Напружено-деформований стан нерозрізних залізобетонних балок

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Урахування і більш повне використання специфічних властивостей матеріалів, які застосовані для виготовлення конструкцій - один з напрямків, що сприяють впровадженню технічного прогресу в будівництво. Тріщиноутворення і повзучість істотно впливають на напружено-деформований стан залізобетонних конструкцій, особливо статично невизначних.

Чинні нормативні документи проектування статично невизначних залізобетонних конструкцій рекомендують визначати їхню несучу здатність за допомогою методу граничної рівноваги. При цьому, не визначаються зусилля в елементах конструкцій при експлуатаційних навантаженнях з урахуванням реальних діаграм деформування, а також процесів тріщиноутворення.

У зв'язку з цим розробка методик визначення напружено-деформованого стану нерозрізних залізобетонних балок, що базуються на чисельно-аналітичному варіанті методу граничних елементів, який дозволяє досліджувати роботу цих систем аж до граничного стану і відповідає фізичному характеру їхньої роботи, є задачею актуальною і необхідною для подальшого розвитку теорії та практики розрахунку статично невизначних залізобетонних конструкцій.

Мета й задачі дослідження. Мета досліджень полягає у розробці методик визначення напружено-деформованого стану нерозрізних залізобетонних балок, в тому числі на пружній основі при короткочасній та динамічній дії навантаження, заснованих на чисельно-аналітичному варіанті методу граничних елементів.

Для досягнення цієї мети в дисертаційній роботі поставлені такі задачі:

- розробити методику застосування методу граничних елементів для розрахунку балок із змінною жорсткістю з урахуванням процесу тріщиноутворення, що відбувається в залізобетонних балках;

- розробити алгоритми автоматизації формування відповідних матриць для розрахунку нерозрізних балок за допомогою методу граничних елементів;

- вдосконалити практичний спосіб побудови діаграм деформування елементів що згинаються;

- розробити методики визначення напружено-деформованого стану нерозрізних залізобетонних балок, зокрема тих що лежать на пружній основі;

- розробити методику визначення частот власних коливань нерозрізних балок за допомогою методу граничних елементів;

- розробити алгоритми автоматизації формування матриць методу граничних елементів для визначення частот власних коливань нерозрізних балок;

- виконати порівняння одержаних розрахункових даних з результатами експериментальних досліджень і даними інших авторів, виконати оцінку прийнятності розроблених методик.

1. Огляд літературних джерел за темою дисертації

Одні з перших дослідів з нерозрізними залізобетонними балками виконали В.І. Мурашов та І.М. Котельников у 1932 році. Далі експериментальні дослідження в цьому напрямі продовжили Г. Казанчи, В.Х. Гленвіль (1936р.), А.С. Щепотьєв та В.С. Булгаков (1937р.). Був виявлений значний перерозподіл зусиль внаслідок текучості арматури, В.Х. Гленвіль, Ф.Д. Томас помітили, що на перерозподіл зусиль можуть впливати пластичні деформації стиснутого бетону.

Надалі перерозподіл зусиль в нерозрізних залізобетонних балках при короткочасному і тривалому навантаженнях вивчали О.О. Гвоздєв, М.С. Абаканов, Ю.П. Гуща, Л.М. Зайцев, С.М. Крилов, А.І. Козачевський, С.К. Ікрамов, Л.Р. Маїлян, Г.С. Чобан, В.І. Шатохін, Чінь Кім Дам, В.Є. Бабіч та інші вчені.

Виконані досліди виявили три характерні стадії роботи нерозрізних балок:

- перша стадія - до виникнення в будь-якому перерезі тріщин;

- друга стадія - з моменту виникнення тріщин до утворення першого пластичного шарніра;

- третя стадія - з моменту виникнення першого шарніра до руйнування.

У балках, виготовлених з високоміцних бетонів та високоміцних арматур, які не мають полички плинності, також відбувається перерозподіл зусиль: руйнуючі навантаження перевищують значення розрахункових граничних навантажень, що визначені за методом граничної рівноваги.

Вивченню напружено-деформованого стану і деформативності залізобетонних стрижнів присвячені роботи В.М. Байкова, Є.М. Бабіча, В.М. Бондаренко, О.О. Гвоздєва, О.Б. Голишева, В.І. Мурашова, Я.М. Неміровського, І.Є. Прокоповича, І.І. Темнова, І.І. Уліцького, Г.С. Чобана, В.Г. Щелкунова, О.Ф. Яременко і багатьох інших.

Розрахунок нерозрізних балок в пружній стадії, як правило, виконують з використанням методу сил, в деяких випадках - методу переміщень.

Сучасні чисельні методи дозволяють використовувати уточнені розрахункові схеми, які більш повно ураховують процеси, які протікають при деформуванні статично невизначних залізобетонних конструкцій.

Математичні моделі таких розрахункових схем, як правило, зводяться до рішення задачі Коші: рішенню лінійного неоднорідного диференціального рівняння, що задовольняє заданим граничним умовам.

Рішення задачі Коші може бути знайдене за допомогою узагальненого методу початкових параметрів, методу Рітца, методу Бубнова-Гальоркіна, методу сіток, методу коллокацій, методу скінчених елементів тощо.

У ряді випадків доцільно використовувати методи граничних елементів, знижуючи мірність початкової крайової задачі, перейшовши до розгляду системи звичайних диференціальних рівнянь, одержаних шляхом інтегрування основного рівняння. При цьому виникає можливість віднести систему отриманих рівнянь до границь даної області, що розглядається як один складний елемент.

2. Диференціальне рівняння, яке описує деформацію стрижньових елементів, що згинаються

, (1)

де - функція прогинів перерезів; - жорсткість перерезів при згині.

Інтегрування диференціального рівняння зігнутої осі стрижня приводить до системи рівнянь:

;

; (2)

;

,

де - відповідно прогин, кут повороту, згинальний момент і поперечна сила в перерезі на відстані x від початку координат; - відповідно прогин, кут повороту, згинальний момент і поперечна сила на початку координат (x = 0), які прийнято називати початковими параметрами.

Систему рівнянь (2) можна представити в матричному вигляді наступним чином:

Y = А X (0) + B, (3)

де Y - матриця зусиль і переміщень в довільному перерезі - матриця параметрів згину; X(0) - матриця зусиль і переміщень на початку координат - матриця початкових параметрів; А - матриця коефіцієнтів системи рівнянь згину - матриця фундаментальних функцій; B - матриця зовнішнього навантаження.

Розглядаючи балку у вигляді системи з m складових ділянок, які з'єднано в місцях прикладання невідомих сил, приходимо до рішення крайової задачі, кількість рівнянь якої дорівнює 4m.

Систему рівнянь крайової задачі для стрижня, що містить декілька ділянок, представимо у вигляді:

(4)

Матриці, що входять в рівняння (4) також мають порядок 4m.

Матриця коефіцієнтів А має стрічковий квазідіагональний вигляд.

Елементи вектора зовнішнього навантаження В можна сформувати за допомогою методу початкових параметрів.

Виконаємо перетворення рівняння (4) за схемою:

(5)

Суть схеми перетворень полягає у перенесенні кінцевих параметрів вектора Y на місце нульових параметрів вектора X*. При цьому вектор Y стає нульовим.

У кінці ланцюжка перетворень рівняння (5) приходимо до системи алгебраїчних рівнянь з невідомими граничними параметрами.

Створений алгоритм автоматизації формування матриць чисельно-аналітичного варіанту МГЕ, що входять у рівняння (5).

Відповідно до приведеного алгоритму складена програма в системі комп'ютерної математики MATLAB, яка дозволяє визначати напружено-деформований стан нерозрізних балок при статичному короткочасному навантаженні, що мають необмежену кількість прогонів і довільне навантаження.

Програма дозволяє визначати значення внутрішніх зусиль і переміщень, які виникають в перерізах нерозрізної балки із заданим кроком, а також вивести у графічні вікна відповідні епюри.

У роботі представлена методика застосування чисельно-аналітичного варіанту методу граничних елементів для розрахунку балок зі змінною жорсткістю. Для приведення переміщень, що входять у вирази вектора невідомих граничних параметрів X*(0), суть яких є рівняння нерозривності, до єдиного масштабу жорсткості, прийняте співвідношення жорсткості наступної ділянки балки до жорсткості попередньої у вигляді:

, . (6)

Фізичне рівняння деформування балки має вигляд:

, (7)

де - згинальна жорсткість поперечних перерезів, яка визначається з урахуванням непружних властивостей бетону та наявності чи відсутності тріщин (в пружній стадії роботи елемента вона дорівнює добутку модуля пружності матеріалу на момент інерції поперечного перерізу); k - кривизна зігнутої осі елемента; M(x) - функція згинальних моментів, які виникають у поперечних перерізах.

Жорсткість перерізу елемента з ненапруженою арматурою з урахуванням тріщиноутворення в розтягнутій зоні під дією сталого навантаження приймається згідно з формулою, яка запропонована І.Є. Прокоповичем, яка при короткочасній дії навантаження має вигляд:

, (8)

де - площа поперечного перерізу балки; - розрахункова висота перерізу; - коефіцієнт армування перерізу; - площа поперечного перерізу арматури; - відношення модулів пружності арматури і бетону.

У СНиП 2.05.03-84 “Мосты и трубы” запропоновано жорсткість елементів, що згинаються, визначати за формулою (8), приймаючи значення коефіцієнта b1 = 0,225. В цьому випадку жорсткість на ділянці 2' - 3' є незмінною (продовження відрізка 2' - 3' проходить через початок координат).

І.Є. Прокоповичем коефіцієнт b1 запропоновано знаходити із виразу:

. (9)

Для елемента, що має прямокутний поперечний переріз, наведені коефіцієнти дорівнюють =0,159, =0,074.

Граничні значення кривизн балки на різних стадіях її роботи визначаються наступним чином:

. (10)

Жорсткість перерізу визначається за формулою (8).

Використання описаної діаграми деформування дозволило створити методику розрахунку нерозрізних залізобетонних балок з урахуванням перерозподілу зусиль, яка реалізована в системі комп'ютерної математики MATLAB.

Виконано порівняння результатів розрахунків з експериментальними даними які були отримані С.М.Криловим і С.І.Ікрамовим.. На рис. 3 приведено розрахункова схема нерозрізної балки ГК-12 з відповідним армуванням перерезів.

Тріщиноутворення істотно позначається на зміні (до 20%) згинальних моментів в порівнянні з даними розрахунку в припущенні пружної роботи балки.

В роботі приведені епюри згинальних моментів, отримані у результаті пружного розрахунку і розрахунку з урахуванням тріщиноутворення, а також епюри жорсткості перерізів балки, які побудовані по експериментальним даним та розрахунковим даним з урахуванням тріщиноутворення.

Порівняння розрахункових даних автора і експериментальних даних показує, що при значеннях навантаження, 0,3…0,5 від граничного і в стадії, близькій до граничної, різниця між значеннями згинальних моментів не перевищує 5,5%.

3. Диференціальне рівняння зігнутої осі балки сталого поперечного перерізу на пружній вінклеровській основі

, (11)

де EI - поперечна жорсткість балки в кНм2; - функція поперечних прогинів балки в м; k - коефіцієнт постелі основи в кН/м3; b - ширина підошви балки в м; - поперечне навантаження в кН/м.

Для визначення переміщень і внутрішніх зусиль в стрижні використовуються диференціальні залежності теорії згину:

; (12)

;

.

Тут параметр визначається за виразом

, . (13)

Інтегрування диференціального рівняння (10) приводить до виразів, які містять в собі функції Крилова.

В роботі наведені приклади розрахунку залізобетонних балок, що лежать на пружній основі. Порівняння результатів розрахунків, виконаних за допомогою методів, запропонованих І.А. Сімвуліді, С.І. Клепіковим, Е.Ф .Корневіцем, Г.В. Ендером і за даною методикою показує їх практичний збіг.

У роботі представлений алгоритм автоматизації формування матриць чисельно-аналітичного варіанту методу граничних елементів і програма визначення напружено-деформованого стану нерозрізних залізобетонних балок, які лежать на пружній основі при статичному короткочасному навантаженні.

Порівняння результатів розрахунків, виконаних за допомогою програмного комплексу LIRA із значеннями, отриманими з використанням запропонованої методики, показує, що вони, практично, збігаються. Різниця значень зусиль не перевищує 2,0%, а переміщень - 0,2%.

4. Наближене диференціальне рівняння поперечних коливань стрижня

(14)

де - поперечна жорсткість балки; - поперечний прогин; - погонна маса; - частота власних коливань; - поперечне навантаження.

Для визначення кутів повороту і внутрішніх зусиль в стрижні використовуються диференціальні залежності теорії згину (11), у яких параметр має вигляд:

(15)

Вирази для динамічних прогинів, кутів повороту, згинальних моментів і поперечних сил в матричній формі мають вигляд:

 (16)

Тут матриця коефіцієнтів А та вектор навантаження В містять фундаментальні ортонормовані функції Крилова.

Матричне рівняння (16) збігається з виразом (5). Після рівносильних перетворень воно приймає вигляд:

(17)

де - матриця граничних значень фундаментальних ортонормованих функцій з накладеними компенсуючими елементами.

При визначенні частот власних коливань нерозрізної балки рівняння (17) приймає вигляд:

(18)

Однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь повинна бути розв'язана відносно невідомих початкових і кінцевих граничних параметрів. Ця система має нетривіальне рішення (), якщо її визначник дорівнює нулю, тобто:

(19)

Дане рівняння є трансцендентним частотним рівнянням, корені якого дають повний спектр частот власних коливань стрижньової системи. Даний визначник містить лише систему фундаментальних ортонормованих функцій, що дозволяє істотно спростити пошук частот власних коливань.

У роботі розроблена методика автоматизованого визначення частот власних коливань за допомогою чисельно-аналітичного варіанту методу граничних елементів та побудови форм власних коливань. Розроблена комп'ютерна програма, яка дозволяє визначати задану кількість частот власних коливань з заданою точністю та побудувати форми власних коливань, які їм відповідають.

У НДІБК експериментально вивчався вплив процесу тріщиноутворення, викликаного дією статичного навантаження, на зміну спектру частот власних коливань залізобетонної балки на пружно податливих опорах.

Вирази матриць чисельно-аналітичного варіанту методу граничних елементів, які приведені в роботі, дали можливість визначити спектр частот власних коливань залізобетонної балки на пружних опорах, що випробовувалась.

Порівняння результатів експериментальних досліджень та результатів розрахунків підтверджує наведені висновки про можливість практичного застосування методу граничних елементів, підтверджує істотний вплив тріщиноутворення на спектр частот власних коливань балок.

Метою динамічних випробувань було визначення першої частоти власних коливань. Порівняння експериментальних даних і результатів, отриманих за допомогою запропонованих методик, показало розбіжність в 1,5%. При цьому, розрахунком додатково визначено 4 частоти власних коливань.

Порівняння значень частот власних коливань, визначених за допомогою запропонованої методики і програмного комплексу LIRA показує, що вони, практично збігаються. Найбільше відхилення складає 0,3%.

Висновки

граничний тріщиноутворення залізобетонний деформований

Розроблений алгоритм автоматизації формування матриць при розрахунку нерозрізних балок за допомогою чисельно-аналітичного варіанту методу граничних елементів, на підставі якого складена програма в системі комп'ютерної математики MATLAB.

Розроблені методика застосування методу граничних елементів для розрахунку балок із змінною жорсткістю, методика і програма розрахунку нерозрізних залізобетонних балок з урахуванням перерозподілу зусиль. Порівняння розрахункових і експериментальних даних показує високу їхню збіжність.

Розроблений алгоритм автоматизації формування матриць при розрахунку нерозрізних залізобетонних балок, що лежать на пружній вінклеровській основі, за допомогою чисельно-аналітичного варіанту методу граничних елементів, на підставі якого створена відповідна програма в системі комп'ютерної математики MATLAB.

Розроблена методика і програма розрахунку нерозрізних залізобетонних балок, що лежать на пружній основі, із змінною по довжині жорсткістю в пружній стадії. Порівняння даних, одержаних в результаті розрахунків за запропонованою методикою з даними, одержаними іншими авторами, в тому числі за допомогою програмного комплексу LIRA, показує добру їхню збіжність.

Розроблені методика автоматизованого визначення частот власних коливань за допомогою чисельно-аналітичного варіанту методу граничних елементів, алгоритм автоматизації формування матриць і програма визначення частот та побудови форм власних коливань нерозрізних балок.

Розроблена методика застосування методу граничних елементів для визначення частот власних коливань нерозрізних залізобетонних балок із змінною жорсткістю, яка дозволяє отримати добру збіжність результатів розрахунків з даними експериментів та розрахунків за допомогою програмного комплексу LIRA.

Література

1. Узун И.А., Ковров А.В. Чисельні дослідження напружено-деформованого стану стержневих елементів // Строительство и техногенная безопасность: Сборник научных трудов. - Вып. 8. - Симферополь, 2003. - С. 51-52.

2. Ковров А.В. Применение метода граничных элементов для расчета балок с переменной жесткостью // Сталезалізобетонні конструкції: Зб. наук. статей. - Кривий Ріг, 2004. - № 6. - С. 241-246.

3. Яременко А.Ф., Ковров А.В. Напряженно-деформированное состояние неразрезных железобетонных балок // Автомобільні дороги і дорожнє будівництво: Науково-технічний збірник. - К., 2004. - Вип. 71. - С. 198-205.

4. Оробей В.Ф., Ковров А.В., Болгар А.Ю. Автоматизация формирования матриц при расчете неразрезных балок с помощью метода граничных элементов // Холодильна техніка і технологія: Науково-технічний журнал, 2005. - № 1(93). - С. 91-96.

5. Оробей В.Ф., Ковров А.В. Расчет балок на упругом винклеровском основании при помощи метода граничных элементов // Вісник Одеської державної академії будівництва та архітектури. - Одеса: ОДАБА, 2004. - Вип. №16. - С. 165-170.

6. Яременко А.Ф., Оробей В.Ф., Ковров А.В., Чайковский Р.Э. Собственные колебания железобетонной балки на упруго податливых опорах // Науково-технічні проблеми сучасного залізобетону. Будівельні конструкції: Міжвідомчий науково-технічний збірник. - К.: НДІБК, 2005. - Том 1. - С. 399-403.

7. Ковров А.В., Болгар А.Ю., Чайковский Р.Э. Методика определения частот собственных колебаний неразрезной балки при помощи метода граничных элементов // Вісник Одеської державної академії будівництва та архітектури. - Одеса: ОДАБА, 2005. - Вип. №18 - С. 109-115.

Размещено на Allbest.ru