Теория общего равновесия Л. Вальраса

2. Уравнения общего равновесия

Немного поразмыслив, мы можем записать основные зависимости нашей островной экономики в виде уравнений.

Возьмем сперва ограничения по ресурсам. Очевидно, что количество каждого ресурса, которое используется в производстве кукурузы, дров и виски, не может не быть равно в сумме тому количеству этого ресурса, каким располагает наше хозяйство.

Доход земледельца проистекает от его земли и его труда, а выражается в выручке от продажи кукурузы. Иными словами, выручка от продажи кукурузы распределяется как рента на его землю и оплата его труда (это и есть то, что мы называли прежде вознаграждением факторов производства). То же самое можно сказать про двоих других островитян, не так ли? А если так, тогда -- внимание! -- вся суммарная выручка от продажи всех (трех) продуктов является суммой вознаграждений всех (двух) факторов, используемых на острове. И вот что получается:

р_Кх_К+р_Дх_Д+з_Вх_В=v_Зr_З+v_Тr_Т (5)

Знак тождества мы ставим здесь потому, что левая часть и правая часть, как мы только что установили, -- это одно и то же. Но и тут еще не конец. Мы только что понаписали кучу уравнений. В ней есть уравнения спроса (в левой части стоят «иксы») и уравнения предложения (в левой части стоят «эры»). Вот давайте-ка их быстренько подставим из уравнений (2) и (4) в тождество (5):

P_KF_K+p_ДF_Д+p_BF_B=v₃G₃+v_TG_T (6)

Вот теперь все. Во-первых, мы пишем просто буквы F и G, помня, что это функции спроса и предложения. А во-вторых:

В общем, выражение (6) есть не что иное, как знаменитый Закон Вальраса.

Сперва укажем, для чего Закон Вальраса не применяется. Он не используется для вычисления цен и других показателей Нужен Закон Вальраса для рассуждении. О чем говорит этот закон? Он говорит о том, что в состоянии рыночного равновесия совокупный спрос равен совокупному предложению. Но это звучит чересчур общо. Вернемся к тождеству (5). О чем оно нам говорит? О том, что совокупные доходы равны совокупным расходам. Сказать (5) -- значит сказать (6). И наоборот.

Словесная формулировка выражения (5) напоминает что-то такое, что мы давно уже проходили. Конечно тождество Сэя!

Действительно, Закон Вальраса сильно напоминает Закон Сэя в варианте "тождества". Можно сказать больше: если брать Закон Вальраса в том виде, как мы его подали выше, он просто идентичен тождеству Сэя.

Однако сам Вальрас, понятное дело, имел в виду не остров с тремя производителями, а народное хозяйство современной страны, где многие тысячи производителей поставляют на рынок сотни тысяч видов товаров, покупаемых миллионами потребителей. Так что Закон Вальраса нужно записать в более общем виде:

сумма всех p_jF_j = сумме всех v_iG_i

Мы уже раньше условились о том, что ресурс i -- это любой ресурс. Если всех ресурсов не два, как у нас на острове, a m, тогда i = 1, 2, 3, ..., n (i пробегает все натуральные числа от 1 до m).

Мы также условились, что продукт i -- это любой продукт. Если всех продуктов не три, а n, тогда i = 1, 2, 3, ..., n (j пробегает все натуральные числа от 1 до n).

Математики, которые не любят писать уравнения с употреблением слов, придумали буквенные обозначения; (i = 1, 2. …, m) и (j =1, 2, …, n) называются так: пределы суммирования. И вместо слова "сумма" они договорились писать греческую букву "сигма".

Теперь -- в полном математическом облачении -- Закон Вальраса выглядит так:

(7)

(Сумма p_iF_i. по всем j от 1 до п тождественно равна сумме v_iG_i, по всем i от 1 до m)

В таком виде Закон Вальраса еще не отличается от тождества Сэя. Так что идем еще немного дальше.

Для чего мы выписывали уравнения (1) и (З)? Пока что мы о них попросту забыли. Давайте вернемся к ним. В системе (1) умножим первое уравнение на v₃, а второе -- на v_T И перейдем от этого частного случая к общей формуле (7). В левой части тождества (7) мы получим теперь a_ijv_ix_j. Затем умножим в системе (3) первое уравнение на х_K, второе -- на x_Д, третье -- на х_B. И опять перейдем к общим обозначениям, тогда в правой части тождества (7) получаем p_jx_j.

Из всего, что мы проделали до сих пор, следует, что в левой части тождества (7) стоит рыночный спрос на все продукты и ресурсы, а в правой части -- рыночное предложение всех продуктов я ресурсов. Так что вместо буквы v мы можем употребить тоже букву р, приняв ее для обозначения всех цен в нашей системе. При таком взгляде на вещи ресурсы уже ничем не отличаются от продуктов -- они тоже ведь продаются и покупаются. Поэтому мы объединяем все вместе: m+ n =s, а вместо двух индексов i и j берем один, i и представляем Закон Вальраса в самом общем виде:

(8)

Вальрас включил в перечень товаров не только потребительские блага и факторы производства, но также и деньги. В этом отличие его от Сэя, который, как мы помним, говорил: "Продукты обмениваются на продукты".

Когда Вальрас сформулировал свой закон, возник новый интерес к Закону Сэя. А, включив в свое тождество деньги, Вальрас стимулировал исследование Закона Сэя с точки зрения его отношения к деньгам, что позволило выявить неявные допущения в отношении денег.

Значение Закона Вальраса, конечно, сказанным не исчерпывается Жид Ш., Рист Ш. История экономических учений. - М.: Мысль, 1995. - С. 102..

Выражение (8) представляет собой фактически систему уравнений типа

p₁F₁=p₁G₁;

p₂F₂=p₂G₂

............. (итд). (9)

Число неизвестных в системе (9) равно числу уравнений. Систему (9) можно решить обычными алгебраическими методами и найти цены, отвечающие условиям равновесия спроса и предложения. Затем эти равновесные цены можно подставить в уравнения типа (2) и получить такие количества продуктов, которые удовлетворяют условиям рыночного равновесия.

Однако дело обстоит не так просто. Если взглянуть на систему (2) я немного подумать о ее решаемости, в этой системе одно уравнение не является независимым. Действительно, коль скоро спрос на кукурузу и дрова задан, тем самым уже определен и спрос на виски. Вальрас выразил эту же мысль в такой форме: если удовлетворяются все уравнения, кроме одного, то и оно должно удовлетворяться. Такая же особенность отличает систему уравнений предложения типа (4). Стало быть, системы (2) и (4) содержат в совокупности не 5 независимых уравнений, а на одно меньше. Другими словами, не (m+ n), a (m+ n - 1) независимых уравнений.

С другой стороны, в уравнениях Вальраса присутствует такой интересный вид товара, как деньги. Но в данном случае он интересен тем, что цена его известна заранее, до решения системы уравнений. И равна она 1.

Действительно, если цена единицы обычного товара составляет столько-то рублей, то цена одного рубля равна одному рублю. Следовательно, число неизвестных тоже уменьшается на одно, тоже становится (m+ n - 1), отчего можно снова утверждать, что система уравнений имеет одно решение. Вальрас был удовлетворен.

Только позднейшие исследователи выяснили, что дело обстоит не столь гладко. Во-первых, выдвигались соображения формально-математические. Например: может оказаться, что все корни системы -- нулевые или часть из них -- мнимые числа и т.п. Но такие вещи едва ли могут иметь место, если правильно задать функции спроса и предложения (данное утверждение все равно еще нуждается в доказательстве).

Сложнее обстоит дело в том случае, если часть корней системы уравнений окажется отрицательными числами. Отрицательные цены, например, -- это что такое? Нулевая цена имеет экономический смысл -- она означает отсутствие ценности у данного товара, он дармовой или никому не нужен. Отрицательная же цена, по-видимому, не имеет экономического смысла.

Заслуга Вальраса состоит не столько в том, что он решил проблему, сколько в том, что он ее поставил. Благодаря математической формулировке условий рыночного равновесия стало возможным изучать проблему строгими методами (чего не давал Закон Сэя) Там же. С. 103..

Последующие ученые задавались вопросом о том, существует ли единственное решение системы Вальраса с неотрицательными корнями. Экономически это означает: возможно ли полное рыночное равновесие на деле? Следующий вопрос если такое решение существует, насколько оно устойчиво при изменениях параметров уравнений? Экономически это означает если рыночное равновесие достижимо, то может ли оно быть устойчивым и при каких условиях? Исследования продолжались в 30--50-х гг. нашего века, когда были доказаны основные теоремы существования. Но и до сих пор в этой области еще имеются зоны, открытые для изучения.

Другое направление исследований, куда открыл дверь Вальрас, связано с денежной теорией. Эти и многие другие вещи были выяснены учеными, которые отталкивались от Закона Вальраса.

Не стоит забывать о том, какие условия были заложены в уравнении рыночного равновесия по Вальрасу. Все эти условия хорошо видны на нашем примере островной экономики. Вот они: технологические коэффициенты a_ij неизменны; объем применения каждого ресурса ограничен определенным размером r_i; функции спроса на каждый товар неизменны и т.п. Совокупность всех этих условий означает, что в экономике, которую описывают уравнения равновесия, ничего нового не происходит. Там отсутствует технический прогресс, нет запасов неиспользованных ресурсов, не растет население и не меняется его состав, не возникает новых видов товаров и услуг. Это полностью статическая модель и очень сильное упрощение действительности. Будем помнить также, что существенным условием равновесия, по Вальрасу, является свободная конкуренция во всех сферах экономики.

Однако сказанное не составляет большой беды и никак не обесценивает идей Вальраса. Главное, что ученые могли теперь обсуждать различные стороны проблемы, стало возможным изменять те или иные условия и исследовать последствия этих изменений для модели рыночного равновесия.

Одна особенность Вальрасовой теории оставалась неизменной и неотъемлемой. Модель Вальраса описывает рыночное равновесие в условиях полной занятости, В течение более чем полувека после появления Закона Вальраса полная занятость считалась непременным условием общего рыночного равновесия, и нам нужно набраться терпения, чтобы вернуться к этому вопросу на ином уровне рассмотрения. А пока нужно непременно отметить один из важнейших уроков теории Вальраса.

Заключение