 / 15 * 100 % = 6,27 %

Для фирмы «Б» V = 2,06 / 15 * 100 % = 13,73 %

На основе полученных коэффициентов можно сделать вывод что по тарифному разряду совокупность рабочих фирмы «А» и фирмы «Б» являются однородными. Однако вариации и тарифного разряда в фирме «Б» несколько выше, чем вариация в фирме «А». В фирме «А» тарифный разряд работников отклонялся от средней величины (15 разряд) на 0,94 разряда в ту и иную сторону или на 6.27%. А в фирме «№Б» отклонение тарифного разряда составляло в среднем +- 2,06 или +- 13,73 %.

Формулы для расчета дисперсии:

Дисперсию можно определить как разность между средним квадратом вариантов признака и квадратом их средней величины:

2 2 2

= Ср. Х - Х ср.,

2

2 Х i*fi

где Ср. Х = ------------ - средний квадрат вариантов признака

fi

2

Х ср. = Х ср. *Х ср - квадрат средней величины вариантов признака

Вопросы для проверки

1. Чем вызвана необходимость изучения вариации признака?

2. Каковы основные показатели вариации?

3. Какими способами рассчитываются дисперсия и среднее квадратическое отклонение?

4. Что такое коэффициент вариации?

5. Что представляют собой правила сложения дисперсий?

Тема 5.4 «СТРУКТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ»

При массовых наблюдениях можно заметить определенную зависимость между изменением значений признака и частотами их встречаемости в ряду распределения. Это свидетельствует о том, что частоты в вариационных рядах изменяются закономерно с изменением вариационного признака. Такие закономерности изменения частот в вариационных рядах называют закономерностями распределения. Большое значение для нахождения закономерностей распределения имеет правильное построение самого вариационного ряда.

Основная задача анализа вариационных рядов -- выявление подлинной закономерности распределения путем исключения влияния второстепенных, случайных факторов. Этого достигают увеличением объема исследуемой совокупности при одновременном уменьшении интервала ряда.

Из математической статистики известно, что если увеличить объем совокупности и уменьшить интервал группировки, изобразить эти данные графически, то полигон (гистограмма) распределения все более приближается к плавной линии, являющейся для них пределом и носящей название кривой распределения. Получение кривой распределения на основе полигона или гистограммы можно представить лишь для гипотетического случая, соответствующего бесконечно большому числу единиц совокупности и бесконечно малой ширине интервала ряда.

Только при этих идеализированных условиях кривая распределения будет выражать функциональную связь между значениями варьирующего признака и соответствующими им частотами и представлять так называемое теоретическое распределение.

Различают следующие разновидности кривых распределения:

одновершинные кривые -- симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные;

многовершинные кривые.

Для однородных совокупностей характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Для симметричных (нормальных) распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для таких распределений средняя арифметическая, мода и медиана равны: хср. = Mo = Me.

При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляют относительный показатель асимметрии.

Коэффициент асимметрии вычисляют по формулам:

KAs = (хср - Mo) / у;

или KAs = (хср - Mе) / у.

Его величина может быть положительной и отрицательной. Если KAs > 0, наблюдается правосторонняя асимметрия (рис. 5.4.1).

Если KAs < 0 -- это левосторонняя асимметрия (рис. 5.4.2).

Принято считать: если коэффициент асимметрии выше 0,5 (независимо от знака), то асимметрия значительная, если он меньше 0,25, то - незначительная.

Наиболее широко применяют для расчета коэффициента отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе:

KAs = М3 / у3

Оценку асимметрии проводят на основе коэффициента асимметрии и средней квадратической ошибки, которая зависит от числа наблюдений п, и рассчитывают по формуле:

уAs = 6(n-1) / (n+1)*(n+3)

В случае |KAs| / уAs > 3 асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае

|KAs| / уAs < 3 асимметрия не существенна и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.

5.4.1 Правосторонняя асимметрия Рис. 5.4..2. Левосторонняя асимметрия

Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса (Ek). Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента четвертого порядка:

М4 = У (хi - xср.)4 / n;

Ек = (М4 / у4) - 3

В нормальном распределении Ек = 0.

Среднеквадратическую ошибку эксцесса (уЕк) рассчитывают по формуле

 _____________________________

уЕк = v(24n(n-2)(n-3)) / ((n-1)2(n+3)(n+5))

где п -- число наблюдений.

Эти показатели позволяют сделать вывод о возможности применения данного эмпирического распределения к типу кривых нормального распределения.

Вопросы для проверки

1. Что представляет собой закономерность распределения?

2. Какие существуют разновидности кривых распределения?

3. Для чего применяется коэффициент асимметрии?

Раздел 6. «РЯДЫ ДИНАМИКИ В СТАТИСТИКЕ»

Тема 6.1 «ВИДЫ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА РЯДОВ ДИНАМИКИ»

Динамика - процесс развития, движения социально-экономических явлений во времени.

Ряды динамики - последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления.

Основные элементы рядов динамики:

1) показатель времени - (определенные даты времени или отдельные периоды);

2) уровни развития изучаемого явления - у.

Уровень рядов динамики - уровень, отражающий количественную оценку развития во времени изучаемого явления.

Способы выражения уровней рядов динамики:

1) абсолютные величины;

2) относительные величины;

3) средние величины.

Классификация рядов динамики в зависимости от характера изучаемого явления:

1) моментные ряды;

2) интервальные ряды.

Моментные ряды динамики - ряды, отображающие состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Суммирование уровней моментного ряда динамики не имеет смысла, так как одни и те же единицы совокупности обычно входят в состав нескольких уровней.

Интервальные ряды динамики - ряды, отображающие итоги развития изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени. В интервальном ряду динамики уровни за примыкающие друг к другу периоды времени можно суммировать, получая итоги (уровни) за более продолжительные периоды.

Полный ряд динамики - ряд, в котором одноименные моменты времени или периоды времени строго следуют один за другим в календарном порядке.

Неполный ряд динамики - это ряд, в котором уровни зафиксированы в неравностоящие моменты.

Основные случаи несопоставимости рядов динамики:

1) территориальные изменения объекта исследования, к которому относится изучаемый показатель;

2) разновеликие интервалы времени, к которым относится показатель;

3) изменение даты учета;

4) изменение методологии учета или расчета показателя;

5) изменение цен;

6) изменение единиц измерения.

На сопоставимость уровней ряда динамики непосредственно влияет методология учета или расчета показателей.

Периодизации динамики - процесс выделения однородных этапов развития.

Характеристика рядов динамики в зависимости от расстояния между уровнями:

1) с равностоящими уровнями;

2) с неравностоящими уровнями во времени.

Равностоящие ряды динамики - ряды динамики

одинаковых периодов, или следующих через равные промежутки времени показателей.

Неравностоящие ряды динамики - ряды с неровными периодами или неравномерными промежутками между датами.

Основное условие правильного построения ряда динамики - сопоставимость всех входящих в него уровней.

Смыкание рядов динамики - объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или разным территориальным границам.

Условия смыкания рядов: необходимо, чтобы по одному из периодов (переходному) имелись данные, исчисленные по разной методологии (или в разных границах).

Задачи, возникающие при изучении динамических рядов:

1) характеристика интенсивности отдельных изменений в уровнях ряда от периода к периоду или от даты к дате;

2) определение средних показателей временного ряда за тот или иной период;

3) выявление основных закономерностей динамики исследуемого явления на отдельных этапах и в целом за рассматриваемый период;

4) выявление факторов, обусловливающих изменение изучаемого объекта во времени;

5) прогноз развития явления на будущее.

Эти задачи решаются с помощью показателей изменения уровней ряда динамики.

Способы сопоставления уровней ряда:

1) каждый уровень динамического ряда сравнивается с одним и тем же предшествующим уровнем, где базисный уровень - начальный уровень динамического ряда или уровень, с которого начинается какой-то новый этап развития - это сравнение с постоянной базой. Полученные при этом показатели называются базисными;

2) каждый уровень динамического ряда сравнивается с непосредственно ему предшествующим - это сравнение с переменной базой. Полученные при этом показатели называются цепными.

Показатели динамики с постоянной базой (базисные показатели) - это показатели окончательного результата всех изменений в уровнях ряда от периода, к которому относится базисный уровень, до назначенного (/-того) периода.

Показатели динамики с переменной базой (цепные показатели) - это показатели интенсивности изменения уровня от периода к периоду (или от даты к дате) в пределах изучаемого промежутка времени.

Абсолютный прирост (Дi) - это разность между двумя уровнями динамического ряда, которая показывает, насколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения.

Формула расчета базисного абсолютного прироста:

Дi= уi - у0 ,

где Дi -абсолютный прирост;

уi - уровень сравниваемого периода;

у0 - уровень базисного периода.

Формула расчета цепного абсолютного прироста:

Дi= уi - уi-1 ,

где уi-1 -- уровень предшествующего периода.

Если уровень уменьшился по сравнению с базисным, то Д<0. В этом случае абсолютный прирост характеризует абсолютное уменьшение (сокращение) уровня.

Абсолютная скорость роста (снижения) уровня - абсолютный прирост за единицу времени с переменной базой.

Абсолютное ускорение - разность между абсолютным приростом за данный период и абсолютным приростом за предыдущий период одинаковой длительности:

Дi `=Дi - Дi-1

Абсолютное ускорение может быть:

1) положительное число;

2) отрицательное число.

Абсолютное ускорение показывает, насколько увеличилась (уменьшилась) скорость изменения показателя. Показатель ускорения применяется для цепных абсолютных приростов. Отрицательная величина ускорения говорит о замедлении роста или об ускорении снижения уровней ряда.

Абсолютные приросты для любых рядов динамики являются интервальными показателями, т. е. характеризуют тот или иной промежуток (интервал) времени.

Коэффициент роста (темп роста) - это отношение двух сравниваемых уровней, которое показывает, во сколько раз данный уровень превышает уровень базисного периода. Отражает интенсивность изменения уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз увеличился уровень по сравнению с базисным, а в случае уменьшения - какую часть базисного уровня составляет сравниваемый уровень.

Формула расчета коэффициента роста:

при сравнении с постоянной базой: Кi = уi / у0,

при сравнении с переменной базой: Кi = уi/ Уi-1

Темп роста - это коэффициент роста, выраженный в процентах:

Тp= К * 100 %.

Темпы роста для любых рядов динамики являются интервальными показателями, т.е. характеризуют тот или иной промежуток (интервал) времени.

Темп прироста - относительная величина прироста, т. е. отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню. Характеризует, на сколько процентов уровень данного периода больше (или меньше) базисного уровня.

Темп прироста - отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения:

Tпр=yi - yi-1/yi-1 или Tф =y-yi / yi *100%

Темп прироста - разность между темпом роста (в процентах) и 100 %:

Tлр = Tр - 100 %.

Особенности расчетов:

1) при анализе относительных показателей динамики (темпов роста и темпов прироста) не следует рассматривать их изолированно от абсолютных показателей (уровней ряда и абсолютных приростов);

2) сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же периоды времени показывает, что замедление темпов прироста не всегда сопровождается уменьшением абсолютных приростов; 3) темп прироста рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста.

Абсолютное значение (содержание) 1 % (одного процента) прироста - результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста:

A=Д/Tпр

Эта величина показывает, сколько в абсолютном выражении дает каждый процент прироста.

Все относительные показатели динамики характеризуют интенсивность процесса роста (снижения) уровня.

Коэффициент абсолютного опережения - отношение абсолютных приростов за одинаковые отрезки времени или по двум динамическим рядам. Показывает, во сколько раз абсолютный прирост одного явления больше, чем прирост другого явления:

Кабс.опер.= Д' / Д'',

где Д' и Д'' - абсолютные приросты сравниваемых динамических рядов.

Коэффициент относительного опережения - это отношение темпов роста или темпов прироста за одинаковые отрезки времени по двум динамическим рядам:

Кабс.опер.= Тр' / Тр'',

где Tp' и Tp'' - темпы роста и темпы прироста сравниваемых динамических рядов. Сравнение проводят путем деления большего из них на меньший. При этом сравниваемые темпы должны характеризовать одинаковую по направлению тенденцию.

Средний абсолютный прирост (или средняя скорость роста) - средняя арифметическая из показателей скорости роста за отдельные промежутки времени.

Формула расчета среднего абсолютного прироста:

Дц=УДi/n-1,

где л - число уровней ряда;

Дi - абсолютные изменения по сравнению

с предшествующим уровнем. Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличивался или уменьшался уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени. Характеризует среднюю абсолютную скорость роста (или снижения) уровня, является интервальным показателем. Вычисляя средний абсолютный прирост, указывают:

1) за какой календарный период исчислен средний прирост;

2) в расчете на какую единицу времени он исчислен.

Средний коэффициент роста - показатель, вычисляемый по формуле средней геометрической из показателей коэффициентов роста за отдельные

периоды: К = - коэффициенты роста по сравнению с уровнем предшествующего периода; n - число уровней ряда.

Средний темп роста - средний коэффициент роста, выраженный в процентах:

Т = К*100 %,

где К -средний годовой коэффициент роста.

Средний темп прироста (или снижения), выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов увеличивался (или снижался) уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени. Средний темп прироста характеризует среднюю интенсивность роста.

Метод расчета среднего уровня ряда динамики зависит от характера показателя, лежащего в основе ряда, т. е. от вида временного ряда:

1) средний уровень интервального ряда динамики абсолютных величин с равностоящими уровнями рассчитывается по формуле простой средней арифметической:

у = Уy/n,

где п - число фактических уровней за последовательные равные отрезки времени;

2) средний уровень интервального ряда с разностоящими уровнями исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

у = Уyt/Уt,

где t - число периодов времени, в течение которых уровень не изменялся;

3) средний уровень моментного ряда с равностоящими уровнями исчисляется по формуле средней хронологической:

Y= 1/2y+y2+y3+…+1/2y0

n-1

4) средний уровень моментного ряда с разностоящими уровнями исчисляется по формуле:

Y=(y1+y2)t1+(y2+y3)t2+…+(yn-1+yn)tn-1

2Уtn-1

Вопросы для проверки

1. Что такое ряды динамики, и какова их роль в статистическом анализе?

2. Как решается вопрос о сопоставимости уровней динамического ряда? Какие существуют виды динамических рядов?

3. Как исчисляется средний уровень для различных рядов?

4. Какие основные показатели рассчитываются для анализа динамических рядов?

Тема 6.2 «МЕТОДЫ АНАЛИЗА ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ (ТРЕНДА) В РЯДАХ ДИНАМИКИ»

Одной из важных задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления. В некоторых случаях закономерность изменения явления ясно и отчетливо отражается уровнями ряда, которые непрерывно растут или непрерывно снижаются. Однако часто приходится встречаться с такими рядами, в которых уровни претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают(, и общая тенденция развития неясна.

На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайных характер. Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изученного этапа развития. Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Тренд - основная тенденция развития ряда, обусловливающая увеличение или снижение его уровней. Выявление тренда называется выравниванием временного ряда, а методы выявления тренда - методами выравнивания. Изучение тренда включает два этапа: на первом ведется проверка ряда на наличие тренда, а на втором производится выравнивание ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов. Методы выравнивания рядов динамики заключаются в замене фактических уровней ряда динамики расчетными значениями, отражающими основную тенденцию развития процесса во времени

Процесс непосредственного выделения тренда можно осуществить тремя методами:

1) укрупнение интервалов:

2) метод скользящей средней;

3) метод аналитического выравнивания.

Наиболее простым методом выравнивания является метод укрупнения интервалов. Его суть состоит в преобразовании первоначального ряда динамики в ряд с более продолжительными периодами (одновременно уменьшается количество интервалов). Например, ежемесячный объем продаж заменяем рядом объема продаж за квартал. Средняя величина, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявить направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

Например, имеются данные об объемах производства продукции в сопоставимых ценах за год:

Месяц	Объем производства	Месяц	Объем производства
Январь	510	Июль	560
Февраль	540	Август	590
Март	520	Сентябрь	610
Апрель	530	Октябрь	600
Май	560	Ноябрь	590
Июнь	580	Декабрь	620

Заменим месячные уровни квартальными и определим среднюю:

Квартал	Объем производства за квартал	В среднем за месяц
Первый	1570	523
Второй	1670	557
Третий	1760	587
Четвертый	181	603

После укрупнения интервалом основная тенденция роста производства стала очевидной.

Сущность метода скользящей (подвижной) средней состоит в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3,5,7 и.т.д.), первых по счету уровней ряда, затем - из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее -начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

Например: исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/га:

Год	Фактический уровень урожайности, ц	Скользящая средняя
		Трехлетняя	Пятилетняя
1995	15,4	-	-
1996	14,0	(15.4+14,0+17,6) /3 = 15,7	-
1997	17,6	(14,0 + 17,6 +15,4) /3 = 15,7	14,7
1998	15,4	(17,6+15.4+10,9)/ 3 = 14,6	15,1
1999	10,9	14,6	15,2
2000	17,5	14,5	17,1
2001	15,0	17,0	16,8
2002	18,5	15,9	17.6
2003	14,2	15,9	-
2004	14,9	-	-
Сумма	153,4	-	-

Таким образом, алгоритм расчета скользящей средней следующий:

1) определить интервал сглаживания, т.е число входящих в него уровней;

2) вычислить среднее значение уровней, образующих интервал сглаживания;

3) сдвинуть интервал сглаживания на одну точку вправо, вычислить среднее и снова произвести сдвиг.

Первые и последние несколько членов ряда с помощью данного метода сгладить нельзя, т.к. их значения теряются.

Сглаженный ряд урожайности по трехлетиям короче фактического на один член в начале и в конце, по пятилетиям - по два члена в начале и конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из-за случайных причин, и четче, в виде некоторой плавной линии на графике, выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период. Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» , а следовательно, потеря информации.

Рассмотренные два метода выравнивания дают возможность определить лишь общую тенденцию развития, однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя. Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда по времени, используется аналитическое выравнивание.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

Yt = f(t)

Определение теоретических (расчетных) уровней производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе и на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

Например, простейшими моделями, выражающими тренд, являются:

Линейная функция - прямая f1(t) = А0 + А1*t

Парабола второго порядка f2(t) = A0 + A1*t + A2 * t*t

Гипербола f3(t) = A0 + A1/t

Степенная функция f4(t) = A0 * A1

Где А0, А1 и А2 - параметры уравнения.

Уравнение прямой линии отражает равномерное изменение явления, гипербола дает снижение с замедлением. Парабола - рост или снижение с ускорением. Степенная функция отражает геометрическую прогрессию уровней ряда.

Параметр А0 обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как средний уровень ряда. Под параметром А1 понимается скорость развития или стагнации, а под А2 - их ускорение.

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:

( Yt - Yi) min

где Yt - выровненные (расчетные) уровни;

Yi - фактические уровни.

Параметры уравнения А1, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. А основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни.

Выравнивание по прямой используется в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близки к ней). Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Для функции прямой линии система нормальных уравнения имеет вид:

Ao*n + A1t = Y A0+ A1 t = Yt

Решение этой системы дает следующие определители для нахождения её параметров: 2

Y * t - Yt * t

A0 = ---------------- ------------------

2 2

n *t - ( t)

n Yt - Yt * t

A1 = ---------------- ------------------

2 2

n *t - ( t)

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t = 0) принять центральный интервал (момент).

При четном числе уровней (например, 6), значения t -условного обозначения времени будут такими:

1999 2000 2001 2002 2003 2004

-5 -3 -1 1 3 5

При нечетном числе уровней (например 7), значения устанавливаются по-другому:

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

-3 -2 -1 0 1 2 3

Таким образом, при нечетном количестве уровней серединный период считается нулевым, периоды до него принимают отрицательные номера от -1 и далее, а периоды после него - положительные номера от 1 и далее. При четном количестве данных имеется два срединных периода, из которых левый нумеруется -1, а правый +1 с логически отрицательной и положительной нумерацией других периодов.

При такой условной нумерации периодов сумма их номеров равняется нулю и система нормальных уравнений прямой линии значительно упрощается:

2

Y = n*A0 Yt = A1*t

Из первого уравнения A0 = Y / n

2

Из второго уравнения A1 = Yt / t

Как видим, при условной нумерации периодов параметр А0 представляет собой среднее значение уровней ряда.

Вопросы для проверки

1. Что представляет собой основная тенденция развития?

2. Чем вызывается необходимость обработки динамических рядов?

3. Какие существуют способы обработки динамических рядов?

4. Как измеряются сезонные колебания динамических рядов?

Тема 6.3 «МОДЕЛИ СЕЗОННЫХ КОЛЕБАНИЙ»

Сезонные колебания - это колебания, периодически повторяющиеся в некоторое определенное время каждого года, дня месяца или часа дня..

При сравнении квартальных и месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются периодические колебания, возникающие под влиянием смены времен года. Сезонные колебания наблюдаются в различных отраслях экономики: при производстве большинства сельскохозяйственных продуктов, их переработке, в строительстве, транспорте, торговле. Например, производство молока и мяса по месяцам, доставка леса, бытовое потребление топлива и электроэнергии, сезонная распродажа.

Сезонные колебания оценивают с помощью индексов сезонности. Индекс сезонности показывает, во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени t больше или меньше уровня среднего или вычисленного по уравнению тренда f(t). Индекс сезонности вычисляют по данным за несколько лет (не менее трех), распределенными по месяцам. Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания.

Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за три года

( Yi ср), затем вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда (Уср.) После чего определяется показатель сезонной волны - индекс сезонности Is как процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, %:

Yi ср

Is = ------------* 100 %

У ср.

При наличии тренда индекс сезонности вычисляется по формуле:

Yi

Is = [ ----- * 100 ] / n

Yt

Где n - число лет.

Для наглядного представления сезонной волны индексы сезонности изображают в виде графика.

Вопросы для проверки

1. Что представляют собой сезонные колебания?

2. С помощью каких величин оценивают сезонные колебания?

Раздел 7. «ИНДЕКСЫ В СТАТИСТИКЕ»

Тема 7.1 «ПОНЯТИЕ И ВИДЫ ИНДЕКСОВ»

Индексы относятся к важнейшим обобщающим показателям. Слово «индекс» в переводе с латинского (index) буквально означает указатель, показатель. Обычно этот термин используется для обобщающей характеристики изменений.

Индексом в статистике называется относительный показатель, характеризующий изменение величины какого0либо явления по времени, пространстве или по сравнению в любым эталоном (нормативом, планом, прогнозом).

В международной практике индексы принято обозначать символами:

i - индивидуальные индексы

I - общие индексы.

Знак внизу справа означает период времени: 0 - базисный период, 1 - отчетный период.

Основным элементом индексного отношения является индексируемая величина - значение признака статистической совокупности, изменение которой является объектом изучения.

Определенные символы используются для обозначения индексируемых показателей:

q - количество произведенной или проданной продукции в натуральном выражении;

p -цена единицы товара;

z - себестоимость единицы продукции;

t - затраты рабочего времени на производство единицы продукции данного вида (трудоемкость)

Q = p * q - общая стоимость произведенной продукции данного вида или товарооборот

F = z * q - общие затраты( денежной форме) на производство продукции данного вида;

T = t * q - затраты рабочего времени на производство продукции (или численность работников предприятия)

w- производство продукции данного вида в единицу времени или в расчете на одного рабочего, т.е. уровень производительности труда в стоимостном выражении.

Критерии классификация индексов:

1) по степени охвата явления индексы бывают индивидуальные и сводные (общие).

Индивидуальные индексы служат для характеристики изменения отдельных элементов сложного явления (например, изменение объема производства отдельных видов продукции).

Сводные (общие) индексы используются для измерения динамики сложного явления, составные части которого непосредственно несоизмеримы ( изменения физического . объема продукции, включающей разноименные товары).

Если индексы охватывают не все элементы сложного явления, а только часть их, то такие индексы называют групповыми , или субъиндексами (например, индексы физического объема продукции по отдельным отраслям промышленности, индексы цен по группе продовольственных товаров).

2) по базе сравнения индексы делят на две группы: динамические и территориальные.

Динамические индексы отражают изменение явления во времени. При их расчете значение показателя за отчетный период сравнивают с его значение за предыдущий период, называемый базисным. Однако, в качестве последнего могут быть использованы и прогнозные , и плановые показатели.

Территориальные индексы используются для межрегиональных сравнений.

3) По виду весов индексы бывают с постоянными и переменные весами.

4) В зависимости от формы построения различают индексы агрегатные и средние.

Агрегатная формы общих индексов является основной формой экономических индексов. Средние индексы - производные, они получаются в результате преобразования агрегатных индексов и делятся на арифметические и гармонические.

5) По характеру объекта исследования общие индексы делят на индексы количественных (объемных) и качественных показателей. В основе такого деления лежит вид индексируемой величины.

6) По объекту исследования индексы бывают: производительности труда, себестоимости, физического объема продукции, стоимости продукции.

7) По составу явления можно выделить две группы индексов: постоянного (фиксированного) состава и переменного состава. Это деление используется для анализа динамики средних показателей.

8) По периоду исчисления индексы подразделяются на годовые, квартальные, месячные, недельные

С помощью экономических индексов решаются следующие задачи:

- измерение динамики социально-экономического явления за два и более периодов времени;

- измерение динамики среднего экономического показателя;

- измерение соотношения показателей по разным регионам;

- определение степени влияния изменения значений одних показателей на динамику других;

- пересчет значения макроэкономических показателей из фактических цен в сопоставимые.

Индивидуальные индексы обозначаются буквой i и снабжаются подстрочным знаком индексируемого показателя: iq - индивидуальный индекс объема произведенной продукции; ip - индивидуальный индекс цен и т.д. Они представляют собой относительные величины динамики, выполнения плана, сравнения. Выбор базы сравнения определяется целью исследования.

Индивидуальные индексы определяют вычислением соотношения двух индексируемых величин:

iq = q1 / q0 ip= p1 / p0

В знаменателе может быть плановое значение, нормативное или эталонное значение, принятое за базу сравнения. С аналитической точки зрения индивидуальные индексы характеризуют изменение индексируемой величины в текущем периоде по сравнению с базисным, т.е. во сколько раз она возросла (уменьшалась) или сколько % составляет её рост.

Индексы выражают в коэффициентах или процентах. Если из значения индекса, выраженного в процентах, вычесть 100%, то полученная разность покажет на сколько процентов изменилась индексируемая величина.

Например, в 2004 г. цена товара «А» составила 50 руб., а в 2003 - 40 руб. Индивидуальный индекс цен составил: 50/40 = 1,25 или 125 %, т.е. цена увеличилась на 25%.

Методика расчета общих индексов сложнее и различна в зависимости от характера индексируемых показателей, наличия исходных данных и целей исследования. Любые общие индексы могут быть построены двумя способами: как агрегатные и как средние из индивидуальных.

Агрегатный индекс является основной и наиболее распространенной формой индекса. Его числитель и знаменатель представляют собой набор - «агрегат» (от латинского Aggregatus - складываемый, суммируемый) непосредственно несоизмеримых и не поддающихся суммированию элементов. Любой экономический агрегат - это сумма произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируется), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса).

Индексируемая величина - признак, изменение которого изучается (цена товара, курс акций, затраты рабочего времени на производство продукции, количество проданных товаров). Вес индекса - величина, служащая для целей соизмерения индексируемых величин. Вес является показателем-сомножителем, который связан с индексируемой величиной. Умножение на вес - соизмеритель - операция взвешивания.

Экономическое содержание индекса предопределяет методику его расчета.

Методика построения агрегатного индекса предусматривает ответ на три вопроса:

1) какая величина будет индексируемой;

2) по какому составу разнородных элементов явления необходимо исчислить индекс;

3) что будет служить весом при расчете индекса.

При выборе веса принято руководствоваться следующим правилом:

А) если строится индекс количественного показателя, то веса берут за базисный период;

Б) при построении индекса качественного показателя используются веса отчетного периода.

Построим три индекса - стоимости продукции, физического объема продукции и цен.

Стоимость продукции - это произведение количества продукции в натуральном выражении на ее цену. Индекс стоимости продукции , или товарооборота, представляет собой соотношение стоимости продукции текущего периода к стоимости продукции в базисном периоде:

I pq = p1q1 / p0q0 (1)

Разность числителя и знаменателя показывает, на сколько рублей изменилась стоимость продукции в текущем периоде по сравнению с базисным.

Аналогично строятся индексы для показателей, которые являются произведением двух сомножителей:

издержек производства продукции (произведение себестоимости единицы продукции на количество продукции);. I zq = z1q1 / z0q0

затрат времени на производство всей продукции (произведение трудоемкости единицы продукции на объем выпуска) Itq = t1q1 / t0q0

Индекс физического объема продукции - это индекс количественного показателя. В нем индексируемой величиной будет количество продукции в натуральном выражении, а весом - цена

Iq = q1p0 / q0p0 (2)

В числителе индекса - условная стоимость произведенных в текущем периоде товаров в ценах базисного периода, в знаменателе - фактическая стоимость товаров, произведенных в базисном периоде. Разность числителя и знаменателя показывает, на сколько рублей изменилась стоимость продукции в результате роста (снижения) её объема. При этом изменение цен на продукцию в текущем периоде по сравнению с базисным не влияет на величину индекса.

Индекс цен - это индекс качественного показателя. Индексируемой величиной будет цена товара, а весом - физический объем за отчетный период:

Ip = p1q1 p0q1 (3)

Разность числителя и знаменателя показывает на сколько рублей изменилась стоимость продукции за счет изменения цен. При этом изменение количества произведенной продукции в текущем периоде по сравнению с базисным не влияет на величину индекса.

Стоимость продукции можно представить как произведение количества товара на его цену. Такая же связь существует и между индексами стоимости, физического объема и цен, т.е.

Ipq = Ip * Iq (4)

Например, требуется определить значение всех индивидуальных и общих индексов по данным о деятельности торгового предприятия за два месяца:

Товар	Цена, руб. за 1 кг	Объем продаж, кг	Стоимость продукции, тыс. руб.	Индивидуальный индекс	Стоимость товаров, проданных в январе в ценах марта, тыс. руб P0q1
	Январь P0	Март P1	Январь Q0	Март Q1	Январь P0q0	Март. P1q1	Цен ip	Объема iq	Стоимости Ipq
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
А	95,9	117,9	1904	2017	182,6	237,8	122,94	105,93	130,23	193,43
Б	71,9	74,8	370	414	26,6	30,9	104,03	111,89	116,17	29,77
В	28,8	30,9	539	566	15,5	17,5	107.29	105,01	112,90	16,30
Итого	-	-	-	-	224,7	286,2	-	-	-	239,5

Общий индекс физического объема составит: 239,5 / 224,7 = 1,0659 или 106,59 %

Общий индекс цен составит: 286,2 / 239,5 = 1.1050 или 119.50 %

Общий индекс стоимости продукции (товарооборота) составил: 286,2 / 224,7 = 1,274 или 127,4 %

Проверка: 1, 0659 * 1.11950 = 1,274

Прирост товарооборота за счет изменения физического объема: 239,5 - 224,7 = 14,8

Прирост товарооборота за счет изменения цен: 286,2 - 239,5 = 46,7

Общий прирост товарооборота: 286.2 - 224,7 = 61,5 тыс. руб.

Проверка: 14,8 + 46,7 = 61,5 тыс. руб.

Помимо агрегатных индексов в статистике применяется другая их форма - средневзвешенные индексы. К их исчислению прибегают тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс.

Средний индекс - это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов. Так агрегатный индекс является основной формой общего индекса, средний индекс должен быть тождественен агрегатному.

При исчислении средних индексов используются две формы средних: арифметическая и гармоническая. Средний арифметический индекс тождественен агрегатному, если весами индивидуальных индексов будут слагаемые знаменателя агрегатного индекса.

Если известны: p0q0 и iq по каждому виду товаров, но нет данных об объемах производства отдельных видов продукции в физическом выражении, то вычисляют средний арифметический индекс физического объема продукции:

Iq = iq*p0q0 / p0q0 (5)

Полученная формула представляет собой среднюю из индивидуальных индексов физического объема продукции, взвешенную по стоимости (товарообороту) базисного периода.

Так как iq*q0 = q1, то формула этого индекса легко преобразуется в формулу (2), т.е. средневзвешенный индекс может быть получен из агрегатного путем замены q1 произведением i1*q0.

Средний арифметический индекс чаще всего применяется на практике для расчета сводных индексов количественных показателей. Так, на Нью-йоркской фондовой бирже рассчитывают такие широко известные индексы, как индекс Доу_Джонса, индекс Стэндарта и Пура. Индекс Доу-Джонса определяется как средний арифметический индекс значений курсов акций, котирующихся на бирже. Один сводный и три групповых индекса рассчитывают каждые полчаса, и ежедневно публикуется их значение на момент закрытия биржи. Групповые индексы определяются по ценам акций 30 промышленных, 20 транспортных и 15 компаний сферы услуг. Общий индекс рассчитывают по всем 65 компаниям. Их перечень был составлен в 1928 г.

Индексы качественных показателей (цен, себестоимости) определяются по формуле средней гармонической взвешенной величины.

Средний гармонический индекс тождественен агрегатному, если индивидуальные индексы взвешены с помощью слагаемых числителя агрегатного индекса. Например, индекс цен можно рассчитать так:

Ip = p1q1 / p1q1/ ip (6)

Он рассчитывается в том случае, если известны p1p1 и ip по каждому виду товара.

Например, требуется рассчитать сводные индекс физического объема и цен по следующим данным:

Товар	Товарооборот, млн. руб.	Индивидуальные индексы
	Базисного периода	Отчетного периода	Физического объема реализации	Цен
А	1,2	1,3	0,96	0,83
Б	2,3	2,2	1,01	0,97
В	2,7	2,9	1,12	1,03
Итого	6.2	6.4	-	-

Сводный индекс физического объема определим по средней арифметической взвешенной:

 1,2 * 0,96 + 2,3 * 1,01 + 2,7 * 1,12

Iq = ------------------------------------------------- = 1,048 или 104,8 %

1,2 + 2,3 + 2,7

Сводный индекс цен определим по формуле средней гармонической взвешенной:

1,3 + 2,2 + 2,9 6,4

Ip = ---------------------------= ------------------ = 6,4 / 6,65 =0,962 или 92,6 %

1,3 / 0,83 + 2,2/0,97 + 2,9 / 1,03 1,566 + 2,268 + 2,816

Значит, физический объем продаж рассматриваемой товарной группы вырос в среднем на 4,8 % в отчетном периоде по сравнению с базисным, а цены в среднем снизились на 3,8 %.

На динамику качественных показателей, уровни которых выражены средними величинами ( средняя цена, средняя себестоимость, средняя заработная плата, средняя выработка) одновременно оказывают влияние два фактора:

1) изменение значений осредняемого показателя ( качественный фактор);

2) изменение структуры явления (количественный фактор).

Под изменением структур явления понимается изменение доли отдельных единиц совокупности, из которых формируются средние в общей их численности.

Задача определения степени влияния этих двух факторов решается с помощью индексного метода, т.е. путем построения системы взаимосвязанных индексов, в которую

включаются три индекса:

1) переменного состава;

2) постоянного (фиксированного) состава;

3) структурных сдвигов.

Индекс переменного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних с изменяющимися (переменными) весами, показывающее изменение индексируемой средней величины.

Для любых качественных показателей Х индекс переменного состава можно записать в общем виде:

Ixср. = X1ср. / X0 ср. = ( x1f1 / f1) : ( x0f0 / f0) (7)

Этот индекс позволяет изучить совместное действие двух факторов на общую динамику среднего качественного показателя.

Чтобы элиминировать влияние изменения структуры совокупности на динамику средней величины, берут отношение средних взвешенных с одними и теми же весами (как правило, на уровне отчетного периода).

Индекс постоянного (фиксированного ) состава характеризует динамику средней величины при одной и той же фиксированной структуре совокупности:

Ix = ( x1f1 / f1) : ( x0f1 / f1) = Х ср. 1 / Х ср. (8)

После сокращения на f1 формула принимает вид формулы агрегатного индекса качественного показателя.

Индекс постоянного состава показывает, как в отчетном периоде по сравнению с базисным изменилось среднее значение показателя по какой-либо однородной совокупности за счет изменения самой индексируемой величины, т.е. когда влияние структурного фактора устранено.