19

Исходные данные

Таблица №1

№ предприятия	Акционерный капитал, млн р.	Прибыль, млн р.
п/п	4 квартал	4 квартал предыдущего года	Отчетный год
	отчетного года		1	2	3	4
			квартал	квартал	квартал	квартал
1	2	3	4	5	6	7
3	965	17,1	18,1	19,6	18,6	20,1
4	1045	18,4	18,2	20,3	19,1	20,8
5	1004	17,3	19,8	21,6	22,3	23,8
6	958	20,3	17,6	18,1	17,8	19,3
7	932	15,6	16,2	18,3	17,4	21,3
13	880	17,4	18,3	15,6	19,0	21,3
14	873	15,5	16,5	16,0	17,3	18,1
15	864	18,8	19,6	17,3	18,4	21,2
16	859	13,6	15,8	17,1	14,2	18,4
17	804	13,8	14,7	18,3	17,1	16,5
23 24 25	794 795 770	12,6 15,8 11,6	11,8 13,6 11,3	13,1 12,1 13,2	13,0 17,3 12,4	12,5 16,2 11,5
26	778	10,2	13,1	14,3	11,6	13,8
27	758	12,6	11,3	12,7	14,3	15,4
33	703	7,6	8,4	7,1	7,9	8,3
34	690	5,3	4,4	3,8	4,6	5,7
35 36	684 677	7,1 5,1	6,5 5,8	6,3 4,6	7,8 6,3	7,5 5,7
37	673	4,6	5,1	6,4	3,7	5,2
43	574	4,3	3,6	4,2	4,8	5,1
44	563	5,1	5,9	4,8	5,6	6,3
45	556	4,7	3,8	4,2	4,3	6,3
46	543	3,1	3,3	3,4	3,7	3,6
47	538	4,4	4,7	4,1	4,9	5,3

На основе логического анализа определяем, что акционерный капитал является факторным (группировочным) признаком (x), так как его величина в значительной степени определяет прибыль предприятий, которая будет результативным показателем (y).

В соответствии с заданием 3 произведем группировку предприятий по величине акционерного капитала, выделив мелкие, средние и крупные предприятия. Величину интервала определим по формуле:

, где

максимальное значение акционерного капитала

минимальное значение акционерного капитала

n - желаемое число групп.

По данным таблицы №5, графу 2 рассчитаем

млн р.

Далее заполняем рабочую таблицу №2. Нижнюю границу первого интервала принимаем равной минимальному значению признака. Верхнюю границу каждого интервала получаем прибавлением к нижней границе величины интервала.

Таблица №2

Группы предприятий по	Акционерный капитал,	Прибыль, млн р.
величине капитала, млн р.	млн р. (4 кв. отч. года).	(4 кв. отч. года)
538-707	538, 543, 556, 563, 574, 673, 677, 684, 690, 703	5,3; 3,6; 6,3; 5,1; 5,2; 5,7; 7,5; 5,7; 8,3
707-876	758, 770, 778, 794, 795, 804, 859, 864, 873	15,4; 11,5; 13,8; 12,5; 16,2; 16,5; 18,4; 21,2; 18,1
876-1045	880, 932, 958, 965, 1004, 1045	21,3; 21,3; 19,3; 20,1; 23,8; 20,8

Результаты группировки приведены в следующей аналитической таблица №3.

Таблица №3

Группы пред-ий по размеру акц. кап. млн р.	Число пред-ий	Акц. кап., млн р.	Прибыль, млн р.	Удельный вес, %
		всего	в сред. на 1 пред.	всего	в сред. на 1 пред.	по числу пред.	по вел. акц. кап.	по вел. приб.
538-707 707-876 876-1045	10 9 6	6201 7295 5784	620,1 810,6 964	51,3 124,5 106,1	5,13 13,8 17,68	40,0 36,0 24,0	32,16 37,84 30,0	18,20 44,16 37,64
Итого:	25	19280	2394,7	281,9	36,61	100	100	100

Значения показателей акционерного капитала и прибыли по каждой группе и по совокупности в целом определяются суммированием соответствующих значений по каждому предприятию.

Показатели в среднем на одно предприятие по каждой группе и по совокупности в целом рассчитываются делением суммарной величины акционерного капитала (или прибыли) на число предприятий по группе (или по совокупности в целом).

По результатам группировки, проведенной в таблице №3 можно сделать следующие выводы:

В группе малых предприятий больше, чем в других, но большая часть акционерного капитала сосредоточена в группе средних предприятий (37%). Группа крупных предприятий мала и доля акционерного капитала там также незначительна (30%). В группе средних предприятий на одно больше, чем в группе мелких предприятий, хотя по величине акционерного капитала эта группа является преобладающей и там получено 44,16% всей прибыли (наибольший процент всей прибыли).

На долю мелких предприятий приходится 32,16% акционерного капитала, а прибыли всего - 18,20%. Это свидетельствует о низкой эффективности деятельности предприятий этой группы.

Значения акционерного капитала и прибыли в среднем на одно предприятие значительно различаются по группам. Так, если в первой группе акционерный капитал составляет 620,1 млн. р., во второй - 810,6 млн. р., то в третьей - 964,0 млн. р., что превосходит акционерный капитал предприятий первой группы более чем в 1,5 раза и акционерный капитал второй группы - в 1,2 раза.

Показатели прибыли также значительно различаются по группам. Так в первой группе прибыль на одно предприятие составляет 5,13 млн. р., во второй - 13,8 млн. р., в третьей - 17,68 млн. р., т.е. в третьей группе прибыль больше, чем в первой группе в 3,5 раза, а по сравнению со второй - в 1,3 раза, при том что в третьей группе наименьшее число предприятий.

Сопоставление роста прибыли по группам и роста величины акционерного капитала также свидетельствует о наибольшей эффективности предприятий третьей группы.

Необходимыми предпосылками корректного использования статистических методов анализа является однородность совокупности. Неоднородность совокупности возникает вследствие значительной вариации признака или попадания в совокупность резко выделяющихся, так называемых «аномальных» наблюдений. Для выявления «аномальных» наблюдений используют правило трех сигм, которое состоит в том, что «аномальными» будут те предприятия, у которых значения анализируемого признака будут выходить за пределы интервала:

или ,

гдесреднее значение факторного показателя,

среднее квадратичное отклонение по факторному показателю.

Выделив и исключив аномальные единицы, оценку однородности производят по коэффициенту вариации (V):

V=, который должен быть не более 33,3%. Для выявления «аномальных» наблюдений по первичным данным о величине акционерного капитала рассчитаем его среднюю величину () и среднее квадратичное отклонение (). Смотри таблицу №4.

Таблица №4

№ пред-	Акцион. кап., млн р.	(	(	Прибыль, млн р.	(	(
приятия							Гр. 3 *гр. 6
п/п
1	2	3	4	5	6	7	8
3	965	194	37636	20,1	6,9	47,61	1338,6
4	1045	274	75076	20,8	7,6	57,76	2082,4
5	1004	233	54289	23,8	10,6	112,36	2469,8
6	958	187	34969	19,3	6,1	37,21	1140,7
7	932	161	25921	21,3	8,1	65,61	1304,1
13	880	109	11881	21,3	8,1	65,61	882,9
14	873	102	10404	18,1	4,9	24,01	499,8
15	864	93	8649	21,2	8,0	64,0	744,0
16	859	88	7744	18,4	5,2	27,04	457,6
17	804	33	1089	16,5	3,3	10,89	108,9
23 24 25	794 795 770	23 24 -1	529 576 1	12,5 16,2 11,5	-0,7 3 -1,7	0,49 9,0 2,89	-16,1 72 1,7
26	778	7	49	13,8	0,6	0,36	4,2
27	758	-13	169	15,4	2,2	4,84	-28,6
33	703	-42	1764	8,3	-4,9	24,01	205,8
34	690	-55	3025	5,7	-7,5	56,25	412,5
35 36	684 677	-61 -68	3721 4624	7,5 5,7	-5,7 -7,5	32,49 56,25	347,7 510,0
37	673	-72	5184	5,2	-8,0	64	576,0
43	574	-171	29241	5,1	-8,1	65,61	1385,1
44	563	-182	33124	6,3	-6,9	47,61	1255,8
45	556	-189	35721	6,3	-6,9	47,61	1304,1
46	543	-202	40804	3,6	-9,6	92,16	1939,2
47	538	-207	42849	5,3	-7,9	62,41	1635,3
Итого	19280	-	469039	329,2	-	1078,08	20633,5

Определяем средний размер акционерного капитала. Информацию берем из таблицы №4.

; 771,2771 млн р.

Среднее квадратическое отклонение

136,97млн р.

Проверяем однородность совокупности по акционерному капиталу.

771 - 411

360

Так как минимальное значение акционерного капитала (538 млн. р.) больше нижней границы интервала (360 млн. р.) а максимальное значение акционерного капитала (1045 млн. р.) меньше верхней границы (1182 млн. р.), то можно считать, что в данной совокупности аномальных наблюдений нет.

Теперь рассчитаем среднюю прибыль (), среднее квадратическое отклонение по прибыли () и сделаем проверку на «аномальность».

Информацию для расчетов берем из таблицы 4.

13,2 млн. р.

=6,57 млн. р.

Проверка:

13,2 -

(-6,51)32,91

Так как минимальное значение прибыли (3,1 млн. р.) больше нижней границы (-6,51), а максимальное значение (20,3) меньше верхней границы (32,91), то можно считать, что в данной совокупности аномальных наблюдений нет.

Проверка однородности совокупности осуществляется по коэффициенту вариации (V)

Так как коэффициент вариации меньше 33,3%, следовательно, совокупность однородна.

После проверки на однородность строим ряд распределения, для чего необходимо определить число групп и величину интервала.

Используя формулу Стерджесса определим величину интервала (i):

,

где максимальное значение акционерного капитала,

минимальное значение акционерного капитала,

N-число единиц в совокупности.

Ограничимся пятью группами.

=101,4 или 102 млн р.

Произведем группировку в таблице №5.

Таблица №5

Группы предпр. по разм. акцион. капит., млн р.	Число предприятий	Середина интервала		S
538-640	5	589	2945	5	-196	980	38416	192080
640-742	5	691	3455	10	-94	470	8836	44180
742-844	6	793	4758	16	8	48	64	384
844-946	5	895	4475	21	110	550	12100	60500
946-1048	4	997	3988	25	212	100	44944	179776
Итого:	25	-	19621	-	-	2148	-	476920

Определим средний показатель ( по ряду распределения, исходя из формулы средней арифметической взвешенной. С этой целью находим середину интервала (

млн. р.

Определяем моду - это наиболее часто встречающаяся величина

,

гденижняя граница модального интервала,

размер модального интервала,

модальная частота,

частота, предшествующая модальному интервалу,

частота, следующая за модальным интервалом.

793 млн. р.

Определим медиану

,

гденижняя граница медианного интервала,

размер медианного интервала,

полусумма частот,

сумма частот, накопленных до медианного интервала,

частота медианного интервала

691 млн. руб.

Далее рассчитаем показатели вариации:

Размах вариации (R)

R=1045-538=507 млн. руб.

Линейное отклонение (d) - данные берем из таблицы №5.

d=85,92 млн. руб.

Дисперсия (

19076,8

Среднее квадратическое отклонение ()

138,12 млн. руб.

Коэффициент вариации (V)

V=18%

Коэффициент вариации свидетельствует об однородности совокупности и надежности средней.

Для характеристики дифференциации предприятий по величине акционерного капитала, рассчитаем коэффициент фондовой дифференциации (

,

где -средняя из 10% максимальных значений акционерного капитала,

-средняя из 10% минимальных значений акционерного капитала

10% от 25 составляет 2,5 предприятия, т.е. можно взять по 3 предприятия (максимальных или минимальных).

1045 1004 965 1005

538 543 556 546

1,84

Следовательно, средняя из 10% максимального акционерного капитала почти в 2 раза выше средней из минимальных значений.

Далее производим расчет характеристик генеральной совокупности по выборочным данным.

Для определения характеристик выборочной совокупности воспользуемся результатами предыдущих расчетов. Так, по ряду распределения определили, что средняя величина акционерного капитала составляет 785 млн. р., а дисперсия равна 19076,8 млн. руб.

Для расчета ошибок выборки следует воспользоваться формулами для бесповторного отбора, т. к. по условию можно определить численность генеральной совокупности (N):

Средняя ошибка выборки для средней величины (

,

где дисперсия выборочной совокупности,

число единиц выборочной совокупности,

N-численность генеральной совокупности

Т.к. n=26, что составляет 5% от численности генеральной совокупности, то N=500 или 0,05, тогда

27,48 млн. руб.

Предельная ошибка для средней

где t-коэффициент доверия, принимаемый в зависимости от уровня доверительной вероятности 0,954 и числа степеней свободы (К). К=n-1 для малой выборки определяется по таблице Стьюдента.

При вероятности =0,954 и К=24 значения t=2,0639

млн. руб.

Доверительный интервал

785-56,72785+56,72

728842

С вероятностью 0,954 можно гарантировать, что средняя величина акционерного капитала в расчете на одно предприятие по генеральной совокупности будет находиться в пределах от 728 млн. р. до 842 млн. р.

Долю предприятий, у которых акционерный капитал превышает среднюю величину (W) для выборочной совокупности определим по первичным данным (табл. 1). Число таких предприятий 12, их доля в выборочной совокупности составляет

=0,46 или 46%

Средняя ошибка доли для бесповторного отбора

Предельная ошибка

При вероятности 0,954 t=2, тогда

Доверительный интервал

0,46-0,2

0,26р0,66

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно гарантировать, что доля предприятий у которых величина акционерного капитала больше среднего значения будет находиться в пределах от 26% до 66%.

Корреляционный анализ.

Корреляционной называется связь между факторным и результативным признаками, которая проявляется только «в общем и среднем» при массовом наблюдении фактических данных.

Условием корректного использования корреляционного метода является однородность совокупности, отсутствие «аномальных» наблюдений, достаточно большое число единиц совокупности.

Проверка исходных данных на однородность и аномальность проведена выше.

Теория корреляции решает следующие вопросы:

содержательный анализ и установление факторного и результативного признаков;

установление факта наличия связи, определение ее направления и формы;

измерение тесноты связи

расчет параметров регрессионной модели и нахождение аналитического выражения связи;

оценка адекватности модели, ее экономическая интерпретация.

Содержательный анализ исходных данных выполнен ранее и установлено, что акционерный капитал - факторный признак (x), прибыль - результативный (y).

Установление факта наличия связи осуществляется на основе групповой таблицы №6 и графическим способом путем изображения поля корреляции и графика эмпирической линии регрессии (рис. 1)

Таблица №6

Группы предпр. по размеру акцион. капитала, млн р.	Число предприятий	Середина интервала (х)	Прибыль в сред. на 1 пред., млн р. (у)		ух		(теоретическ. уровни)
1	2	3	4	5	6	7	8
538-640	5	589	5,32	346921	3133,48	20,3024
640-742	5	691	6,48	477481	4477,68	41,9904
742-844	6	793	14,32	628849	11355,76	205,0624
844-946	5	895	20,06	801025	17953,7	402,4036
946-1048	4	997	21,0	994009	20937,0	441,0
Итого	25	3965	67,18	3248285	57857,62	1110,759

Анализ табл. 10 свидетельствует о прямой связи между акционерным капиталом и прибылью предприятий (гр. 3, гр. 4).



Рис. 1

Эмпирическую линию регрессии (рис. 1) строим по данным табл. 6, принимая за середину интервала, за - прибыль в среднем на одно предприятие по каждой группе.

Направление эмпирической линии регрессии свидетельствует о наличии прямой зависимости между прибылью и акционерным капиталом предприятий.

Предполагая, что зависимость между акционерным капиталом и прибылью, имеет линейную форму, определяем тесноту связи на основе линейного коэффициента корреляции (z). Для этого воспользуемся расчетами выполняемыми в табл. 6.

Коэффициент корреляции может быть в пределах от -1 до +1. Чем ближе к единице, тем теснее связь.

Значение r =0,985 свидетельствует об очень тесной связи между акционерным капиталом и прибылью. Связь прямая.

Для подтверждения этого необходимо дать оценку существенности линейного коэффициента корреляции, что можно выполнить на основе расчета t - критерия Стьюдента.

находим по таблице Стьюдента (прил. 3). Для числа степеней свободы к=n-2=25-2=23 и уровня значимости 1% =2,0873.

27,27 приблизительно равно 2,0873. Следовательно, с вероятностью 0,99 можно утверждать, что в генеральной совокупности существует достаточно тесная зависимость между величиной акционерного капитала и прибылью предприятий.

Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии обычно используют коэффициент детерминации. Для случая парной регрессии это квадрат коэффициента корреляции переменных Х и У (z).

В нашей задаче z² = 0,985² = 0,97

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменной, объясненной с помощью данного уравнения.

Интерпретация полученного коэффициента такова: z²= 0,97 умножается на 100 и выражается как процентная доля вариации У, которая объясняется вариацией Х.

Таким образом, в нашем примере 97% изменения прибыли объясняется изменением акционерного капитала.

Параметры уравнения регрессии (а и в) определяем способом наименьших квадратов из системы уравнения (расчеты в табл. 6).



Для решения системы информацию берем из таблицы №6.

5а+3965в=67,18

3965а+3248285в=57857,62

а=

53273,74-3144245в + 3248285в= 57857,62

104040в=4583,88

в=

а=

=-21,5+0,044х

Коэффициент регрессии в=0,044 свидетельствует о том, что при увеличении акционерного капитала на 1 млн. руб. прибыль возрастет на 0,044 млн руб. или на 44 тыс. руб.

По коэффициенту регрессии определяем коэффициент эластичности (Э) и -коэффициент.

0,92

Следовательно, при увеличении акционерного капитала на 1%, прибыль увеличится на 2,62%.

При увеличении акционерного капитала на одно свое среднеквадратическое отклонение прибыль увеличится на 0,92 своих среднеквадратических отклонений.

Анализ рядов динамики проведем на примере динамики прибыли по одному из предприятий, входящих в совокупность, в частности по предприятию №8.

При анализе будут использованы следующие показатели:

1) характеризующие изменение прибыли по периодам:

а) абсолютный прирост (Дa);

б) темп (коэффициент) роста ;

в) темп прироста .;

г) абсолютное значение одного процента прироста (А).

Все эти показатели могут быть рассчитаны цепным и базисным методом. Цепные показатели динамики характеризуют изменения каждого последующего показателя по сравнению с предыдущим, а базисные по сравнению с уровнем, принятым за базу сравнения (в этой работе - с первоначальным уровнем).

,

где

- уровень сравниваемого периода

- уровень предыдущего периода

- первоначальный уровень (здесь базисный).

Существует взаимосвязь между цепными и базисными темпами роста, выраженными коэффициентами: произведения последовательных цепных темпов роста равно соответствующему базисному.

2) Абсолютное значение одного процента прироста рассчитывается отношением цепного абсолютного прироста к темпу цепного прироста.

3) Пункты роста () представляет собой разность базисных темпов роста, выраженных в процентах

4) Средние показатели динамики определяются для обобщающей характеристики ряда. К ним относят:

а) средний уровень ряда для периодических рядов с уровнями, выраженными абсолютными величинами

б) средний абсолютный прирост (а)

,

где n - число уровней ряда.

в) средний коэффициент роста ()

г) средний темп роста

д) средний темп прироста

Результаты расчетов этих показателей по данным о прибыли предприятия №5 за период с 4 квартала предыдущего года по 4 квартал отчетного года приведены в таблице №7.

Таблица №7

Периоды	При- быль млн. р.	Абсолют. приросты млн. р.	Темпы роста (%)	Темпы прироста (%)	Абсол. содерж. 1% прир. млн. р.	Пункты роста %
		цепные	баз.	цепные	баз.	цепные	баз.
4 кв. пред. пер. 1 кв. 2 кв. 3 кв. 4 кв.	17,3 19,8 21,6 22,3 23,8	- 2,5 1,8 0,7 1,5	- 2,5 4,3 5,0 6,5	- 114,5 109,1 103,2 106,7	- 114,5 124,9 128,9 137,6	- 14,5 9,1 3,2 6,7	- 14,5 24,9 28,9 37,6	- 0,173 0,198 0,219 0,223	- - 10,4 4,0 8,7

Расчет средних показателей

а) средний уровень ряда млн. р.

Следовательно, в изучаемом периоде в среднем ежеквартально прибыль предприятия составляла 20,96 млн. р.

б) средний абсолютный прирост

1,625 млн. р.

Следовательно, в изучаемом периоде в среднем ежеквартально прибыль предприятия увеличилась на 0,4 млн. р.

в) среднегодовой темп роста

10,83%

Следовательно, в изучаемом периоде ежеквартально темп роста в среднем составлял 55,52%.

г) средний темп прироста 108,3-100= 8,3%.

Следовательно, в среднем ежеквартальный темп прироста прибыли составлял 8,3%.

Прогноз прибыли на 1 кв. следующего периода составим на основе выявления основной закономерности изменения прибыли в прошедшем периоде, для чего используем трендовую модель по уравнению прямой: ,

гдепрогнозный уровень

«а» и «в» - параметры уравнения

t - порядковый номер на периоде.

Параметры «а» и «в» определяем способом наименьших квадратов из следующей системы уравнений:

где y - фактическая прибыль по периодам

n - число уровней.

Решение оформим в таблице №8.

Таблица №8

Периоды	Прибыль в млн руб. у	Порядковый номер периода t	уt				(y-
4 квартал предыдущего года	17,3	1	17,3	1	17,86	0,56	0,3136
1 кв.	19,8	2	39,6	4	19,41	0,39	0,1521
2 кв.	21,6	3	64,8	9	20,96	0,64	0,4096
3 кв.	22,3	4	89,2	16	22,51	0,21	0,0441
4 кв.	23,8	5	119,0	25	24,06	0,26	0,0676
Итого:	104,8	15	329,9	55	104,8	-	0,987

Решение:

5а+15в=104,8

15а+55в=329,9

329,9

314,4-45в+55в=329,9

10в=15,5

в=1,55 16,31

Следовательно, 16,31+1,55t

Так как 1 кв. следующего года имеет порядковый номер квартала - 6, то прибыль (прогнозная) составит

16,31+25,61 млн. руб.,

где 6 - порядковый номер прогнозного периода.

Используя приведенное уравнение, рассчитаем для каждого периода теоретическое значение прибыли (результаты см. в таблице №8).

У нас 104,8 что подтверждает правильность расчетов.

Но это точечный прогноз. Однако фактическое значение всегда будет сколько-нибудь отличаться от этой величины, поэтому надо определить доверительные интервалы прогноза ()

,

где s-среднее квадратическое отклонение от тренда;

- табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости а.

,

где 1) -фактические и теоретические уровни;

2) m - число параметров в уравнении тренда (m=2).

- берем из табл. 8.

0,5736

Относительная ошибка уравнения

4,4%

Следовательно, ошибка невелика и составляет чуть более 4%.

при уровне значимости 5% (что соответствует вероятности 0,95) и числе степеней свободы (n-m)=3 равно 3,182 (по таблице Стьюдента).

,

тогда 25,61-0,8225,61+0,82

24,7926,43

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что прибыль предприятия №5 в 1 квартале следующего года будет находиться в пределах от 24,79 млн р. до 26,43 млн руб.

Применение методов наименьших квадратов для обработки рядов динамики не требует выдвижения никаких предположений о законах распределения исходных данных. Однако при использовании метода наименьших квадратов для обработки связных рядов следует учитывать наличие автокорреляции.

Наиболее распространенным примером выявления наличия автокорреляции в отклонениях от тренда, является использование критерия Дарбина-Уотсона, который рассчитывается по формуле

Эмпирическое правило гласит, что если критерии Дарбина-Уотсона находится в пределах до 2,5, то не существует автокорреляции.

Расчет критерия Дарбина-Уотсона произведем в таблице №9.

Таблица №9

Периоды
IV кв. предыд. г	17,3	17,86	- 0,56	0,39	0,3136	0,95	0,9025
I квартал	19,8	19,41	0,39	0,64	0,1521	0,25	0,0625
II квартал	21,6	20,96	0,64	- 0,21	0,4096	- 0,85	0,7225
III квартал	22,3	22,51	- 0,21	- 0,26	0,0441	- 0,05	0,0025
IV квартал	23,8	24,06	- 0,26	-	0,0676	-	-
Итого	104,8	104,8			0,987		1,69

Так как коэффициент Дарбина-Уотсона находится в пределах до 2,5 (DW = 1,71), то отклонение уровней от тенденции (так называемые остатки) случайны и нет оснований утверждать, что не выполняются условия, выполнение которых предполагалось при оценивании уравнения тренда, и, следовательно, нет оснований для дополнительных исследований.

Методические указания и решение типовых задач к заданию 2

Статистический индекс - это относительная величина сопоставления сложных совокупностей и отдельных их единиц. Под сложной понимают такую статистическую совокупность, отдельные элементы которой непосредственно несопоставимы и прямо не подлежат суммированию.

В зависимости от степени охвата единиц изучаемой совокупности индексы подразделяются на индивидуальные и общие. Индивидуальные индексы (i) характеризуют изменение признака у отдельных единиц совокупности. Общие индексы (J) выражают изменение признака по всей совокупности.

Под индексируемой величиной понимают значение признака совокупности, изменение которого изучается. Так при изучении изменения цен индексируемой величиной является цена единицы товара (Р), при изучении физического объема продажи - количество проданного товара в натуральных единицах (q). Результаты расчетов индексов выражаются в коэффициентах или в процентах.

Задача 1. Рассмотрим индексный метод изучения динамики сложных статистических совокупностей по данным о ценах и реализации товаров за два периода. Информация и расчет внесены в таблицу №14.

Таблица №10

Товар	Ед. изм.	Количество единиц	Цена единицы, р.	Стоимость (товарооборот), р.	Индекс
		баз. пер.	отч. пер.	баз. пер.	отч. пер	баз. пер.	отч. пер.	условн.	условн.	цены	физ. объема
C	м.	1050	1100	33	28	34650	30800	36300	29400	0,85	1,05
D	шт.	2040	2100	17	9	34680	18900	35700	18360	0,53	1,03
Итого:		х	х	х	х	69330	49700	72000	47760

1. Индивидуальные индексы физического объема реализации определяются по формуле

Индексы физического объема реализации

1,05 или 105,0% (увеличение объема продажи на 5%)

1,03 или 103,0% (увеличение на 3%)

Индексы физического объема цены

0,85 или 85,0%

0,53 или 53,0% (снижение цен соответственно на 15% и 47%)

Основной формой общих индексов являются агрегатные индексы, в которых достигается соизмеримость разнородных показателей, являющихся элементами сложных совокупностей. При этом в числителе и знаменателе общего индекса изменяется только значение индексируемой величины, а их соизмерители являются постоянными величинами и фиксируются на одном уровне базисного или отчетного периода.

Агрегатная формула индекса цен Г. Пааше имеет вид:

Используя расчетные показатели таблицы получим 0,69 или 69,0%, т.е. по двум видам товаров цены снизились в среднем на 31%.

Агрегатная формула индекса цен Э. Ласпейреса

, тогда

0,69 или 69,0%, т.е. если бы объем продажи в отчетном периоде по сравнению с базисным не изменился, то цены в среднем снизились бы на 31%.

При вычислении индекса физического объема также возможны разные решения в зависимости от выбора соизмерителя

По методике Г. Пааше , тогда 1,04 или 104,0%, т.е. физический объем реализации в фактических ценах увеличился на 4,0%.

По методике Ласпейреса , тогда 1,039 или 103,9% - объем реализации в сопоставимых ценах увеличился на 3,9%.

Общий индекс товарооборота (стоимости реализации) в текущих ценах , т.е. 0,72 или 72%, т.е. в отчетном периоде по сравнению с базисным товарооборотом снизился на 28%.

Агрегатные индексы взаимосвязаны между собой по формуле

(мультипликативная модель).

Эта взаимосвязь возможна в двух вариантах сочетания этих индексов:

индекса физического объема Ласпейреса и индекса цен Пааше

индекса физического объема Пааше и индекса цен Ласпейреса

Формулы агрегатных индексов позволяют осуществить разложение абсолютного прироста товарооборота по факторам:

(аддитивная модель),

где абсолютный прирост стоимости продукции всего в том числе:

вследствие изменения физического объема реализации;

вследствие изменения цены;

По методике Пааше:



49700-69330=-19630 р.

в т.ч. а)

72000-69330= 2670 р., т.е. товарооборот за счет изменения физического объема продажи увеличился на 2670 р.

б)

49700-72000=-22300, т.е. товарооборот в результате среднего изменения цены уменьшился на 22300 р.

проверка:

2670-22300=-19630 (фирма не дополучила вследствие снижения цен 22300 р., а население не затратило вследствие повышения цен 22300 р.)

Методика Ласпейреса:

49700-69330=-19630 р.

в т.ч. а)

49700-47760= 1940 р. т.е. увеличение товарооборота в фактических ценах за счет изменения физического объема составило 1940 р.

б)

47760-69330=-21570 р., т.е. условный отрицательный прирост товарооборота при сохранении объема продажи на базисном уровне -21570 р.

Проверка:

1940-21570=-19630 р.

В экономической практике возникают случаи, когда известны не абсолютные значения индексируемых показателей, а их относительные изменения. Тогда агрегатный индекс можно рассчитать косвенным путем, если известен результативный показатель отчетного или базисного периода, используя индивидуальные индексы.

Подобную ситуацию рассмотрим на следующих примерах.

Задача 2. Имеются данные по производственной фирме

Таблица №11.

Виды продукции	Затраты на производство, тыс. руб.	Изменение физического объема производства в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
	Базисный период	Отчетный период
А	780	859	+18
Б	1400	1540	Нет изменений
В	160	180	+4

Агрегатный индекс физического объема производства исчисляется по формуле:

Для определения найдем из формулы индивидуального индекса физического объема: , тогда

, т.е. агрегатный индекс физического объема преобразовали в средне арифметический индекс.

1) По данным об изменении натурального выпуска продукции (табл. 15) определим индивидуальные индексы:

или 1,18

или 1,0

или 1,04

или 106% т.е. объем производства в целом увеличился на 6%.

Общий индекс затрат на производство продукции или 110%, т.е. производственные затраты фирмы увеличились на 10%.

3) Для определения общего индекса себестоимости используем формулу взаимосвязи

, тогда

или 103,7%, себестоимость единицы продукции по фирме увеличилась в среднем на 3,7%.

Задача 3. Рассмотрим пример решения задачи, информация к которой внесена в таблицу №16.

Таблица №12

Вид продукции	Товарооборот в фактических ценах, тыс. р.	Изменение средних цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
	Базисный период	Отчетный период
А	120	160	+18
Б	48	60	+4
В	64	90	-1

Определяем индивидуальные индексы цены (данные табл. 12)

или 1,18

или 1,04

или 0,99

Общий индекс цены: , для определения условного товарооборота определяем из формулы индивидуального индекса цены , тогда , т.е. преобразовали агрегатную формулу в средне гармоническую форму.

или 109%, т.е. цены в отчетном периоде по сравнению с базисным повысились в среднем на 9%.

Определим индекс товарооборота в фактических ценах

или 134%, т.е. товарооборот увеличился на 34%.

Индекс товарооборота в сопоставимых ценах (индекс физического объема) можно определить по формуле взаимосвязи: , тогда:

или 123%, т.е. натуральный объем продажи увеличился на 23%.

Сумма денежных средств, дополнительно затраченных населением вследствие повышения цен адекватна приросту товарооборота в результате повышения цен.

тыс. р. - население дополнительно затратило в отчетном периоде на указанные товары 25,82 тыс. р.

Индексный метод широко применяется для изучения динамики средних величин и выявления факторов, влияющих на динамику средних. Исчисляется система взаимосвязанных индексов: переменного, постоянного состава и структурных сдвигов:

Индекс переменного состава исчисляется для любых качественных показателей по формуле: и характеризует изменение взвешенных средних за счет: а) изменения осредняемого признака у отдельных единиц совокупности; б) изменения структуры изучаемой совокупности.

Индекс постоянного состава: учитываем изменение средней только за счет изменения изучаемого (осредняемого) признака у отдельных единиц совокупности.

Индекс структурных сдвигов: показывает влияние изменения структуры совокупности на динамику средней. Под структурными изменениями понимают изменение удельного веса (доли) отдельных единиц совокупности в общей их численности



По рассмотренным формулам анализируют динамику средних цен, средней производительности труда, заработной платы, себестоимости, фондоотдачи и других качественных показателей.

Имеются данные о продаже товара Б на трех субрынках района:

Таблица №13

Субрынок	Цена за ед., р.	Объем продажи, тыс. ед.	Расчетные показатели
			Стоим. прод. (товарооб.), тыс. р.	Индекс цены	Уд. вес прод., %
	баз. пер.	отч. пер.	баз. пер.	отч. пер.	баз. пер.	отч. пер.	услов.		баз. пер.	отч. пер.
Условные обознач.
1	37	42	23	20	851	840	740
2	33	40	42	34	1386	1360	1122
3	36	39	37	35	1332	1365	1260
Итого			102	89	3569	3565	3122

Решение:

, т.е. уровень цены товара Б на 1 рынке увеличился на 13,5%, на 2 - повысился на 21,2%, на 3 - повысился на 8,3%.

2. а)

Средняя по трем рынкам цена повысилась на 14,6%.

б)

или

За счет изменения цены на каждом рынке средняя цена повысилась на 14,2%

в)

или

За счет изменения структуры продажи по рынкам (см. таблицу) средняя цена увеличилась на 0,4%.

3. Тоже в абсолютном выражении:

40,06-35,0=5,06 р.

а) 40,06-35,079=4,98 р.

б) 35,079-35,0= 0,08 р.

Проверка:

5,06=4,98+0,08=5,06 р.

Повышение средней цены ед. товара Б составило 4,98 р., в т.ч. за счет изменения цены на каждом рынке на 5,06 р., за счет изменения доли продажи по рынкам средняя выросла на 0,08 р.