Общая характеристика частотных фильтров

где - реактивная проводимость параллельного контура;

- реактивное сопротивление последовательного контура.

Коэффициент формы А:

Уравнение связи входного и выходного напряжений:

где

Передаточная функция:

Фазо-частотная характеристика определяется по формуле (1.8). Теперь, при известных значениях RLC-элементов по формулам (1.8) и (5.8) можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ Г-образного заграждающего фильтра. Для общего представления о частотных характеристиках Г-образного ПФ представим передаточные функции (5.9) в параметрической форме.

Выразим сопротивление последовательного и проводимость параллельного контуров через приведенную частоту и коэффициент нагрузки:

где

После подстановки этих функций в (5.9) получим передаточные функции параметрической форме:

где

Рассчитаем и построим семейство кривых передаточной функции по мощности для трех значений коэффициента нагрузки:

Q₁=1,0; Q₂=1,32; Q₃=2.

Результаты расчетов приведены на Рис.5.6.

Рисунок 5.6

Из Рис.5.6 видно, что форма передаточной функции по мощности Г-образного ПФ целиком определяется коэффициентом нагрузки, т.е. комбинацией RLC-элементов.

Предварительные исследования показали, что оптимальным значением коэффициента нагрузки для Г-образного ПФ является величина Q₂=1,32. При таком значении Q передаточная функция по мощности в полосе пропускания не имеет всплесков и провалов, а ее коэффициент прямоугольности составляет П=0,852, что значительно больше, чем у заграждающего фильтра на одном параллельном контуре (см. Рис.5.3).

3.3.2 Синтез Г-образного заграждающего фильтра

Поставим задачу спроектировать Г-образный заграждающий фильтр (Рис.5.5) при следующих исходных данных:

R - сопротивление нагрузки;

f₁, f₂ - нижняя и верхняя граница полосы задерживания;

H(f₁)=H(f₂)=H₁ - значение передаточной функции на границах полосы задерживания.

Передаточная функция в полосе пропускания не должна иметь всплесков и провалов. Определить потребные значения L, С - элементов и оценить коэффициент прямоугольности.

Из анализа поставленной задачи следует, что на основе исходных данных необходимо найти четыре параметра L₁, С₁ и L₂, С₂.

Вначале определим потребные значения L₁, С₁ в составе параллельного контура, для чего составим два независимых уравнения.

В качестве первого уравнения берем (5.7):

На границе полосы пропускания (5.10) принимает следующий вид:

где - значение приведенной расстройки на верхней границе полосы задерживания.

Совместное решение (5.12), (5.13) дает потребные значения индуктивности и емкости параллельного контура в составе Г-образного ЗФ:

Для определения потребных значений индуктивности и емкости в составе последовательного колебательного контура составим следующие два уравнения:

Совместное решение (5.15) дает потребные значения L₂, С₂ в составе последовательного контура Г-образного ЗФ:

В формулы (5.14) и (5.16) входят две еще не определенные величины Q и , которые выбираются следующим образом. На основании технического задания на проектирование фильтра из семейства кривых Рис.5.6 выбирается кривая, которая по своему виду удовлетворяет требованиям технического задания, т.е. выбирается Q. Затем по заданному значению передаточной функции , при выбранном Q, определяются значения приведенной частоты, а по ним значение приведенной расстройки:

Для точного определения необходимо передаточную функцию (5.11) записать в виде:

а затем решить уравнение:

что легко и просто делается в среде Mathcad. Результаты расчетов по формуле (5.17), при Q=1,32 приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1.

Пример 5.2. Спроектировать Г-образный заграждающий фильтр, схема которого приведена на Рис.5.5. Исходные данные:

R=100 Ом - сопротивление нагрузки;

f₀=10 кГц - частота помехи, которую необходимо подавить;

- половина ширины приведенной полосы задерживания;

H₁=0,707 - значение передаточной функции на границе полосы задерживания. Передаточная функция по мощности в полосе пропускания должна быть гладкой без всплесков и провалов. Оценить коэффициент прямоугольности этой функции.

Решение. Из анализа семейства кривых Рис.5.6 выбираем кривую , которая построена при Q₂=1,32. Из таблицы 5.1 по заданному значению Н₁=0,707 находим значение приведенной расстройки Потребные значения LС - элементов для построения Г-образного ЗФ определим по формулам (5.14) и (5.16). Расчет передаточной функции проведем по формуле (5.9), а расчет ФЧХ по формуле (1.8). Результаты расчетов приведены на Рис.5.7 и Рис.5.7а. Главный результат расчетов - это найденные значения LC - элементов для построения Г-образного заграждающего фильтра:

L₁=0,4525 мГн; С₁=0,5655 мкФ;

L₂=9,853 мГн; С₂=25,97 мкФ.

При этих значениях LC - элементов передаточная функция по мощности не имеет всплесков и провалов в полосе пропускания, а ее коэффициент прямоугольности составляет П=0,852. Фазо-частотная характеристика Рис.5.7а изменяется плавно от нуля до 360⁰.

3.4 Т-образный заграждающий фильтр (Т-ЗФ)

3.4.1 Частотные характеристики Т-ЗФ

Рассмотрим электрическую схему, приведенную на Рис.5.8, которая представляет собой Т-образный заграждающий фильтр.

Рисунок 5.8 - Электрическая схема Т-образного заграждающего фильтра

Рисунок 5.7

Работа Т-ЗФ аналогична работе Г-ЗФ, которая описана выше.

Отличие состоит в том, что в Т-ЗФ на резонансной частоте на пути тока в нагрузку стоят два больших сопротивления Z₁ и Z₃ вместо одного в Г-ЗФ. Поэтому Т-ЗФ фильтрует лучше, чем Г-ЗФ. Определим АЧХ и ФЧХ Т-образного заграждающего фильтра, рассматривая его как Т-образный 4х-П, нагруженный активным сопротивлением R. Сопротивление плеч фильтра:

где - реактивная проводимость первого параллельного контура;

- реактивное сопротивление последовательного контура;

- реактивная проводимость второго параллельного контура.

Коэффициенты формы А:

где - коэффициент асимметрии Т-ЗФ.

Уравнение связи входного и выходного напряжений:

где

На основании (5.19) передаточные функции принимают обычный вид:

Фазо-частотная характеристика определяется по формуле (1.8), где необходимо принять по (5.19). Таким образом, при известных значениях RLC-элементов Т-образного ЗФ, по формулам (5.20) и (1.8) можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ этого фильтра.

Для общего представления о частотных характеристиках Т-образного несимметричного заграждающего фильтра представим передаточные функции (5.20) в параметрической форме и построим семейство кривых для трех значений коэффициента нагрузки:

Q₁=0,8; Q₂=1,0; Q₃=1,2.

Предварительно было установлено, что оптимальным значением коэффициента асимметрии является

где

Результаты расчетов по формулам (5.21) приведены на Рис.5.9.

Рисунок 5.9

Из Рис.5.9 видно, что оптимальным значением коэффициента нагрузки для Т-образного несимметричного заграждающего фильтра является Q=1,0 при коэффициенте асимметрии, равном

При этих значениях Q и передаточная функция по мощности изменяется плавно, без всплесков и провалов, ее коэффициент прямоугольности равен П=0,923.

3.4.2 Синтез Т-образного заграждающего фильтра

Поставим задачу спроектировать Т-образный несимметричный заграждающий фильтр (Рис.5.5) по исходным данным, приведенным в пункте 5.3.2. Из анализа схемы фильтра Рис.5.8 следует, что в данном случае, необходимо найти шесть неизвестных параметров: L₁, С₁ и L₂, С₂; L₃, С₃.

Расчет индуктивностей и емкостей для построения Т-ЗФ проводится по методике, изложенной в п.5.3.2. Потребные значения индуктивности и емкости первого параллельного контура (L₁, С₁) определяются по формуле (5.14), а потребные значения L₂, С₂ последовательного контура определяются по формуле (5.16). Потребные значения L₃, С₃ для второго параллельного контура определяются исходя из ранее выбранного коэффициента асимметрии:

Отсюда получаем потребные значения индуктивности и емкости для построения второго параллельного контура:

Для определения приведенной расстройки Т-ЗФ, которая входит в формулы (5.14), (5.16), запишем передаточную функцию (5.21) в виде:

где

Значения приведенной расстройки при Q=1 для различных значений H₁ и выбранном коэффициенте асимметрии =0,445, рассчитанные по формуле (5.23), приведены в таблице 5.2.

Таблица 5.2

Пример 5.3. Спроектировать Т-образный заграждающий фильтр по исходным данным, приведенным в примере 5.2.

Решение. Из анализа семейства кривых Рис.5.9 выбираем кривую , которая построена при Q₂=1,0 и =0,445. Эта кривая в наибольшей степени удовлетворяет требованиям технического задания.

По заданному значению Н₁=0,707 из таблицы 5.2 находим значение приведенной расстройки

Потребные значения индуктивностей и емкостей для построения Т-образного несимметричного заграждающего фильтра определим по формулам (5.14), (5.16) и (5.22). Расчет передаточной функции (f) проведем по формуле (5.20), а ФЧХ по формуле (1.8). Результаты расчетов приведены на Рис.5.10 и Рис.5.10а.

Из Рис.5.10 видно, что передаточная функция по мощности Т-образного несимметричного заграждающего фильтра близка к передаточной функции идеального заграждающего фильтра. Коэффициент прямоугольности этой функции равен П=0,923. В связи с этим отпадает необходимость в повышении порядка фильтра.

Фазо-частотная характеристика Т-ЗФ, показанная на Рис.5.10а, имеет скачкообразное изменение фазы на частоте, близкой к резонансной частоте контуров: сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями скачком изменяется с 260⁰до 90⁰, а затем плавно возрастает.

Рисунок 5.10

ЛИТЕРАТУРА

1. Атабеков Г.И. Основы теории цепей. Учебник для вузов. М., «Энергия», 1969 г. 424 с. с илл.

2. Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия» 1975 г. 752с. с илл.

3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи: Учебник для электротехн., энерг., приборостроит. спец. вузов. - 8-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1984. - 559 с., ил.

4. Добротворский И.Н. Теория электрических цепей: Учебник для техникумов. - М.: Радио и связь, 1989. - 472 с.: ил.

5. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: В 2-х т. Учебник для вузов. Том 1.-3-е изд., перераб. и доп.-Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. - 536 с., ил.

6. М.Р. Шебес, М.В. Каблуков. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособ. для электротехнич., радиотехнич., спец. вузов. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш.шк., 1990. - 544 с.: ил.

7. Информатика. Базовый курс / Симонович С.В. и др. - СПб: Издательство «Питер», 2000. - 640 с.: ил.

8. Дьяков В. Д93 Mathcad 2000: Учебный курс - СПб: Питер, 2000. - 592 с.: ил.

9. М. Херхагер, Х. Партоль Mathcad 2000 полное руководство: перевод с нем. - К.: Издательская группа BHV. 2000. - 416 с.

10. Ивановский Р.И. Компьютерные технологии в науке. Практика применения систем Mathcad 7, 8, 2001. - 200 с.

11.Панфилов Д.И. и др. Электротехника и электроника в экспериментах и упражнениях: Практикум на Electronics Workbench: Т-1: Электротехника. - М.: ДОДЭКА, 1999. - 304 с.

12. Карлащук В.И. Электронная лаборатория на IBM PC. Программа Electronics Workbench и ее применение. «Салон-Р», 2000. - 506 с.