Система сжатия звукового сигнала

Предположим, что по аналогии с (П.6) пространства Vj порождены единственной функцией f О L2(R) в смысле, что

Определение 1.4. Функция f О L2(R) называется масштабирующей функцией, если она порождает подпространства Vj в смысле (П.8), которые удовлетворяют условиям (1°) - (3°), и {f0,k} является базисом Рисса пространства V0.

Как было упомянуто выше, ввиду условия (2°) каждая f из L2(R) с любой желаемой точностью может быть приближена функцией fN О VN при некотором N О Z. где fj О Vj и gj О Wj для любого j. Один из критериев остановки процесса состоит в требовании, чтобы ||fN-M|| было меньше некоторого порога. Так как масштабирующая функция f О V0 и вэйвлет y О W0 принадлежат V1, а V1 порождено f1,k ( x) = 21/ 2 f (2 x - k ) , k О Z, то существуют две последовательности {pk} и {qk} О l2 такие, что

для всех x О R. Формулы (П.10) и (П.11) называются двухмасштабными соотношениями масштабирующей функции и вэйвлета, соответственно. С другой стороны, так как f(2x) и f(2x-1) принадлежат V1 и V1 = V0 +W0 то существуют четыре последовательности из l2, которые мы обозначаем как

для всех x О R. Две формулы (П.12) и (П.13) могут быть объединены в одну:

f (2 x - l ) = е[al - 2 k f ( x - k ) + bl -2 ky ( x - k )] , l О Z,

k

которая называется соотношением разложения для f и y. Теперь мы имеем две пары последовательностей ({pk},{qk}) и ({ak},{bk}), которые единственны для данных f и y. Эти последовательности используются для последующих алгоритмов разложения и восстановления. Поэтому, {pk} и {qk} называются последовательностями восстановления, тогда как {ak} и {bk} - последовательности разложения.

Итак, пусть fN О VN аппроксимирует f О L2(R) с нужной нам точностью. С одной стороны

с другой стороны, так как VN

где fN-1 О VN-1 и gN-1 О WN-1. Связь между последовательностями коэффициентов

Рис. П.1. Вэйвлет-разложение.

Заметим, что обе последовательности AN-1 и DN-1 получаются из AN по схеме скользящего среднего, с использованием последовательностей разложения в качестве aвесовu с той особенностью, что эти скользящие средние вычисляются только в четных точках, что видно из (П.16). Такое преобразование называется сгущающей выборкой. Поэтому каждая стрелка на рис. П.1 указывает на скользящее среднее со сгущающей выборкой.

Рассмотрим алгоритм восстановления. Мы имеем последовательности коэффициентов AN-M, DN-M, DN-M+1, …, DN-1. Нам необходимо восстановить последовательность коэффициентов AN. Для того чтобы найти обратную связь между AN-M, DN-M и AN-M+1 обратимся к двухмасштабным соотношениям (П.10) и (П.11). Для любого j, V j +W j

откуда видно, что

В алгоритме восстановления j пробегает от N-M+1 до N.

Рис. П.2. Вэйвлет-восстановление.

Здесь Aj получается из Aj-1 и Dj-1 с помощью двух скользящих средних, использующих последовательности восстановления в качестве aвесовu, с той особенностью, что разрежающая выборка должна быть выполнена до реализации скользящих средних.

Мы заканчиваем этот параграф несколькими замечаниями о двух приведенных выше алгоритмах. Во-первых, если весовая последовательность ({ak},{bk},{pk} или {qk}) конечна, то соответствующий алгоритм скользящего среднего - это очень простой фильтр с конечным импульсным откликом (КИО-фильтр). Если, однако, весовая последовательность бесконечна, то соответствующий алгоритм скользящего среднего есть фильтр с бесконечным импульсным откликом (БИО-фильтр). В англоязычной литературе эти фильтры называются соответственно FIR-filter (Finite Impulse Response filter) и IIR-filter (Infinite Impulse Response filter). Для практического использования БИО- фильтра в алгоритмах, он должен быть усечен до КИО-фильтра. Во-вторых, если весовая последовательность состоит из иррациональных чисел или чисел, с большим числом знаков после запятой, то необходимо их округление (квантование). Конечно, усечение и квантование влекут за собой погрешности, которые должны быть оценены a priori.

Размещено на Allbest.ru