Двухшарнирные и бесшарнирные арки. Кольцевые системы

Рассмотрим вспомогательное состояние основной системы (рис.6). Легко убедиться, что вертикальные реакции в опорах арки будут отсутствовать, а изгибающий момент в сечениях арки определяется по формуле . Таким образом выражения (3) и (4) приобретают вид:

(11)

(12)

Интегралы (11) и (12) могут быть вычислены различными способами. В случае арки постоянной жесткости и достаточно простой нагрузки (т.е. при простом виде функции ) может быть использовано аналитическое вычисление интегралов. В более сложных случаях - численное интегрирование, например при помощи математических пакетов типа MathCad.

Рис. 7

Рис. 8

В качестве примера рассмотрим расчет полукруглой арки постоянной по длине жесткости, изображенной на рис.7.

В грузовом состоянии в опорах арки возникают вертикальные реакции величиной каждая (рис.8). В результате, изгибающий момент на правой половине арки составит:

.

На левой половине арке с учетом того, что угол отрицательный, изгибающий момент окажется равным

.

После подстановки этого выражения в (11) и (12), с учетом того, что

,

получим:

 и

.

Т.к. жесткость арки постоянна, внутренние усилия в ней не зависят от величины EI. Задав EI=1 с помощью пакета MathCad получим:

и.

Отсюда следует: и , и, в соответствии с (3), величина распора составит .

Далее, в соответствии с (5) получим выражение для изгибающего момента на правой половине арки:

;

Рис. 9

и на левой половине арки:

Зная теперь все реакции в опорах арки (горизонтальный распор , вертикальная реакция ), найдем продольное и перерезывающее усилия по формулам (9) и (10) (рис.9). Напомним, что при выводе формул (9) и (10) положительными направлениями и считаются такие направления, при которых соответствующие им внутренние усилия будут положительными (рис.х.6). Результаты расчетов для левой половины арки приведены в таблице1. Решение на правой половине арки можно построить, исходя из симметрии задачи.

Таблица 1. Результаты расчета

Эпюры внутренних усилий для рассматриваемой арки приведены на рис.10-рис.12.

Рис.10 Рис.11 Рис.12

Как и следовало ожидать, на опорах значение перерезывающего усилия равно распору, а продольных усилий- вертикальным реакциям опор. В то же время значение продольного усилия на оси арки равно распору.

Рис. 13

Величина максимального изгибающего момента в простой балке на двух опорах, перекрывающей тот же пролет 10м и находящейся под действием такой-же нагрузки (рис.13) составит , что заметно выше, чем в арке. Как и в трехшарнирной арке, это связано с положительным влиянием арочного распора.

Бесшарнирные арки

Бесшарнирная арка представляет собой жестко заделанный с двух концов криволинейный стержень (рис.14)

Рис. 14

Такая арка является три раза статически неопределимой. Действительно, в ее опорах возникают шесть реакций - две вертикальных, две горизонтальных и два момента, а уравнений равновесия для арки можно составить только три.

Как показал опыт расчета, наибольшие внутренние усилия и напряжения в арках такого типа возникают вблизи опор. Поэтому бесшарнирные арки часто конструируют таким образом, чтобы жесткость на опорах была выше, чем в центре пролета (рис.12). Например, для арок кругового очертания закон изменения момента инерции сечения по длине криволинейного стержня можно задать следующим:

(13)

где - момент инерции сечения на оси симметрии арки, n- некоторый положительный параметр. Очевидно, при n=0 жесткость арки оказывается постоянной по ее длине.

Рис. 15

Рис. 16

Расчет бесшарнирной арки также выполняется методом сил. Основная система образуется отбрасыванием трех связей на оси арки, т.е. фактически рассеканием арки по оси (рис.16). Влияние отброшенных связей заменяется соответствующими лишними неизвестными .

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Выражения для изгибающих моментов во вспомогательных состояниях для арки кругового очертания (рис.17 - рис.19) примут вид:

, , ;

Соответственно, для коэффициентов системы разрешающих уравнений метода сил получим следующие формулы:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Не выполняя вычислений, можно сказать, что коэффициенты и равны нулю. Действительно, эти значения получаются путем перемножения по формулам Максвелла-Мора симметричной и обратно симметричной эпюр.

После определения (например, численного) значений всех вышеприведенных коэффициентов, формируется и решается система из трех уравнений метода сил:

Затем, после того, как становятся известными значения и , находятся окончательные значения изгибающего момента в сечениях арки:

. (14)

Реакции в опорах находятся из уравнений равновесия для левой и правой частей арки, после того, как удалось найти значения и , а эпюры перерезывающего и продольного усилий определяются по формулам (9) и (10).

Рис. 20

В качестве примера рассмотрим бесшарнирную арку с теми же геометрическими и жесткостными характеристиками и находящуюся под действием той же нагрузки, что и двухшарнирная арка, рассмотренная в предыдущем пункте.

Построим грузовое состояние для основной системы. Как известно, если сосредоточенная сила приложена в точке, через которую выполняется сечение стержня, точку приложения силы перемещают в любую сторону на бесконечно малую величину от точки ее приложения. Переместим ее, например, вправо. Тогда нагрузка будет приложена только к правой половине арки (рис.21), а выражения для изгибающего момента в грузовом состоянии будут следующими:

для левой половины арки

( ): ,

для правой половины арки

(): = =.

Рис. 21

Поскольку жесткость арки является постоянной, внутренние усилия в ней не будут зависеть от нее. Следовательно, значение EI можно задать, например, равным единице.

В результате вычислений вышеприведенных интегралов Максвелла-Мора с помощью пакета MathCad получаются следующие значения коэффициентов системы разрешающих уравнений метода сил:

,

,

,

,

,

,

,

.

Решением системы уравнений являются значения:

,

,

.

Рис. 22

Найдем теперь реакции опор в исходной задаче. Рассмотрим левую часть арки (рис.22).

Из уравнений равновесия (читателю предлагается составить их самостоятельно) найдем:

,

,

.

В силу симметрии задачи реакции в правой опоре арки будут такими же.

Далее, по формуле (16) определим изгибающие моменты, а по формулам (9) и (10) - перерезывающее и продольное усилия в сечениях арки. Результаты расчетов для левой половины арки сведены в таблицу 2. На правой половине эпюры достраиваются исходя из симметричности задачи.

Таблица 2. Результаты расчета.

Эпюры внутренних усилий в арке приводятся на рис.23-рис.25.

Рис. 23 Рис.24 Рис.25

На эпюрах хорошо видно, что вблизи заделок имеет место значительный рост абсолютных значений изгибающего момента, что является характерным для арок такого типа .

Кольцевые системы

Кольцевыми системами называют замкнутые системы криволинейных стержней. Расчетные схемы кольцевых систем используются при расчетах трубопроводов, сосудов высокого давления, силосных башен и других подобных систем.

Кольцевая система, изображенная на рис.26, представляет собой три раза статически неопределимую систему. Действительно, если рассечь ее в каком-либо сечении, т.е. удалить три связи, получим статически определимую систему. Действие отброшенных связей заменим тремя неизвестными и, построив таким образом основную систему. Рассмотрим дальнейший расчет этой системы (рис.26).

Зададим P=10КН, R=1м. Изгибную жесткость EI криволинейного стержня будем считать неизменной по длине, что даст возможность задать EI=1 при расчете внутренних усилий в системе.

Сечение выполним на оси симметрии системы, заменив силу Р системой из двух сил величиной , которые приложены слева и справа от сечения бесконечно близко к нему. Тогда основная система останется симметричной, как и исходная система, и можно будет ограничиться расчетом ее половины (рис.27).

Рис. 26

Рис. 27

Как известно, на оси симметрии перерезывающая сила должна равняться нулю, поэтому в задаче остаются только две неизвестные - продольное усилие и изгибающий момент на оси симметрии. Задача, эквивалентная исходной получится из основной системы путем постановки условий отсутствия перемещений по направлению отброшенных связей, из которых следует классическая система разрешающих уравнений метода сил, коэффициенты которой определяются по формулам Максвелла-Мора.

Выражения для изгибающих моментов, очевидно будут иметь следующий вид:

-в первом вспомогательном состоянии:

;

-во втором вспомогательном состоянии:

;

-в грузовом состоянии:

.

Вычислим далее значения коэффициентов системы разрешающих уравнений метода сил. Воспользовавшись, например, пакетом MathCad, получим: двухшарнирный арка изгибающий момент

, ,

,

,

.

Система разрешающих уравнений метода сил имеет вид:

.

Решением этой системы являются , .

Вообще говоря, вывод о том, что продольное усилие на оси системы нулевое, можно было сделать и раньше из следующих соображений. Со стороны опоры на кольцо действует только вертикальная реакция величиной Р, направленная вверх. В этом легко убедиться или составив уравнения равновесия для системы или исходя из того, что наличие момента и горизонтальной реакции в опоре опять-таки противоречило бы условию симметрии задачи. Следовательно, горизонтальная ось, проходящая через центр окружности, тоже является осью симметрии, а значит перерезывающее усилия в крайней левой и правой точках кольца равны нулю. Из условия равенства нулю суммы проекций всех действующих на систему сил на горизонтальную ось для фрагмента системы, приведенного на рис.28, легко увидеть, что продольное усилие в крайней верхней точке кольца, а значит и в крайней нижней его точке должны равняться нулю. Кстати, сразу же можно сделать вывод о том, что продольное усилие в крайней левой и правой точках системы должны равняться .

Рис. 28

Изгибающий момент в сечениях криволинейного стержня определяется по формуле . Результаты расчета по этой формуле сведены в таблицу 3. В силу наличия в системе двух осей симметрии построить эпюру изгибающих моментов достаточно для одной четверти кольца. На остальной части построение производится, исходя из симметрии задачи.

Таблица 3. Результаты расчетов.

Формулы для определения в сечениях криволинейного стержня продольного и перерезывающего усилий читателю предлагается получить и проверить (значения этих усилий на осях симметрии уже известны) самостоятельно. Эпюры внутренних усилий приводятся на рис. 29-рис.31.

Рис.29 Рис.30 Рис.31

Рис. 32

Теперь рассмотрим кольцевую систему радиусом R (рис.32), находящуюся под действием внутренней равномерно распределенной нагрузки q. Подобная ситуация возникает, например, при расчете трубопровода высокого давления, если q - давление находящегося внутри трубопровода газа.

Очевидно, равнодействующая приложенной к системе нагрузки равна нулю, следовательно, реакции опор в системе также будут нулевыми. Значит любая прямая, проходящая через центр окружности, в данной системе будет являться осью ее симметрии. Следовательно, во всех сечениях перерезывающая сила Q будет равна нулю.

Из равенства нулю перерезывающей силы следует, что изгибающий момент должен быть постоянным . Докажем, что он должен быть равен нулю. Доказательство будем вести от противного. Пусть изгибающий момент во всех сечениях рассматриваемой системы постоянный и отличный от нуля. Выполним для данной ситуации деформационную проверку. Как известно, если построить любое вспомогательное состояние для любой основной системы, образованной из исходной, то должно выполняться равенство

(15)

где L- длина интегрирования, - окончательный закон изменения изгибающего момента, полученный в результате расчета, - закон изменения изгибающего момента во вспомогательном состоянии. Образуем основную систему также, как в предыдущей задаче, отбросив три связи на вертикальной оси системы в ее крайней верхней точке. В качестве вспомогательного состояния возьмем, например, состояние, изображенное на рис. 33. В этом состоянии будет . Следовательно равенство (15) не может быть верным, т.к. имеет один знак по всей длине интегрирования L. Значит наше предположение, что отличен от нуля неверно.

Рис. 33

Итак, мы доказали, что изгибающий момент во всех сечениях рассматриваемой системы отсутствует. Кстати, в этом случае равенство (15) выполняется автоматически для любого вспомогательного состояния любой основной системы.

Рис. 34

Итак, при действии внутренней равномерно распределенной нагрузки на кольцевые системы единственным ненулевым усилием в них оказывается продольное усилие. Для его определения рассмотрим равновесие, например верхней половины кольца (рис.34). В силу симметрии по вертикальной оси продольные усилия в местах, де выполнены сечения должны быть одинаковыми и равными N.

Составим уравнение проекций всех сил на вертикальную ось. Нагрузка, действующая на бесконечно малый участоу криволинейного стержня длиной даст на вертикальную ось проекцию величиной . Интегрируя эту величину по от 0 до , получим проекцию равнодействующей нагрузки на вертикальную ось:

.

Из условия равенства нулю суммы проекций всех действующих на рассматриваемую часть системы сил на вертикальную ось получим: , следовательно:

(16)

Аналогичный результат получится, если рассмотреть равновесие любой другой части системы. То есть продольные усилия в данной задаче являются растягивающими, одинаковы по всей длине криволинейного стержня и определяются по формуле (16).Эта формула известна в инжененрном деле как котельная формула.

Размещено на Allbest.ru