Спектральное представление сигналов

1. Перевод сигнала в частотную область: s(t) S(w).

2. Умножение спектра сигнала на передаточную функцию системы: Y(w) = H(w)·S(w).

Передаточная функция системы определяется аналогичным преобразованием h(t) H(w) или задается непосредственно в частотном представлении, что позволяет задавать передаточные функции сколь угодно сложной формы, в том числе с разрывами и скачками, для которых во временной области потребуются операторы h(t) с бесконечной импульсной характеристикой.

3. Перевод спектра обработанного сигнала во временную область: Y(?) y(t).

8. Преобразование произведения сигналов y(t) = s(t)·h(t):

Y(w) =s(t) h(t) exp(-jwt) dt =s(t) [(1/2p)H(w') exp(jw't) dw'] dt =

= (1/2p)s(t)H(w') exp(-j(w-w')t) dw'dt =

(1/2p)H(w') dw's(t) exp(-j(w-w')t) dt =

= (1/2p)H(w') S(w-w') dw' = (1/2p) H(w) _* S(w). (4.3.9)

Таким образом, произведение функций в координатной форме отображается в частотном представлении сверткой фурье-образов этих функций, с нормировочным множителем (1/2p), учитывающем несимметричность прямого и обратного преобразования Фурье функций s(t) и h(t) при использовании угловых частот.

9. Производная свертки двух функций s'(t) = d[x(t) _* y(t)]/dt. С использованием выражений (4.3.6) и (4.3.8), получаем:

s'(t) = jw [X(w) Y(w)] = (jw X(w)) Y(w) = X(w) (jw Y(w).

s'(t) = x'(t) _* y(t) = x(t) _* y'(t).

Это выражение позволяет выполнять вычисление производной сигнала с одновременным сглаживанием весовой функцией, которая является производной сглаживающей функции (например, гауссиана).

10. Спектры мощности. Временная функция мощности сигнала в общей форме определяется выражением:

w(t) = s(t) s^*(t) = |s(t)|².

Спектральная плотность мощности, соответственно, равна преобразованию Фурье произведения s(t)·s^*(t), которое отобразится в спектральном представлении сверткой Фурье-образов этих функций:

W(f) = S(f) _* S^*(f) =S(f) S^*(f-v) dv. (4.3.10)

Но для всех текущих значений частоты f интеграл в правой части этого выражения равен произведению S(f)·S^*(f), так как для всех значений сдвига v ? 0 в силу ортогональности гармоник S(f) и S^*(f-v) значения их произведения равны нулю. Отсюда:

W(f) = S(f) _* S^*(f) = |S(f)|². (4.3.11)

Спектр мощности - вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности.

Для функций мощности взаимодействия сигналов в частотной области соответственно имеем частотные спектры мощности взаимодействия сигналов:

W_xy(f) = X(f) Y*(f),

W_yx(f) = Y(f) X*(f),

W_xy(f) = W*_yx(f).

Функции мощности взаимодействия сигналов комплексные, даже если обе функции x(t) и y(t) вещественны, при этом Re[W_xy(f)] - четная функция, а Im[W_xy(f)] - нечетная. Отсюда полная энергия взаимодействия сигналов при интегрировании функций мощности взаимодействия определяется только реальной частью спектра:

E_xy = (1/2p)W_xy(w) dw--=--(1/p)Re[W_xy] dw,

и всегда является вещественным числом.

11. Равенство Парсеваля. Полная энергия спектра сигнала:

E_s =W(f) df =|S(f)|² df. (4.3.12)

Так как координатное и частотное представление по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала, то равной должна быть и энергия сигнала в двух представлениях, откуда следует равенство Парсеваля:

|s(t)|² dt =|S(f)|² df,

т.е. энергия сигнала равна интегралу модуля его частотного спектра - сумме энергий всех частотных составляющих сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия сигналов:

x(t) y*(t) dt =X(f) Y*(f) df.

Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:

x(t),y(t) = X(f),Y(f), ||x(t)||² = ||X(f)||².

Не следует забывать, что при представлении спектров в круговых частотах (по w) в правой части приведенных равенств должен стоять множитель 1/2p.

Спектры некоторых сигналов

1. Единичные импульсы. Функция ?(t), центрированная относительно t = 0, значения которой по определению равны нулю при t №--0, a интеграл от - до равен 1, имеет равномерное спектральное распределение в бесконечной полосе частот от -? до :

TF[d(t)] =d(t) exp(-jwt) dt = 1. (4.4.1)

Это следует и из свойства свертки функций, поскольку свертка функции с бесконечно коротким импульсом с единичной площадью не должна приводить к изменению функции:

s(t) _* d(t) = s(t).

Выполняя преобразование Фурье правой и левой части данного выражения, имеем:

S(w) H(w) = S(w),

что может быть реализовано только при H(w) = 1.

Отсюда следует также, что дельта-функцию можно записать в виде обратного преобразования Фурье:

d(t)--=--(1/2p)exp(jwt) dw. (4.4.2)

Рис. 4.4.1. Спектр функции d(t-2)

С учетом теоремы запаздывания (4.3.3), для обобщенной функции Дирака имеем:

d(t-t) Ы exp(-jwt),

d(t-t)=(1/2p)exp(jw(t-t))dw.

Пример спектра функции приведен на рис. 4.4.1.

Для сигнала x(t), представляющего собой единичный короткий импульс произвольной формы с площадью, равной Р, сосредоточенной на малом интервале t около t=0:

X(w) =x(t) exp(-jwt) dt ? x(t) dt = P,

т.к. при малых t значение exp(±jwt) > 1, если t ? 2p/w. Отсюда следует важный практический вывод: короткий одиночный импульс произвольной формы имеет сплошной спектр и может быть выражен константой, пропорциональной площади импульса, в пределах интервала частот, период колебаний которых больше длительности импульса.

Если спектром весовой дельта-функции является константа, то на основе дуальности преобразования Фурье спектром константы должна быть весовая дельта-функция в нуле частотной оси.

С Ы Сd(w).

Рис. 4.4.2.

Представить графически эту операцию для непрерывных функций невозможно. Но для дискретных спектральных функций с использованием весового импульса Кронекера она имеет вполне реальный смысл (рис. 4.4.2).

С учетом дуальности преобразования Фурье, для d-функций в спектральной области соответственно имеем:

d(w-w_o)--=--exp(j(w-w_o)t) dt. (4.4.3)

2. Гребневая функция Ш_T(t) представляет собой последовательность импульсов Дирака с периодом Т = 1/F, где F- частота следования импульсов:

Ш_Т(t) =d(t-kT).

Спектр гребневой функции (с учетом теоремы запаздывания при Df = 1/T = F) также представляет собой последовательность импульсов Дирака:

Ш_Т(t) = (1/Т)exp(-2pjnDft) Ы (1/T)d(f-kF) = F·Ш_F(f). (4.4.4.)

3. Спектр прямоугольного импульса П_r(t) амплитудой U и длительностью r (рис. 4.4.2). При расположении начала координат по центру импульса:

П_r(w) =П_r(t)exp(-jwt) dt = U exp(-jwt) dt,

П_r(w) = rU sin(wr/2)/(wr/2) = rU sinc(wr/2). (4.4.5)

Рис. 4.4.2. П - импульсы

Вид функций П_r(w) приведен на рис. 4.4.3. Представлена только часть частотного диапазона, в остальной части диапазона постепенно затухающие флюктуации спектров, которые, чисто теоретически, простираются до бесконечности.

Как и следовало ожидать, для вещественной и четной динамической П-функции спектр сигнала также является вещественной и четной функцией частоты. Ширина главного пика по нулевому уровню обратно пропорциональна длительности импульсов и равна 4p/r. Значение спектральной плотности на нулевой частоте (амплитуда центрального пика) равно площади импульсов. Спектр имеет лепестковый характер, ширина лепестков (по пересечениям нулевой линии) равна 2p/r. Максимумы боковых лепестков равны 2Ur/((2n+1)p),--где n = 1, 2, 3, … - номер бокового лепестка (от центра).

Рис. 4.4.3. Спектры П - импульсов. Рис. 4.4.4. Спектры П-импульсов

Функция вида sin(x)/x в анализе сигналов встречается довольно часто и имеет специальное обозначение: sinc(x) = sin(x)/x. Она называется интегральным синусом или функцией отсчетов.

На рис. 4.4.4 приведены нормированные по площади спектры этих же импульсов. При сравнении спектров с рис. 4.4.2 можно наглядно видеть характер зависимости ширины спектров (по ширине главного максимума) от длительности импульсов. Чем шире сигнал, тем короче его спектр. Форма спектра П - импульсов остается практически постоянной и только "растягивается" по шкале частоты при уменьшении длительности импульсов.

Если прямоугольный импульс начинается в момент времени t_o, то имеем:

П(w)= Uexp(-jwt)dt = rU sinc(wr/2) exp[-jw(t_o-r/2)]. (4.4.6)

Рис. 4.4.5. Спектр задержанного П-импульса

Это выражение может быть получено непосредственно из (4.4.5) с использованием теоремы смещения. Вид функций П(w) при r = 50 и t_o = 50 приведен на рис. 4.4.5.

Как видно на рисунке, спектр сигнала, несимметричного относительно t = 0, имеет две части: четную действительную A(w) = Re(П(w)), и нечетную мнимую B(w) = Im(П(w)). Модуль спектра R(w) = |П(w)| всегда четный, имеет только положительные значения и полностью повторяет |П_r(w)| четного импульса.

При изменении величины сдвига импульса модуль спектра остается без изменений, т.к. амплитуда частотных составляющих сигнала зависит только от его формы и не меняется от места расположения сигнала на координатной оси. Сдвиг сигнала определяет его фазовый спектр, пример которого для задержанного П-импульса приведен на рис. 4.4.6.

Рис. 4.4.6. Фазовый спектр задержанного

П-импульса (t_o = 50, r = 50)

Заметим, что фактический фазовый спектр сигнала имеет непрерывный характер. Пилообразная форма кривых на рис. 4.4.6 объясняется периодическим сбросом действительных значений фазы сигнала на величину p.

Учитывая, что значения функций на отрицательных частотах спектра комплексно сопряжены с положительными частотами и определены однозначно (четные функции А(w) и R(w), нечетные функции B(w) и j(w)), в дальнейшем спектры сигналов будем приводить только для области положительных частот.

Для количественной характеристики соотношения формы сигналов и их спектров применяют понятие базы сигнала, под которой понимают произведение эффективных значений длительности сигнала и ширины его спектра. Конкретное значение базы сигнала зависит от способа определения этих эффективных параметров. Если для прямоугольного импульса эффективную ширину спектра принять по длительности центрального пика (4p/r), то значение базы сигнала будет равно 4p.

Длительности сигналов и ширина их спектров связаны принципом неопределенности, которым устанавливается, что значение их произведения (база сигналов) не может быть меньше 1. Этим устанавливается, что не может существовать коротких сигналов с узким спектром. Напротив, максимальное значение базы сигналов не ограничивается, и могут существовать сигналы с большой базой, имеющие как большую длительность, так и широкий спектр.

Если прямоугольные импульсы повторяются с периодом Т, то соответственно при Dw--= 1/Т имеем:

П_r(kDw) = (rU/T) sinc(kDwr/2) exp(-jkDw(t_o-r/2)). (4.4.7)

Как и положено, спектр периодического сигнала дискретен по w, а при снятии нормировки спектра на длительность периода (умножением на Т) огибающая спектра повторяет выражение (4.4.6).

4. Треугольные импульсы длительностью r по основанию с площадью, равной Р, могут быть получены сверткой двух прямоугольных импульсов длительностью r/2 с амплитудой 2Р/r, откуда:

s(t) = П_r/2(t) _* П_r/2(t) Ы S(w) = П_r/2(w)П_r/2(w),

S(w) = P sinc²(wr/4).

Спектр треугольного импульса также имеет лепестковую структуру с шириной лепестков 4p/r. Спектральная функция за счет квадратирования интегрального синуса имеет только положительные значения.

Аналогично можно получить и спектры трапеций (при разной длительности П-импульсов).

Примеры импульсов и сопоставление формы их нормированных спектров (делением значений S(w) на площадь импульсов - значение S(0)) приведены на рис. 4.4.7.

Рис. 4.4.7. Форма и спектры импульсов.

Заметим, что обратная операция - аппроксимация спектра сигнала произведением спектров простых сигналов с последующим переводом спектров в координатную область, позволяет представить сложный исходный сигнал в виде свертки более простых сигналов.

5. Экспоненциальный импульс s(t) = U exp(-at), t 0, a > 0. Функция exp(-at) только условно может быть названа импульсом, т.к. определена и при t , но при а > 0 она достаточно быстро затухает. Преобразование Фурье экспоненциального импульса, как произвольного одностороннего сигнала, имеет действительную и мнимую части:

S(w) = Uexp(-(a+jw)t) dt = U/(a+jw). (4.4.8)

Функция S(w) бесконечна по частоте. Форма импульса, модуль и аргумент его спектра (фазовая характеристика в градусах) приведены на рис. 4.4.7.

Рис. 4.4.7. Форма и спектр экспоненциального импульса.

6. Функции Лапласа и Гаусса. Для функции Лапласа (экспонента по модулю t) имеем следующее преобразование:

U exp(-a|t|) Ы 2aU/(a²+w²), a>0. (4.4.9)

Форма функции (при U=1, а=0.1) и ее вещественный спектр (функция четная и представлена только действительной частью) приведены на рис. 4.4.8.

Рис. 4.4.8. Функция Лапласа Рис. 4.4.9. Функция Гаусса.

Преобразование для центрированной функции Гаусса:

U exp(-at²) Ы Uexp(-w²/4a). (4.4.10)

Спектр центрированной функции Гаусса - также функция Гаусса. Форма функции и ее вещественный спектр приведены на рис. 4.4.9. Если эффективную длительность и ширину спектра гауссовых функций определять по уровню 1/е от максимума, то база сигнала равна 4.

Сравнивая на рисунках 4.4.8 и 4.4.9 функции Лапласа и Гаусса и их спектры (с учетом масштаба последних), нетрудно заметить, что чем больше гладкость сигнала (меньше его дифференциал), тем более низкочастотным является спектр сигнала.

7. Гармонические колебания. Одним из условий применения интегрального преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость функций. Гармонические, а в общем случае и все периодические функции в пространстве R(-, ), не обладают условием абсолютной интегрируемости. Спектральные плотности таких сигналов можно определить с использованием d-функций.

Допустим, имеем простейший периодический сигнал:

s(t) = A cos w_ot.

Разложим сигнал по формуле Эйлера и выполним преобразование Фурье, не обращая внимания на неинтегрируемость функции:

S(w) =s(t) exp(-jwt) dt = (A/2)[exp(jw_ot) + exp(-jw_ot)] exp(-jwt) dt =

= (A/2)exp(-j(w-w_o)t) dt + (A/2)exp(j(w+w_o)t) dt.

Но интегралы в этом выражении, с учетом выражения (4.4.3), представляют собой d-функции в частотной области. Следовательно:

A cos w_ot Ы (A/2) [d(w-w_o)+d(w+w_o)]. (4.4.11)

Аналогично для синусной функции:

A sin w_ot Ы (A/2) [d(w-w_o)-d(w+w_o)].

При обратном преобразовании Фурье соответственно получаем:

(A/2) d(w-w_o) Ы (A/2) exp(-jw_ot),

(A/2) d(w+w_o) Ы (A/2) exp(jw_ot),

(A/2) [d(w-w_o)+d(w+w_o)] Ы A cos w_ot.

(A/2) [d(w-w_o)-d(w+w_o)] Ы A sin w_ot.

Рис. 4.4.10.

Таким образом, спектральные плотности действительных гармонических сигналов с частотой w₀ и амплитудой A представляют собой пару дельта-функций с весом А/2, расположенных симметрично относительно w = 0 на частотах ±w₀ (рис. 4.4.10, A=1).

При наличии во входном сигнале определенного сдвига фазы (w_o+j_o) выражения дополняется соответствующими множителями:

A cos(w_o+j_o)t Ы (A/2) [exp(jj_o)d(w-w_o)+exp(-jj_o)d(w+w_o)].

8. Радиоимпульс. Умножение сигнала на гармоническую функцию заполняет сигнал гармонической частотой и формирует радиоимпульс. Без учета начальной фазы гармоники:

s(t) = u(t) cos(w_ot).

Спектр радиоимпульса:

S(w)=u(t) cos(w_ot) exp(-jwt)dt=u(t) Ѕ[exp(jw_ot)+exp(-jw_ot)]exp(-jwt)dt =

= Ѕu(t) exp(jw_ot) exp(-jwt) dt + Ѕu(t) exp(-jw_ot) exp(-jwt) dt =

= Ѕ U(w) exp(jw_ot) + Ѕ U(w) exp(-jw_ot). (4.4.12)

Спектры сигналов обычно низкочастотные и сосредоточены в центре частотной оси. Частота гармоники заполнения, как правило, много больше максимальной частоты гармоник сигнала. Из (4.4.12) следует, что спектр сигнала раздваивается (с коэффициентом Ѕ) и смешается влево и вправо по оси частот на частоты w_o. Особенно наглядно это видно для четных сигналов и приведено на рис. 4.4.11.

Рис. 4.4.11. Радиоимпульс и его амплитудный спектр.

Можно пояснить это следующим образом. Если сигнал u(t) имеет спектр U(w), а гармонический сигнал заполнения имеет спектр в виде двух дельта-функций (см. 4.4.11), то произведение этих двух сигналов отображается в частотном представлении сверткой их спектров, т.е. сверткой спектра U(w) c дельта-функциями на частотах ±w₀, которая без изменения формы спектра U(w) переносит его на новые частоты в соответствии с весом дельта-функций (при А=1 уменьшает амплитудные значения спектра U(w) в 2 раза). сигнал преобразование скачок гаусс

Литература

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Учебник для вузов. - М. Высшая школа, 1988.

11. Зиновьев А.Л., Филиппов Л.И. Введение в теорию сигналов и цепей: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1975. - 264 с.

16. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: - М.: Мир, 1983.

Размещено на Allbest.ru