Статически определимые фермы и рамы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Раздел 14

Статически определимые фермы и рамы

Метод сил

Основные понятия

Плоские шарнирно-стержневые конструкции, в которых все стержни работают на растяжение или сжатие называется фермами (рис.14.1 - 14.2). Такие конструкции используются в пролетах мостов, в башенных кранах, в различных перекрытиях и т.д.

Рис. 14.1	Рис. 14.2

Если стержни в ферме соединены сваркой, но имеют большую длину и малую изгибную жесткость, то их приближенно можно считать работающими только на осевые нагрузки. В фермах верхние горизонтальные стержни называют верхний пояс, нижние горизонтальные нижний пояс, наклонные стержни раскосы, вертикальные стойки. Нагрузки считаются приложенными в узлах. Погонные распределенные нагрузки q приводятся к силам в узлах (рис. 14.2).

Если элементы стержневой конструкции достаточно короткие и имеют большие размеры поперечных сечений, т.е. большую изгибную жесткость EJ, то такие стержни в основном работают на изгиб и конструкция называется рамой (рис. 14.3, 14.4).

Здесь стержни в узлах соединены жестко (сваркой). В рамах силы F и нагрузки q могут быть произвольно приложены, q не надо приводить к узлам.

Рис. 14.3.	i =1 ,2,3,4. Рис. 14.4.

Степень статической определимости и изменяемости

I. Фермы:

Для ферм эта степень определяется по формуле

(14.1)

Здесь: R - число опорных связей;

С - число стержней в ферме;

Ш - число шарниров.

Если W = 0 ферма неизменяема и статически определима.

Если W < 0 ферма геометрически изменяема (механизм), не пригодна к эксплуатации.

Если W > 0 ферма статически неопределима и неизменяема. W = n раз статически неопределима. Рис.14.1: R = 3, C = 9, Ш = 6 по (14.1) W = 3 + 9 - 2 x 6 = 0, ферма статически определима, но мгновенно геометрически изменяема, т.к. все опорные связи пересекаются в т.А. и возможен малый поворот фермы относительно т.А. Такую ферму эксплуатировать нельзя. Если верхнюю опору сделать горизонтальной, ферма станет геометрически неизменяемой и пригодной к эксплуатации.

Итак: в ферме все опорные связи не должны пересекаться в одной точке.

Рис.14.2: R = 3, C = 7, Ш = 5, W = 3 + 7 - 2 x 5 = 0, ферма статически определима и геометрически неизменяема.

II. Рамы:

Здесь

W = R - 3 + 3K, (14.2)

где: R - общее число опорных связей;

К - число замкнутых контуров.

Рис. 14.3: R = 7, K = 1, W = 7 - 3 + 3 x 1 = 7 раз статически неопределима.

Рис. 14.4: R = 3, K = 0, W = 3 - 3 + 3 x 0 = 0, рама статически определима.

Статическая неопределимость бывает трех типов:

1). Наружной (внешней), определяется , т.е. если число опорных связей больше трех;

2). Внутренней, определяется SB = W - SH

3). Смешанной, если SH ? 0 и SB ? 0.

Рис. 14.3: SH = 7 - 3 = 4 раза внешне статически неопределима;

SB = 7 - 4 = 3 раза внутренне статически неопределима, т.е. это смешанный тип статической неопределимости.

Определение внутренних продольных сил в сечениях стержней статически определимых ферм

Рис.14.5

Как указано выше, в фермах стержни работают на растяжение или сжатие, т.е. в них возникают продольные силы , которые определяются методом сечений: стержень мысленно разрезается в произвольном месте, получим две его части, прикрепленные к соседним узлам. В каждой его части показываем в сечении растягивающее усилие . Например, разрежем стержень А-2 (см. рис. 14.5).

К левой его части, соединенной с опорой А, приложим растягивающее усилие NA2, а к правой части, соединенной в узле 2, растягивающее усилие N2A. Очевидно, что NA2 = N2A. Аналогично, вводим усилия во всех стержнях фермы.

Расчет фермы начинают с определения всех опорных реакций из обычных уравнений равновесия для всей фермы. Усилия в стержнях фермы можно определять двумя способами:

Метод вырезания узлов:

Обычно используется, когда в узле (шарнире)сходятся два стержня с неизвестными усилиями . Например, вырежем узел А на рис. 14.5. Здесь сходятся два стержня А-1 и А-2. Как показано выше, усилия в них обозначим NА1 и NА2 (растягивающие). Для их определения можно составить два уравнения равновесия узла А: ?Z=0 и ?Y=0 (направления осей Y и Z показаны на рис. 14.5). При этом надо учитывать реакции RА и НА в опоре А и знать все углы между стержнями. Если из расчета получим > 0, то этот стержень растянут, а если < 0, то сжат. Далее можно вырезать узел 1. Здесь неизвестны усилия N12 и N13 (растягивающие), а N1A = NA1 - уже известно. Составим для узла 1 уравнения статики:

?z = 0, ? y = 0 (учесть силу F в узле 1) и из них найдем N13 и N12. Далее можно вырезать узел 2, где неизвестны N23 и N24, а N21 = N12, N2A = NA2 - уже известны. В уравнениях ? y = 0 и ? z = 0 учесть силу F в узле 2. Потом последовательно вырезаем другие узлы и находим в остальных стержнях. Если ферма и нагрузки на ней имеют симметрию (как на рис. 14.5), то ее надо использовать. Из рис. 14.5 получим: NB5 = NA1, NB4 = NA2, N45 = N21, N53 = N13, N43 = N23.

2. Метод разрезов (сечений)

Ферму мысленно разрезают на две части сечением так, чтобы перерезанными были три стержня. Рассматривают равновесие одной части фермы, в перерезанных стержнях этой части показывают растягивающие усилия . Составляют три уравнения равновесия для рассматриваемой части фермы. Моментные уравнения (для простоты вычислений) надо составить относительно тех точек, где сходятся два неизвестных усилия и проще определить плечи у сил . Из этих трех уравнений и определяются три усилия . Например, ферму на рис. 14.5 разрежем сечением С-С и рассмотрим равновесие ее правой части. Неизвестные усилия в стержнях: N31, N32, N42 (растягивающие) показаны на рис. 14.5. В узле 3 сходятся усилия N31 и N32, поэтому составим моментное уравнение равновесие правой части фермы относительно узла 3: ?mom3=0. Здесь плечо для усилия N42 определяется легко, обязательно учесть силы F в узлах 3,4,5 и реакцию RB в узле В. Из этого уравнения вычисляется N42. Далее лучше составить уравнения ?z = 0 и ? y = 0 для всей правой части фермы с нагрузками на нее, из которых находятся усилия N31 и N32. Далее можно сделать разрез К-К, здесь неизвестными будут N53, N54, NB4 и рассмотреть равновесие правой части фермы. Моментное уравнение равновесия лучше составить относительно узла 5, из которого найдется NB4. Потом можно составить для правой части фермы ?y = 0 и ?z = 0, из которых определяется N54 и N53. Во всех уравнениях равновесия надо учитывать силу F в узле 5 и реакцию RB в узле В.

В остальных стержнях усилия можно найти методом вырезания узлов, т.е. в одной задаче можно использовать оба метода. Желательно использовать симметрию задачи (если она имеет место).

Определение внутренних силовых факторов (ВСФ) в статически определимых рамах.

В отличии от фермы, в стержнях рамы могут возникать: - продольные силы,  - поперечные силы, - изгибающие моменты. Сначала, из обычных уравнений равновесия всей рамы, определяют все три реакции. Если ввести для плоской рамы скользящую систему координат (как на рис. 14.4), причем оси на каждом участке направлять вдоль оси стержня, то в стержнях рамы ВСФ можно обозначить так:

. Далее, как показано в разделе 5 для балок, методом сечений с использованием формул (5.2) и (5.3) для каждого i-го участка рамы определяется и . А определяются из аналогичных формул . По этим формулам на каждом участке рамы можно построить эпюры , эпюры и эпюры . Эти эпюры строятся по правилам, принятым в разделе 5 (см. Пример 1, рис. 5.5).

Метод сил.

Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)

Рис.14.6.

ферма сжатие растяжение бетти

На горизонтальную балку АВ приложим статически силу Р1. Балка прогнется и займет положение пунктирной линии, сила Р1 совершит работу А11 = Р1Д11/2. Далее приложим статически силу Р2, балка еще прогнется (сплошная линия), сила Р2 совершит работу А22 = Р2Д22/2. При этом сила , постоянная на перемещении, совершит работу . Суммарная работа А при этом будет

А = А11 + А12 + А22 = Р1Д11/2 + Р1Д12 + Р2Д22/2 (14.3)

Здесь: Д11- перемещение по направлению Р1 от Р1;

Д12 - перемещение по направлению Р1 от Р2;

Д21 - перемещение по направлению Р2 от Р1;

Д22 - перемещение по направлению Р2 от Р2

По принципу независимости действия сил, суммарную деформацию балки (сплошная линия), можно получить одновременно статически прикладывая Р1 и Р2. При этом получим ту же работу А

А = Р1(Д11+Д12)/2 + Р2(Д21+ Д22)/2 (14.4)

Приравнивая (14.3) и (14.4) получим

Р1Д12 = Р2 Д21 или А12 = А21 (14.5)

Итак: Работа Р1 по ее направлению на перемещении (Д12), вызванном Р2, равна работе Р2 по ее направлению на перемещении (Д21), вызванном Р1. Это и есть теорема Бетти. Эта теорема справедлива и в случае, когда под Р1 и Р2 подразумеваются системы нагрузок.

II. Теорема о взаимности перемещений (принцип Максвелла)

Пусть на балку (рис. 14.6) приложены силы Р1 = Р2 = 1 (единичные силы). Для удобства перемещения от этих единичных сил будем обозначать . С учетом (14.5) можно записать

, т.к. Р1 = Р2 = 1 получим

(14.6)

Это и есть принцип Максвелла: для двух единичных нагружений упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванной первой силой.

Ш. Формула перемещений (Мора)

В разделе 3, формула (3.18) показано, что потенциальная энергия деформации при растяжении (сжатии) стержня силой равна

(14.7)

В разделе 5, формула (5.21) показано, что при изгибе стержня энергия

.

В общем случае можно записать, допуская, что изгиб М может быть и относительно оси х () и относительно оси у()

(14.8)

Полагаем, что деформации стержней малы, материал их подчиняется закону Гука, потерь энергии нет и работы определенные выше, переходят в потенциальные энергии , т.е. , где i = 1,2 и j = 1,2.

От нагрузки Р1 в каждом стержне конструкции появляются N = N1 и М = М1. С учетом (14.7) и (14.8) и т.к. получим

(а)

Здесь интегрирования надо вести по длине каждого стержня, а потом суммировать по всем стержням конструкции.

От нагрузки Р2 в каждом стержне появляется N = N2 и М = М2 и тогда

(в)

При одновременном действии нагрузок Р1 и Р2 в каждом стержне появятся N = N1 + N2 и М = М1 + М2 и тогда работа, совершаемая этими силами

(с)

Из формулы (14.3) найдем

Подставляя сюда формулы (а), (в) и (с) получим

После простых преобразований найдем:

(d)

Полагаем: 1) Р1 = 1 (единичная нагрузка), от нее возникают N1 и М1 во всех стержнях;

2) Р2 = РР - внешняя нагрузка, от нее в каждом стержне возникают N2 = NP, М2 = МР, а т.к. А12 = Р1Д12 = 1• Д12 = Д12 = Д1Р.

Подставляя все вышесказанное в (d) получим

(14.9)

Эта формула называется формула Мора, она определяет перемещение в направлении «единичной силы» от внешней нагрузки.

Порядок вычислений по формуле Мора

1. От внешней нагрузки для каждого стержня конструкции находятся формулы для вычислений и построения эпюр NР и MP;

2. в искомом сечении по направлению искомого перемещения прикладывается «единичная нагрузка» (для линейного перемещения - сосредоточенная сила Р1=1, для угла поворота сечения - сосредоточенный момент m1=1) и от этого нагрузки во всех стержнях определяются формулы для N1 и М1, по которым строятся эпюры и ;

3. искомое перемещение определяется по формуле Мора (14.9), что на практике сводится к перемножению эпюр: N1 на NP и эпюр: М1 на МР для каждого стержня и суммированием результатов;

4. если в результате вычислений получиться Д1Р > 0, то искомое перемещение совпадает с направлением «единичной нагрузки».

В формуле (14.9): Е - модуль упругости материала стержней, А и J - площади и моменты инерции относительно оси изгиба сечений каждого стержня.

На практике в формуле (14.9) используются лишь одно слагаемое:

В фермах, где стержни работают в основном на растяжение-сжатие оставляют обычно только первое слагаемое. А т.к. эпюры и постоянны по длине стержней, то

(14.10)

Здесь n - число стержней в ферме.

В рамах (балках) используются обычно стержни большой изгибной жесткости EI и они работают в основном на изгиб. Поэтому, с достаточной точностью в (14.9) можно оставить только второе слагаемое

(14.11)

Перемножение эпюр можно проводить способом Верещагина: произведение эпюр равно площади одной эпюры, умноженной на ординату второй эпюры под центром тяжести первой. Умножение вести с учетом знаков.

Например:

1)
2)	Трапецию надо разбить на 2 фигуры: треугольник и прямоугольник
3)	Верхнюю эпюру с переменными знаками представляют в виде суммы двух треугольников (пунктир) с разными знаками
4)	Эпюры ограничены параболой n-ой степени. Эти эпюры лучше принимать за первые и для них определять А и A1= A2=

Рис.14.7.

Определение перемещений в статически определимых конструкциях методом сил

Пример 1.

Рис.14.8.

У рамы на рис. 14.8а найти вертикальное перемещение т.С от заданной нагрузки q?

Порядок расчета:

1. Строим эпюры МРi от нагрузки q для каждого i-го участка:

I участок. 0 ? S1 ? а, .

Считаем: , , , , ,

По этим данным строим эпюру МР1 на рис. 14.9.

II участок. 0 ? S2 ? a .

Строим эпюру МР2.

2. По условию задачи надо найти вертикальное перемещение т.С рамы, поэтому в этой точке прикладываем вертикальную силу Р1=1. Например, вверх на рис. 14.8в.

От этой единичной силы строим эпюры для всех участков рамы:

I участок. 0 ? S1? a, М11=Р1S1, считаем:

II участок. 0 ? S2? a, М12=Р1a = a - const.

По этим данным строим эпюры на рис. 14.9.

Рис.14.9.

3. Перемножаем эпюры и эпюры как показано на рис. 14.7 на каждом i-м участке рамы:

	Здесь А1 и ZC1 находим из рис. 14.7 п.4 для квадратной параболы n = 2. У1 найдем из пропорций для нижнего треугольника

4. Перемещение т. С ДС=Д1Р найдем по (14.11) суммированием чисел В и К

Здесь изгибная жесткость участков рамы.

Получили ДС < 0, это означает, что т.С переместится в направлении, противоположном направлению приложенной силы Р1=1 (вверх). Точка С переместится вниз.

Если для рамы на рис.14.8 а надо определить горизонтальное перемещение т.С, то в т.С прикладываем горизонтальную силу Р1=1. Если надо найти угол поворота сечения в т.С, то в ней прикладываем единичный момент m=1. От них и строятся эпюры , а эпюры от нагрузки q не меняются.

Пример 2.

Рассмотрим ферму, показанную на рис.14.1. Как показано выше в п.1, чтобы эта ферма была геометрически неизменяема, в опоре В опорный стержень надо расположить горизонтально, при этом ферма будет статически определима.

Для такой фермы надо определить вертикальное перемещение узла С от действия нагрузок F в узлах С и D.

Порядок расчета:

для заданной фермы от заданных нагрузок из обычных уравнений статики для всей фермы находим три опорных реакции RA, HA и HB;

методом вырезания узлов или методом сечений находим продольные усилия NРi во всех iх стержнях фермы от заданных нагрузок F;

убираем силы F в узлах С и D, а в узле С прикладываем по направлению искомого перемещения вертикальную силу Р=1 (например вниз). От этой единичной силы Р=1 снова определяем все опорные реакции , , и далее находим продольные усилия во всех ix стержнях фермы;

искомое перемещение ДС найдем по формуле (14.10)

i=1,2,… 9- число стержней.

Здесь: E - продольный модуль упругости материала стержней;

- площади поперечных сечений и длины всех стержней;

Суммирование надо вести по всем девяти стержням фермы.

Аналогично можно найти перемещение любого узла фермы (вертикальное или горизонтальное), прикладывая в этом узле силу Р=1 по направлению искомого перемещения и определяя от нее усилия . А усилия от внешней нагрузки не меняются.

Размещено на Allbest.ru