Модели и методы управления

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

x 7

x 8

-6-(-36 * -4):-3

2-(1 * -4):-3

5-(-2 * -4):-3

-4-(-3 * -4):-3

0-(0 * -4):-3

1-(0 * -4):-3

1-(1 * -4):-3

0-(1 * -4):-3

1-(0 * -4):-3

24-(-36 * 3):-3

0-(1 * 3):-3

-2-(-2 * 3):-3

3-(-3 * 3):-3

1-(0 * 3):-3

0-(0 * 3):-3

-1-(1 * 3):-3

0-(1 * 3):-3

0-(0 * 3):-3

-36 : -3

1 : -3

-2 : -3

-3 : -3

0 : -3

0 : -3

1 : -3

1 : -3

0 : -3

(0)-(-36 * (0)):-3

(21/3+2/3M)-(1 * (0)):-3

(-82/3+72/3M)-(-2 * (0)):-3

(0)-(-3 * (0)):-3

(0)-(0 * (0)):-3

(-3+M)-(0 * (0)):-3

(11/3-M)-(1 * (0)):-3

(31/3-11/3M)-(1 * (0)):-3

(0)-(0 * (0)):-3

1. Проверка критерия оптимальности.

План 2 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

2. Определение новой свободной переменной.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 2-ая строка, а переменную x4 следует вывести из базиса.

3. Определение новой базисной переменной.

Минимальное значение и соответствует 2-му столбцу, т.е. переменную x2 необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-4).

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x8	42	2/3	72/3	0	0	1	-1/3	-11/3	1
x4	-12	1	-4	0	1	0	0	1	0
x3	12	-1/3	2/3	1	0	0	-1/3	-1/3	0
F(X0)	-72+42M	21/3+2/3M	-82/3+72/3M	0	0	-3+M	11/3-M	31/3-11/3M	0
и	0	-	-82/3+72/3M : (-4)	-	-	-	-	-	-

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x8	19	27/12	0	0	111/12	1	-1/3	7/12	1
x2	3	-1/4	1	0	-1/4	0	0	-1/4	0
x3	10	-1/6	0	1	1/6	0	-1/3	-1/6	0
F(X2)	-46+19M	1/6+27/12M	0	0	-21/6+111/12M	-3+M	11/3-M	11/6+7/12M	0

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7	x 8
42-(-12 * 72/3):-4	2/3-(1 * 72/3):-4	72/3-(-4 * 72/3):-4	0-(0 * 72/3):-4	0-(1 * 72/3):-4	1-(0 * 72/3):-4	-1/3-(0 * 72/3):-4	-11/3-(1 * 72/3):-4	1-(0 * 72/3):-4
-12 : -4	1 : -4	-4 : -4	0 : -4	1 : -4	0 : -4	0 : -4	1 : -4	0 : -4
12-(-12 * 2/3):-4	-1/3-(1 * 2/3):-4	2/3-(-4 * 2/3):-4	1-(0 * 2/3):-4	0-(1 * 2/3):-4	0-(0 * 2/3):-4	-1/3-(0 * 2/3):-4	-1/3-(1 * 2/3):-4	0-(0 * 2/3):-4
(0)-(-12 * (0)):-4	(1/6+27/12M)-(1 * (0)):-4	(0)-(-4 * (0)):-4	(0)-(0 * (0)):-4	(-21/6+111/12M)-(1 * (0)):-4	(-3+M)-(0 * (0)):-4	(11/3-M)-(0 * (0)):-4	(11/6+7/12M)-(1 * (0)):-4	(0)-(0 * (0)):-4

В базисном столбце все элементы положительные.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент .

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1

и из них выберем наименьшее:

min (19 : 27/12 , - , - ) = 711/31

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (27/12) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min
x8	19	27/12	0	0	111/12	1	-1/3	7/12	1	711/31
x2	3	-1/4	1	0	-1/4	0	0	-1/4	0	-
x3	10	-1/6	0	1	1/6	0	-1/3	-1/6	0	-
F(X1)	-46+19M	1/6+27/12M	0	0	-21/6+111/12M	-3+M	11/3-M	11/6+7/12M	0	0



4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x8 в план 1 войдет переменная x1.

Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x8 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=27/12

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x1 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (27/12), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7	x 8
19 : 27/12	27/12 : 27/12	0 : 27/12	0 : 27/12	111/12 : 27/12	1 : 27/12	-1/3 : 27/12	7/12 : 27/12	1 : 27/12
3-(19 * -1/4):27/12	-1/4-(27/12 * -1/4):27/12	1-(0 * -1/4):27/12	0-(0 * -1/4):27/12	-1/4-(111/12 * -1/4):27/12	0-(1 * -1/4):27/12	0-(-1/3 * -1/4):27/12	-1/4-(7/12 * -1/4):27/12	0-(1 * -1/4):27/12
10-(19 * -1/6):27/12	-1/6-(27/12 * -1/6):27/12	0-(0 * -1/6):27/12	1-(0 * -1/6):27/12	1/6-(111/12 * -1/6):27/12	0-(1 * -1/6):27/12	-1/3-(-1/3 * -1/6):27/12	-1/6-(7/12 * -1/6):27/12	0-(1 * -1/6):27/12
(0)-(19 * (1/6+27/12M)):27/12	(1/6+27/12M)-(27/12 * (1/6+27/12M)):27/12	(0)-(0 * (1/6+27/12M)):27/12	(0)-(0 * (1/6+27/12M)):27/12	(-21/6+111/12M)-(111/12 * (1/6+27/12M)):27/12	(-3+M)-(1 * (1/6+27/12M)):27/12	(11/3-M)-(-1/3 * (1/6+27/12M)):27/12	(11/6+7/12M)-(7/12 * (1/6+27/12M)):27/12	(0)-(1 * (1/6+27/12M)):27/12

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x1	711/31	1	0	0	23/31	12/31	-4/31	7/31	12/31
x2	426/31	0	1	0	-2/31	3/31	-1/31	-6/31	3/31
x3	117/31	0	0	1	9/31	2/31	-11/31	-4/31	2/31
F(X1)	-477/31	0	0	0	-29/31	-32/31	111/31	14/31	-2/31-M

Итерация №1.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x7, так как это наибольший коэффициент .

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai7

и из них выберем наименьшее:

min (711/31 :7/31 , - , - ) = 324/7

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (7/31) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.



Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min
x1	711/31	1	0	0	23/31	12/31	-4/31	7/31	12/31	324/7
x2	426/31	0	1	0	-2/31	3/31	-1/31	-6/31	3/31	-
x3	117/31	0	0	1	9/31	2/31	-11/31	-4/31	2/31	-
F(X2)	-477/31	0	0	0	-29/31	-32/31	111/31	14/31	-2/31-M	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x1 в план 2 войдет переменная x7.

Строка, соответствующая переменной x7 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x1 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=7/31

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x7 плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x7 и столбец x7.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7	x 8
711/31 : 7/31	1 : 7/31	0 : 7/31	0 : 7/31	23/31 : 7/31	12/31 : 7/31	-4/31 : 7/31	7/31 : 7/31	12/31 : 7/31
426/31-(711/31 * -6/31):7/31	0-(1 * -6/31):7/31	1-(0 * -6/31):7/31	0-(0 * -6/31):7/31	-2/31-(23/31 * -6/31):7/31	3/31-(12/31 * -6/31):7/31	-1/31-(-4/31 * -6/31):7/31	-6/31-(7/31 * -6/31):7/31	3/31-(12/31 * -6/31):7/31
117/31-(711/31 * -4/31):7/31	0-(1 * -4/31):7/31	0-(0 * -4/31):7/31	1-(0 * -4/31):7/31	9/31-(23/31 * -4/31):7/31	2/31-(12/31 * -4/31):7/31	-11/31-(-4/31 * -4/31):7/31	-4/31-(7/31 * -4/31):7/31	2/31-(12/31 * -4/31):7/31
(-2/31-M)-(711/31 * (14/31)):7/31	(0)-(1 * (14/31)):7/31	(0)-(0 * (14/31)):7/31	(0)-(0 * (14/31)):7/31	(-29/31)-(23/31 * (14/31)):7/31	(-32/31)-(12/31 * (14/31)):7/31	(111/31)-(-4/31 * (14/31)):7/31	(14/31)-(7/31 * (14/31)):7/31	(-2/31-M)-(12/31 * (14/31)):7/31

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x7	324/7	43/7	0	0	32/7	15/7	-4/7	1	15/7
x2	111/7	6/7	1	0	4/7	3/7	-1/7	0	3/7
x3	153/7	4/7	0	1	5/7	2/7	-3/7	0	2/7
F(X2)	-84	-5	0	0	-6	-5	2	0	-2-M

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x7	324/7	43/7	0	0	32/7	15/7	-4/7	1	15/7
x2	111/7	6/7	1	0	4/7	3/7	-1/7	0	3/7
x3	153/7	4/7	0	1	5/7	2/7	-3/7	0	2/7
F(X3)	-84	-5	0	0	-6	-5	2	0	-2-M

Последняя строка содержит положительные элементы. Пространство допустимых решений неограниченно. Решения не существует.

Задача 8

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = - 2x1 - 8x2 - x3 - 5x4 при следующих условиях-ограничений.

- 2x1 + x2 - 3x3 + x4?18

x1 + 2x2 + 4x3 + 2x4?24

3x1 + 4x2 + 2x3 - 3x4?30

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x5 со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x6 со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x7 со знаком минус.

-2x1 + 1x2-3x3 + 1x4-1x5 + 0x6 + 0x7 = 18

1x1 + 2x2 + 4x3 + 2x4 + 0x5-1x6 + 0x7 = 24

3x1 + 4x2 + 2x3-3x4 + 0x5 + 0x6-1x7 = 30

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

2	-1	3	-1	1	0	0
-1	-2	-4	-2	0	1	0
-3	-4	-2	3	0	0	1

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x5, x6, x7,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,0,-18,-24,-30)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	-18	2	-1	3	-1	1	0	0
x6	-24	-1	-2	-4	-2	0	1	0
x7	-30	-3	-4	-2	3	0	0	1
F(X0)	0	2	8	1	5	0	0	0



1. Проверка критерия оптимальности.

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

2. Определение новой свободной переменной.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 3-ая строка, а переменную x7 следует вывести из базиса.

3. Определение новой базисной переменной.

Минимальное значение и соответствует 3-му столбцу, т.е. переменную x3 необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-2).

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	-18	2	-1	3	-1	1	0	0
x6	-24	-1	-2	-4	-2	0	1	0
x7	-30	-3	-4	-2	3	0	0	1
F(X0)	0	2	8	1	5	0	0	0
и	0	2 : (-3) = -2/3	8 : (-4) = -2	1 : (-2) = -1/2	-	-	-	-

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	-63	-21/2	-7	0	31/2	1	0	11/2
x6	36	5	6	0	-8	0	1	-2
x3	15	11/2	2	1	-11/2	0	0	-1/2
F(X0)	-15	1/2	6	0	61/2	0	0	1/2

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы: 

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
-18-(-30 * 3):-2	2-(-3 * 3):-2	-1-(-4 * 3):-2	3-(-2 * 3):-2	-1-(3 * 3):-2	1-(0 * 3):-2	0-(0 * 3):-2	0-(1 * 3):-2
-24-(-30 * -4):-2	-1-(-3 * -4):-2	-2-(-4 * -4):-2	-4-(-2 * -4):-2	-2-(3 * -4):-2	0-(0 * -4):-2	1-(0 * -4):-2	0-(1 * -4):-2
-30 : -2	-3 : -2	-4 : -2	-2 : -2	3 : -2	0 : -2	0 : -2	1 : -2
0-(-30 * 1):-2	2-(-3 * 1):-2	8-(-4 * 1):-2	1-(-2 * 1):-2	5-(3 * 1):-2	0-(0 * 1):-2	0-(0 * 1):-2	0-(1 * 1):-2

1. Проверка критерия оптимальности.

План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

2. Определение новой свободной переменной.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 1-ая строка, а переменную x5 следует вывести из базиса.

3. Определение новой базисной переменной.

Минимальное значение и соответствует 2-му столбцу, т.е. переменную x2 необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-7).

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	-63	-21/2	-7	0	31/2	1	0	11/2
x6	36	5	6	0	-8	0	1	-2
x3	15	11/2	2	1	-11/2	0	0	-1/2
F(X0)	-15	1/2	6	0	61/2	0	0	1/2
и	0	1/2 : (-21/2) = -1/5	6 : (-7) = -6/7	-	-	-	-	-

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	9	5/14	1	0	-1/2	-1/7	0	-3/14
x6	-18	26/7	0	0	-5	6/7	1	-5/7
x3	-3	11/14	0	1	-1/2	2/7	0	-1/14
F(X1)	-69	-19/14	0	0	91/2	6/7	0	111/14

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
-63 : -7	-21/2 : -7	-7 : -7	0 : -7	31/2 : -7	1 : -7	0 : -7	11/2 : -7
36-(-63 * 6):-7	5-(-21/2 * 6):-7	6-(-7 * 6):-7	0-(0 * 6):-7	-8-(31/2 * 6):-7	0-(1 * 6):-7	1-(0 * 6):-7	-2-(11/2 * 6):-7
15-(-63 * 2):-7	11/2-(-21/2 * 2):-7	2-(-7 * 2):-7	1-(0 * 2):-7	-11/2-(31/2 * 2):-7	0-(1 * 2):-7	0-(0 * 2):-7	-1/2-(11/2 * 2):-7
-15-(-63 * 6):-7	1/2-(-21/2 * 6):-7	6-(-7 * 6):-7	0-(0 * 6):-7	61/2-(31/2 * 6):-7	0-(1 * 6):-7	0-(0 * 6):-7	1/2-(11/2 * 6):-7

1. Проверка критерия оптимальности.

План 2 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

2. Определение новой свободной переменной.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 2-ая строка, а переменную x6 следует вывести из базиса.

3. Определение новой базисной переменной.

Минимальное значение и соответствует 7-му столбцу, т.е. переменную x7 необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-5/7).



Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	9	5/14	1	0	-1/2	-1/7	0	-3/14
x6	-18	26/7	0	0	-5	6/7	1	-5/7
x3	-3	11/14	0	1	-1/2	2/7	0	-1/14
F(X0)	-69	-19/14	0	0	91/2	6/7	0	111/14
и	0	-	-	-	91/2 : (-5) = -19/10	-	-	111/14 : (-5/7) = -21/2

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	142/5	-1/2	1	0	1	-2/5	-3/10	0
x7	251/5	-4	0	0	7	-11/5	-12/5	1
x3	-11/5	1/2	0	1	0	1/5	-1/10	0
F(X2)	-114	51/2	0	0	-3	3	21/2	0

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
9-(-18 * -3/14):-5/7	5/14-(26/7 * -3/14):-5/7	1-(0 * -3/14):-5/7	0-(0 * -3/14):-5/7	-1/2-(-5 * -3/14):-5/7	-1/7-(6/7 * -3/14):-5/7	0-(1 * -3/14):-5/7	-3/14-(-5/7 * -3/14):-5/7
-18 : -5/7	26/7 : -5/7	0 : -5/7	0 : -5/7	-5 : -5/7	6/7 : -5/7	1 : -5/7	-5/7 : -5/7
-3-(-18 * -1/14):-5/7	11/14-(26/7 * -1/14):-5/7	0-(0 * -1/14):-5/7	1-(0 * -1/14):-5/7	-1/2-(-5 * -1/14):-5/7	2/7-(6/7 * -1/14):-5/7	0-(1 * -1/14):-5/7	-1/14-(-5/7 * -1/14):-5/7
-69-(-18 * 111/14):-5/7	-19/14-(26/7 * 111/14):-5/7	0-(0 * 111/14):-5/7	0-(0 * 111/14):-5/7	91/2-(-5 * 111/14):-5/7	6/7-(6/7 * 111/14):-5/7	0-(1 * 111/14):-5/7	111/14-(-5/7 * 111/14):-5/7

1. Проверка критерия оптимальности.

План 3 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

2. Определение новой свободной переменной.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 3-ая строка, а переменную x3 следует вывести из базиса.

3. Определение новой базисной переменной.

Минимальное значение и соответствует 6-му столбцу, т.е. переменную x6 необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1/10).

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	142/5	-1/2	1	0	1	-2/5	-3/10	0
x7	251/5	-4	0	0	7	-11/5	-12/5	1
x3	-11/5	1/2	0	1	0	1/5	-1/10	0
F(X0)	-114	51/2	0	0	-3	3	21/2	0
и	0	-	-	-	-	-	21/2 : (-1/10) = -25	-

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	18	-2	1	-3	1	-1	0	0
x7	42	-11	0	-14	7	-4	0	1
x6	12	-5	0	-10	0	-2	1	0
F(X3)	-144	18	0	25	-3	8	0	0

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
142/5-(-11/5 * -3/10):-1/10	-1/2-(1/2 * -3/10):-1/10	1-(0 * -3/10):-1/10	0-(1 * -3/10):-1/10	1-(0 * -3/10):-1/10	-2/5-(1/5 * -3/10):-1/10	-3/10-(-1/10 * -3/10):-1/10	0-(0 * -3/10):-1/10
251/5-(-11/5 * -12/5):-1/10	-4-(1/2 * -12/5):-1/10	0-(0 * -12/5):-1/10	0-(1 * -12/5):-1/10	7-(0 * -12/5):-1/10	-11/5-(1/5 * -12/5):-1/10	-12/5-(-1/10 * -12/5):-1/10	1-(0 * -12/5):-1/10
-11/5 : -1/10	1/2 : -1/10	0 : -1/10	1 : -1/10	0 : -1/10	1/5 : -1/10	-1/10 : -1/10	0 : -1/10
-114-(-11/5 * 21/2):-1/10	51/2-(1/2 * 21/2):-1/10	0-(0 * 21/2):-1/10	0-(1 * 21/2):-1/10	-3-(0 * 21/2):-1/10	3-(1/5 * 21/2):-1/10	21/2-(-1/10 * 21/2):-1/10	0-(0 * 21/2):-1/10

В базисном столбце все элементы положительные.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x4, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai4

и из них выберем наименьшее:

min (18 : 1 , 42 : 7 , - ) = 6

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (7) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x2	18	-2	1	-3	1	-1	0	0	18
x7	42	-11	0	-14	7	-4	0	1	6
x6	12	-5	0	-10	0	-2	1	0	-
F(X1)	-144	18	0	25	-3	8	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x7 в план 1 войдет переменная x4.

Строка, соответствующая переменной x4 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x7 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=7

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x4 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x4 и столбец x4.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (7), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
18-(42 * 1):7	-2-(-11 * 1):7	1-(0 * 1):7	-3-(-14 * 1):7	1-(7 * 1):7	-1-(-4 * 1):7	0-(0 * 1):7	0-(1 * 1):7
42 : 7	-11 : 7	0 : 7	-14 : 7	7 : 7	-4 : 7	0 : 7	1 : 7
12-(42 * 0):7	-5-(-11 * 0):7	0-(0 * 0):7	-10-(-14 * 0):7	0-(7 * 0):7	-2-(-4 * 0):7	1-(0 * 0):7	0-(1 * 0):7
-144-(42 * -3):7	18-(-11 * -3):7	0-(0 * -3):7	25-(-14 * -3):7	-3-(7 * -3):7	8-(-4 * -3):7	0-(0 * -3):7	0-(1 * -3):7

Получаем новую симплекс-таблицу:



Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	12	-3/7	1	-1	0	-3/7	0	-1/7
x4	6	-14/7	0	-2	1	-4/7	0	1/7
x6	12	-5	0	-10	0	-2	1	0
F(X1)	-126	132/7	0	19	0	62/7	0	3/7

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	12	-3/7	1	-1	0	-3/7	0	-1/7
x4	6	-14/7	0	-2	1	-4/7	0	1/7
x6	12	-5	0	-10	0	-2	1	0
F(X2)	-126	132/7	0	19	0	62/7	0	3/7

Оптимальный план можно записать так:

x2 = 12

x4 = 6

F(X) = -8*12 -5*6 = -126

Анализ оптимального плана.

В оптимальный план вошла дополнительная переменная x6. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 3-го вида в количестве 12

Значение 132/7> 0 в столбце x1 означает, что использование x1 - не выгодно.

Значение 0 в столбце x2 означает, что использование x2 - выгодно.

Значение 19> 0 в столбце x3 означает, что использование x3 - не выгодно.

Значение 0 в столбце x4 означает, что использование x4 - выгодно.

Значение 62/7 в столбце x5 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 62/7.

Значение 3/7 в столбце x7 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 3/7.

Ответы на вопросы преподавателя:

1. По какому методу пересчитываются симплекс-таблицы?

Используется правило прямоугольника (метод жордановских преобразований).

2. Обязательно ли каждый раз выбирать максимальное значение из индексной строки?

Можно не выбирать, но это может привести к зацикливанию алгоритма.

3. В индексной строке в n-ом столбце нулевое значение. Что это означает?

Нулевые значения должны соответствовать переменным, вошедшим в базис. Если в индексной строке симплексной таблицы оптимального плана находится нуль, принадлежащий свободной переменной, не вошедшей в базис, а в столбце, содержащем этот нуль, имеется хотя бы один положительный элемент, то задача имеет множество оптимальных планов.

Свободную переменную, соответствующую указанному столбцу, можно внести в базис, выполнив соответствующие этапы алгоритма. В результате будет получен второй оптимальный план с другим набором базисных переменных.

Составим двойственную задачу к прямой задаче.

- 2y1 + y2 + 3y3?-2

y1 + 2y2 + 4y3?-8

- 3y1 + 4y2 + 2y3?-1

y1 + 2y2 - 3y3?-5

18y1 + 24y2 + 30y3 > min

y1 ? 0

y2 ? 0

y3 ? 0

Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.

Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.

Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1.

Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим:

Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных.

Тогда Y = C*A-1 =

Оптимальный план двойственной задачи равен:

y1 = -62/7

y2 = 0

y3 = -3/7

Z(Y) = 18*-62/7+24*0+30*-3/7 = -126

Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно.

Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая теорема двойственности.

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:

-2*0 + 1*12 + -3*0 + 1*6 = 18 = 18

1*0 + 2*12 + 4*0 + 2*6 = 36 > 24

3*0 + 4*12 + 2*0 + -3*6 = 30 = 30

1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y1>0).

2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y2 = 0.

Неиспользованный экономический резерв ресурса 2 составляет 12 (24-36).

Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду).

3-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y3>0).

Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

Обоснование эффективности оптимального плана.

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:

-2*-62/7 + 1*0 + 3*-3/7 = 112/7> -2

1*-62/7 + 2*0 + 4*-3/7 = -8 = -8

-3*-62/7 + 4*0 + 2*-3/7 = 18 > -1

1*-62/7 + 2*0 + -3*-3/7 = -5 = -5

Анализ устойчивости оптимального плана.

Проведем анализ устойчивости оптимального плана и оценим степень влияния изменения ресурсов на значение целевой функции.

Чувствительность решения к изменению коэффициентов целевой функции.

Так как любые изменения коэффициентов целевой функции оказывают влияние на оптимальность полученного ранее решения, то наша цель - найти такие диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции (рассматривая каждый из коэффициентов отдельно), при которых оптимальные значения переменных остаются неизменными.

Пусть каждое значение параметра целевой функции изменится на ? сi. Найдем интервалы, при которых будет экономически выгодно использование ресурсов.

Допустимые диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции определятся из соотношений:

2-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах:

?c-2 = min [yk/d2k] для d2k>0.

?c+2 = |max[yk/d2k]| для d2k<0.

где в знаменателе коэффициенты столбцов свободных переменных в оптимальном плане (коэффициенты структурных сдвигов, элементы обратной матрицы к базису оптимального плана).

Таким образом, 2-параметр может быть уменьшен на 44/3 или увеличен на 0

Интервал изменения равен:

(c2 - ?c2-; c2 + ?c2+)

[-8--44/3; -8+0] = [20/3;-8]

Если значение c2 будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не изменится.

4-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах:

?c-4 = min [yk/d4k] для d4k>0.

?c+4 = |max[yk/d4k]| для d4k<0.

Таким образом, 4-параметр может быть уменьшен на 11 или увеличен на 3

Интервал изменения равен:

(c4 - ?c4-; c4 + ?c4+)

[-5--11; -5+3] = [6;-2]

Если значение c4 будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не изменится.

Чувствительность решения к изменению запасов сырья.

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины bi приводит к увеличению или уменьшению f(X).

Оно определяется величиной yi в случае, когда при изменении величин bi значения переменных уi в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными.

Поэтому необходимо найти такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы.

Найдем интервалы устойчивости ресурсов.

1-ый запас может изменяться в пределах:

?b-1 = min[xk/dk1] для dk1>0.

?b+1 = |max[xk/dk1]| для dk1<0.

Таким образом, 1-ый запас может быть уменьшен на 21/2 или увеличен на 6

Интервал изменения равен:

(b1 - ?b-1; b1 + ?b+1)

[18-21/2; 18+6] = [15/2;24]

Нижняя граница для: ?b-2

?b-2 = min[xk/dk2] для dk2>0.

Таким образом, 2-ый запас может быть уменьшен на 12

2-ый вид ресурса в оптимальном плане недоиспользован, является недефицитным. Увеличение данного ресурса приведет лишь к росту его остатка. При этом структурных изменений в оптимальном плане не будет, так как двойственная оценка y2 = 0. Другими словами, верхняя граница b+2 = +?

Интервал изменения равен:

(b2 - ?b-2; +?)

[24-12; +?] = [12;+?]

3-ый запас может изменяться в пределах:

?b-3 = min[xk/dk3] для dk3>0.

?b+3 = |max[xk/dk3]| для dk3<0.

Таким образом, 3-ый запас может быть уменьшен на 84 или увеличен на 42

Интервал изменения равен:

(b3 - ?b-3; b3 + ?b+3)

[30-84; 30+42] = [-54;72]

В оптимальный план не вошла основная переменная x2, т.е. ее не выгодно использовать. Определим максимально возможное значение в рамках полученных двойственных оценок:

x2 может изменяться в пределах:

0 ? ?b2 ? 12

[24-12; 24] = [12;24]

1-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 1-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x1 = 0.

Поскольку теневая (альтернативная) цена больше рыночной цены этого продукта, то выгоднее продать ресурсы по рыночным ценам.

При этом разница между ценами (112/7 - -2 = 132/7) показывает величину изменения целевой функции F(x) при введении дополнительной единицы xi.

2-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x2>0).

3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 3-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x3 = 0.

Поскольку теневая (альтернативная) цена больше рыночной цены этого продукта, то выгоднее продать ресурсы по рыночным ценам.

При этом разница между ценами (18 - -1 = 19) показывает величину изменения целевой функции F(x) при введении дополнительной единицы xi.

4-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 4-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x4>0).

Влияние запасов ресурсов на оптимальное решение прямой задачи.

Величина двойственной оценки показывает, на сколько возрастает значение целевой функции F(x) при увеличении дефицитного ресурса на единицу.

Задача 9

Двойственная задача линейного программирования.

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = - 3x1 - 4x2 - 3x3 - 2x4+300 при следующих условиях-ограничений.

При вычислениях значение Fc = 300 временно не учитываем.

2x1 + x2 + 2x3 + x4?7

3x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4?8

4x1 + x2 + x3 + 3x4?4

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x5 со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x6 со знаком минус. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x7 со знаком минус.

2x1 + 1x2 + 2x3 + 1x4-1x5 + 0x6 + 0x7 = 7

3x1 + 3x2 + 4x3 + 2x4 + 0x5-1x6 + 0x7 = 8

4x1 + 1x2 + 1x3 + 3x4 + 0x5 + 0x6-1x7 = 4

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

-2	-1	-2	-1	1	0	0
-3	-3	-4	-2	0	1	0
-4	-1	-1	-3	0	0	1

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x5, x6, x7,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,0,-7,-8,-4)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	-7	-2	-1	-2	-1	1	0	0
x6	-8	-3	-3	-4	-2	0	1	0
x7	-4	-4	-1	-1	-3	0	0	1
F(X0)	0	3	4	3	2	0	0	0

1. Проверка критерия оптимальности.

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

2. Определение новой свободной переменной.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 2-ая строка, а переменную x6 следует вывести из базиса.

3. Определение новой базисной переменной.

Минимальное значение и соответствует 4-му столбцу, т.е. переменную x4 необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-2).

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	-7	-2	-1	-2	-1	1	0	0
x6	-8	-3	-3	-4	-2	0	1	0
x7	-4	-4	-1	-1	-3	0	0	1
F(X0)	0	3	4	3	2	0	0	0
и	0	3 : (-3) = -1	4 : (-3) = -11/3	3 : (-4) = -3/4	2 : (-2) = -1	-	-	-

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	-3	-1/2	1/2	0	0	1	-1/2	0
x4	4	11/2	11/2	2	1	0	-1/2	0
x7	8	1/2	31/2	5	0	0	-11/2	1
F(X0)	-8	0	1	-1	0	0	1	0

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
-7-(-8 * -1):-2	-2-(-3 * -1):-2	-1-(-3 * -1):-2	-2-(-4 * -1):-2	-1-(-2 * -1):-2	1-(0 * -1):-2	0-(1 * -1):-2	0-(0 * -1):-2
-8 : -2	-3 : -2	-3 : -2	-4 : -2	-2 : -2	0 : -2	1 : -2	0 : -2
-4-(-8 * -3):-2	-4-(-3 * -3):-2	-1-(-3 * -3):-2	-1-(-4 * -3):-2	-3-(-2 * -3):-2	0-(0 * -3):-2	0-(1 * -3):-2	1-(0 * -3):-2
0-(-8 * 2):-2	3-(-3 * 2):-2	4-(-3 * 2):-2	3-(-4 * 2):-2	2-(-2 * 2):-2	0-(0 * 2):-2	0-(1 * 2):-2	0-(0 * 2):-2



1. Проверка критерия оптимальности.

План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

2. Определение новой свободной переменной.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 1-ая строка, а переменную x5 следует вывести из базиса.

3. Определение новой базисной переменной.

Минимальное значение и соответствует 6-му столбцу, т.е. переменную x6 необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-1/2).

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	-3	-1/2	1/2	0	0	1	-1/2	0
x4	4	11/2	11/2	2	1	0	-1/2	0
x7	8	1/2	31/2	5	0	0	-11/2	1
F(X0)	-8	0	1	-1	0	0	1	0
и	0	0 : (-1/2) = 0	-	-	-	-	1 : (-1/2) = -2	-

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x6	6	1	-1	0	0	-2	1	0
x4	7	2	1	2	1	-1	0	0
x7	17	2	2	5	0	-3	0	1
F(X1)	-14	-1	2	-1	0	2	0	0

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы: 

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
-3 : -1/2	-1/2 : -1/2	1/2 : -1/2	0 : -1/2	0 : -1/2	1 : -1/2	-1/2 : -1/2	0 : -1/2
4-(-3 * -1/2):-1/2	11/2-(-1/2 * -1/2):-1/2	11/2-(1/2 * -1/2):-1/2	2-(0 * -1/2):-1/2	1-(0 * -1/2):-1/2	0-(1 * -1/2):-1/2	-1/2-(-1/2 * -1/2):-1/2	0-(0 * -1/2):-1/2
8-(-3 * -11/2):-1/2	1/2-(-1/2 * -11/2):-1/2	31/2-(1/2 * -11/2):-1/2	5-(0 * -11/2):-1/2	0-(0 * -11/2):-1/2	0-(1 * -11/2):-1/2	-11/2-(-1/2 * -11/2):-1/2	1-(0 * -11/2):-1/2
-8-(-3 * 1):-1/2	0-(-1/2 * 1):-1/2	1-(1/2 * 1):-1/2	-1-(0 * 1):-1/2	0-(0 * 1):-1/2	0-(1 * 1):-1/2	1-(-1/2 * 1):-1/2	0-(0 * 1):-1/2

В базисном столбце все элементы положительные.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3

и из них выберем наименьшее:

min (- , 7 : 2 , 17 : 5 ) = 32/5

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x6	6	1	-1	0	0	-2	1	0	-
x4	7	2	1	2	1	-1	0	0	31/2
x7	17	2	2	5	0	-3	0	1	32/5
F(X1)	-14	-1	2	-1	0	2	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x7 в план 1 войдет переменная x3.

Строка, соответствующая переменной x3 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x7 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=5

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x3 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x3 и столбец x3.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (5), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
6-(17 * 0):5	1-(2 * 0):5	-1-(2 * 0):5	0-(5 * 0):5	0-(0 * 0):5	-2-(-3 * 0):5	1-(0 * 0):5	0-(1 * 0):5
7-(17 * 2):5	2-(2 * 2):5	1-(2 * 2):5	2-(5 * 2):5	1-(0 * 2):5	-1-(-3 * 2):5	0-(0 * 2):5	0-(1 * 2):5
17 : 5	2 : 5	2 : 5	5 : 5	0 : 5	-3 : 5	0 : 5	1 : 5
-14-(17 * -1):5	-1-(2 * -1):5	2-(2 * -1):5	-1-(5 * -1):5	0-(0 * -1):5	2-(-3 * -1):5	0-(0 * -1):5	0-(1 * -1):5

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x6	6	1	-1	0	0	-2	1	0
x4	1/5	11/5	1/5	0	1	1/5	0	-2/5
x3	32/5	2/5	2/5	1	0	-3/5	0	1/5
F(X1)	-103/5	-3/5	22/5	0	0	12/5	0	1/5

Итерация №1.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1

и из них выберем наименьшее:

min (6 : 1 , 1/5 : 11/5 , 32/5 : 2/5 ) = 1/6

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (11/5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	min
x6	6	1	-1	0	0	-2	1	0	6
x4	1/5	11/5	1/5	0	1	1/5	0	-2/5	1/6
x3	32/5	2/5	2/5	1	0	-3/5	0	1/5	81/2
F(X2)	-103/5	-3/5	22/5	0	0	12/5	0	1/5	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x4 в план 2 войдет переменная x1.

Строка, соответствующая переменной x1 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x4 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=11/5

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x1 плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x1 и столбец x1.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6	x 7
6-(1/5 * 1):11/5	1-(11/5 * 1):11/5	-1-(1/5 * 1):11/5	0-(0 * 1):11/5	0-(1 * 1):11/5	-2-(1/5 * 1):11/5	1-(0 * 1):11/5	0-(-2/5 * 1):11/5
1/5 : 11/5	11/5 : 11/5	1/5 : 11/5	0 : 11/5	1 : 11/5	1/5 : 11/5	0 : 11/5	-2/5 : 11/5
32/5-(1/5 * 2/5):11/5	2/5-(11/5 * 2/5):11/5	2/5-(1/5 * 2/5):11/5	1-(0 * 2/5):11/5	0-(1 * 2/5):11/5	-3/5-(1/5 * 2/5):11/5	0-(0 * 2/5):11/5	1/5-(-2/5 * 2/5):11/5
-103/5-(1/5 * -3/5):11/5	-3/5-(11/5 * -3/5):11/5	22/5-(1/5 * -3/5):11/5	0-(0 * -3/5):11/5	0-(1 * -3/5):11/5	12/5-(1/5 * -3/5):11/5	0-(0 * -3/5):11/5	1/5-(-2/5 * -3/5):11/5

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x6	55/6	0	-11/6	0	-5/6	-21/6	1	1/3
x1	1/6	1	1/6	0	5/6	1/6	0	-1/3
x3	31/3	0	1/3	1	-1/3	-2/3	0	1/3
F(X2)	-101/2	0	21/2	0	1/2	11/2	0	0

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x6	55/6	0	-11/6	0	-5/6	-21/6	1	1/3
x1	1/6	1	1/6	0	5/6	1/6	0	-1/3
x3	31/3	0	1/3	1	-1/3	-2/3	0	1/3
F(X3)	-101/2	0	21/2	0	1/2	11/2	0	0

Оптимальный план можно записать так:

x1 = 1/6

x3 = 31/3

F(X) = -3*1/6 -3*31/3 + 300 = 2891/2

Анализ оптимального плана.

В оптимальный план вошла дополнительная переменная x6. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 1-го вида в количестве 55/6

Значение 0 в столбце x1 означает, что использование x1 - выгодно.

Значение 21/2> 0 в столбце x2 означает, что использование x2 - не выгодно.

Значение 0 в столбце x3 означает, что использование x3 - выгодно.

Значение 1/2> 0 в столбце x4 означает, что использование x4 - не выгодно.

Значение 11/2 в столбце x5 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 11/2.

В индексной строке в 7-ом столбце нулевое значение. В столбце, содержащем этот нуль, имеется хотя бы один положительный элемент. Следовательно, задача имеет множество оптимальных планов.

Покажем это на примере. Свободную переменную, соответствующую указанному столбцу, вносим в базис (вместо x6), выполнив соответствующие этапы алгоритма.

После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x7	171/2	0	-31/2	0	-21/2	-61/2	3	1
x1	6	1	-1	0	0	-2	1	0
x3	-21/2	0	11/2	1	1/2	11/2	-1	0
F(X )	-101/2	0	21/2	0	1/2	11/2	0	0

В результате получен второй оптимальный план с другим набором базисных переменных.

Ответы на вопросы преподавателя:

1. По какому методу пересчитываются симплекс-таблицы?

Используется правило прямоугольника (метод жордановских преобразований).

2. Обязательно ли каждый раз выбирать максимальное значение из индексной строки?

Можно не выбирать, но это может привести к зацикливанию алгоритма.

3. В индексной строке в n-ом столбце нулевое значение. Что это означает?

Нулевые значения должны соответствовать переменным, вошедшим в базис. Если в индексной строке симплексной таблицы оптимального плана находится нуль, принадлежащий свободной переменной, не вошедшей в базис, а в столбце, содержащем этот нуль, имеется хотя бы один положительный элемент, то задача имеет множество оптимальных планов.

Свободную переменную, соответствующую указанному столбцу, можно внести в базис, выполнив соответствующие этапы алгоритма. В результате будет получен второй оптимальный план с другим набором базисных переменных.

Составим двойственную задачу к прямой задаче.

2y1 + 3y2 + 4y3?-3

y1 + 3y2 + y3?-4

2y1 + 4y2 + y3?-3

y1 + 2y2 + 3y3?-2

7y1 + 8y2 + 4y3 > min

y1 ? 0

y2 ? 0

y3 ? 0

Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.

Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.

Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1.

Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим:

Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных.

Тогда Y = C*A-1 =

Оптимальный план двойственной задачи равен:

y1 = -11/2

y2 = 0

y3 = 0

Z(Y) = 7*-11/2+8*0+4*0 = -101/2

Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно.

Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая теорема двойственности.

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:

2*1/6 + 1*0 + 2*31/3 + 1*0 = 7 = 7

3*1/6 + 3*0 + 4*31/3 + 2*0 = 135/6> 8

4*1/6 + 1*0 + 1*31/3 + 3*0 = 4 = 4

1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y1>0).

2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y2 = 0.

Неиспользованный экономический резерв ресурса 2 составляет 55/6 (8-135/6).

Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду).

3-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y3>0).

Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

Обоснование эффективности оптимального плана.

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:

2*-11/2 + 3*0 + 4*0 = -3 = -3

1*-11/2 + 3*0 + 1*0 = -11/2> -4

2*-11/2 + 4*0 + 1*0 = -3 = -3

1*-11/2 + 2*0 + 3*0 = -11/2> -2

Анализ устойчивости оптимального плана.

Проведем анализ устойчивости оптимального плана и оценим степень влияния изменения ресурсов на значение целевой функции.

Чувствительность решения к изменению коэффициентов целевой функции.

Так как любые изменения коэффициентов целевой функции оказывают влияние на оптимальность полученного ранее решения, то наша цель - найти такие диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции (рассматривая каждый из коэффициентов отдельно), при которых оптимальные значения переменных остаются неизменными.

Пусть каждое значение параметра целевой функции изменится на ? сi. Найдем интервалы, при которых будет экономически выгодно использование ресурсов.

Допустимые диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции определятся из соотношений:

1-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах:

?c-1 = min [yk/d1k] для d1k>0.

?c+1 = |max[yk/d1k]| для d1k<0.

Таким образом, 1-параметр может быть уменьшен на 3/4 или увеличен на 0

Интервал изменения равен:

(c1 - ?c1-; c1 + ?c1+)

[-3--3/4; -3+0] = [-9/4;-3]

Если значение c1 будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не изменится.

3-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах:

?c-3 = min [yk/d3k] для d3k>0.

?c+3 = |max[yk/d3k]| для d3k<0.

Таким образом, 3-параметр может быть уменьшен на 0 или увеличен на 1

Интервал изменения равен:

(c3 - ?c3-; c3 + ?c3+)

[-3-0; -3+1] = [-3;-2]

Если значение c3 будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не изменится.

Чувствительность решения к изменению запасов сырья.

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины bi приводит к увеличению или уменьшению f(X).

Оно определяется величиной yi в случае, когда при изменении величин bi значения переменных уi в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными.

Поэтому необходимо найти такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы.

Найдем интервалы устойчивости ресурсов.

1-ый запас может изменяться в пределах:

?b-1 = min[xk/dk1] для dk1>0.

?b+1 = |max[xk/dk1]| для dk1<0.

Таким образом, 1-ый запас может быть уменьшен на 1/12 или увеличен на 35/39

Интервал изменения равен:

(b1 - ?b-1; b1 + ?b+1)

[7-1/12; 7+35/39] = [83/12;308/39]

Нижняя граница для: ?b-2

?b-2 = min[xk/dk2] для dk2>0.

Таким образом, 2-ый запас может быть уменьшен на 35/18

2-ый вид ресурса в оптимальном плане недоиспользован, является недефицитным. Увеличение данного ресурса приведет лишь к росту его остатка. При этом структурных изменений в оптимальном плане не будет, так как двойственная оценка y2 = 0. Другими словами, верхняя граница b+2 = +?

Интервал изменения равен:

(b2 - ?b-2; +?)

[8-35/18; +?] = [109/18;+?]

Нижняя граница для: ?b-3

?b-3 = min[xk/dk3] для dk3>0.

Таким образом, 3-ый запас может быть уменьшен на 35/6

3-ый вид ресурса в оптимальном плане недоиспользован, является недефицитным. Увеличение данного ресурса приведет лишь к росту его остатка. При этом структурных изменений в оптимальном плане не будет, так как двойственная оценка y3 = 0. Другими словами, верхняя граница b+3 = +?

Интервал изменения равен:

(b3 - ?b-3; +?)

[4-35/6; +?] = [-11/6;+?]

В оптимальный план не вошла основная переменная x2, т.е. ее не выгодно использовать. Определим максимально возможное значение в рамках полученных двойственных оценок:

x2 может изменяться в пределах:

-5 ? ?b2 ? 1

[8-1; 8] = [7;8]

В оптимальный план не вошла основная переменная x3, т.е. ее не выгодно использовать. Определим максимально возможное значение в рамках полученных двойственных оценок:

x3 может изменяться в пределах:

0 ? ?b3 ? 10/3

[4-10/3; 4] = [2/3;4]

1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x1>0).

2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x2 = 0.

Поскольку теневая (альтернативная) цена больше рыночной цены этого продукта, то выгоднее продать ресурсы по рыночным ценам.

При этом разница между ценами (-11/2 - -4 = 21/2) показывает величину изменения целевой функции F(x) при введении дополнительной единицы xi.

3-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x3>0).

4-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 4-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x4 = 0.

Поскольку теневая (альтернативная) цена больше рыночной цены этого продукта, то выгоднее продать ресурсы по рыночным ценам.

При этом разница между ценами (-11/2 - -2 = 1/2) показывает величину изменения целевой функции F(x) при введении дополнительной единицы xi.

Влияние запасов ресурсов на оптимальное решение прямой задачи.

Величина двойственной оценки показывает, на сколько возрастает значение целевой функции F(x) при увеличении дефицитного ресурса на единицу.

Размещено на Allbest.ru