2

Введение

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

Золотое Сечение и связанные с ним числа Фибоначчи пронизывают всю историю искусства. Пирамида Хеопса, самая известная из Египетских пирамид, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптурных памятников, непревзойденная "Джоконда" Леонардо да Винчи, картины Рафаэля, Шишкина и современного русского художника Константина Васильева, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского и Бэлла Барток, "Модулор" Корбюзье - вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией, основанной на Золотом Сечении.

Что такое Золотое сечение? Секрет Золотого сечения

На протяжении многих веков, для построения гармоничных композиций художники пользуются понятием "Золотого сечения".

«Золотое сечение» - деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (т.е. АВ/АС=АС/АВ). Это отношение равно примерно 5:8. "Золотое сечение" - способ pазделить отpезок AB на две неpавные части точкой X так, чтобы выполнялось yсловие AX/XB = XB/AB.На основе данного правила существуют различные способы построения гармоничных композиций.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ - пропорция, которой древние маги приписывали особые свойства. Если произвести деление объекта на две неравные части так, что меньшая будет относиться к большей, как большая ко всему объекту, возникнет так называемое золотое сечение. Упрощенно такое соотношение можно представить как 2/3 или 3/5. Замечено, что объекты, содержащие в себе "золотое сечение", воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. "Золотое сечение" обнаружено в египетских пирамидах, многих произведениях искусства - скульптурах, картинах, и даже кинофильмах. Большинство художников использовали пропорции "золотого сечения" интуитивно. Но некоторые делали это сознательно.

Золотое сечение и гармония

Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею.

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, - писал он, - что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Золотое сечение в греческом искусстве

Идея гармонии, основанной на золотом сечении, не могла не коснуться греческого искусства. Природа, взятая в широком смысле, включала в себя и творческий мир человека, искусство, музыку, где действуют те же законы ритма и гармонии. Предоставим слово Аристотелю: "Природа стремится к противоположностям и из них, а не из подобных вещей, образует созвучие…Она сочетала мужской пол с женским. А не каждый из них с однородным, и таким образом первую общественную связь она образовала через соединение противоположностей, а не посредством подобного. Также и искусство, по-видимому, подражая природе, поступает таким же образом. А именно живопись делает изображения, соответствующие оригиналам, смешивая белые, черные, желтые и красные краски. Музыка создает единую гармонию, смешав в совместном пении различных голосов звуки высокие и низкие, протяжные и короткие. Грамматика из смеси гласных и согласных ... создала целое искусство".

Взять материал и исключить все лишнее - таков афористически запечатленный план ваятеля, вобравшего в себя всю серьезность философской мудрости античного мыслителя. И это - главная идея греческого искусства, для которого "золотое сечение" впервые стало некоторым эстетическим каноном.

Основу искусства составляет теория пропорций. И, конечно же, вопросы пропорциональности не могли пройти мимо Пифагора. Из философов Греции Пифагор, может быть впервые, старается математически разобрать существо гармонических пропорций. Пифагор знал, что интервалы октавы могут быть выражены числами, которые отвечают соответствующим колебаниям струны, и эти числовые отношения были положены Пифагором в основу их музыкальной гармонии. Пифагору приписывают знание арифметической, геометрической и гармонической пропорций, а также закона золотого сечения. Последнему Пифагор придавал особое, выдающееся значение, сделав пентаграмму или звездчатый пятиугольник отличительным знаком своего "союза".

Платон, заимствуя пифагорейское учение о гармонии, использует пять правильных многогранников ("платоновых тел") и подчеркивает их "идеальную" красоту. Значение пропорций Платон подчеркивает в следующем высказывании: "Две части или величины не могут быть удовлетворительно связаны между собой без посредства третьей; наиболее красивым связующим звеном является то, которое совместно с двумя первоначальными величинами дает наиболее совершенное единое целое. Достигается это наилучшим образом пропорцией (аналогией), в которой из трех чисел, плоскостей или тел, среднее так относится ко второму, как первое к среднему, а также второе к среднему как среднее к первому. Из этого следует, что среднее может заменить первое и второе, первое же и второе - среднее и все вместе, таким образом, составляет неразрывное единое целое".

Аристотель основными требованиями красоты выдвигает порядок, пропорциональность и ограниченность в размерах. Порядок возникает тогда, когда между частями целого возникают определенные соотношения, пропорции. В музыке Аристотель признает октаву наиболее красивым консонансом в виду того, что число колебаний между основным тоном и октавой выражается первыми числами натурального ряда: 1:2. В поэзии, по его мнению, ритмические отношения стиха основаны на малых численных соотношениях, этим самым достигается красивое впечатление. Кроме простоты, основанной на соизмеримости отдельных частей и целого, Аристотель, как и Платон, признает высшую красоту правильных фигур и пропорции, основанной на золотом сечении.

Не только философы Древней Греции, но и многие греческие художники и архитекторы уделяли значительное внимание достижению пропорциональности. И это подтверждается анализом архитектурных сооружений греческих зодчих. Фригийские гробницы и античный Парфенон, "Канон" Поликлета и Афродита Книдская Праксителя, наиболее совершенный греческий театр в Эпидавре и древнейший из дошедших до нас театр Диониса в Афинах - все это яркие образцы ваяния и творчества, исполненные глубокой гармонии на основе золотого сечения.

Театр в Эпидавре построен Поликлетом Младшим в 40-ю Олимпиаду. Рассчитан на 15 тысяч человек. Театрон (место для зрителей) делится на два яруса: первый имеет 34 ряда мест, второй - 21 (числа Фибоначчи!). Раствор угла, объемлющего пространство между театроном и скеной (пристройка для переодевания актеров и хранения реквизита), делит окружность основания амфитеатра в отношении 137,5:222,5 = 0.618 (золотая пропорция). Это соотношение реализовано практически во всех античных театрах. Данная пропорция у Витрувия в его схематических изображениях такого рода построек, составляет 5:8, то есть рассматривается как отношение чисел Фибоначчи.

Театр Диониса в Афинах трехъярусный. Первый ярус имеет 13 секторов, второй -21 (числа Фибоначчи!). Отношение растворов углов, делящих окружность основания на две части - то же самое, то есть золотая пропорция.

Три смежных числа из начального фрагмента ряда Фибоначчи 5, 8, 13 есть величины разностей между радиусами окружностей, лежащих в основании плана построения большинства театров. Ряд Фибоначчи служил как бы масштабной шкалой, где каждое число соответствует целым единицам аттического фута, но в то же время эти величины связаны между собой единой математической закономерностью.

При построении храмов за основу брался человек как "мера всех вещей": в храм он должен входить "с гордо поднятой головой". Его рост делился на 6 единиц (греческих футов), которые откладывались на линейке, а на нее наносилась шкала, жестко связанная с последовательностью шести членов ряда Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13 (их сумма равна 32 = 25). Прибавлением или вычитанием этих эталонных отрезков достигались необходимые пропорции сооружения. Шестикратное увеличение всех отложенных на линейке размеров сохраняло гармоническую пропорцию. В соответствии с этой шкалой и строили храмы, театры или стадионы.

Что касается греческой скульптуры, то и здесь искания пропорциональности человеческого тела - несомненны. Еще Диодор упоминает о двух скульпторах с острова Самос - о Телекле и Теодоре, которые якобы впервые перенесли выработанные в Египте нормы человеческого тела в греческую скульптуру. Плиний свидетельствует, что скульптор Поликлет написал статью о правильных пропорциях человеческого тела и вылепил знаменитую статую Дорифора (Рис. 1), которая долгое время служила каноном.

Рис. 1

Гармонический анализ статуи Дорифора, изложенный в книге русского Проф. Г.Д. Гримма "Пропорциональность в архитектуре" (1933), указывает на следующую связь знаменитой статуи с золотым сечением M = t:

первый раздел фигуры Дорифора или ее полной высоты M0 = 1 в пропорции золотого сечения M1 = t -1 и M2 = t -2 проходит через пупок;

второй раздел нижней части туловища M1 = t -1 и M2 = t -2 проходит M2 = t -2 и M3 = t -3 проходит через линию колена;

третий раздел M3 = t -3 и M4 = t -4 проходит через линию шеи.

Теория измерения гармонии по принципу деления целого в среднем и крайнем отношении ("золотое сечение"), разработанная античными математиками, и стала тем фундаментом, той стартовой площадкой, на которой впоследствии были воздвигнуты концепции гармонии в науке и искусстве новоевропейской науки.

Золотое сечение в живописи

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность - одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”. Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится “обо всем на свете”.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них:

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

Сказка:

Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: “Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя”. Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи. Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер он сшил для нее красивую шелковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями - ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула. Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: “Ты должна быть моей женой”. Но женщина ответила: “Ты меня создал - будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил - будьте мне братьями.

А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь”.

Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано - художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество. Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель...

Золотое сечение в скульптуре

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции “золотого сечения” создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”. Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал “золотое сечение” в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.

Золотое сечение в архитектуре

В книгах о “золотом сечении” можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими “золотое сечение”, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. “Золотое сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин. Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным, выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по “золотому сечению”, то получим те или иные выступы фасада. Другим примером из архитектуры древности является Пантеон.

Заключение

Рациональные и иррациональные числа являются своеобразными противоположностями. Но природа едина, и ее противоположности не только находятся в противодействии, борьбе, но и в единстве. И не удивительно, что многие иррациональные числа выражаются через совокупность целых чисел. Все три числа:p, e и Ф - связаны между собой простыми отношениями и могут быть выражены в виде пределов бесконечных дробей. Кроме того, на примере золотой пропорции показано, что целые числа натурального ряда : 1, 2, 3, … могут быть выражены через иррациональное число Ф. Кроме того, число Ф с любой степенью точности может быть выражено через отношение целых чисел. Разве эти примеры не свидетельствуют о единстве рационального и иррационального в природе?!

Мы так часто говорим о единстве и борьбе противоположностей, что это понятие стало тривиальным, само собой разумеющимся и не требующим исследования. Может быть, поэтому этот фундаментальный закон природы так мало исследован и углублен и, что характерно, почти совершенно не математизирован. А между тем он достоин самого пристального изучения и развития - ведь это один из основных, наиболее общих законов мироздания.

Источники информации

1. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Вища школа, 1989.

2. Кеплер И. О шестиугольных снежинках. - М., 1982.

3. Дюрер А. Дневники, письма, трактаты - Л., М., 1957.

4. Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. - София, 1983.

5. Стахов А. Коды золотой пропорции.