Расчет статически неопределимых рам методом сил

Размещено на http://www.allbest.ru

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению расчетно-графической работы:

«Расчет статически неопределимых рам методом сил

Составитель Гусев Сергей Вячеславович

УДК 624.04 (075)

ББК 38.112

Г 96

Г96 Методические указания к выполнению расчетно-графической работы «Расчет рамы методом сил» / Сост. С.В. Гусев, Казань: КГАСУ, 2012. - 19 с.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанского государственного архитектурно-строительного университета

В методических указаниях изложены основные понятия и формулы расчета статически неопределимых систем методом сил. Рассмотрены решения примеров. Приведены примеры тестовых задач.

Рецензент

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов и основ теории упругости

Р.А. Каюмов

УДК 624.04 (075)

ББК 38.112

© Казанский государственный

архитектурно-строительный

университет, 2012.

© Гусев С.В., 2012

Введение

Статически неопределимая система - это система, внутренние усилия которой нельзя определить из уравнений статики однозначно.

В отличие от статически определимых систем неопределимые системы:

- более жесткие, то есть с меньшими перемещениями;

- более надежные, так как выход из строя одного или нескольких элементов не обязательно приводит к разрушению сооружения;

- более прочные, то есть с меньшими внутренними усилиями;

- чувствительны к неточностям изготовления элементов конструкции, осадке опор, температурным воздействиям.

Подход, при котором неизвестными являются усилия, называют методом сил.

Ниже приведен алгоритм расчета статически неопределимых рам методом сил. сила статический рама неопределимость

1. Определение степени статической неопределимости

Решение задач в строительной механике начинается с кинематического анализа. Статическая часть кинематического анализа отвечает на вопрос: является ли заданная система (ЗС) статически определимой или нет. Кинематическая часть - проверяет правильность расстановки связей. Система должна быть геометрически неизменяемой.

Для проведения кинематического анализа сооружение представляется в виде дискового аналога. Если система статически неопределима только за счет лишних опорных связей, то степень статической неопределимости определяется по формуле:

n = - W = - (3Д - 2Ш - С -С_о), (1)

где W- число степеней свободы сооружений, Д- количество дисков, Ш, С - число шарниров и стержней между дисками, С_о - число опорных связей.

2. Выбор основной системы (ОС)

Сущность метода сил заключается в том, что статически неопределимая система сводится к решению нескольких статически определимых систем, которые получаются из заданной системы путём отбрасывания лишних (избыточных) связей.

Степень статической неопределимости - это число лишних связей, устранение которых приводит к статически определимой системе, то есть при отбрасывании всех лишних связей система становится статически определимой.

Основная система - это система, получающаяся из заданной системы путем удаления лишних связей и заменой их неизвестными усилиями. Как правило, ОС выбирается статически определимой. В основной системе два вида воздействий: известные активные силы и неизвестные усилия в отброшенных связях. Количество неизвестных Х равно степени статической неопределимости заданной системы. Направления неизвестных реакций, принятые в основной системе, считаются положительными при расчетах.

Лишние связи - это связи, при удалении которых система остается геометрически неизменяемой. Линии действия трех оставшихся связей не должны быть параллельными и пересекаться в одной точке.

рис. 1

На рис.1 изображена один раз статически неопределимая рама. Для получения основной системы (ОС) необходимо удалить одну связь. Удаление связи 2 приводит к механизму (оставшиеся три связи параллельны), удаление связи 4 - к мгновенно изменяемой системе (линии действия оставшихся трех реакций связей пересекаются в одной точке). Таким образом, связи 2 и 4 не являются лишними. На рис. 1б-1г изображены варианты основной системы. За счет выбора в качестве неизвестного какого-либо внутреннего усилия (рис. 1г), основных систем может быть бесконечно много.

Критериями выбора основной системы являются простота построения эпюр в грузовом и единичных состояниях и минимум участков, на которые распространяются эпюры. Варианты на рис. 1б, 1в, удовлетворяют этим требованиям. Для заданных симметричных систем, при выборе основной системы выгодно сохранять симметрию (рис. 2б, г).

Рис.2

На рис. 2а, 2в изображены рамы, содержащие замкнутый контур, и статически неопределимые внутренним образом. Для получения основной системы можно избавиться от контура, разрезав его (рис 2б). Поскольку при этом возникает три неизвестных внутренних усилия в точке С, то бесшарнирный контур трижды статически неопределим. Внедрение шарнира в контур понижает его статическую неопределимость на единицу. Если система статически неопределима внутренним образом, то степень статической неопределимости определяется по формуле

n = - W = 3К - Ш,

где К - количество контуров, Ш - число шарниров в контурах.

Для рамы на рис. 2в в точках А и В в контур помещено два шарнира и для получения основной системы необходимо отбросить одну внутреннюю связь (n = 1), В качестве неизвестной выгодно выбрать усилие в ригеле, который представляет собой шарнирно опертый стержень. Для неразрезных балок (рис. 3) в качестве неизвестных усилий выбираются значения опорных моментов.

Рис. 3

3. Составление системы канонических уравнений

Из выбранной статически определимой основной системы выделяют грузовое состояние (ГС) и единичные состояния (ЕС). В грузовом состоянии на основную систему действуют только внешние нагрузки. Для образования i-ого единичного состояния из основной системы убираются все внешние нагрузки, а в направлении отброшенной i-ой связи прикладывается приведённое единичное усилие. Если в качестве неизвестной выбрана сила, то усилие безразмерное, если - момент, то размерность единичного приведённого усилия (1/м).

Для один раз (n = 1) статически неопределимой балки (рис. 4а) выберем основную систему (рис. 4б), заменив в заданной системе стержневую связь в точке В на неизвестную реакцию R_В = X₁ . Согласно принципу независимости действия сил, представим основную систему в виде суммы грузового и единичного состояния, в котором единичное усилие увеличено в X₁ раз (рис. 4в, 4г).

рис. 4

В направлении отброшенной связи в грузовом состоянии возможно перемещение _1P (рис. 4в), в единичном состоянии - (рис. 4г). Необходимо подобрать величину реакции R_В = X₁ так, чтобы суммарное перемещение ^.от внешней нагрузки (_1р) и единичного усилия , увеличенного в X₁ раз, было равно нулю, так как в действительности в заданной системе в этом направлении перемещений нет, то есть:

Условие зависимости деформаций (2) называется каноническим уравнением и является условием эквивалентности заданной и основной систем. Число канонических уравнений совпадает с числом лишних отброшенных связей.

4. Определение коэффициентов канонических уравнений

По физическому смыслу коэффициенты канонических уравнений являются перемещениями, которые определяются с помощью интеграла Мора. Операция интегрирования обычно называется перемножением эпюр и символически изображается знаком «х»:

где ,,- функции моментов в единичных и грузовом состояниях, m - количество участков на эпюре, - изгибная жесткость стержней. Первый индекс обозначает номер отброшенной связи, второй - номер состояния.

Интеграл Мора может быть вычислен по формуле Симпсона (4) или Верещагина (5) [1, с.86]:

где l - длина участка, на котором интегрируются («перемножаются») функции моментов, буквы «л», «с», «п» означают левое, среднее и правое значения моментов на участке (рис. 5а). Знак произведения положительный, если оба значения на эпюрах , лежат по одну сторону от оси балки.

рис. 5

Согласно правилу Верещагина интеграл Мора равен произведению площади одной эпюры на ординату под её центром тяжести , взятую на другой эпюре. Если одна из эпюр является криволинейной, то вычисляется её площадь:

На рис. 3б показан пример перемножения двух треугольников (рис. 5б), где - площадь первого треугольника, - ордината второго треугольника, взятая под центром тяжести С первого треугольника. Суммирование ведётся по всем стержням, а интегрирование - по длине каждого участка эпюры моментов. По теореме Максвелла о взаимности перемещения [1, с.82] коэффициенты, симметричные относительно диагонали, в канонических уравнениях равны между собой, то есть д_ij = д_ji . Для дважды статически неопределимой системы (n = 2 ,д₁₂ = д₂₁).

Построим эпюры моментов в грузовом и единичном состояниях для задачи на рис. 4 и вычислим коэффициенты канонического уравнения (2):

рис. 6

Вычислим коэффициенты по формуле Симпсона:

,

или с помощью формулы Верещагина:

,

5. Проверка коэффициентов канонических уравнений

Для n = 1 проверить правильность вычислений коэффициентов невозможно. Для n=2 перед решением канонических уравнений необходимо выполнить универсальные проверки:

где - суммарная эпюра, получается путем сложения ординат единичных эпюр.

6. Решение системы канонических уравнений

Для систем один раз статически неопределимых (n=1) каноническое уравнение (2) одно и решение имеет вид:

Для систем два раза статически неопределимых (n=2) необходимо решить систему из двух уравнений:

Решение имеет вид:

7. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок

Окончательная эпюра М_OK в соответствии с принципом независимости действия сил получается путем сложения «исправленных» эпюр с грузовой:

. (9)

«Исправленные» эпюры получаются путем увеличения всех ординат единичных эпюр в раз. Если x_i < 0, то измененные ординаты откладываются с другой стороны от оси стержня.

Для задачи на рис. 4 по формуле (7) получаем R_B = X₁ =. После нахождения реакции в лишней связи статическая неопределимость считается раскрытой.

рис. 7

8. Проверка правильности построения эпюры М_ок

Перед построением эпюр Q и N целесообразно убедиться в правильности эпюры М_ок, то есть провести кинематическую (деформационную) проверку:

. i = 1,…,m, (10)

где m - число отброшенных связей. Эпюра М_ок построена верно, если перемещения по направлению отброшенных связей равны нулю, поскольку в основной системе эти связи существуют.

Для проверки правильности эпюры для задачи на рис. 4 умножаем (рис. 7) на единичную эпюру (рис. 6). Используя формулу Симпсона, получим:

.

9. Построение эпюр Q и N

Поскольку после определения усилий в лишних связях статическая неопределимость заданной системы считается раскрытой, то эпюры Q, N можно построить методом сечений. Для этого необходимо:

1) из уравнений статики определить опорные реакции в основной системе с учетом найденных лишних связей;

2) на каждом участке реализовать метод сечения.

Для проверки знака эпюры Q можно воспользоваться правилом: Q>0, если касательная в эпюре моментов совмещается с осью балки против часовой стрелки.

10. Статическая проверка

Поскольку уравнения равновесия были использованы для определения опорных реакций, статическая проверка рамы заключается в проверке равновесия узлов. На вырезанных узлах отмечаются значения, взятые из эпюр Q и N. Положительные значения сил Q направляются так, чтобы они вращали вырезанный узел по ходу часовой стрелки, положительные значения N направляются от сечения. Уравнения равновесия для узлов должны выполняться.

Литература

1. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика: Учебник, 9-е изд. испр. - СПб.: Издательство «Лань», 2004. - 656 с.

2. Шакирзянов Р.А. Краткий курс лекций по строительной механике. Казань: КГАСУ, 2010. - 115с.

Размещено на Allbest.ru