Количественные методы расчета параметров финансовых операций

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей обратной наращению процентов: по заданной сумме FV, которую следует уплатить через время T; необходимо определить сумму получаемой ссуды PV

Параметры операции: T- длительность финансовой операции (измеряется в годах), r-годовая ставка ссудного процента; d- учетная ставка (ставка дисконта)

PV-современная стоимость будущей суммы FV;

1.4.1 Математическое дисконтирование (применяется ставка ссудного процента -r)

а) по схеме простого процента:

б) по схеме сложного процента с начислением один раз в году:

в) по схемее сложного процента с начислением m раз в году:

1.4.2 Банковский (коммерческий учет).

(Применяется схема дисконтирования с использованием учетной ставки d)

Простые проценты:

.

В этой схеме чаще всего используется способ точных процентов.

Сложные проценты с начислением 1 раз в году:

Сложные проценты с начислением m раз в году:

1.5 Определение параметров (r, T,d) простейшей финансовой операции

Для определения ставки ссудного процента, учетной ставки или срока проведения операций необходимо воспользоваться формулами наращения или дисконтирования, из которых находится искомый параметр.

PV и FV в этом случае заданы.

1.6 Потоки платежей (аннуитеты)

Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity).

Ренты характеризуются следующими параметрами:

A- член ренты, т.е. величина каждого годового платежа,

p - число платежей в году,

m- число начислений процентов в году,

T- срок ренты в годах (время от начала ренты до конца последнего периода выплат).

t-период ренты (временной интервал между двумя последовательными платежами,

r-годовая ставка процента;

FV- наращенная сумма (сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами);

PV- приведенная (современная) стоимость потока платежей-это сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени

Если платежи осуществляются в конце периода, имеем ренту постнумерандо, в начале периода - пренумерандо. Если платежи осуществляются равномерно в течении периода, то считают, что платеж приурочен к середине периода, а ренту называют равномерной.

Основные формулы наращения

Отличие постоянных рент пренумерандо от рент поснумерандо состоит в том, что время начисления процентов на каждую выплату увеличивается на один период ренты, следовательно, сумма наращения будет больше, чем сумма FV в S (1,r) раз, где S (1,r) - множитель наращения платежа за один период, соответствующей данному типу ренты.

Это же правило сохраняется и для приведенных стоимостей указанных рент.

Основные формулы приведения

2.1.1 Погашение долга единовременным платежом

Количественный анализ долгосрочной задолженности (займа) применяется для достижения сбалансированности, т.е. адекватности его параметров принятым условиям финансового соглашения, путем планирования погашения долга.

Планирование погашения долга заключается в определении периодических расходов, связанных с займом, - такие расходы называются обслуживанием долга. Разовая сумма обслуживания долга - срочная уплата, в которую входят:

текущие процентные платежи;

средства, для погашения (амортизации) основной суммы долга.

Размеры срочных уплат зависят от условий займа:

срока;

наличия и продолжительности льготного периода;

уровня процентной ставки;

способа погашения основной суммы долга и выплаты процентов.

Для кредитной схемы в качестве исходных параметров выступают величина займа (D), срок его погашения (n), процент по кредиту (i), под который выдаются деньги, и поток платежей по выплате долга (Y_t).

Рассмотрим различные способы погашения задолженности, поскольку от выбора способа погашения стоимость кредита (сумма выплачиваемых процентов) будет различной. Здесь возможны два варианта:

а) погашение единовременным платежом, т.е. возврат всей суммы в оговоренный срок;

б) погашение долга в рассрочку, т.е. частями.

2.1.2 Погашение основной суммы долга единовременным платежом в конце срока с постоянной выплатой процентов. Рассмотрим погашение единовременным платежом. В простейшем случае кредит погашается единым платежом в конце срока:

Y = D (1 + i) n,

где Y - срочная уплата;

D - сумма долга.

Этот платеж, как наращенная сумма долга, состоит из двух частей:

возврат основной суммы долга (D);

выплата процентов по долгу (I), где

I = D (1 + i) n - D.

В финансовой практике встречаются случаи, когда у кредитора возникает необходимость вернуть часть денег досрочно. В таких случаях возникает риск невозврата, поскольку требуемой суммы на такой момент времени может и не быть.

При значительной сумме долга разовый платеж требует создания так называемого фонда погашения, путем периодических взносов. Фонд погашения аккумулирует денежные средства, направленные на погашение задолженности.

Наиболее эффективно размещение фонда погашения с начислением на взносы процентов, например, на специальном счете в банке. Не трудно заметить, что такие платежи по своей сути являются финансовой рентой (аннуитетом), поэтому задача сводится к определению одного из параметров финансовой ренты - члена ренты.

Здесь возможно два варианта.

Первый - выплата процентов по мере их начисления, а основная сумма денег возвращается в конце срока займа.

Если проценты выплачиваются ежегодно, тогда величина срочной уплаты (расходов должника по погашению долга) равна:

где D - первоначальная сумма долга;

q - ставка процентов по условиям займа;

s_{n; i} - коэффициент наращения финансовой ренты;

n - срок долга в годах;

i - ставка процентов при создании фонда погашения.

Здесь фигурируют две ставки процентов: i - определяет скорость роста суммы фонда погашения; q - сумму выплачиваемых за заем процентов.

Пример. Долг 100 тыс. долларов выдан под 10% годовых на 3 года, с ежегодной выплатой процентов по долгу. Для погашения суммы долга единовременным платежом создается фонд, куда ежегодно вносятся равные суммы, на которые начисляются проценты по ставке 11%. Найти ежегодные расходы должника.

Решение:

Ежегодные расходы должника составляют величину срочной уплаты:

Y = I + R,

I = D q = 100'000 0,1 = 10'000 долларов,

Отсюда

Y = 10'000 + 29'921,31 = 39'921,31 долларов.

Таким образом, ежегодные расходы должника по обслуживанию долга составят 39'921,31 долларов.

Однако, более наглядным и эффективным способом планирования долга является составление таблиц, в которых отражают все основные характеристики обслуживания долга:

План погашения долга единовременным платежом с ежегодной выплатой процентов и созданием погасительного фонда

Таким образом, из приведенной таблицы видно, что ежегодные расходы по обслуживанию долга составят 39'921,31 долларов, что в целом за три года составит сумму 119'763,93 долларов, причем выплата процентов за три года 30'000 долларов, а на погашение основного долга в размере 100'000 долларов приходится всего лишь 89'763,93 долларов, т.е.10'236,07 долларов является набежавшими процентами на размещенные средства в фонде погашения.

Таким образом, создание фонда погашения является необходимым элементом составления плана погашения долга, т.к позволяет не только снизить риск не возврата денежных средств, но и сократить расходы по обслуживанию суммы долга.

2.1.3 Погашение основной суммы долга и процентов по нему единовременным платежом в конце срока ссуды. Второй вариант погашения долга единовременным платежом состоит в выплате процентов одновременно с погашением долга.

В этом случае взносы в фонд погашения являются одновременно и величиной срочной уплаты (членом финансовой ренты):

где D - первоначальная сумма долга;

q - ставка процентов по условиям займа;

s_{n; i} - коэффициент наращения финансовой ренты;

n - срок долга в годах;

i - ставка процентов при создании погасительного фонда.

Пример. Рассмотрим предыдущий пример, изменив условия: погашение единовременным платежом, как суммы основного долга, так и выплаты процентов.

Решение:

Величина срочной уплаты равна:

Y = [D (1 + q) n]: S_{n; i} = 100'000 (1 + 0,11) 3: 3,3421000 = 39'825,26 долларов

Таким образом, величина ежегодных расходов по обслуживанию долга составит 39'825,26 долларов, что несколько меньше аналогичного показателя в предыдущем примере, следовательно, меньше и общая сумма расходов по обслуживанию долга, составляющая величину 119'475,78 долларов.

Для более наглядного представления плана погашения долга здесь также необходимо составление таблицы.

План погашения долга единовременным платежом

Как видно из таблицы, происходит ежегодное увеличение суммы долга за счет присоединения к нему процентов, поэтому к концу срока долг возрастет до 133'100 долларов, из которых выплата процентов составит 33'100 долларов. Однако за счет увеличения размера взносов в погасительный фонд общая величина обслуживания долга уменьшается.

2.2 Погашение долга в рассрочку

2.2.1 Погашение основной суммы долга равными частями.

Одним из вариантов погашения долга в рассрочку является погашение основной суммы долга равными частями.

При этом величина погашения долга определяется следующим образом:

d_t = D: n = const,

где d_t - величина погашения основной суммы долга; D - первоначальная сумма долга; n - срок долга в годах; t - номер года, t = 1, 2, …, n.

Проценты начисляются на уменьшаемую сумму основного долга: I_t = D_t q,

где D_t - остаток долга на начало очередного года;

q - ставка процентов, начисляемых на сумму долга.

Тогда размер срочной уплаты можно представить как сумму процентов и сумму погашения долга:

Y_t = I_t + d_t,

где Y_t - срочная уплата на конец текущего года.

Пример. Сумма 100 тыс. долларов выдана под 10% годовых на 3 года. Определить величину срочной уплаты при погашении основной суммы долга равными ежегодными частями.

Решение:

Величина суммы погашения долга равна:

d_t = D: n = 100'000: 3 = 33'333,33 доллара.

Поскольку величина срочной уплаты при таком способе погашения долга меняется из года в год, то в этом случае без построения плана погашения долга в виде таблицы просто не обойтись.

План погашения основной суммы долга равными частями

Таким образом, общие расходы по обслуживанию долга составили 120 тыс. долларов, из которых 20 тыс. долларов составляют проценты, а 100 тыс. долларов - погашение основной суммы долга. Сравните полученные результаты с выплатой долга единовременным платежом.

2.2.2 Погашение долга и процентов по нему равными суммами в течение срока ссуды.

Долг также можно погашать в рассрочку равными срочными уплатами, которые включают в себя как погашение основной суммы долга, так и величину процентов по нему:

Y_t = I_t + d_t = const.

При погашении долга в рассрочку величина долга систематически убывает, что приводит к уменьшению процентов и, соответственно, увеличению сумм, идущих на погашение долга, - это так называемое прогрессивное погашение.

Поскольку срочные уплаты равны, то их последовательность представляет собой финансовую ренту, современное значение которой должно быть равно сумме долга.

По формуле для определения размера платежа постоянной годовой финансовой ренты с выплатами в конце периода, размер срочной уплаты равен:

где Y_t - величина срочной уплаты; D - первоначальная сумма долга; q - процентная ставка на сумму долга;

n - срок долга в годах;

t - номер года, t = 1, 2, …, n.

Пример. Условия предыдущей задачи, но погашение долга предусматривает уплату равными срочными выплатами.

Решение:

Срочная уплата, включающая в себя погашение основной суммы долга и выплату процентов по долгу, равна:

Y_t= 100'000,00: 2,486851991 = 40'211,48 долларов.

Отсюда общие расходы по погашению долга равны:

УY_t = 40'211,48 3 = 120'634,44 доллара.

Таким образом, ежегодные расходы по погашению долга будут составлять 40'211,48 долларов, а за весь срок финансовой операции - 120'634,44 доллара.

При этом варианте погашения долга также возможно построение таблицы.

План погашения долга равными срочными уплатами

Таким образом, общие расходы по обслуживанию долга составляют 120'634,44 долларов, из которых 100 тыс. долларов идут на погашение долга, а 20'634,44 долларов - проценты. В таблице наглядно представлено распределение суммы срочной уплаты на выплату процентов и непосредственное погашение долга.

2.2.3 Потребительский кредит. Частным случаем погашения долга равными срочными уплатами является потребительский кредит, при котором проценты начисляются сразу на всю сумму кредита, а сумма задолженности равномерно погашается на протяжении всего срока кредита. Проценты в потребительском кредите начисляются сразу на всю сумму долга по простой ставке:

I = D n i

Тогда общая сумма расходов по погашению кредита складывается из выплаты процентов и суммы основного долга:

УY_t = D + I

Следовательно, размер срочной уплаты определяется по формуле:

УY_t = (D + I): (n m),

где n - срок кредита в годах;

m - количество взносов в течение года.

Пример. Потребительский кредит на сумму 5 тыс. руб. открыт на 2 года по ставке 25% годовых. Погашение кредита равными взносами ежеквартально. Определить стоимость кредита и размер ежеквартальных взносов.

Решение:

Стоимость кредита - это проценты, которые равны:

I = D n i = 5'000 2 0,25 = 2'500 рублей

Общая сумма расходов по обслуживанию кредита равна:

УY_t = D + I = 5'000 + 2'500 = 7'500 рублей

Ежеквартальные взносы составят величину:

УY_t = (D + I): (n m) = 7'500: 2 4 = 937,50 рублей

Таким образом, ежеквартальные взносы в размере 937,50 рублей позволяет выплатить сумму долга и выплатить проценты.

Если бы использовалось прогрессивное погашение, т.е. начисление процентов на остаток долга, то это было бы заметно дешевле для должника.

Расчленение величины срочной уплаты в потребительском кредите на процентные платежи и погашение основной суммы долга в мировой практике называется "методом 78". Это связано с тем, что для потребительского кредита сроком 12 месяцев и ежемесячным погашение, сумма порядковых номеров месяцев будет равна 78, что и дало название такому методу начисления процентов.

Это правило можно обобщить для n лет и m платежей в году:

N = m n [ (m n + 1): 2],

где N - сумма последовательных номеров выплат.

Отсюда очень легко расчленить срочную уплату на процентные платежи и сумму погашения основного долга:

Y_t = I_t + d_t,

где I_t - процентный платеж;

d_t - сумма погашения основного долга.

Тогда величина процентного платежа определяется следующим образом:

I_t = I (t / N),

а сумма погашения основного долга как разница срочной уплаты и процентных выплат:

R_t = Y_t - I_t.

Рассмотрим предыдущий пример, расчленив срочную уплату на составляющие элементы, все данные представив в виде таблицы.

План погашения потребительского кредита

Примеры решения задач