Теория автоматического управления

Если W₁(p) - передаточная функция первой САУ, то передаточная функция второй САУ W₂(p) = KW₁(p), где K = K₂/K₁. Вторую САУ можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями K (безынерционное звено) и W₁(p), поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев.

Поэтому ЛАЧХ второй САУ: L₂() = 20lgK + L₁(),

а ЛФЧХ: ₂() =₁().

Пересечениям АФЧХ вещественной оси соответствует значение фазы = -. Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ = - линии координатной сетки. При этом, как видно на АФЧХ, амплитуды A₁() < 1, A₂() > 1, что соответствует на САЧХ значениям L₁() = 20lgA₁() < 0 и L₂() > 0.

Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что система в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ = - будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулю h₁ и h₂, определенным по АФЧХ соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где = -, но в логарифмическом масштабе.

Особыми точками являются точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Частоты _c1 и _c2, при которых это происходит называют частотами среза.

В точках пересечения A() = 1 = > L() = 0 - ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ _c1 > - (рис.79а кривая 1), то замкнутая САУ устойчива. На рис.79б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии = -. И наоборот для неустойчивой замкнутой САУ (рис.79а кривая 2) _c2 < -, поэтому при = _c2 ЛФЧХ проходит ниже линии = -. Угол ₁ = _c1-(-) является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии = - до ЛФЧХ.

Исходя из сказанного, критерий устойчивости Наквиста по логарифмическим ЧХ, в случаях, когда АФЧХ только один раз пересекает отрезок вещественной оси [-;-1], можно сформулировать так: для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию = -, была больше частоты среза.

Если АФЧХ разомкнутой САУ имеет сложный вид (рис.80), то ЛФЧХ может несколько раз пересекать линию = -. В этом случае применение критерия Найквиста несколько усложняется. Однако во многих случаях данной формулировки критерия Найквиста оказывается достаточно.

11.1 Теоретическое обоснование метода D-разбиений

Изменение параметров САУ, например, с целью оптимизации, приведет к изменению коэффициентов уравнения динамики. Останется ли при этом САУ устойчивой - неизвестно. Критерии устойчивости об этом ничего не говорят. Рассмотрим метод определения границ допустимых изменений параметров, при которых САУ не теряет устойчивости.

Приведем характеристическое уравнение замкнутой САУ к виду:

D(p) = pⁿ + c¹ p^{n -1} + c² p^n-2 + ... + cⁿ = 0,

где c⁰ = a⁰ /a⁰ = 1, c¹ = a¹ /a⁰ и т.д. При некоторых конкретных значениях c¹ ,c² ,...,cⁿ уравнение имеет единственное решение, то есть единственный набор корней (p¹ , p² ,...,p_n ). По их расположению на комплексной плоскости можно судить об устойчивости САУ при заданных параметрах. Если изменить какой-либо параметр САУ, например

коэффициента передачи, то изменятся и коэффициенты характеристического уравнения D(p) = 0 и станут равными c^н1 ,c^н2 ,...,c^нn . Уравнение примет вид:

D_н(p) = pⁿ + c^н1 p^{n -1} + c^н2 p^{n -2} + ... + c^нn = 0.

Это уже другое уравнение и оно также имеет единственное решение (p^н1 ,p^н2 ,...,p^нn ), отличающееся от (p¹ ,p² ,...,pⁿ ). Если плавно менять значение параметра САУ, то коэффициенты уравнения тоже будут плавно изменяться, а его корни будут перемещаться по комплексной плоскости (рис.81).

Каждый уникальный набору коэффициентов c¹ ,c² ,...,cⁿ можно изобразить точкой в пространстве коэффициентов, по осям которого откладываются значения

коэффициентов c¹ ,c² ,...,cⁿ . Так уравнению третьей степени соответствует трехмерное пространство коэффициентов (рис.82).

Пусть точка N с координатами (c_N1 ,c_N2,c_N3) соответствует уравнению, имеющему решение (p_N1,p_N2,p_N3), точка M с координатами (c_M1 ,c_M2 ,c_M3) соответствует уравнению, имеющему решение (p_M1 ,p_M2 ,p_M3). При изменении какого-либо параметра САУ коэффициенты характеристического уравнения будут изменяться, при этом точка в пространстве коэффициентов, соответствующая данному уравнению будет перемещаться по некоторой траектории, например из положения N в положение M. Этому перемещению будет соответствовать и перемещение корней (p_N1,p_N2,p_N3) на комплексной плоскости в положение (p_M1 ,p_M2 ,p_M3) (аналогично рис.81).

При этом движении некоторые корни будут переходить через мнимую ось комплексной плоскости из левой полуплоскости в правую и наоборот. В момент перехода такой k-й корень примет значение p_K = j_K, а коэффициенты уравнения будут иметь определенные значения c_K1,c_K2,c_K3, определяющие в пространстве коэффициентов точку K. Подставим корень p_K в характеристическое уравнение, получим тождество:

D(p_K ) = (j_K)³ + cK1(j_K)² + c_K2 (jK ) + c_K3 = 0

Меняя w от - до + , и находя при каждой частоте все возможные сочетания коэффициентов c¹ ,c² ,...,cⁿ , удовлетворяющих уравнению

D(j) = (j)ⁿ + c¹ (j)^n-1 + c² (j)^n-2 + ... + cⁿ = 0,

можно построить в n-мерном пространстве коэффициентов сложную поверхность S, разделяющую его на области, называемое D-областями. Полученное уравнение называется уравнением границы D-разбиения.

Переход из одной D-области в другую через поверхность S соответствует переходу одного или нескольких корней через мнимую ось в плоскости корней. То есть каждая точка внутри определенной D-области соответствует уравнению с определенным количеством левых и правых корней. Поэтому области обозначают D(m) по числу m правых корней.

Достаточно взять любую точку в пространстве коэффициентов и найти для нее число правых корней. Затем, двигаясь по пространству коэффициентов через границу S, можно выявить обозначения всех других областей. Особый интерес представляет область D(0), которой соответствуют уравнения с полным отсутствием правых корней, называемая областью устойчивости. Описанный метод определения областей устойчивости называется методом D-разбиений.

Не обязательно строить сложную n-мерную картину D-разбиения, можно изменять значения, например, только двух коэффициентов, оставляя другие коэффициенты постоянными. Границу D-разбиения S можно строить не только также и в пространстве конкретных параметров системы, от которых зависят данные коэффициенты.

11.2 D-разбиение по одному параметру

Пусть необходимо выявить влияние на устойчивоять САУ, например, коэффициента усиления K. Приведем характеристическое уравнение к виду D(p) = S(p) + KN(p), выделив члены, не зависящие от K в полином S(p), а в остальных членах, линейно зависящих от K, вынесем его за скобки. Граница D-разбиения задается уравнением

D(j) = S(j) + KN(j) = 0, => K = -S(j)/N(j) = X() + jY().

Изменяя w от - до + , будем вычислять X() и Y() и по ним строить точки границы D-разбиения. Пространство коэффициентов представляется системой координат X-Y (рис.83а). Обычно строят только половину кривой ( = [0, + ), другую половину достраивают симметрично относительно вещественной оси.

Если в плоскости корней двигаться вдоль мнимой оси от - до + и штриховать ее слева (рис.83б), то это будет соответствовать движению вдоль линии D-разбиения при изменении w от - до + и штриховке ее также слева. Переходу корня в плоскости корней из штрихованной полуплоскости в нештрихованную вдоль стрелки 1 соответствует аналогичный переход через границу D-разбиения вдоль стрелки 1, и наоборот. Если пересекается область с двойной штриховкой (точки A, В, C), то в плоскости корней мнимую ось пересекает пара комплексно сопряженных корней.

Если известно количество правых корней, соответствующее хотя бы одной D-области, то двигаясь от нее через границы с учетом штриховок, можно обозначить все остальные области. Область с наибольшим количеством штриховок является претендентом на область устойчивости. Нужно взять любую точку из этой области и при соответствующем значении K проверить систему на устойчивость любым методом.

Есть одна особенность. Так как K - вещественное число, то Y() = 0, поэтому нас интересует не вся область устойчивости, а лишь отрезок вещественной оси в этой области, то есть K = X().

11.3 Прямые методы оценки качества управления

Устойчивость САУ является необходимым, но не достаточным условием для ее эффективного функционирования. Важное значение имеет качество управления, то есть степень удовлетворения совокупности требований к форме кривой переходного процесса, которая определяет пригодность системы для конкретных условий работы.

Для сравнения качества различных САУ исследуется их реакция на типовые воздействия. Обычно это ступенчатая (толчковая) функция, как один из наиболее неблагоприятных видов возмущений. Для систем, работающих с периодическими возмущениями, целесообразно оценивать качество управления при гармоническом воздействии. Все остальные возмущения можно разложить на ступенчатые воздействия с использованием интеграла Дюамеля, либо в ряд Фурье.

Все современные методы анализа качества управления можно разделить на прямые методы анализа по кривой переходного процесса или по частотным характеристикам, и косвенные методы, позволяющие, не решая дифференциального уравнения, определить некоторые показатели качества процесса управления; к ним, в частности, относятся корневые, интегральные и частотные методы.

11.3.1 Оценка переходного процесса при ступенчатом воздействии.

Пусть САР (рис.84) при t = 0 воздействует возмущающий фактор f в виде единичной ступенчатой функции. При нулевых начальных условиях динамический режим описывается переходной характеристикой h(t) = y(t) = y(t) - y₀ = -e(t) (рис.85). По ней можно определить все наиболее важные показатели качества управления.

1. Статическая ошибка e_уст = y₀ - yуст = -h_уст - это разность между предписанным и действительным значением управляемой величины в установившемся режиме. Для статических систем статическая ошибка отлична от нуля (рис.85а) и пропорциональна величине возмущающего фактора f (в линейных САУ) и коэффициенту передачи системы по данному возмущению, а для астатических - равна нулю (рис.85б).

2. Время переходного процесса t_пп - это время от момента воздействия, начиная с которого колебания управляемой величины не превышают некоторого наперед заданного значения, то есть |h(t)-h_уст| . Обычно принимают = 0.05h_уст.

3. Перерегулирование s - это максимальное отклонение управляемой величины от установившегося значения, выраженное в относительных единицах:

s = .

Здесь h_max1 - значение первого максимума переходной характеристики. При больших перерегулированиях могут возникнуть значительные динамические усилия в механической части системы, электрические перенапряжения и т.п. Допустимое значение s определяется из опыта эксплуатации. обычно оно составляет 0.1...0.3, иногда допускается до 0.7.

4. Частота колебаний = 2/T, где T - период колебаний.

5. Число колебаний n за время t_пп.

6. Декремент затухания k, равный отношению двух смежных перерегулирований:

.

При создании САУ допустимые значения показателей качества оговариваются техническими условиями, что можно представить в виде диаграммы показателей качества. Это область, за границы которой не должна выходить переходная характеристика (рис.86).

11.3.2 Оценка качества управления при периодических

возмущениях

Периодические возмущения можно разложить в ряд Фурье, поэтому их воздействие удобно анализировать по частотным характеристикам, показывающим, как звено преобразует гармонический сигнал.

Обычно используют АЧХ замкнутой САУ (рис.87), которую легко построить по АФЧХ разомкнутой САУ W_p(j), по формуле

Aз = .

1. Показатель колебательности M - это отношение максимального значения АЧХ замкнутой САУ к ее значению при = 0, то есть M = A_зmax()/Aз(0). Так как

Aз(0) = 1,

при K_p >> 1, то M A_зmax(). Он характеризует склонность системы к колебаниям и не должен превышать 1.5.

2. Резонансная частота системы _p - это частота, при которой колебания проходят через систему с наибольшим усилением, а АЧХ достигает максимума.

3. Полоса пропускания системы - это интервал частот от = 0 до = ₀, на котором выполняется условие Aз(₀) 0.707. Если она высокая, то система будет воспроизводить высокочастотные помехи.

4. Частота среза _ср - при которой АЧХ замкнутой САУ принимает значение, равное единице. По ней можно судить о длительности переходного процесса t_пп(1..2)2/_ср.

5. Склонность САУ к колебаниям характеризуют также ее запасы устойчивости по модулю (допускается от 6 до 20дб) и по фазе (допускается от 30 до 60 градусов).

12.1 Корневой метод оценки качества управления

Это косвенный метод, основанный на определении границ области расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости, что дает возможность приблизительно оценить качество управления.

Пусть имеется дифференциальное уравнение замкнутой САУ:

(a₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + ... + (a_n)y = (b₀p^m + b₁p^m-1 + ... + b_m)u.

Передаточная функция САУ

,

где p~¹,p~²,...,p~^m - нули передаточной функции, p¹,p²,...,pⁿ - полюса передаточной функции.

Переходный процесс зависит как от полюсов, так и от нулей, то есть определяется как левой, так и правой частями дифференциального уравнения. Это существенно усложняет анализ. Поэтому рассмотрим частный, но весьма распространенный случай, когда передаточная функция замкнутой САУ не имеет нулей:

.

Тогда уравнение динамики приобретает вид:

(a₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + ... + a_n)y = b₀u.

Общее решение данного уравнения имеет вид:

y(t) = y^св + y^вын = aA_ie^pit + bо/a_n.

Время переходного процесса t^пп определяется длительностью свободного процесса, который представляет собой сумму n экспоненциально затухающих составляющих (рис.88). Затухание каждой из составляющих определяется вещественной частью соответствующего плюса pi, которая для устойчивых систем должна быть отрицательна. Длительность переходного процесса определяется в основном свободной составляющей, имеющей наименьшее затухание, то есть наименьшее абсолютное значение вещественной части соответствующего полюса.

Если изобразить все полюса в комплексной плоскости корней (рис.89),

то данный полюс (или пара комплексно сопряженных полюсов) будет наиболее близко расположен к мнимой оси.

Для приблизительной оценки качества САУ на плоскости корней выделяется область в виде трапеции, на сторонах которой находится хотя бы по одному корню, все остальные корни - внутри данной области. Эта область характеризуется параметрами: h - степень устойчивости (равна расстоянию от мнимой оси до ближайшего корня или пары комплексно сопряженных корней); m = tg(j) - колебательность (характеризует колебательность переходного процесса и величину перерегулирования); x - своего названия не имеет, равна вещественной части наиболее удаленного от мнимой оси корня.

По степени устойчивости h можно приблизительно вычислить время переходного процесса, которое определяется по моменту, когда свободная составляющая с наименьшим затуханием уменьшится до величины A_i , где A_i - начальное значение данной составляющей, то на рис.84:

y^св₃(t) = A₃ = A₃ = > .

В общем случае, когда передаточная функция замкнутой САУ имеет нули, то использование данного метода может дать большую ошибку. Однако всегда качество управления будет тем лучше, чем больше h и меньше m, поэтому данный метод имеет смысл для любых САУ, но приближенно.

Зная значения h, x, m можно оценить область, за которую кривая переходного процесса выходить не будет (рис.90). Для этого строятся две кривые: u(t,h) - миноранта и v(t,h) - мажоранта, ограничивающая кривую переходного процесса соответственно снизу и сверху так, что u(t,h) e(t) v(t,h), где e(t) = y_o-y(t). Формулы для определения миноранты и мажоранты берутся в справочниках для конкретных случаев.

12.2 Интегральные критерии качества

Интегральные критерии позволяют судить о качестве управления путем вычисления интегралов от некоторых функций управляемой величины. Эта функция выбирается таким путем, чтобы значение определенного интеграла от этой функции по времени от 0 до + было однозначно связано с качеством переходного процесса. В то же время данный интеграл должен сравнительно просто вычисляться через коэффициенты уравнений исследуемой системы.

Например, если переходная характеристика является монотонной, то можно утверждать, что качество переходного процесса тем лучше, чем меньше площадь, ограниченная данной кривой и установившимся значением управляемой величины (рис.91). Она равна площади, ограниченной кривой изменения свободной составляющей управляемой величины и осью абсцисс.

Если система устойчива, то свободная составляющая управляемой величины в пределе стремится к нулю, поэтому площадь ограниченная данной кривой имеет конечное значение и определяется по формуле:

J_oo = .

Величина J_oo представляет собой линейную оценку качества управления. Чем она меньше, тем выше быстродействие системы. При выборе параметров системы стремятся обеспечить минимум J_oo. Если имеется какой то варьируемы параметр A, то можно построить кривую J_oo = f(A) (рис.92). Ее минимум, определяемый из условия dJ_oo/dA = 0, даст оптимальное значение A.

Пусть дано уравнение динамики замкнутой САУ:

(a₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + ... + a_n)y = (b₀p^m + b₁p^m-1 + ... + b_m)u.

Свободный процесс описывается однородным дифференциальным уравнением:

(a₀pⁿ + a₁p^n-1 + ... + a_n)y^св = 0,

следовательно:

y^св =

y^св =

J_oo = св(t)dt = .

Пусть при t = 0 САУ имела следующие начальные условия:

y^св(0) = y₀, = y₀', ..., = y₀^(n-1).

Кроме того

y^св() = 0,() = 0,...,() = 0,

так как процесс затухает и при t свободная составляющая и все производные становятся равны нулю. Подставляя эти значение, получаем:

J_oo = (a₀y₀^(n-1) + a₁y₀^(n-1) + ... + a_n-1y₀)/(a_n.

То есть линейную оценку качества регулирования можно легко вычислить, зная начальные условия и коэффициенты дифференциального уравнения. Возможны и другие линейные оценки качества, но они используются реже, например:

J₀₁ = св(t)tdt;

J_0n = св(t)tⁿdt.

Линейные оценки качества неприменимы при колебательном процессе. Так как площади, ограниченные кривой y^св(t) и осью абсцисс складываются с учетом знака, то минимальному значению J_oo может соответствовать процесс с большим числом колебаний и малым быстродействием (рис.93). В этом случае более эффективны квадратичные оценки качества, например,

J₂₀ = y^св₂(t)dt.

Значение этого интеграла соответствует площади под кривой y^св₂(t) и осью абсцисс, которая всегда положительна (рис.94).

Выбирая параметры САУ по минимуму J₂₀ мы приближаем кривую y^св(t) к осям координат, что приводит к уменьшению времени регулирования (рис.95). Вывод формулы для вычисления этой оценки сложен, поэтому ограничимся замечанием, что значение вычисляется через коэффициенты дифференциального уравнения a₀...a_n,b₀...b_m. При вычислении слагаемых в этой формуле используются определители Гурвица, так что даже расчет по ней сопряжен с определенными трудностями и требует использования ЭВМ

или специальных таблиц.

При выборе параметров САУ по минимуму J₂₀ часто получают нежелательную колебательность процесса, так как приближение y^св(t) к оси ординат вызывает резкое увеличение начальной скорости, что в свою очередь может вызвать большое перерегулирование, уменьшив при этом запас устойчивости. Для того, чтобы обеспечить плавность протекания процесса, в квадратичную оценку качества добавляется слагаемое, зависящее от скорости изменения регулируемого параметра y^св'(t). Получаем критерий качества

J₂₁ = св₂(t) + t₂(y^св'(t))₂]dt,

где - некоторая наперед заданная постоянная времени, определяющая весовое соотношение между оценкой по y^св и по y^св'. При малых значениях уменьшение колебательности будет незначительным. Завышение увеличит время переходного процесса так, что ее выбор определяется конкретными условиями.

Этот интеграл имеет наименьшее значение, если переходный процесс соответствует экспоненте с постоянной времени (рис.96). Другими словами, по соображениям качества управления следует стремиться к тому, чтобы переходная характеристика замкнутой САУ как можно меньше отличалась от характеристики инерционного звена первого порядка, имеющего наперед заданную постоянную времени , значение которой определяются техническими условиями.

Задача выбора параметров САУ по минимуму J₂₀ и J₂₁ решается аналитически только в случае невысокого порядка дифференциального уравнения. Иначе используют ЭВМ.

13.1 Теоретическое обоснование

Частотные методы основаны на привычном для инженеров графическом изображении динамических характеристик, которые можно снять экспериментально, поэтому они находят широкое применение. В частности зная АФЧХ разомкнутой САУ W_p(j), можно построить АФЧХ замкнутой САУ

Wз(j) = = P_з() + jQ_з(),

а по ней - требуемую для частотных методов вещественную ЧХ замкнутой САУ P_з(). Зная ВЧХ замкнутой САУ, можно приближенно построить переходную характеристику САУ h(t), которую снять экспериментально очень трудно, и по ней определить показатели качества управления.

Теоретическое обоснование этого в том, что любую функцию, в том числе и единичную ступенчатую, можно разложить в ряд Фурье:

1(t) = A₀ + A_k1cos(kt) + A_k2sin(kt)].

Так как замкнутая САУ линейна, то при подаче на вход суммы сигналов с выхода снимается сигнал, равный сумме реакций на каждый из входных сигналов. Входному сигналу ui(wi,t) на выходе будет соответствовать составляющая выходного сигнала y_i(_i,t) = W(j_i)u_i(_i,t), тогда

h(t) = = A₀W(0) + (jkw)[A_k1cos(kwt) + A_k2sin(kwt)].

Преобразование этого выражения приводит к двум равнозначным формулам определения h(t) через составляющие ВЧХ:

; ,

где P() и Q() - вещественная и мнимая части АФЧХ замкнутой САУ. Предпочтение обычно оказывают первой формуле, хотя с одинаковым успехом можно использовать и вторую.

Точно вычислить эти интегралы можно только с помощью ЭВМ, но в практике нашел широкое применение приближенный способ построения переходной характеристики на основе линейной аппроксимации ВЧХ замкнутой САУ, который называется метод трапеций. Прежде, чем рассматривать этот метод, рассмотрим без доказательства основные соотношения между ВЧХ замкнутой САУ и ее переходной характеристикой.

13.2 Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой

1. Начальное значение ВЧХ P(0) равно установившемуся значению переходной характеристики hу_ст = P() = P(0).



2. САУ с вогнутой ВЧХ (рис.97а кривая 1) не имеет перерегулирования, то есть ей соответствует монотонная переходная характеристика (рис.97б кривая 1).

3. САУ с трапециидальной ВЧХ (рис.97а кривая 2, такую ВЧХ можно аппроксимировать трапецией) имеет апериодическую переходную характеристику (рис.97б кривая 2), причем величина перерегулирования s_max не превышает 18%.

4. Кривые 3 и 4 на рис.97а соответствуют колебательной переходной характеристике (рис.97б кривая 3). Величина перерегулирования s_max тем больше, чем больше отношение P()_max/P(0). Если это отношение стремится к бесконечности, то есть имеет место разрыв ВЧХ, то переходная характеристика приобретает вид незатухающих колебаний и САУ переходит на границу устойчивости. Величину перерегулирования можно приблизительно вычислить исходя из соотношения

s_max < .

Наличие отрицательного экстремума у ВЧХ (кривая 4) свидетельствует о повышенной колебательности системы.

5. Время переходного процесса t_пп можно оценить приблизительно по виду ВЧХ без построения кривой h(t). Оно определяется полосой частот w_п, при которых P() > 0.2P(0) (рис.98). _п называют интервалом положительности P(). При этом всегда t_пп >p/_п. Для кривой 1 рис.97а: t_пп4/_п. Для кривой 2: t_пп(1..4)4/_п. Для кривых 3 и 4 коэффициент пропорциональности больше, причем он тем больше, чем больше отношение P()_max/P(0).

13.3 Метод трапеций

Этот метод основан на свойствах ВЧХ, следующих из полученной ранее формулы, которые мы рассмотрим без доказательств.

1. Свойство линейности: если ВЧХ можно представить суммой P() = SPi(), то каждой составляющей Pi() будет соответствовать составляющая переходной характеристики



,

при этом

h(t) = (рис.99а).

Поэтому, если ВЧХ имеет сложную форму, ее можно представить суммой трапециидальных ВЧХ, примыкающих к вертикальной оси. Затем все трапеции перерисовывают, перенося их основания на горизонтальную ось (рис.99б). Каждой такой трапеции соответствует своя составляющая переходной характеристики h_i(t), имеющая апериодический характер (рис.99в). Результирующая кривая строится суммированием данных составляющих.

2. Если умножить P() на постоянный множитель а, то соответствующая ей h(t) также умножается на а. То есть, чем выше ВЧХ, тем выше и переходная характеристика (рис.100).

3. Если аргумент w в выражении ВЧХ P() умножить на постоянный множитель а, то аргумент в h(t) будет делиться на это число, то есть

То есть переходный процесс в случае P(a) будет протекать в а раз быстрее, чем в случае P() (рис.101).

Рассмотрим трапециидальную ВЧХ (рис.102а). Она характеризуется коэффициентом наклона k = ₁₂. Под единичной трапецией (рис.102б) понимают трапецию, две стороны которой совпадают с осями координат и равны по 1 в соответствующих масштабах; наклон k может быть различным:

P₁() = .

Подставляя это определение в выражение для определения h(t) можно вычислить кривую переходного процесса, соответствующую единичной трапециидальной ВЧХ. Эти расчеты были проделаны и составлены таблицы h_k -функций.

Для любой трапециидальной ВЧХ, на которые разбита реальная ВЧХ (рис.99б), можно построить подобную ей единичную трапецию со значением k = ₁₂, где ₁ - частота, соответствующая перелому реальной трапеции, ₂ - основание трапеции реальной ВЧХ. Для данной единичной трапеции по таблице h_k-функций строят кривую h_k(k,t), где t - время. Затем, используя свойства 2 и 3 масштабирования ВЧХ и переходной характеристики строят кривую переходного процесса, соответствующего данной трапециидальной ВЧХ. Причем оба описанных процесса можно совместить: сначала задаются моментом времени t, для него по таблице находят значение h_k(k,t), потом умножают это значение на P(0) (масштабирование по вертикальной оси) и откладывают полученное значение на графике h(t) для времени t = t/₂ (масштабирование по горизонтальной оси). Строя таким образом точки для различных моментов времени получают кривую

h_i(t/₂) = P(0)h_k(k,t).

После суммирования составляющих переходного процесса, соответствующих каждой трапеции, получают реальную характеристику h(t).

Описанный метод построения переходной характеристики называется методом трапеций.



14.1 Синтез САУ

В ТАУ можно выделить две характерные задачи: 1) в заданной САУ найти и оценить переходные процессы - это задача анализа САУ; 2) по заданным переходным процессам и основным показателям разработать САУ - это задача синтеза САУ.

Вторая задача сложнее в виду своей неоднозначности, многое определяется творческими способностями проектировщика. Поэтому обычно задачу синтеза САУ ставится ограниченно. Считается, что основная часть системы уже задана, что обычно имеет место. Требуется синтезировать корректирующие звенья, то есть выбрать их схему и параметры. При этом необходимо, чтобы в результате коррекции САУ обеспечивался требуемый запас устойчивости; точность управления в установившихся режимах и качество управления в динамических режимах.

14.1.1 Включение корректирующих устройств

Корректирующее устройство можно включить последовательно, параллельно-согласно или параллельно-встречно (по схеме с обратной связью).

Последовательное корректирующее устройство с передаточной функцией W_п включается обычно после предварительного усилителя. На рис.103а предварительный усилитель имеет передаточную функцию W₃, выходной каскад усилителя - W₂, исполнительный элемент - W₁.

Параллельно-согласное корректирующее устройство с передаточной функцией W_пс (рис.103б) может иногда при меньшей сложности обеспечить нужное преобразование сигнала. Например, для коррекции свойств САУ часто требуются дифференцирующие и форсирующие звенья, которые конструктивно очень сложны. В то же время параллельно-согласное включение предварительного усилителя (W₃ = K₃) и простого апериодического звена с передаточной функцией

W_пс =

позволяет реализовать функцию реального форсирующего звена. Такое соединение можно заменить эквивалентным форсирующим звеном с передаточной функцией

W_ф = W₃ + W_пс = ,

где T_ф1 = ; T_ф2 = T_пс; K_ф = K₃ + K_пс.

Наибольшими возможностями в плане коррекции свойств САУ обладает корректирующее устройство с передаточной функцией W_пв, включенное по схеме с отрицательной или положительной обратной связью, охватывающей один из звеньев САУ, как правило исполнительный элемент или выходной каскад усилителя (усилитель мощности)(рис.103в). Такие обратные связи называются местными. При этом передаточная функция эквивалентного звена:

W_экв = .

Обычно передаточную функцию выходного каскада усилителя W₂ выбирают из условия |W₂.W_пв| >> 1 в широком диапазоне частот, поэтому

Wэкв1/W_пв.

То есть свойства участка цепи с параллельно-встречным включением корректирующего устройства определяются только свойствами данного корректирующего устройства. Это основное достоинство данного способа включения. Влияние плохих свойств какого либо необходимого для САУ звена, например, его нелинейности, могут быть практически полностью устранены.

Местные корректирующие обратные связи делятся на жесткие и гибкие. Жесткая обратная связь действует на систему как в переходном, так и в установившемся режиме, то есть W_ж(0)0. Она реализуется безынерционным или инерционным звеном:

W_ж = K_ж или W_ж = .

Гибкая обратная связь действует только в переходном режиме, она реализуется либо дифференцирующим, либо реальным дифференцирующим звеном:

W_г = K_г pили W_г = .

Например, если интегрирующее звено W_и = K_и/p охвачено жесткой обратной связью звеном W_ж = K_ж, то

Wэкв = ,

где K_экв = 1/K_ж, T_экв = 1/(K_и K_эквK_ж). То есть жесткая обратная связь превращает интегрирующее звено в апериодическое. В случае гибкой обратной связи звеном W_г = K_гp получаем

Wэкв = ,

где K_экв = . То есть гибкая обратная связь не изменяет структуру интегрирующего звена, но уменьшает его коэффициент передачи.

Таким образом, даже простейшие обратные связи способны существенно изменить свойства типовых динамических звеньев. Еще больший эффект дают сложные отрицательные и положительные обратные связи. Если основные элементы регулятора по своей природе позволяют создать обратную связь, то динамические свойства этих элементов часто могут быть изменены в нужном направлении.

14.1.2 Синтез корректирующих устройств.

Корректирующие устройства синтезируют на основании требований к свойствам САУ. Для этого необходимо знать передаточную функцию реальной САУ W_реал, которая чем то не удовлетворяет разработчика, и желаемую передаточную функцию W_жел , которой должна обладать САУ в результате корректировки ее свойств.

При синтезе корректирующих устройств сначала определяю передаточную функцию возможного последовательного корректирующего устройства исходя из соотношения: W_п = W_жел /W_реал. Затем выясняют, при каких передаточных функциях параллельно-согласного W_пс и параллельно-встречного W_пв корректирующих устройств будет получен тот же эффект. После этого решают, какое из них более целесообразно и проще создать. При этом исходя из рис.103 можно записать:

W_жел = WW_п = W₁W₂.(W₃ + W_пс) = W(1 + W_пс/W₃) = W/(1 + W₂W_пв),

где W = W₁W₂W₃. Из этого соотношения можно определить формулы перехода от одного корректирующего устройства к другому.

14.2 Коррекция свойств САУ изменением параметров звеньев

Рассмотрим примеры коррекции свойств некоторой исходной замкнутой САУ (рис.104), передаточная функция которой в разомкнутом состоянии:

W(p) = .

Для этого воспользуемся критерием Найквиста. Значения параметров звеньев в каждом конкретном случае будем оговаривать отдельно.

14.2.1 Изменение коэффициента передачи

Для увеличения точности статической САУ надо увеличивать коэффициент передачи K. С ростом K увеличивается жесткость статической характеристики САУ (рис.105), то есть уменьшается статическая ошибка e.

На рис.106 сплошными линиями показаны частотные характеристики исходной разомкнутой САУ при T₁ = 0.5c, T₂ = 0.02c, T₃ = 0.002c, K = 10.

При увеличении коэффициента передачи K в N раз ЛАЧХ, не меняя своей формы, поднимается вверх на 20lgN (на рисунке изображена пунктирной линией). При этом ЛФЧХ остается без изменения. Из рисунка видно, что с увеличением коэффициента передачи запас устойчивости по модулю уменьшается с h30дб/дек до h_к15дб/дек, по фазе - с 60^o до _к15^o .

То есть, при повышении точности САУ путем увеличения коэффициента передачи необходимы мероприятия по повышению запаса устойчивости. Это главный недостаток такой коррекции.

К достоинствам можно отнести повышение быстродействия САУ, так как частота среза wср увеличивается, следовательно постоянная времени САУ - уменьшается.

14.2.2 Изменение постоянной времени звена САУ

На рис.107 сплошными линиями изображены ЛЧХ разомкнутой САУ с параметрами: T₁ = 0.05c, T₂ = 0.01c, T₃ = 0.001c, K = 100. Из рисунка видно, что САУ неустойчива. При увеличении постоянной времени T₁ в 5 раз (T₁' = 0.2с) ЛАЧХ и ЛФЧХ приобретают вид, показанный на рисунке пунктирной линией. При этом видим, что замкнутая САУ становится устойчивой. Заметим, что сопрягающая частота W₁ данного звена располагается левее частоты среза _ср. Если бы она располагалась правее частоты среза, то есть, если бы мы увеличивали постоянную времени, например, третьего звена T₃, то это привело бы к уменьшению запаса устойчивости.

Частотные характеристики для этого случая приведены на рис.108.

Аналогичное влияние оказывает постоянная времени колебательного звена. Влияние постоянной времени форсирующего звена обратное, то есть, если сопрягающая частота форсирующего звена располагается левее частоты среза, то увеличение его постоянной времени уменьшает запас устойчивости САУ, если правее, то запас устойчивости увеличивается.

Указанные зависимости справедливы лишь при условии, что сопрягающая частота расположена на некотором удалении (около одной

декады) от частоты среза. Бывают и исключения из этого правила.

15.1 Коррекция свойств САУ включением последовательных корректирующих звеньев

Это один из наиболее распространенных путей коррекции свойств САУ, особенно в случае структурно неустойчивых САУ. Рассмотрим несколько типичных случаев.

15.1.1 Включение интегрирующего звена в статическую САУ

Если в статическую САУ последовательно с регулятором включить астатическое звено с передаточной функцией W = 1/p, то САУ станет астатической, то есть теоретически она будет иметь нулевую статическую ошибку e_уст = 0 (рис.109). Если в исходной САУ T₁ = 0.5c, T₂ = 0.02c, T₃ = 0.002c, K = 10, то включение последовательного астатического звена приведет к изменению частотных характеристик, как это показано на рис.110 пунктирными линиями.



Видим, что все ветви ЛАЧХ приобрели дополнительный наклон в -20дб/дек. ЛФЧХ интегрирующего звена есть горизонтальная линия = -/2, поэтому ЛФЧХ разомкнутой САУ после включения данного звена опускается вниз на 90^о. Из рисунка видно, что запас устойчивости по модулю данной САУ снижается с h25дб до h_к10дб, по фазе - с 60^о до _к20^о.

Можно сделать вывод: введение в статическую САУ последовательного интегрирующего звена переводит ее в разряд астатических САУ, повышая тем самым точность управления, но требует, как правило, специальных мер по повышению запаса устойчивости САУ, например, можно уменьшить коэффициент передачи САУ.

Кроме снижения запасов устойчивости существенным недостатком данного способа коррекции САУ является снижение частоты среза wср, следовательно увеличение постоянной времени переходного процесса, то есть уменьшение быстродействия САУ.

15.1.2 Включение апериодического звена

Пусть в исходной САУ T₁ = 0.05c, T₂ = 0.01c, T₃ = 0.001c, K = 40. Введем в прямую цепь апериодическое звено с передаточной функцией

W_a(p) = 1/(T_ap + 1),

где T_a = 8c, то есть постоянная времени корректирующего звена больше, чем постоянные времени остальных звеньев САУ (рис.111). ЛАЧХ дополнительного звена представлена на рисунке тонкой сплошной линией. ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной САУ представлены пунктирными

линиями.

Из рисунка видно, что изначально неустойчивая САУ после коррекции стала устойчивой. Вообще введение в прямую цепь апериодического звена с постоянной времени значительно большей, чем у звеньев исходной САУ, повышает запас устойчивости САУ. К достоинствам можно отнести также снижение высокочастотных помех и колебательности переходных процессов, о чем свидетельствует смещение вниз высокочастотной части ЛАЧХ. Поэтому такой прием повышения запаса устойчивости называется демпфированием с подавлением высоких частот.

Недостаток - уменьшается частота среза wср, то есть снижается быстродействие системы.

15.1.3 Включение форсирующего звена

Передаточная функция идеального форсирующего звена W_ф(p) = T_ф(p)p + 1. При T_ф(p) = 0.005с его ЛАЧХ выглядит так, как это показано на рис.112 тонкой сплошной линией. Частотные характеристики скорректированной САУ показаны пунктирными линиями. Из рисунка видно, что изначально неустойчивая САУ после коррекции стала устойчивой. Кроме того увеличилась частота среза, то есть повысилось быстродействие системы. Это достоинства данного способа корректировки. Вместе с тем высокочастотная часть ЛАЧХ сместилась вверх, то есть усилилось влияние высокочастотных помех. Поэтому данный способ называется демпфирванием с поднятием высоких частот. Это серьезный недостаток, ограничивающий применение данного способа корректировки.