Математическое моделирование упругих плоских элементов судовых и гидротехнических конструкций

На рис.9 представлены графики прогибов свободной кромки y = 1, а на рис.10 эпюры изгибающих моментов в корневом сечении пластины при удержании четырех слагаемых в аппроксимирующем выражении (n = 5). Кривые 1-3 соответствуют значениям параметра ; 1 и 2 соответственно. Для сравнения на этих рисунках приведены кривые 4, полученные методом суперпозиции исправляющих функций. Это показывает, что уже при удержании четырех слагаемых в аппроксимирующем выражении функции прогибов результаты получаются вполне удовлетворительными.

Рис.9. Линии прогибов грани y=1 консольной пластины Кирхгоффа (n=5)

Рис.10. Распределение изгибающих моментов в корневом сечении консольной пластины Кирхгоффа (n=5)

Сопоставление с результатами В.М.Фролова и Н.Л.Рабинского, полученными другими вариационными методами, показывает, что численные результаты данной работы более точны.

Для сравнения та же задача решалась вторым способом, когда разрешающие уравнения для искомых функций были получены из условия минимума потенциальной энергии пластины при обычных требованиях к функции прогибов (104), которая заранее должна удовлетворять лишь геометрическим условиям защемленного края. В рассматриваемом примере для трех слагаемых выражения (104) были получены результаты, весьма близкие к тем, которые имели место для четырех слагаемых в первом способе. Однако, несмотря на разницу в количестве членов аппроксимирующего выражения, оба способа примерно эквивалентны по объему вычислений. Далее методом Канторовича решалась задача изгиба прямоугольной консольной пластины с линейным изменением толщины по координате y (рис.11):

(109)

где h0 - значение толщины в заделанном сечении пластины, r - постоянный коэффициент: .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11. Прямоугольная консольная пластина с линейно изменяющейся толщиной под действием равномерной нагрузки

Прогиб пластины разыскивается в следующем виде:

(110)

где ; прогиб отнесен к величине ; - жесткость корневого сечения. Цилиндрическая жесткость пластины в принятых обозначениях запишется так: , где .

Функции и выражаются через остальные неизвестные функции при удовлетворении геометрическим условиям задачи.

Выражение вариации функционала потенциальной энергии пластины с учетом симметрии и заданного закона изменения цилиндрической жесткости в безразмерном виде запишется так:

.

Разрешающие уравнения получены из условия минимума потенциальной энергии пластины после громоздких преобразований. Частное решение соответствующей системы уравнений Эйлера дает «балочную» функцию

.

С помощью ЭВМ были найдены первые три неизвестные функции , , рассчитаны прогибы и изгибающие моменты для пластин с отношением сторон ; 1 и 2 при коэффициенте r= 0,9 и =0,3.

В табл.8 для каждого значения в левом столбце указаны прогибы, а в правом - изгибающие моменты.

Таблица 8. Значения прогибов грани y = 1 и изгибающих моментов My в заделанном сечении y = 0 консольной пластины переменной толщины

Задача изгиба равномерно нагруженной прямоугольной пластины постоянной толщины решалась также методом однородных решений.

Прогиб пластины выбирался в виде суммы функций

(111)

где - балочная функция, а однородные решения , согласно П.Ф.Папковичу, представлены функциональным рядом:

(112)

Здесь Ak - неопределенные коэффициенты; k - собственные числа, определяемые из трансцендентного уравнения задачи:

(113)

а собственные функции имеют вид:

(114)

Однородные решения (112) удовлетворяют бигармоническому уравнению и граничным условиям на продольных кромках y=const.

Уравнение (113) имеет два вещественных корня, отличающихся только знаками, и бесчисленное множество комплексных корней, группирующихся по квартетам. В работе найдены вещественный и первые девять комплексных корней этого уравнения с помощью ЭВМ для коэффициента Пуассона =0,3 с ошибкой в восьмом знаке, не превышающей двух единиц.

Коэффициенты Ak должны определяться из граничных условий на смежных кромках , где имеют место невязки

(115)

Здесь , - невязка от , Rxy - сосредоточенные силы в угловых точках.

Если потребовать обращения в ноль выражений (115), то с помощью одной последовательности коэффициентов (или ak) это сделать невозможно. поэтому обратимся к приближенным способам, основанным на минимизации некоторого функционала. В данной работе рассматриваются два варианта приближенного решения задачи: коэффициенты однородных решений отыскиваются 1) методом наименьших квадратов и 2) из условия минимума работы краевых невязок.

В первом варианте минимизируется квадратичная погрешность выполнения граничных условий (4), (5):

Условие минимума этого функционала приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений для определения комплексных коэффициентов ak . Для численного решения этой системы из нее предварительно вручную выделялись действительная и мнимая части, что представляет собой весьма трудоемкую операцию. Далее с помощью ЭВМ решались укороченные системы, соответствующие количеству n собственных чисел k , которое принималось последовательно равным 3, 4, …, 8. Соответственно вычислялись изгибающие моменты My в заделанном сечении квадратной пластины, которые оказались заниженными по сравнению с результатами, полученными методом суперпозиции исправляющих функций.

Во втором варианте решения задачи минимизируется работа невязок (115) на соответствующих перемещениях поперечных кромок:

Из условия минимума этого функционала получена бесконечная комплексная система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов ak . Она также разделялась на действительную и мнимую части, и далее с помощью ЭВМ решались укороченные системы при n = 2, 3, …, 8. Для каждого приближения вычислялись прогибы грани y = 1 и изгибающие моменты My на защемленной кромке консольных пластин с отношением сторон 1/2; 1 и 2.

Рис.12. Эпюры изгибающих моментов My в корневом сечении квадратной консольной пластины Кирхгоффа (минимизация работы невязок n = 2, 3, 4, 6, 8)

На рис.12 приведены эпюры изгибающих элементов в заделанном сечении квадратной пластины. Кривая 1 соответствует решению, полученному методом суперпозиции исправляющих функций. Номера кривых со второй по предпоследнюю соответствует числу удерживаемых однородных решений; пунктирная прямая линия соответствует цилиндрическому изгибу.

Полученные результаты показывают, что однородные решения представляют собой сходящийся ряд, однако и данный способ определения коэффициентов ak дает заниженные значения прогибов и моментов по сравнению с методом суперпозиции исправляющих функций, причем соответствующие кривые наиболее близки при удержании в выражении (116) трех слагаемых. Далее наблюдается снижение точности вычислений, которое, на наш взгляд, обусловлено накоплением погрешностей округления при решении на ЭВМ разрешающей системы алгебраических уравнений. Возможно, вычисления при удержании большого числа значащих цифр позволят решить эту проблему.

Следует отметить, что второй способ определения коэффициентов однородных решений более точен, чем первый.

В восьмой главе для моделей ортотропных пластин, защемленных по всему контуру используется метод суперпозиции исправляющих функций. Дифференциальное уравнение изгиба по С.Г.Лехницкому имеет вид:

(116)

Здесь w - прогиб пластины отнесен к величине ; D - жесткость изотропной пластины; - относительные жесткости по главным направлениям; , , - главные жесткости; ; - главные упругие постоянные; h - толщина пластины.

Граничные условия заделанных граней имеют вид (46), (47).

Частное решение уравнения (116)

(117)

порождает невязки в граничных условиях по углам поворота заделанных сечений, которые поочередно компенсируются исправляющими функциями

,

(118)

где n =2,3, … номер итерации; , . Коэффициенты рядов находятся из граничных условий. Функции (118) удовлетворяют уравнению (116) при

(119)

Далее рассматривается ортотропная ребристая пластина, ребра жесткости которой идут в двух направлениях параллельно осям координат при частой их постановке. Ребра считаются одинаковыми, симметричными относительно срединной плоскости и равноотстоящими друг от друга (рис.13,14). Жесткости при этом вычисляются по формулам (С.Г.Лехницкий):

D3 = D , где d - расстояние между ребрами. Тогда относительные жесткости примут вид , где , и корни (119) становятся комплексными:

, (120)

Ряды (118) после подстановки в них комплексных корней (120) и последующих преобразований запишутся действительными выражениями.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 13. Ребристая пластина, защемленная по контуру

Окончательно с учетом линейности задачи функция прогибов указанной ребристой пластины будет иметь вид:

(121)

где n - номер итерации; - суммарные значения коэффициентов по всем итерациям.

Для примера ребра жесткости будем считать прямоугольными (рис.14). Примем коэффициент Пуассона материала пластины =0,3; ширину ребра bp = h; высоту ребра hp = 3h; отношение ширины ребра к расстоянию между ребрами bp / d = 0,1. Тогда момент инерции ребра и его относительная жесткость будут:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.14. Форма ребер пластины

, .

По программе, составленной и реализованной в системе Maple-10, вычислялись прогибы и изгибающие моменты Mx для квадратной пластины (рис. 15,16), а также изгибающие моменты Mx для прямоугольной пластины с отношением сторон = 2. При расчетах в рядах удерживалось 199 членов; количество итераций 14. Процесс быстро сходился, невязки после 14 итераций были практически равны нулю.

Наибольший прогиб в середине ребристой квадратной пластины составил -0,000441, а в середине прямоугольной пластины -0,000791. Для сравнения приведем соответствующие значения для изотропной пластины (табл.5): -0,001265 и -0,002533. Таким образом, ребра жесткости в данном примере примерно втрое уменьшили наибольшие прогибы по сравнению с «гладкой» пластиной той же толщины.

Рис. 15. Прогибы ребристой квадратной пластины под действием равномерной нагрузки (отнесены к величине )

Рис. 16. Эпюра изгибающих моментов Mx (отнесенных к величине ) ребристой квадратной пластины под действием равномерной нагрузки

В качестве примера рассмотрен также случай, когда ребра жесткости расположены с одной стороны обшивки.

Итерационным методом суперпозиции исправляющих функций можно также решать задачи изгиба ребристых пластин при других условиях опирания по краям. Это консольные пластины, пластины с тремя защемленными и одним свободным краями и др. при различных видах поперечных нагрузок, а также железобетонные плиты, расчет которых можно привести к расчету некоторой эквивалентной изотропной пластины.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена построению математических моделей поведения широкого класса прямоугольных в плане изотропных и ортотропных пластин (плит) с защемлено-свободными краями под действием распределенной поперечной нагрузки как элементов судовых и гидротехнических конструкций. Задачи решались как в рамках классической теории (модель Кирхгоффа), так и в рамках уточненной теории (модель Рейсснера), учитывающей влияние деформации перечного сдвига на изгиб.

Получены следующие результаты:

1) предложен метод суперпозиции исправляющих функций для решения широкого круга задач математической физики, позволяющий получить решение с любой точностью;

2) методом суперпозиции исправляющих функций решена задача изгиба прямоугольной консольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием равномерной поперечной нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационных решений к точному решению задачи для широкого диапазона коэффициентов Пуассона;

3) показана пригодность для вычисления на ЭВМ рядов, представляющих изгибающие моменты в заделанном сечении пластины. Приведены результаты вычислений изгибающих моментов в этом сечении, а также прогибов противоположной свободной кромки для пластин с различным отношением сторон. Дано сравнение с известными приближенными решениями и экспериментальными данными. Вблизи концов заделки изгибающие моменты убывают до - (в рамках данной теории), т.е. имеет место концентрация напряжений;

4) дано обобщение метода суперпозиции на случай распределенной поперечной нагрузки, заданной в виде некоторого полинома по координате y, а также на случай произвольной поперечной нагрузки, представимой двойным рядом Фурье;

5) решена задача изгиба консольной пластины Рейсснера под действием равномерной поперечной нагрузки итерационным методом суперпозиции исправляющих функций. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационного решения к точному решению задачи;

6) установлено резкое перераспределение напряжений вблизи концов заделанного сечения, где изгибающие моменты, убывая, достигают минимума, а затем (в рамках данной теории) растут до бесконечности, которая имеет знак плюс, в отличие от классической теории;

7) приведены результаты вычислений изгибающих моментов в корневом сечении, а также прогибов противоположной свободной кромки для пластин с различным отношением сторон и различной относительной толщиной. Дано сравнение с классической теорией. Показано, что при относительной толщине меньшей 0,1 результаты, полученные по классической теории и уточненной, практически совпадают. C ростом относительной толщины проявляются различия, в том числе и принципиального характера;

8) методом суперпозиции исправляющих функций решена задача изгиба защемленной по всем граням прямоугольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационного решения к точному решению задачи;

9) приведены результаты вычислений прогибов и изгибающих моментов для пластин с различным отношением сторон. Дано сравнение с известными решениями;

10) тем же методом решена задача изгиба защемленной по всем граням прямоугольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием гидростатической нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения решения. Доказана сходимость итерационного решения к точному решению задачи. Приведены результаты вычислений прогибов и моментов для пластин с различным отношением сторон;

11) решена задача изгиба защемленной по всему контуру прямоугольной пластины Рейсснера постоянной толщины под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Исследована сходимость тригонометрических рядов, используемых для построения итерационного процесса. Доказана сходимость итерационных решений к точному решению задачи;

12) приведены результаты вычислений прогибов и изгибающих моментов для пластин с различным отношением сторон и различной относительной толщиной. Дано сравнение с классической теорией. Показано, что при относительной толщине меньшей 0,1 результаты, полученные по классической теории и уточненной, практически совпадают. C ростом относительной толщины проявляются различия, в том числе и принципиального характера, особенно для изгибающих моментов вблизи защемленных граней;

13) методом суперпозиции исправляющих функций решены задачи изгиба прямоугольных пластин Кирхгоффа с тремя и двумя защемленными краями (остальные свободные). Доказана сходимость итерационных решений, приводятся результаты вычислений, выявлена концентрация напряжений в точках перехода от защемленного края к свободному;

14) предложена модификация метода Канторовича для задачи изгиба прямоугольной консольной пластины Кирхгоффа постоянной толщины под действием равномерной поперечной нагрузки. Суть ее состоит в том, что точно удовлетворяются граничные условия на обеих кромках y=const. Для сравнения задача решалась и для обычного подхода, когда точно удовлетворялись лишь геометрические условия заделки. Дано численное сравнение указанных подходов между собой, с методом суперпозиции исправляющих функций, а также с другими известными вариационными методами;

15) вариационным методом Канторовича получено решение задачи об изгибе прямоугольной консольной пластины Кирхгоффа с линейно изменяющейся толщиной в направлении, перпендикулярном защемленному краю. Приведены численные результаты расчетов прогибов и изгибающих моментов при удержании трех слагаемых в выражении функции прогибов;

16) равномерно нагруженная консольная пластина Кирхгоффа исследовалась также методом однородных решений. Коэффициенты однородных решений определялись двумя способами: способом наименьших квадратов и способом минимизации работы краевых невязок. Прогибы и моменты вычислялись для первых семи корней трансцендентного уравнения задачи. Показана неустойчивость метода из-за погрешностей вычислительного процесса, что требует увеличения количества значащих цифр во всех вычислениях;

17) методом суперпозиции исправляющих функций решена задача изгиба защемленной по контуру ортотропной пластины. В частном случае рассмотрена ребристая пластина с ребрами жесткости в двух направлениях при частом их расположением. Приведены результаты расчетов прогибов, изгибающих моментов и напряжений;

18) составлены подробные таблицы значений прогибов, изгибающих моментов, перерезывающих сил, которые могут служить справочным материалом для проектных организаций при проведении основных и поверочных расчетов НДС плоских элементов судовых и гидротехнических конструкций. При применении других приближенных методов (например, МКЭ) для решения более сложных задач эти результаты могут использоваться в качестве эталонных.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ НАУЧНЫХ ПУБЛИКАЦИЯХ

Статьи в журналах, входящих в перечень ВАК для докторантов:

1) Prokopov V.K., Sukhoterin M.V. Variational method for determining the flexure of a bracket.- J. International Applied Mechanics, New York, 1978, Vol.14, No. 5, pp. 537-540;

2) Сухотерин М.В. Решение задачи изгиба прямоугольной консольной пластины переменной толщины методом Канторовича.- Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 2008, т. 251, с. 71 - 76;

3) Сухотерин М.В. К расчету плоских элементов гидрозатворов на гидростатическую нагрузку.- Известия ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева, 2008, т.252, с.111 - 120;

4) Сухотерин М.В. Изгиб прямоугольной консольной пластины с учетом деформации поперечного сдвига.- Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. акад. С.П.Королева, 2008, № 1(14), с. 174-180.

5) Сухотерин М.В. О расчете на изгиб обшивки двустворчатых ворот шлюзов и затворов ГТС.- Гидротехническое строительство, 2009, № 7, с. 47-49.

6) Сухотерин М.В. Прямоугольная консольная пластина под действием поперечной нагрузки,- Научно-технические ведомости СПбГПУ, серия «Информатика, телекоммуникации, управление», 2009, № 4 (82), с. 101-106.

7) Сухотерин М.В. Расчет на изгиб прямоугольных защемленных панелей с одним свободным краем.- Гидротехническое строительство, 2009, № 10, с.51-56.

8) Сухотерин М.В. Изгиб защемленной ребристой панели.- Научно-технические ведомости СПбГПУ, серия «Физ.-мат. науки», 2009, № 4 (88), с. 19-24.

Монографии: 1) Сухотерин М.В. Метод суперпозиции исправляющих функций в задачах теории пластин. С. Петербург, 2009, Изд-во Политехнического ун-та, 265 с.

Изобретения:

1) Краснов И.А., Богдашкин В.В., Тарасов В.В., Сухотерин М.В. «Устройство регистрации прохода судов через створ шлюза», Авторское свидетельство № 1723257, приоритет изобретения 5 февраля 1990 г., зарегистрировано в Гос. реестре изобретений СССР 1 декабря 1991 г.

Публикации в материалах всероссийских и международных научных конференций:

1) Сухотерин М.В. Задача изгиба прямоугольной консольной пластинки Рейсснера. Материалы Всерос. науч.- метод. конф. Санкт - Петербург. ун - та водных коммуникаций. Тез. докл. СПб, 1994, с. 43-45.

2) Сухотерин М.В. Математическое моделирование изгиба обшивки судна под действием гидростатической нагрузки.- Региональная информатика - 2008 (РИ - 2008). XI С. Петерб. международн. конференция., С. Петербург, 22 - 24 октября 2008 г., Материалы конференции \ СПОИСУ.- СПб. 2008.- 355 с. 3) Сухотерин М.В. К расчету обшивки судовых и гидротехнических конструкций из анизотропного материала. Матер. Междунар. научно-практ. конф. «Водные пути России: Стр-во, эксплуатация, управление», С.Петербург, 1-2 окт. 2009, с.297-300.

Публикации в ведущих изданиях СССР:

1) Прокопов В.К., Сухотерин М.В. Вариационный метод решения задачи об изгибе консольной пластины.- Прикл. механика, АН УССР, 1978, т.14, № 5, с. 122 - 127;

2) Сухотерин М.В. Итерационный метод решения задачи об изгибе прямоугольной консольной пластины. - Прикл. механика, АН УССР, 1982, т.18, № 5, с. 121 - 125;

3) Сухотерин М.В. Об одном методе исследования защемленной по контуру прямоугольной пластины.- Докл. АН Армянской ССР, 1987, LXXXV, 4, с. 147 - 151;

4) Сухотерин М.В. К исследованию изгиба защемленной по контуру прямоугольной пластины Рейсснера.- Прикл. механика, АН УССР, 1990, т. 26, № 7, с. 120 - 124;

Публикации в других изданиях:

1) Сухотерин М.В., Сухотерин Д.М. Задача изгиба прямоугольной консольной пластины.- Методы прикладной математики в транспортных системах: Сб. научн. тр. СПб.: СПГУВК, 2000. Вып.III.- с. 172 - 179.

2) Сухотерин М.В., Сухотерин Д.М. Численные результаты решения задачи изгиба прямоугольной консольной пластины.- Методы прикладной математики в транспортных системах: Сб. научн. тр. СПб.: СПГУВК, 2000. Вып. III.- с.179 - 182.

3) Сухотерин М.В. Изгиб прямоугольной пластины, два противоположных края которой защемлены, а два других свободны.- Журнал университета водных коммуникаций, 2009, вып. IV, с. 193-198.

4) Сухотерин М.В. Изгиб консольной пластиныВИНИТИ, № 889 77, Деп., 7 с.

5) Сухотерин М.В. Применение вариационного метода к задаче изгиба консольной пластины переменной толщин ВИНИТИ, № 4012-77, Деп., 13 с.

6) Сухотерин М.В. Однородные решения в задаче изгиба консольной пластины.- ВИНИТИ Деп. 3.06.1983, № 3005 - 83, 12 с.

7) Сухотерин М.В. Случай произвольной поперечной нагрузки в задаче изгиба консольной пластины.- ВИНИТИ Деп. 25.02.1985, № 1421 - 85, 6 с.

8) Голоскоков П.Г., Сухотерин М.В. Приложение теории поля.-Л., ЛИВТ, 1987, 50 с.

9) Коптев А.В., Сухотерин М.В. Элементы математической физики.-СПб, СПГУВК, 2001, 20 с.

Размещено на Allbest.ur