Компьютерная арифметика

Поэтому вторым действием будет корректировка (4.33):

. (4.34)

Сформулируем общее правило.

Чтобы определить цифру частного в некотором разряде, необходимо сдвинуть логически () влево на один разряд, а затем прибавить к нему код делителя, которому приписывается знак, противоположный знаку предыдущего остатка; если полученный () положительный, то в частном проставляется (1), если же отрицательный, - то (0).

Алгоритм №2. Деления целых двоичных чисел методом без восстановления остатка

1-2. Аналогично п.п. 1, 2 предыдущего.

3. Аналогично п. 4.

4. Из частичного остатка вычитается делитель, если остаток положительный, или к частичному остатку прибавляется делитель, если остаток отрицательный.

5. Частное сдвигается; в младший разряд заносится очередная цифра частного (1 -- при положительном остатке, 0 -- при отрицательном);

6. П.п. 3-5 последовательно выполняются для получения всех цифр частного, пока (Сч.Т) не станет равен (0).

7. Аналогично последнему пункту предыдущего алгоритма.

Реализация данного алгоритма не требует никаких дополнительных аппаратурных затрат. .

Например: необходимо разделить два беззнаковых числа (21:7=3).

Для удобства возьмем длину разрядной сетки равную четырем битам, а именно:

Х = 21 - делимое;

Y = 7 - делитель;

Z = 3 - частное.

Если (Z) и (Y) равняется четырем битам, то как было отмечено выше (X) должно быть восьмиразрядным значением, т.е длина разрядной сетки делимого в два раза больше делителя и частного.

Алгоритм деления приведен в табл. 4.4.

Таблица 4.4 - Алгоритм деление целых двоичных беззнаковых чисел методом без восстановлением остатка.

	Регистр (В) делимое X	Регистр (С) делитель Y	Регистр (А) частное Z	Счетчик тактов (Сч.Т)
	0	0	0	1	0	1	0	1	0	1	1	1	0	0	1	1	4
	1	0	0	1
	1	0	1	0	<0
	0	1	0	0	1	0	1
	0	1	1	1
	1	0	1	1	<0						3
	0	1	1	1	0	1
	0	1	1	1
	1	1	1	0	<0						2
	1	1	0	0	1
	0	1	1	1
1	0	0	1	1	>0						1
	0	1	1	1
	1	0	0	1
1	0	0	0	0	>0									0
						СТОП

Например: необходимо разделить два беззнаковых числа (21:7=3).

Для удобства возьмем длину разрядной сетки равную четырем битам, а именно:

Х = 20 - делимое;

Y = 7 - делитель;

Z = 2 - частное;

R = 6 - остаток.

Если (Z) и (Y) равняется четырем битам, то как было отмечено выше (X) должно быть восьмиразрядным значением, т.е длина разрядной сетки делимого в два раза больше делителя и частного.

Как было отмечено выше последний частичный остаток должен быть больше нуля.

Если последний частичный остаток меньше нуля, его необходимо восстанавливать путем прибавления к нему делителя.

Алгоритм деления приведен в табл. 4.5.

Таблица 4.5 - Алгоритм деление целых двоичных беззнаковых чисел методом без восстановлением остатка.

	Регистр (В) делимое X	Регистр (С) делитель Y	Регистр (А) частное Z	Счетчик тактов (Сч.Т)
	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	1	1	0	0	1	0	4
	1	0	0	1
	1	0	1	0	<0
	0	1	0	0	1	0	0
	0	1	1	1
	1	0	1	1	<0						3
	0	1	1	1	0	0
	0	1	1	1
	1	1	1	0	<0						2
	1	1	0	0	0
	0	1	1	1
1	0	0	1	1	>0						1
	0	1	1	0
	1	0	0	1
	1	1	1	1	<0									0
									СТОП
Счетчик тактов равняется нулю деление окончено, но последний частичный остаток получился равен меньше нуля, поэтому необходимо выполнить коррекцию, путем прибавления к последнему частичному остатку делитель.
	0	1	1	1	- коррекция
1	0	1	1	0	>0 - истинный остаток.

4.6 Умножение двоичных знаковых чисел в компьютерных системах

При выполнении операции умножения знаковых чисел исходные сомножители могут быть представлены в ПК, ОК или ДК:

. (4.35)

При данном способе умножения знаковые и числовые разряды обрабатываются отдельно. Для определения знака произведения осуществляют суммирование (по модулю 2) цифр, записанных в знаковых разрядах операндов. Модуль произведения получают, перемножая модули сомножителей в соответствии с одним из рассмотренных ранее алгоритмов:

. (4.36)

Определение знака произведения показано в табл. 4.5. Где (0) - обозначает (+), а (1) - обозначает (-).

Таблица 4.5 - Определение знака произведения

00=0
01=1
10=1
11=0

Однако в современных компьютерах операнды в памяти обычно хранятся в ДК, что продиктовано, в частности, удобством выполнения операции сложения (учитывая автоматическое формирование знака суммы). Для того, чтобы умножить два числа, представленных в ДК можно использовать следующий прием: перед выполнением операции умножения исходные числа преобразуют в ПК, затем их перемножают, а результат далее переводят в ДК.

Такой прием не является эффективным. Поэтому на практике чаще всего используют специальные алгоритмы умножения чисел в дополнительных кодах. Алгоритмы корректного умножения операндов в ДК можно разделить на две группы: - алгоритмы первой группы это алгоритмы с обработкой знаковых разрядов отдельно от числовых; - алгоритмы второй группы это алгоритмы с обработкой знаковых разрядов вместе с числовыми. Т.е., на сумматоре дополнительных кодов в процессе перемножения машинных изображений операндов получают одновременно знаковую и числовую части произведения.

Теорема: произведение дополнительных кодов сомножителей равно дополнительному коду результата только в случае положительных сомножителей. Если хотя бы один сомножитель отрицателен, то произведение чисел на сумматоре дополнительных кодов получается прибавлением поправки () к произведению дополнительных кодов сомножителей. Рассмотрим арифметическое обоснование алгоритмов первой группы при различных вариантах комбинаций знаков операндов. С этой целью у операндов отбрасывается знаковая цифра и выполняется умножение полученных псевдомодулей по одному из известных алгоритмов. Результат такого умножения назовем псевдопроизведением (). Обозначим вес знакового разряда сомножителей (). Тогда, в соответствии с рассмотренным ранее правилом формирования дополнительного кода, отрицательные сомножители будут представлены в ДК следующим образом:

. (4.37)

При удалении знакового разряда получаем псевдомодули:

. (4.38)

Всего возможны четыре варианта сочетания знаков сомножителей:

Случай №1. .

. (4.39)

В этом случае сразу получено истинное значение положительного произведения в ДК, которое не требует корректирования.

Случай №2.

.

(4.40)

Результат значительно отличается от модуля кода истинного произведения:

;

. (4.41)

Сомножитель представляет собой (s-1)-разрядный псевдомодуль числа (-X), представленного в ДК. Сомножитель эквивалентен сдвигу на (s-1) разряд влево. Сравнение (Z) и (Z') показывает, что результат умножения должен быть скорректирован посредством сложения (Z') с поправкой ().

Случай №3.

.

. (4.42)

. (4.43)

Случай №4.

.

. (4.44)

На практике используют упрощенную поправку , поскольку нескорректированный операнд (C) проявит себя в виде (1) в знаковом разряде. Это не имеет значения, поскольку знак (Z) был сформирован отдельно на начальном этапе. Подход к формированию алгоритма умножения состоит в следующем.

1. Получим псевдомодули операндов, отбросив старшие (знаковые) цифры: (0) - в положительном числе, (1) - в отрицательном.

2. Считая разрядную сетку наращиваемой, видим, что операнд в старших разрядах содержит незначащие цифры, тождественно равные знаковой.

3. В таком случае истинные операнды можем считать «удлиненными псевдомодулями», у которых самые левые цифры играют роль знаковых разрядов.

4. Выполняя их умножение по правилам, рассмотренным выше, получаем уже не модуль (Z'), а само псевдопроизведение с некоторыми псевдознаковыми цифрами в двух самых старших разрядах. Указанные цифры относятся к знаковым по расположению, но не имеют смысла таковых.

5. Возникает задача найти истинное значение знаковой цифры числа (Z).

Рассмотрим арифметическое обоснование алгоритмов второй группы при различных вариантах комбинаций знаков операндов, т.е. умножение чисел в ДК с обработкой знаковых разрядов вместе с числовыми в зависимости от сочетания знаков сомножителей. При этом используем предпосылки, приведенные в предыдущем доказательстве. Считаем, что вес знакового разряда равен (A). Тогда вес разряда, следующего за знаковым: .

Случай №1.

.

Перемножая машинные представления сомножителей в ДК, получим:

. (4.45)

Случай №2.

.

Учитывая, что разрядность произведения (и псевдопроизведения) составит (2s) - бит, вес разряда, следующего за знаковым разрядом произведения:

(4.46)

Тогда:

(4.47)

Перемножая ДК сомножителей, получим:

. (4.48)

Истинное значение произведения получается:

. (4.48)

. (4.49)

Случай №3.

.

Аналогично предыдущему можно показать, что данному варианту требуется коррекция:

. (4.50)

Случай №4.

.

. (4.51)

На практике используют упрощенную поправку:

. (4.52)

При умножении в ДК по любому из вариантов данной группы в процессе прибавления () к (Z') важно соблюдать соответствие весов разрядов псевдопроизведения и корректирующей поправки (с учетом наличия псевдознака). Старший разряд корректирующей поправки сформирует знаковую цифру. Из рассмотренных ранее вариантов умножения в соответствии с алгоритмами обеих групп, следует, что для коррекции результата умножения ДК операндов необходимо в каждом случае по комбинации знаков определять величину коррекции, а затем выполнять 1-2 шага суммирования. Однако этого можно избежать, если коррекцию совмещать с процессом суммирования частичных произведений. Рассмотренные алгоритмы являются базовыми и реализуют непосредственный способ введения поправок. Более широкое применение на практике получили алгоритмы с косвенным способом введения поправок.

Случай №1.

.

По примеру первой и второй групп результат является истинным произведением и корректировка не требуется. Т.е. сформированы истинные модуль и знак.

Случай №2.

.

При умножении младшими разрядами вперед получится известный для этого случая модуль псевдопроизведения. Если при умножении на знаковую цифру множителя не прибавлять последнее ЧП к их сумме, а вычесть его, тем самым, (Z') будет уменьшено на (). Кроме того, если для представления последнего ЧП воспользоваться ДК, то при его прибавлении не только будет откорректирована числовая часть произведения, но и сформируется правильный его знак. При этом, последний сдвиг ЧП должен быть арифметическим с учетом отрицательного знака ЧП.

Случай №3

.

Если сдвиг суммы ЧП вправо на (i) разрядов выполнять по правилам сдвига модифицированного ДК, а затем выполнять суммирование ЧП по правилам суммирования модифицированных ДК (с потерей переноса из знакового разряда), то будет получено правильное произведение исходных чисел в ДК, т.е. (). Т.о., коррекция не требуется.

Случай №4

.

Коррекция результата выполняется объединением двух предыдущих вариантов, т.е. при умножении на знаковый разряд множителя выполняют вычитание, а суммирование и сдвиг частичных произведений производят с использованием МДК. Таким образом при положительном множителе умножение в ДК можно выполнять по алгоритмам умножения в ПК, если только суммировать ЧП и сдвиг выполнять по правилам сложения и сдвига модифицированного ДК (перенос из ЗР будет игнорироваться). Существует еще один способ умножения знаковых чисел в ДК. Он заключается в том, что отрицательный множитель необходимо преобразовать в положительный. Это выполняется умножением на (-1) множимого и множителя. В итоге, в соответствии с выше приведенной теоремой, умножение выполняется по обычным правилам, а результат не нуждается в корректировке. Общий алгоритм умножения целых двоичных знаковых чисел, представленных в ДК заключается в следующем:

1. Исходное значение суммы ЧП принимается равным (0), (Сч.Т) присваивается значение, равное числу разрядов множителя.

2. Анализируется младшая разрядная цифра множителя. Если она равна (1), то к сумме ЧП прибавляется множимое; если (0) - прибавление не производится. Множимое при этом совмещается с суммой ЧП по старшим разрядам и представлено в исходном коде.

3. Производится арифметический сдвиг суммы ЧП вправо на (1) разряд с учетом флагов переноса (FC) и переполнения (FO). Содержимое (Сч.Т) уменьшается на (1).

4. пп.2-3 последовательно выполняются для всех цифровых разрядов множителя.

5. Если множитель -- положительное число, то полученный результат является истинным произведением (Z). Если множитель - отрицательное число, то к полученному результату (Z') прибавляется множимое с обратным знаком (дополнение), совмещенное по старшим разрядам. Полученная сумма представляет собой истинное произведение (Z). . Рассмотрим примеры вышеописанного алгоритма.

Пример №1. Необходимо перемножить два знаковых числа:

((+7)•(+3) = (+21)). Для удобства возьмем длину разрядной сетки равную четырем битам, а именно: Х = (+7) - множимое, Y = (+3) - множитель, Z = (+21) - произведение. Если (X) и (Y) равняется четырем битам, то как было отмечено выше (Z) должно быть восьмиразрядным значением, т.е длина разрядной сетки произведения в два раза больше множимого и множителя. Алгоритм умножения приведен в табл. 4.6.

Таблица 4.6 - Алгоритм умножения со сдвигом вправо двоичных знаковых чисел

Регистр (В) множимое X	Регистр (С) множитель Y	Регистр (А) произведение Z	Счетчик тактов (Сч.Т)	Комментарии
0	1	1	1	0	0	1	1	00000000	4
		0111		множимое
		01110000		1Я СЧП
		0	0	1	00111000	3	1ЫЙсдвиг СЧП
		0111		множимое
		10101000		2Я СЧП
			0	0	01010100	2	2 ОЙсдвиг СЧП
				0	00101010	1	3 ИЙсдвиг СЧП
					00010101	0	4ЫЙсдвиг СЧП и получили число - (+21)
		СТОП

Пример №2. Необходимо перемножить два знаковых числа:

((+7)•(-3) = (-21)).

Для удобства возьмем длину разрядной сетки равную четырем битам, а именно:

Х = (+7) - множимое;

Y = (-3) - множитель;

Z = (-21) - произведение.

Если (X) и (Y) равняется четырем битам, то как было отмечено выше (Z) должно быть восьмиразрядным значением.

То есть длина разрядной сетки произведения в два раза больше множимого и множителя.

Алгоритм умножения приведен в табл. 4.7.

Таблица 4.7 - Алгоритм умножения со сдвигом вправо двоичных знаковых чисел

Регистр (В) множимое X	Регистр (С) множитель Y	Регистр (А) произведение Z	Счетчик тактов (Сч.Т)	Комментарии
0	1	1	1	1	1	0	1	00000000	4
		0111		множимое
		01110000		1Я СЧП
		1	1	0	00111000	3	1ЫЙсдвиг СЧП
			1	1	00011100	2	2 ОЙсдвиг СЧП
		0111		множимое
		10001100		2Я СЧП
				1	01000110	1	3 ИЙсдвиг СЧП
		0111		множимое
		10110110		3Я СЧП
		01011011	0	4ЫЙсдвиг СЧП и (получили (Z'))
		1001		кор-ция на (ХД)
		11101011		число (-21)
		СТОП

Пример №3. Необходимо перемножить два знаковых числа:

((-7)•(+3) = (-21)).

Для удобства возьмем длину разрядной сетки равную четырем битам, а именно:

Х = (-7) - множимое;

Y = (+3) - множитель;

Z = (-21) - произведение.

Если (X) и (Y) равняется четырем битам, то как было отмечено выше (Z) должно быть восьмиразрядным значением.

То есть длина разрядной сетки произведения в два раза больше множимого и множителя.

Алгоритм умножения приведен в табл. 4.8.

Таблица 4.8 - Алгоритм умножения со сдвигом вправо двоичных знаковых чисел

Регистр (В) множимое X	Регистр (С) множитель Y	Регистр (А) произведение Z	Счетчик тактов (Сч.Т)	Комментарии
1	0	0	1	0	0	1	1	00000000	4
		1001		множимое
		10010000		1Я СЧП
		0	0	1	01001000	3	1ЫЙсдвиг СЧП
		1001		множимое
		11011000		2Я СЧП
			0	0	01101100	2	2 ОЙсдвиг СЧП
				0	00110110	1	3 ИЙсдвиг СЧП
		00011011	0	4ЫЙсдвиг СЧП и (получили (Z'))
		1101		кор-ция на (YД)
		11101011		число (-21)
		СТОП

Пример №4. Необходимо перемножить два знаковых числа:

((-7)•(-3) = (+21)).

Для удобства возьмем длину разрядной сетки равную четырем битам, а именно:

Х = (-7) - множимое;

Y = (-3) - множитель;

Z = (+21) - произведение.

Если (X) и (Y) равняется четырем битам, то как было отмечено выше (Z) должно быть восьмиразрядным значением.

То есть длина разрядной сетки произведения в два раза больше множимого и множителя. Алгоритм умножения приведен в табл. 4.9.

Таблица 4.9 - Алгоритм умножения со сдвигом вправо двоичных знаковых чисел

Регистр (В) множимое X	Регистр (С) множитель Y	Регистр (А) произведение Z	Счетчик тактов (Сч.Т)	Комментарии
1	0	0	1	1	1	0	1	00000000	4
		1001		множимое
		10010000		1Я СЧП
		1	1	0	01001000	3	1ЫЙсдвиг СЧП
			1	1	00100100		2 ОЙсдвиг СЧП
		1001		множимое
		10110100		2Я СЧП
				1	01011010	2	3 ИЙсдвиг СЧП
		1001		множимое
		11101010		3Я СЧП
		01110101	0	4ЫЙсдвиг СЧП и (получили (Z'))
		0111		кор-ция на (XД)
		11100101
		0011		кор-ция на (YД)
	1	00010101		число (+21)
		СТОП

4.7 Деление двоичных знаковых чисел в компьютерных системах

Так как данные в памяти компьютера хранятся в ДК, операцию деления целесообразно выполнять в ДК.

За основу можно принять базовый алгоритм деления (без восстановления остатка), т.к. он предполагает использование отрицательного делителя, дополнительного кода для вычитания и учет знаков остатка и делителя на каждом шаге деления.

Делимое участвует в операции только на первом шаге, а далее используются остатки, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому не имеет смысла рассматривать алгоритмы деления в ДК, где знаки операндов обрабатываются отдельно от их числовых частей.

Таким образом, при делении чисел в ДК трудности, связанные с коррекцией результата (как при умножении в дополнительном коде), практически отсутствуют.

Пусть:

- разрядность (2s), - .

- разрядность (s), - .

- разрядность (s), - .

- разрядность(s), - .

Для проверки на корректность операции деления используется условие:

. Таким образом, при пробном вычитании делитель должен быть сдвинут на (s-1) разряд влево. Однако чтобы обеспечить регулярность процесса деления, делитель сдвигается влево на s разрядов, а перед пробным вычитанием делимое сдвигается на один разряд влево.

В каждом цикле сдвинутый остаток складывается с делителем, которому приписывается знак, противоположный знаку частичного остатка.

Алгоритм деления знаковых чисел отличается от алгоритма деления беззнаковых чисел способом формирования разрядных цифр частного.

Очередная цифра определяется на основе анализа знаков частичного остатка и делителя. Если знак полученного остатка совпадает со знаком делителя, то цифра частного равна (1), если нет - (0). При этом частное формируется в прямом или обратном коде (в зависимости от соотношения знаков делимого и делителя). На этапе пробного вычитания автоматически формируется старшая цифра частного, которая представляет его знак. Если знак полученного частичного остатка совпадает со знаком делителя, участвующего в операции пробного вычитания, деление является корректным. В противном случае имеет место переполнение разрядной сетки компьютерной системы.

Алгоритм деления целых двоичных знаковых чисел заключается в следующем:

1. Частному присваивается значение (0); (Сч.Т) - (s). Исходное значение частичного остатка равно (s) старшим разрядам делимого.

2. Частичный остаток удваивается сдвигом влево на (1) разряд, с занесением в младший разряд очередной цифры делимого.

3. Если частичный остаток и делитель разного знака, то они складываются, если же одного знака, то из частичного остатка вычитается делитель.

4. Частное сдвигается влево на (1) разряд. В освобождающийся младший разряд заносится очередная цифра частного: (1) - если знак делителя и остатка совпадают, (0) - в противном случае (Сч.Т) уменьшается на (1).

5. Пункты 2-4 повторяются до тех пор, пока (Сч.Т) не станет равным (0).

6. Частное и остаток сформированы в обратном коде. Если знак окончательного остатка не совпадает со знаком делимого, то выполняется его восстановление. Для получения ДК результата выполняется его коррекция в зависимости от соотношения знаков делимого и делителя.

При делении в дополнительном коде возможные комбинации знаков операндов образуют следующий перечень.

Случай №1 X > 0; Y > 0. Деление в этом случае ничем не отличается от деления положительных операндов в прямом коде. Коррекция не требуется;

Случай №2 X > 0; Y < 0. Этот случай легко сводится к обычному делению в прямом коде, если считать, что в наличии имеется (-Y) и (+Y).

Однако для формирования правильного знака частного и обратного кода отрицательного результата необходимо псевдознаковую цифру и цифры частного получать равными цифрам знаковых разрядов соответствующих остатков. Переполнение разрядной сетки здесь фиксируется по (). В конце деления для образования дополнительного кода и округления частного следует прибавить единицу к младшему разряду: (Z=Z'+1);

Случай №3 X < 0; Y > 0. Из отрицательного делимого должен вычитаться положительный делитель, в отличие от деления без восстановления остатка в прямом коде, когда на первом шаге (Х>0, Y<0). Поэтому псевдознаковая цифра частного (), полученная по знаку нулевого остатка в соответствии с алгоритмом деления без восстановления остатка, здесь указывает на переполнение разрядной сетки. Если же переполнения разрядной сетки нет, эта цифра является правильной знаковой цифрой частного (то есть, ).

Знаки всех других остатков в этом случае определяют инверсные значения цифр частного.

В результате будет записан обратный код отрицательного частного.

Для округления и получения дополнительного кода результата необходимо добавить единицу в младший разряд, если полученный остаток не равен нулю: (Z=Z'+1).

Случай№4 X < 0; Y < 0.

На первом шаге алгоритма для формирования правильного знака частного (), необходимо из отрицательного делимого вычитать отрицательный делитель ( соответствует переполнению разрядной сетки). Далее же этот случай сводится к третьему.

Здесь все цифры частного, включая псевдознаковую, равны знакам остатков.

В случае, когда полученный остаток равен нулю, к частному следует прибавить единицу

(Z=Z'+1).

При использовании методов с восстановлением остатка и без восстановления остатка сдвиг влево может вызвать передачу значащей цифры из старшего разряда остатка в знаковый, и остаток будет искажен.

Поэтому надо оперировать двумя знаковыми разрядами.

Правильный знак при этом находится в дополнительном знаковом разряде, а единица в основном относится к разряду переполнения (в случае правильных дробей - к разряду целых).

Знак остатка от деления должен совпадать со знаком делимого.

Например: случай №1

X > 0; Y > 0; Z > 0.

Необходимо разделить два знаковых числа:

Х = +21 - делимое;

Y = +7 - делитель;

Z = +3 - частное.

((+21) : (+7) = (+3)).

Для удобства возьмем длину разрядной сетки равную четырем битам, а именно: если (Z) и (Y) равняется четырем битам, то как было отмечено выше (X) должно быть восьмиразрядным значением, т.е длина разрядной сетки делимого в два раза больше делителя и частного. На первом шаге разрядная сетка делителя увеличивается на один разряд путем арифметического сдвига вправо. Далее, когда знаки делимого и делителя совпадают, то на втором шаге производится вычитание, когда знаки делимого и делителя не совпадают, то на втором шаге производится сложение. Затем анализируются знаковые биты частичного остатка и делителя, если они разные, то в частное записывается (0), если одинаковые, то в частное записывается (1). Далее анализируются знаки частичного остатка и делителя, если они разные, то после сдвига влево производится сложение частичного остатка с делителем, если одинаковые, то производится вычитание из частичного остатка делителя (или сложение с дополнительным кодом делителя).

Алгоритм деления приведен в табл. 4.10.

Таблица 4.10 - Алгоритм деление целых двоичных знаковых чисел методом без восстановления остатка.

	Регистр (В) делимое X	Регистр (С) делитель Y	Регистр (А) частное Z	Счетчик тактов (Сч.Т)
	0	0	0	1	0	1	0	1	0	1	1	1	0	0	1	1	4
(-)	1	1	0	0	1				0	0	1	1	1
	1	1	0	1	1									3
	0	1	1	1	0	1
(+)	0	1	1	1
	1	1	1	0							2
	1	1	0	0	1
(+)	0	1	1	1
1	0	0	1	1							1
	0	1	1	1
(-)	1	0	0	1
1	0	0	0	0							0
						СТОП

Случай №2 X > 0; Y < 0; Z < 0.

Необходимо разделить два знаковых числа:

Х = +21 - делимое;

Y = -7 - делитель;

Z = -3 - частное.

((+21) : (-7) = (-3)).

В этом случае знаки делимого и делителя не совпадают, поэтому на втором шаге производится сложение делимого и отрицательного делителя, а также необходима коррекция частного, т.е. после получения частного к последнему биту частного необходимо прибавить (1).

Алгоритм деления приведен в табл. 4.11.

Таблица 4.11 - Алгоритм деление целых двоичных знаковых чисел методом без восстановления остатка.

	Регистр (В) делимое X	Регистр (С) делитель Y	Регистр (А) частное Z	Счетчик тактов (Сч.Т)
	0	0	0	1	0	1	0	1	1	0	0	1	1	1	0	0	4
(+)	1	1	0	0	1				1	1	0	0	1
	1	1	0	1	1									3
	0	1	1	1	0	1
(-)	0	1	1	1
	1	1	1	0							2
	1	1	0	0	1
(-)	0	1	1	1
1	0	0	1	1							1
	0	1	1	1
(+)	1	0	0	1
1	0	0	0	0							0
						СТОП
Счетчик тактов равняется (0), деление окончено, но как было сказано выше, в частном мы получили псевдо частное (Z' = 1100). Для получения истинного частного (Z), необходимо выполнить коррекцию, т.е. к (Z' +1) и тогда получаем истинное значение частного: Z = 1101.

Случай №3 X < 0; Y > 0; Z < 0.

Необходимо разделить два знаковых числа:

Х = -21 - делимое;

Y = +7 - делитель;

Z = -3 - частное.

((-21) : (+7) = (-3)).

В этом случае знаки делимого и делителя не совпадают, поэтому на втором шаге производится сложение отрицательного делимого и положительного делителя.

Если последний частичный остаток не равен (0), то необходима коррекция частного, т.е. после получения частного к последнему биту частного необходимо прибавить (1).

Алгоритм деления приведен в табл. 4.12.

Таблица 4.12 - Алгоритм деление целых двоичных знаковых чисел методом без восстановления остатка.

	Регистр (В) делимое X	Регистр (С) делитель Y	Регистр (А) частное Z	Счетчик тактов (Сч.Т)
	1	1	1	0	1	0	1	1	0	1	1	1	1	1	0	1	4
(+)	0	1	1	1	1				0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0									3
	1	0	0	0	1	1
(-)	1	0	0	1
1	0	0	0	1							2
	0	0	1	1	1
(-)	1	0	0	1
	1	1	0	0							1
	1	0	0	1
(+)	0	1	1	1
1	0	0	0	0							0
						СТОП
Счетчик тактов равняется (0), деление окончено и как было сказано выше, т.к. последний частичный остаток равен нулю, то мы сразу получили истинное значение частного Z = 1101 и корректировка не потребовалась.

Случай №4 X < 0; Y < 0; Z > 0.

Необходимо разделить два знаковых числа:

Х = -21 - делимое;

Y = -7 - делитель;

Z = +3 - частное.

((-21) : (-7) = (+3)).

В этом случае знаки делимого и делителя совпадают, поэтому на втором шаге производится вычитание, из отрицательного делимого вычитается отрицательный делитель ( или производится сложение с положительной записью делителя).

Если последний частичный остаток равен (0), то необходима коррекция частного, т.е. после получения частного к последнему биту частного необходимо прибавить (1).

Алгоритм деления приведен в табл. 4.13.

Таблица 4.13 - Алгоритм деление целых двоичных знаковых чисел методом без восстановления остатка.

	Регистр (В) делимое X	Регистр (С) делитель Y	Регистр (А) частное Z	Счетчик тактов (Сч.Т)
	1	1	1	0	1	0	1	1	1	0	0	1	0	0	1	0	4
(-)	0	0	1	1	1				1	1	0	0	1
1	0	0	1	0	0									3
	1	0	0	0	1	1
(+)	1	0	0	1
1	0	0	0	1							2
	0	0	1	1	1
(+)	1	0	0	1
	1	1	0	0							1
	1	0	0	1
(-)	0	1	1	1
1	0	0	0	0							0
						СТОП
Счетчик тактов равняется (0), деление окончено в частном мы получили псевдо частное (Z' = 0010) и как было сказано выше, если последний частичный остаток равен (0), то необходима коррекция частного, т.е. после получения частного к последнему биту частного необходимо прибавить (1) для получения истинного частного (Z), необходимо выполнить коррекцию, т.е. к (Z' +1) и тогда получаем истинное значение частного: Z = 0011.

5. Выполнение арифметических операций в компьютерных системах над числами с плавающей точкой

5.1 Особенности представления числовых данных с плавающей точкой

Каждой форме представления чисел (с фиксированной или плавающей точкой) свойственны свои преимущества и недостатки. Поэтому в современных компьютерных системах обычно имеется возможность использования любой из них. Компьютерные средства, в которых используется преимущественно представление чисел в форме с фиксированной точкой, представляют собой специализированные компьютерные системы для управления технологическими процессами, обработки статистической информации и результатов измерений, решения задач с большим числом логических операций и т.д. Представление же чисел в форме с плавающей точкой используется в компьютерных системах, которые служат для решения широкого круга задач научного и технического характера. Это обусловлено тем, что использование формы с плавающей точкой позволяет значительно расширить диапазон представимых чисел, по сравнению с фиксированной точкой, обеспечивая при этом высокую точность представления.

. (5.1)

где M -- мантисса;

P -- порядок.

При представлении чисел в форме с плавающей точкой мантисса может быть любым знаковым числом: целым, правильной дробью, смешанным числом. Однако условие нормализации предполагает представление мантиссы в виде правильной дроби:

. (5.2)

где M -- мантисса.

Знак мантиссы определяет знак всего числа.

Порядок определяет фактическое положение запятой вместо положения, которое она занимает в изображении мантиссы, и может быть положительным или отрицательным, но обязательно целым числом. Понятие «ПЗ» можно рассматривать как перемещение запятой в изображении числа влево, если Р<0, или вправо, если P>0. Для обозначения чисел с плавающей точкой используют форму вида:

. (5.3)

где М - мантисса числа;

Е - разделитель мантиссы и порядка;

Р - порядок числа.

Вместо E могут использоваться другие символы, например, D (double -- двойная точность), когда для мантиссы отводится большее количество разрядов. Если для записи порядка используется (Р) разрядов, а для записи мантиссы (М) разрядов, то в форме с плавающей точкой может быть представлено следующее максимальное (по абсолютной величине) число:

(5.4)

В свою очередь, минимальное по абсолютной величине, но не равное нулю, число в форме с плавающей точкой может быть представлено в виде:

(5.5)

При получении последней оценки полагаем, что минимальное значение мантиссы равно (2^-1) из-за условия нормализации. Подобные рассуждения применимы и для определения максимального и минимального отрицательных чисел, поскольку они представляются в компьютерных системах. В компьютерных системах, где используется представление чисел в форме с плавающей точкой, арифметические операции выполняются как над мантиссами операндов, так и над их порядками. При этом часто необходимо выполнять операцию нормализации чисел. Поэтому процессоры с плавающей точкой являются более сложными и менее быстродействующими, чем процессоры с фиксированной точкой (естественно, при сравнимом быстродействии электронных компонентов этих процессоров). Вместе с тем, в компьютерных системах с фиксированной точкой возникают определенные трудности из-за необходимости масштабирования данных. Кроме того, здесь значительно уже диапазон представимых чисел. В этом легко убедиться, сравнивания отношения для различных форм представления числовых данных:

(5.6)

Для чисел с плавающей точкой:

(5.7)

Из рассмотренного следует, что диапазон представления чисел в форме с плавающей точкой зависит от разрядности порядка. Увеличение разрядности порядка на (1) значительно расширяет диапазон (таблица 5.1).

Таблица 5.1- Зависимость диапазона представимых чисел от разрядности порядка

P
6
7
8

Хотя диапазон представления чисел в форме с плавающей точкой во много раз шире диапазона представления чисел с фиксированной точкой, тем не менее в процессе вычислений могут возникать ситуации, когда результат вычислений выходит за пределы диапазона.

5.2 Форматы двоичных числовых данных с плавающей точкой

Формат данных с плавающей точкой, использовавшийся в компьютерных системах первых поколений, включал четыре поля, а именно: указанные ранее поля для мантиссы и ее знака (длиной (m+1) разряд), а также два дополнительных поля для порядка и его знака (длиной (p+1) разряд).

Рисунок 5.1 -- Классический формат данных с плавающей точкой

В отличие от рассмотренного выше классического формата, в современных компьютерных системах используют смещенный порядок, т.е. порядок, представленный в смещенном коде.

Смещенный порядок (Е_х) представляет собой целое беззнаковое число, равное истинному порядку, увеличенному на некоторое значение смещения.

Такой прием устраняет необходимость использования знака порядка, давая возможность манипулировать порядками как целыми беззнаковыми числами.

. (5.8)

где -- некоторая константа (смещение).

Если Р_х > Р_y, то E_x > E_y. Если (D = 2^p-1), то такой смещенный код называют кодом с положительным нулем. Для перехода от смещенного кода к дополнительному достаточно проинвертировать знаковый бит.

Широко применяются смещенные коды с отрицательным нулем, когда

(D = 2^p-1 - 1). При сложении и вычитании смещенных порядков результирующий порядок также должен быть смещенным.

При использовании смещенных кодов с отрицательным нулем сложение порядков выполняется в соответствии с правилом:

, (5.9)

где Е'_y - смещенный порядок с инвертированным старшим разрядом.

В этом случае может возникать как положительное, так и отрицательное переполнение. Если во втором слагаемом старший разряд (1) был инвертирован в (0), а при сложении возник перенос (CY=1), то имеет место переполнение порядка. Результат оказывается за пределами представления. Признаком получения отрицательного переполнения (антипереполнение) является отсутствие переноса (CY=0) из старшего разряда суммы при условии, что во втором слагаемом старший разряд из (0) был инвертирован в (1).

При вычитании смещенных порядков для получения смещенного порядка разности необходимо выполнить следующее действие:

, (5.10)

где Е'_y - инверсное значение смещенного порядка с инвертированным старшим разрядом.

5.3 Стандарт IEEE-754

К настоящему времени разработаны многочисленные варианты форматов чисел с плавающей точкой и практической реализации арифметических устройств с плавающей точкой. Это, в свою очередь, создает трудности при написании переносимых программ, согласовании правил обработки числовых данных и т.д.

Поэтому был разработан международный стандарт IEEE-754, нормам которого должны удовлетворять практически все вновь разрабатываемые компьютерные системы. Указанный стандарт решает следующие задачи:

- упорядочивает форматы чисел с плавающей точкой;

- унифицирует реакции на особые случаи в процессе обработки;

- определяет требования к точности вычислений.

В соответствии со стандартом IEEE-754 определены два базовых и два расширенных формата. Во всех форматах используется смещенный код порядка. Мантисса имеет старший разряд (m₀) с весом (2⁰), относящийся к целой части. Поэтому условие нормализации изменяется:

. (5.11)

Базовый одинарный формат - (БОФ) имеет длину в 32 разряда. Поле порядка в этом формате содержит 8 разрядов, а смещение равно 127.

Максимальный положительный порядок числа здесь равен +127, минимальный отрицательный -128.

Базовый двойной формат - (БДФ) имеет одноразрядное знаковое поле, 11-разрядное поле смещенного порядка и 52-разрядное поле мантиссы.

Смещение здесь равно 1023. Особенность двух указанных форматов заключается в том, что минимальный и максимальный смещенные порядки зарезервированы для представления специальных чисел. Поля мантисс в явном виде не содержат разряда (m₀), так как в памяти должны храниться нормализованные мантиссы чисел, а значит, их старший разряд всегда равен (1). При передаче числа из памяти в процессор этот «неявный» разряд становится «явным», и в операциях участвует 24-разрядная (БОФ) или 56-разрядная (БДФ) мантисса.

Расширенный одинарный формат - (РОФ) не имеет жестко фиксированных параметров, однако для конкретных реализаций он устанавливается, исходя из следующих требований:

- наличие одноразрядного знакового поля;

- наличие явного или скрытого разряда в мантиссе;

- длина мантиссы не менее 31 разряда;

- диапазон значений порядка -- -1023... +1024.

Расширенный двойной формат - (РДФ) отличается от одинарного тем, что диапазон порядка составляет -16383...+16384, а поле мантиссы - не менее 63 разрядов. В качестве примера практической реализации форматов стандарта IEEE-754 можно рассмотреть представление числовых данных с плавающей точкой в компьютерных системах. Здесь используются данные трех типов (таблица 5.2):

- вещественные числа одинарной точности (single real), соответствующие БОФ;

- вещественные числа двойной точности (double real), соответствующие БДФ;

- вещественные числа расширенной точности (extended real) или временные вещественные числа, соответствующие РДФ.

Временные вещественные числа имеют в своем представлении явный бит (m₀). В памяти компьютера числа хранятся чаще всего в форматах БОФ или БДФ, а их обработка выполняется в РДФ.

Следует отметить, что целые числа в диапазоне (2^-64….2⁺⁶⁴ ) представляются абсолютно точно в РДФ.

Таблица 5.2 - Зависимость диапазона представимых чисел от базовых форматов

Тип	Длина	Точность	Диапазон (дв.)	Диапазон (дес.)
БОФ	32	24
БДФ	64	53
РДФ	80	64

Если в процессе вычислений результат выходит за пределы представимых чисел, то имеет место особый случай:

- нарушение нормализации;

- если результат превышает |X_max|, то такой случай называют переполнением или переполнением порядка, и вычисления при этом останавливают (прерывание);

- если результат меньше |X_min|, имеет место антипереполнение или исчезновение порядка, что обычно воспринимается как нулевой результат (машинный 0);

- в результате выполнения сложения-вычитания мантисса может оказаться равной (0) при ненулевом порядке. Это ситуация потери значимости (псевдонуль). Результат интерпретируется как машинный (0).

5.4 Принципы выполнения арифметических операций над числами в форме с плавающей точкой

Пусть требуется выполнить некоторую арифметическую операцию над операндами X и Y в форме с плавающей точкой:

. (5.12)

. (5.13)

Результатом операции будет число:

. (5.14)

Порядки чисел X и Y представлены p разрядами, а мантиссы - (m-разрядные) правильные дроби, то есть,

, . (5.15)

5.5 Сложение и вычитание чисел в форме с плавающей точкой

Представим операцию сложения в виде:

Z = X + Y. (5.16)

Пусть Р_х > P_y, тогда:

. (5.17)

где

.

. (5.18)

где

; .

Операция сложения и вычитания операндов в форме с плавающей точкой включает следующие этапы:

- выравнивание порядков операндов и определение порядка результата;

- сложение и вычитание мантисс;

- нормализация результата;

- округление результата.

Выравнивание порядков необходимо для того, чтобы цифры мантисс с определенными весами располагались в соответствующих им разрядах регистров. Выполняется такая операция путем сдвига вправо мантиссы того операнда, порядок которого меньше. (Не выравнивать в сторону меньшего порядка! -- теряем значащие цифры). Алгоритм выравнивания порядков сводится к следующему:

- сформировать разность порядков

.

- если >0, то сдвинуть на один разряд вправо мантиссу (Y) и вычесть единицу из разности порядков( ); если <0, то сдвинуть на один разряд вправо мантиссу (X) и прибавить единицу к разности порядков ();

- пункт 2 алгоритма повторять до тех пор, пока выполняется неравенство ?0; при =0 выравнивание порядков считают законченным.

Так как порядки операндов могут иметь разные знаки, то для представления их разности () может понадобиться (p+1) разряд. Абсолютная величина () может превышать число разрядов (m), отводимых для представления мантисс. В этом случае все разряды сдвигаемой вправо мантиссы выходят за пределы разрядной сетки и далее, при сложении и вычитании мантисс, абсолютная величина мантиссы, которая оставалась неподвижной, не меняется. Следовательно, при выполнении условия ||>m можно прекратить выравнивание порядков и присвоить окончательному результату значение операнда, мантисса которого не сдвигалась.

Определять порядок результата удобно вместе с выравниванием порядков операндов. Порядок результата равен порядку большего по абсолютной величине операнда (то есть, того, мантисса которого не сдвигалась при выравнивании порядков).

Сложение и вычитание мантисс, для представления которых обычно используется прямой код, выполняется по тем же алгоритмам, что и чисел в форме с фиксированной точкой. Однако переполнение разрядной сетки здесь не приводит к остановке вычислений, что, как правило, имеет место при выполнении операций над числами в форме с фиксированной точкой. Наличие переполнения учитывается далее при нормализации результата.

Поскольку при выравнивании порядков возможна потеря части разрядов мантиссы одного из операндов, то мантисса результата может быть получена с погрешностью, по абсолютной величине почти равной единице младшего разряда. Однако среднее значение погрешности при этом равно нулю, если считать, что знаки «+» и «-» операндов и заданных операций появляются с равными вероятностями. С целью уменьшения максимальной абсолютной величины этой погрешности может быть введена операция округления мантиссы результата.

Необходимость нормализации результата обусловлена тем, что при мантиссах операндов, удовлетворяющих условиям нормализации, в зависимости от знака операции, мантисса результата может находиться в пределах 0?|z|<2.

Таким образом, при сложении и вычитании мантисс может произойти нарушение нормализации мантиссы результата на один разряд влево или на произвольное число разрядов вправо. Нормализация результата выполняется следующим образом:

- если 1?|z|<2 (нормализация нарушена влево), то сдвинуть мантиссу результата на один разряд вправо и прибавить единицу к порядку результата.

При этом может возникнуть переполнение порядков.

- при сложении мантисс близких по модулю друг к другу, но имеющих разные знаки может возникнуть нарушение нормализации вправо на любое число разрядов (вплоть до получения нулевой мантиссы).

Если 0<|z|<1/2, то сдвинуть мантиссу влево и вычесть единицу из порядка результата. Эти действия продолжать до тех пор, пока сохраняются условия указанного выше неравенства (если мантисса результата представлена прямым кодом, то до тех пор, пока в старшем разряде мантиссы в результате сдвига появится единица). В этом случае может возникнуть антипереполнение.

Если |z|=0, то результату присваивается машинный нуль (потеря значимости), а выполнять нормализацию нет необходимости.

При использовании модифицированного дополнительного кода для вычитания левое нарушение нормализации обнаруживается так же, как и в предыдущем случае, а правое нарушение -- по комбинациям 00,0... и 11,11...

5.6 Умножение и деление чисел в форме с плавающей точкой

Представим операцию умножения в виде:

Z = X · Y. (5.19)

тогда:

. (5.20)

где:

; .

Знак произведения определяют путем суммирования по модулю 2 цифр в знаковых разрядах сомножителей: .

При умножении чисел в форме с плавающей запятой порядок результата определяется путем сложения порядков сомножителей. Для определения мантиссы результата производят умножение мантисс операндов как чисел с фиксированной точкой по любому из рассмотренных алгоритмов. Мантисса произведения может оказаться ненормализованной, причем возможно только правое нарушение нормализации на один разряд. В этом случае мантиссу надо удвоить, сдвинув ее на один разряд влево, а из порядка произведения вычесть единицу.

Представим операцию деления в виде:

Z = X/Y. (5.21)

Следует помнить, что при делении чисел с плавающей точкой остатка не бывает:

(5.22)

где:

; .

Знак частного обычно определяют путем суммирования по (модулю 2) цифр в знаковых разрядах делимого и делителя. При делении чисел в форме с плавающей точкой порядок частного находят как разность порядков операндов (из порядка делимого вычитается порядок делителя). Мантиссу частного получают в результате деления абсолютных величин мантисс операндов. При делении нормализованных мантисс, как правильных дробей, может иметь место нарушение нормализации влево на один разряд.

Таким образом, при умножении и делении чисел в форме с плавающей точкой над порядками выполняются только операции сложения и вычитания.

Для этого удобно использовать дополнительные коды. В процессе выполнения операций над порядками возможно как переполнение порядков, так и антипереполнение.

Общий алгоритм выполнения операций умножения и деления:

- определение знака результата;

- сложение и вычитание порядков;

- умножение и деление мантисс;

- нормализация результата;

- округление результата.

Как отмечалось ранее, необходимость округления результата вызвана тем, что при нормализации результата может выполняться правый сдвиг мантиссы результата и младший ее разряд при этом выходит за пределы разрядной сетки. Если считать, что результат представлен прямым кодом, то отбрасывание этого разряда вносит в абсолютную величину результата либо нулевую погрешность (если отбрасывается цифра 0), либо погрешность, равную 1/2 веса младшего разряда (если отбрасывается цифра 1). Для того, чтобы погрешность по абсолютной величине результата была знакопеременной и ее среднее значение в достаточно большой последовательности операций было равно нулю, округление следует производить следующим образом. Если за пределы разрядной сетки сдвигается цифра (1), то младший разряд мантиссы результата устанавливают в единицу независимо от того, какая цифра была в этом разряде ранее. В другом случае значение младшего разряда не меняют.

Пусть( х_m) - младшая цифра мантиссы результата до округления, (х'_m) - та же цифра после округления, (x_m+1) - цифра мантиссы, выходящая за пределы разрядной сетки при округлении, () - погрешность округления. Тогда все возможные ситуации при округлении иллюстрируются табл. 11.4, из которой видно, что при таком округлении погрешность абсолютной величины мантиссы результата будет равна 0 или ±1/2 веса младшего разряда, а ее среднее значение равно нулю.

Таблица 5.3 - Результаты округления мантиссы результата

xm	xm+1	x'm
0	0	0	0
0	1	1	+(1/2)2-m
1	0	1	0
1	1	1	-(1/2)2-m

5.7 Алгоритмы выполнения операций над числами в форме с плавающей точкой, в представлении IEEE-754

Вещественное число может быть представлено в каком-либо формате стандарта IEEE-754 следующим образом:

. (5.23)

С учетом условия нормализации (), минимальные и максимальные абсолютные значения мантисс:

. (5.24)

. (5.25)

Сложение, вычитание, умножение и деление вещественных чисел в формате IEEE-754 осуществляется в соответствии с рассмотренными ранее алгоритмами. Поскольку в форматах хранятся не истинные значения порядков, а смещенные коды порядков, имеют место некоторые особенности, связанные с выполнением операций над смещенными порядками. Кроме того, должен учитываться факт наличия бита () мантиссы.

При сложение и вычитании сравнение смещенных порядков осуществляется путем вычитания смещенных кодов как целых беззнаковых чисел. Сложение мантисс выполняется по правилам сложения целых знаковых чисел. Если получен отрицательный результат, то он представлен в дополнительном коде и его необходимо преобразовать в прямой код.

При умножении смещенный порядок произведения определяется в соответствии с рассмотренными выше правилами. Мантисса произведения может иметь нарушение нормализации.

Проанализируем различные ситуации:

1. .

Нет нарушения нормализации.

2.

Нет нарушения нормализации.

3. .

Здесь имеет место нарушение нормализации влево на 1 разряд.

При делении смещенный порядок частного определяется в соответствии с рассмотренными выше правилами. Мантисса частного может иметь нарушение нормализации. Проанализируем различные ситуации:

1. .

Нет нарушения нормализации.

2. ; 0,5<Z<1

Нарушение нормализации вправо на 1 разряд.

3. ; 1<Z<2

Нет нарушения нормализации.

4. .

Нет нарушения нормализации.

6. Представление числовых данных в коде BCD

Наиболее широкое применение в компьютерной технике получили двоично-десятичные системы счисления, в которых десятичные цифры записываются как четырехразрядные двоичные числа - двоичные тетрады.

Такое представление десятичных цифр называют также безизбыточным, поскольку для него необходимо минимальное количество двоичных разрядов.

Ограниченное применение находят и избыточные представления десятичных цифр с помощью пяти, шести и семи двоичных разрядов. В принципе, можно построить компьютерную систему, работающую при любом двоично-десятичном кодировании. Наличие разрешенных и запрещенных комбинаций является важным свойством BCD - кодов. В этом их отличие от обычных позиционных систем счисления.

Однако эмпирическим путем установлено, что для создания десятичных вычислительных средств наиболее целесообразно использовать двоично-десятичные коды (BCD или ДДК), обладающие свойствами взвешенности, упорядоченности, четности, дополнительности и единственности (так называемыми свойствами Рутисхаузера).

ДДК называется взвешенным, если каждому из (h) разрядов двоичного представления (a_ha_h-1...a₁) десятичной цифры (А) поставлены в соответствие веса - ( _h, _h-1,…,₁ ) причем:

A=a_hh+a_h-1h-1+...+a₁₁. (6.1)

где: А - десятичная цифра;

(a_ha_h-1...a₁) - ) разряды двоичного представления;

( _h, _h-1,…,₁ ) - веса.