Расчет финансовых операций банка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольное домашнее задание по финансовой математике

1. Определите наращенную сумму вклада в 3 тыс. руб. при сроке вклада 2 года по номинальной процентной ставке 40% годовых. Начисление процентов производится: а) один раз в год, б) по полугодиям, в) поквартально, г) ежемесячно

Решение:

Наращенная сумма к концу срока вклада определяется по формуле:

,

где m - количество начислений процентов в году;

n - срок депозита (в годах);

S0 - величина вклада в момент открытия депозита;

- указанная в депозитном договоре ставка годовых процентов (номинальная ставка).

- принятая в банках ставка процента за интервал начисления.

а) один раз в год:

(тыс.руб.)

б) по полугодиям

(тыс.руб.)

в) поквартально,

(тыс.руб.)

г) ежемесячно.

(тыс.руб.)

2. Банк принимает вклады от населения по номинальной процентной ставке 12% годовых. Начисление процентов ежемесячное. Вклад 1200$ был изъят через 102 дня. Определите доход клиента

Решение:

Для расчета продолжительности финансовой операции принимаем точное количество дней в году. Продолжительность финансовой операции определяется по формуле:

,

где t - фактическое количество дней по финансовой операции.

г.

Доход вкладчика к концу срока составит:

,

где I_n - доход вкладчика за период n;

n - срок депозита (в годах).

$

3. Для строительства завода банк предоставил фирме кредит в 200 тыс.$ сроком на 10 лет из расчета 13% годовых. Проведите расчет коэффициента наращения, суммы начисленных процентов и стоимости кредита на конец каждого года

Решение:

Простые проценты:

Коэффициент наращения простых процентов определяется по формуле:

где n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

Сумма процента рассчитывается по формуле:

,

где S₀ - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

Стоимость кредита в конце периода:

,

где S_n - стоимость кредита (наращенная стоимость);

S₀ - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

В таблице 1 приведены данные о значении коэффициента наращения, сумме процентов и стоимости кредита на конец каждого года (расчеты проведены в Microsoft Excel - Приложение А, задача 3).

Таблица 1. Расчетные данные коэффициента наращения, суммы процентов и стоимости кредита.

n	коэффициент наращения	стоимость кредита, $	процент, $
1	1,13	226 000	26 000
2	1,26	252 000	52 000
3	1,39	278 000	78 000
4	1,52	304 000	104 000
5	1,65	330 000	130 000
6	1,78	356 000	156 000
7	1,91	382 000	182 000
8	2,04	408 000	208 000
9	2,17	434 000	234 000
10	2,3	460 000	260 000

Сложные проценты:

Коэффициент наращения определяется по формуле:

где n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

Сумма процента рассчитывается по формуле:

,

где S - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

Стоимость кредита в конце периода:

где S_n - стоимость кредита (наращенная стоимость);

S₀ - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

В таблице 2 приведены данные о значении коэффициента наращения, сумме процентов и стоимости кредита на конец каждого года (расчеты проведены в Microsoft Excel).

Таблица 2. Расчетные данные коэффициента наращения, суммы процентов и стоимости кредита.

n	коэффициент наращения	стоимость кредита, $	процент, $
1	1,13	226 000	26
2	1,28	255 380	55,38
3	1,44	288579,4	88579,4
4	1,63	326094,72	126094,72
5	1,84	368487,04	168487,04
6	2,08	416 390,35	216390,35
7	2,35	470 521,1	270521,1
8	2,66	531 688,84	331688,84
9	3,00	600808,39	400808,39
10	3,4	678913,48	478913,48

4. Фирме предоставлен льготный кредит в 50 тыс. $ на 3 года под 12% годовых. Проценты на кредит начисляются один раз в год. По условиям договора фирма имеет право оплатить кредит и проценты единым платежом в конце трехлетнего периода. Сколько должна заплатить фирма при расчете по простым и сложным процентам?

Решение:

Простые проценты:

Сумма простых процентов рассчитывается по формуле:

,

где S - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

$

Сумма кредита составит:

$

Сумма начисленных сложных процентов рассчитывается по формуле:

,

где S - сумма кредита,

n - период начисления процентов,

i - номинальная процентная ставка.

$

Сумма кредита составит:

$

5. Производственно-коммерческая фирма получила кредит в 900 тыс. руб. сроком на 3 года. Проценты - сложные. Процентная ставка за первый год 40% и каждый последующий год увеличивается на 5%. Определите сумму возврата кредита

Решение:

Сумма возврата кредита определяется по формуле:

где S_n - сумма возврата кредита на конец периода;

S₀ - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

По условию процентная ставка растет на 5 %:

; %; %.

Сумма возврата кредита на 3-й год составит:

руб.

6. Определите период времени, необходимый для удвоения капитала по простым и сложным процентам при процентной ставке 12% годовых. В последнем случае начисление процентов ежемесячное

Решение:

«Правило 70» и «Правило 100» позволяют ответить на вопрос, за сколько лет удвоится капитала при ставки процента i.

Простые проценты («правило 100»):

,

где Т - период, за который удвоится капитал;

i - ставка процента.

лет.

Сложные проценты («правило 70»):

,

где Т - период, за который удвоится капитал;

m - периодичность начисления процентов;

i - ставка процента.

лет.

7. Определите период времени, необходимый для утроения капитала по простым и сложным процентам при процентной ставке 48% годовых. В последнем случае начисление процентов квартальное

Решение:

Простые проценты при утроении капитала:

года

Сложные проценты при утроении капитала:

года

8. Сколько времени нужно хранить вклад в банке под 84% годовых при ежемесячном, поквартальном и полугодовом начислении процентов, чтобы сумма вклада удвоилась. Методика расчета банковская

Решение:

Сложные проценты («правило 70»):

,

где Т - период, за который удвоится капитал;

m - периодичность начисления процентов;

i - ставка процента.

- ежемесячное начисление: лет.

- поквартальное начисление: лет.

- полугодовое начисление: лет.

9. Клиент внес на депозит сроком на 4 месяца 1600$. Начисление процентов ежемесячное. После окончания срока он получил 1732$. Определите процентную ставку банка

Решение:

Для определения процентной ставки банка применяется формула наращения денежных средств методом сложных процентов:

где m - количество начислений процентов;

j - фактическое число периодов начисления процентов;

n - срок депозита (в годах);

S0 - величина вклада в момент открытия депозита;

- процентная ставка банка.

Отсюда процентная ставка банка рассчитывается по формуле:

.

Процентная ставка банка составит:

.

10. Какой должна быть минимальная процентная ставка, чтобы произошло удвоение вклада за год при начислении процентов: а) поквартально, б) ежемесячно

Решение:

Минимальная процентная ставка определяется по формуле:

,

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах);

S0 - величина вклада в момент открытия депозита;

Sm - величина вклада в момент открытия депозита;

- процентная ставка банка.

a) поквартальное начисление процентов:

b) ежемесячное начисление процентов:

11. "Приорбанк" предлагал населению на 1996 г. денежный вклад. Доход по нему составил за первые 2 месяца 72% годовых, за следующие 2 месяца -84, за 5 месяцев - 96, за 6 месяцев - 108% годовых. Определите эффективную процентную ставку при размещении денег на 6 месяцев под указанные простые и сложные проценты. В последнем случае начисление процентов ежемесячное

Решение:

Эффективная ставка процента - ставка, отражающая реальный доход от коммерческой сделки).

Эффективная процентная ставка, рассчитанная по простым процентам, определяется по формуле:

,

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах).

или 54%.

Эффективная процентная ставка, рассчитанная по сложным процентам, определяется по формуле:

,

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах).

 или 67%.

12. Реклама одного коммерческого банка предлагает 84% годовых при ежемесячном начислении процентов. Другой коммерческий банк предлагает 88% годовых при поквартальном начислении процентов. Срок хранения вклада - 12 месяцев. Какому банку отдать предпочтение?

Решение:

Выбор между коммерческими банками будет зависеть от коэффициента наращения.

Коэффициент наращения сложных процентов определяется по формуле:

где n - период начисления процентов,

i - номинальная процентная ставка.

Банк 1:

Банк 2:

- предпочтение Банку 1.

13. Сопоставьте условия четырех банков: а) проценты простые и процентная ставка 48%; b) номинальная процентная ставка - 46% годовых, начисление процентов происходит по полугодиям; c) номинальная процентная ставка - 45%, начисление процентов поквартальное; d) номинальная процентная ставка -44%, начисление процентов ежемесячное

Решение:

Для определения наиболее выгодного варианта необходимо сопоставить предлагаемые условия (все расчеты проводятся для периода равного 1 год).

a) проценты простые и процентная ставка 48%.

Коэффициент наращения простых процентов: .

b) номинальная процентная ставка - 46% годовых, начисление процентов происходит по полугодиям.

Коэффициент наращения сложных процентов:

.

c) номинальная процентная ставка - 45%, начисление процентов поквартальное.

Коэффициент наращения сложных процентов:

.

d) номинальная процентная ставка -44%, начисление процентов ежемесячное.

Коэффициент наращения сложных процентов:

.

В таблице 3 сопоставлены условия для вкладчика, заемщика и банка (кредитора).

Таблица 3

Коэффициент наращения	Вкладчик	Заемщик	Банк
1,48	-	+	-
1,51	-	-	-
1,53	-	-	-
1,54	+	-	+

14. Клиент разместил вклад в 100 тыс. руб. на срочный депозит сроком 8 месяцев. Начисление процентов ежемесячное, под номинальную процентную ставку 36% годовых. Определите наращенную сумму и эффективную процентную ставку

Решение:

Наращенная сумма депозита определяется по формуле сложного процента:

где S_n - сумма депозита в конце периода;

S₀ - начальная сумма вклада;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

руб.

Эффективная ставка рассчитывается по формуле:

15. Предприятие получило кредит на 3 года под номинальную процентную ставку 40% годовых. Комиссионные составляют 5% от суммы кредита. Определите эффективную процентную ставку при начислении процентов: а) один раз в год, б) поквартально, в) ежемесячно

Решение:

Эффективная ставка определяется путем приравнивания будущих стоимостей без учета и с учетом комиссионных:

,

где m - количество начислений процентов;

n - срок кредита (в годах);

S - величина кредита;

- номинальная процентная ставка банка;

- сумма по уплате комиссии банку.

,

где h - комиссия банка.

Эффективная ставка рассчитывается по формуле:

- один раз в год: ;

- поквартально: ;

- ежемесячно: .

16. Предприятие получило кредит на 3 года под годовую процентную ставку 48%. Комиссионные составляют 5% от суммы кредита. Определите эффективную процентную ставку кредита, если: а) кредит получен под простые проценты, b) кредит получен под сложные проценты с начисление процентов один раз в год, c) при ежемесячном начислении процентов

Решение:

a) кредит получен под простые проценты

b) кредит получен под сложные проценты с начисление процентов один раз в год:

;

c) кредит получен под сложные проценты при ежемесячном начислении процентов:

.

17. Фирма получила кредит в 40 тыс. руб. на один месяц под годовую процентную ставку 12%. Проценты простые. Месячный уровень инфляции - 5,9%. Определите месячную процентную ставку с учетом инфляции, наращенную сумму и процентные деньги

Решение:

Процентная ставка банка в месяц составляет:

Процентная ставка банка в месяц с учетом инфляции:

где i_р - реальная ставка банка с учетом инфляции;

i - номинальная ставка банка;

n - число лет;

р - уровень инфляции.

или 6,9%.

Наращенная сумма кредита определяется по формуле простого процента:

руб.

Процентные выплаты составят: руб.

депозит кредит банк доход

18. Фирма обратилась в банк за кредитом в 100 тыс. руб. сроком на один месяц. Банк выделяет такие кредиты под простую годовую процентную ставку 24% без учета инфляции. Месячные уровни инфляции за три предыдущие месяца: 1,8%; 2,4; 2,6%. Кредит выделен с учетом среднего уровня инфляции за три указанных месяца. Определите процентную ставку банка с учетом инфляции, сумму возврата, дисконт банка

Решение:

Уровень инфляции за три месяца:

Средний уровень инфляции в месяц:

Процентная ставка кредита с учетом инфляции:

или 53,49%

Наращенная сумма возврата:

руб.

Процентные выплаты составят: руб.

19. Банк выдал клиенту кредит на 3 месяца. Сумма кредита - 24 тыс. руб. Банк требует, чтобы реальная ставка доходности была 12% годовых. Прогнозируемый средний месячный уровень инфляции - 3,6%. Определите простую процентную ставку банка, наращенную сумму

Решение:

Уровень инфляции за год:

Темп инфляции составит: или 53%.

Процентная ставка кредита с учетом инфляции:

,

где i - номинальная процентная ставка;

r - реальная ставка доходности;

р - уровень инфляции.

или 71,36%

Наращенная сумма возврата:

руб.

20. Фирма взяла кредит в коммерческом банке на два месяца под процентную ставку 30% годовых (без учета инфляции). Предполагаемый средний месячный уровень инфляции - 2%. Определите процентную ставку кредита с учетом инфляции и коэффициент наращения

Решение:

Уровень инфляции за год:

Процентная ставка кредита (формула Фишера):

или 2,5.

Коэффициент наращения сложных процентов:

Коэффициент наращения простых процентов:

21. Кредит в 500 тыс. руб., получен сроком на один год под номинальную процентную ставку 18% годовых. Начисление процентов ежемесячное. Ожидаемый среднемесячный уровень инфляции - 3%. Определите процентную ставку банка с учетом инфляции и наращенную сумму

Решение:

Темп инфляции за год рассчитывается по формуле:

или 42,58%

Определим процентную ставку банка с учетом инфляции:

или 53,49%

Наращенная сумма:

руб.

22. Месячные уровни инфляции ожидаются на уровне 3%. Определите истинную процентную ставку доходности годового вклада, если банки принимают вклады под номинальные процентные ставки 40%, 50%, 60%. Проценты сложные и начисляются ежемесячно.

Решение:

Уровень инфляции за год:

или 42,58% в год

Истинная процентная ставка:

,

где i - номинальная процентная ставка;

- истинная процентная ставка;

- уровень инфляции;

m - количество начислений процентов.

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 40%:

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 50%:

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 60%:

23. Средний месячный уровень инфляции с января по июнь 1997 г. - 5,9%. Какой должна быть годовая процентная ставка банка по депозитам, чтобы обеспечить реальную доходность вкладов 12% годовых. Проценты сложные и начисляются ежемесячно

Решение:

Номинальная процентная ставка по депозит определяется по формуле:

,

где i - номинальная процентная ставка;

r- реальная доходность вклада;

- уровень инфляции.

или 18,6%

24. Коммерческий банк принимал вклады от населения в первой половине 1997 г. под процентную ставку 54% годовых. Проценты начисляются ежемесячно. Средний месячный уровень инфляции - 5,9%. Определите реальную процентную ставку доходности

Решение:

Реальная процентная ставка доходности определяется по формуле:

,

где i - номинальная процентная ставка;

r - реальная доходность вклада;

- уровень инфляции.

 или -14,77%.

Происходит обесценивание вклада на 14,77%.

25. Коммерческие банки принимают вклады от населения "до востребования" под 60% годовых с ежемесячной капитализацией процентов. Определите истинную процентную ставку банка с учетом инфляции, наращенную сумму и доходность клиента от вклада в 3 тыс. руб. по истечении 1 года, если средний уровень инфляции 3,5%.

Решение:

Уровень инфляции за год:

или 51,11% в год

Истинная процентная ставка:

,

где i - номинальная процентная ставка;

- истинная процентная ставка;

- уровень инфляции;

m - количество начислений процентов.

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 60%:



Наращенная сумма депозита с ежемесячной капитализацией процентов определяется по формуле:

,

где S_n - сумма депозита в конце периода;

S₀ - начальная сумма вклада;

n - период начисления процентов;

- истинная процентная ставка.

руб.

Доход вкладчика к концу срока составит:

,

где I_n - доход вкладчика за период n;

n - срок депозита (в годах).

руб.

26. Рассчитайте NPV для инвестиционного проекта со следующим денежным потоком для ставки сравнения 15% годовых.

Таблица 3

Годы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Поток	-30	-25	-15	-10	10	15	20	25	25	25

Решение:

Чистая приведенная стоимость инвестиционного проекта определяется по формуле:

,

где CF_t -- денежный приток (отток) за период t;

r -- ставка сравнения;

n -- жизненный цикл проекта.

В таблице 4 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Таблица 4

год	поток	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока
1	-30	1	-30
2	-25	1,15	-21,74
3	-15	1,32	-11,34
4	-10	1,52	-6,58
5	10	1,75	5,72
6	15	2,01	7,46
7	20	2,31	8,65
8	25	2,66	9,40
9	25	3,06	8,17
10	25	3,52	7,11
		NPV=	-23,16

Значение NPV для инвестиционного проекта получили отрицательное. Значит проект следует отвергнуть.

27. Найдите внутреннюю норму доходности (IRR) для инвестиционного проекта со следующим регулярным денежным потоком (-200, -150, 50, 100, 150, 200, 200)

Решение:

Внутренняя норма доходности IRR -- это ставка дисконтирования, при которой NPV проекта равен нулю.

В таблице 5 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Таблица 5

год	Затраты I	Доход R	поток
1	-200	-	-200
2	-150	-	-150
3	-	50	50
4	-	100	100
5	-	150	150
6	-	200	200
7	-	200	200
		IRR=	19%

Внутренняя норма доходности составляет 19%.

28. Сравните инвестиционные проекты (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20) и (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), если годовая ставка процентов составляет: а) 10 % годовых; б) 15 % годовых; в) 20 % годовых.

Решение:

Представленные инвестиционные проекты характеризуют собой типичный инвестиционный поток, в отрицательные платежи предшествуют положительным.

В таблице 6 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Инвестиционные поток (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20)

Таблица 6

год	поток	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока	сумма	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока	сумма	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока	сумма
1	-50	1	-50	-50	1	-50	-50	1	-50	-50
2	-50	1,1	-45,45	-95,45	1,15	-43,48	-93,48	1,2	-41,67	-91,67
3	-45	1,21	-37,19	-132,64	1,32	-34,03	-127,50	1,44	-31,25	-122,92
4	65	1,33	48,84	-83,81	1,52	42,74	-84,77	1,73	37,62	-85,30
5	85	1,46	58,06	-25,75	1,75	48,60	-36,17	2,07	40,99	-44,31
6	85	1,61	52,78	27,03	2,01	42,26	6,09	2,49	34,16	-10,15
7	20	1,77	11,29	38,31	2,31	8,65	14,74	2,99	6,70	-3,45
8	20	1,95	10,26	48,58	2,66	7,52	22,26	3,58	5,58	2,13
		NPV=	48,58			22,26			2,13
		I =	-132,64			-127,50			-122,92
		R=	181,22			149,76			125,05
		PI=	0,366			0,17			0,02

В таблице 7 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Инвестиционные поток (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110)

Таблица 7

год	поток	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока	сумма	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока	сумма	коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока	сумма
1	-60	1	-60	-60	1	-60	-60	1	-60	-60
2	-70	1,1	-63,64	-123,64	1,15	-60,87	-120,87	1,2	-58,33	-118,33
3	-50	1,21	-41,32	-164,96	1,32	-37,81	-158,68	1,44	-34,72	-153,06
4	-40	1,33	-30,05	-195,01	1,52	-26,30	-184,98	1,73	-23,15	-176,20
5	110	1,46	75,13	-119,88	1,75	62,89	-122,08	2,07	53,05	-123,16
6	110	1,61	68,30	-51,58	2,01	54,69	-67,40	2,49	44,21	-78,95
7	110	1,77	62,09	10,51	2,31	47,56	-19,84	2,99	36,84	-42,11
8	110	1,95	56,45	66,96	2,66	41,35	21,51	3,58	30,70	-11,41
		NPV=	66,96			21,51			-11,41
		I =	-195,01			-184,98			-176,20
		R=	261,97			206,49			164,79
		PI=	0,34			0,12			-0,06

При ставке 10% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), т.к. NPV=66,96 PI=0,34, период окупаемости составляет 2,91

При ставке 15% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=22,26, PI=0,17, период окупаемости составляет 5,73

При ставке 20% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=2,13, PI=0,02, период окупаемости 57,71.

Список литературы

1. Задачи по финансовой математике: учебное пособие /П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехов, С.В. Скородулина - М.: КНОРУС, 2016 - 286 с.

2. Катаргин Н.В. Методы финансовых расчётов: Тексты лекций / Н.В. Катаргин - М.: Финансовый университет, кафедра «Системный анализ и Моделирование экономических процессов», 2016. - 124 с.

3. Кузнецов С.Б. Финансовая математика: учебное пособие / С.Б. Кузнецов; РАНХиГС, Сиб. ин-т управления - Новосибирск: Изд-во СибАГС - 2014 - 263с.

4. Печенежская И.А. Финансовая математика: сборник задач / И.А. Печенежская - Ростов н/Д: Феникс, 2010 - 188 с.

5. Финансовая математика: учебное пособие /П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехов, С.В. Скородулина - М.: КНОРУС, 2012 - 224 с.

Размещено на Allbest.ru