Реальные системы не бывают непрерывными или дискретными. Просто для одних систем удобнее применять непрерывные модели, для других - дискретные.

Представления о дискретности и непрерывности выработаны в рамках математики. Значит, когда мы говорим, что некоторая модель является дискретной, то тем самым уже имеем в виду не реальную систему, существующую в физическом мире, а некую математическую модель. Но в то же время любой физический объект или процесс мы можем описывать и моделировать как непрерывный или как дискретный. И какой вариант мы бы ни избрали, мы можем достичь любой точности описания

Например, речь человека можно описать в виде текста, то есть дискретной моделью. Можно записать речь как непрерывную звуковую волну, то есть как непрерывную функцию времени. Затем можно эту же звуковую волну оцифровать, то есть вновь представить дискретной моделью, и такая модель будет не менее точной, чем непрерывная.

Рассмотрим теперь, как соотносятся модели математические и компьютерные.

При моделировании реальных систем мы вначале составляем некоторое представление о реальной системе, достаточно точное. Это значит, что мы формируем математическую модель системы. Затем эту математическую модель мы превращаем в модель компьютерную. Следовательно, математические представления играют при моделировании роль своеобразного связующего звена между компьютерными моделями и реальными системами.

Но мы должны понимать, что объекты, реализованные в компьютерной программе, только лишь похожи на соответствующие математические объекты, но не идентичны им. Например, прямая линия на экране дисплея не есть то же самое, что прямая линия в математике. В математике прямая не имеет толщины. А на экране компьютера прямая не может не иметь определенную толщину, иначе она не была бы видна.

Это обычная компьютерная практика - моделировать математические объекты с известными свойствами посредством физических (компьютерных) объектов, которые сами этими свойствами не обладают. При этом, хотя точность моделирования математических объектов компьютерными может быть очень высокой, это все-таки не избавляет нас от необходимости понимания замаскированных различий между исходными математическими объектами и их компьютерными образами.

Язык (система) имитационного моделирования дискретных систем GPSS позволяет автоматизировать при моделировании систем процесс программирования моделей. В настоящее время он является одним из наиболее эффективных и распространенных программных средств моделирования сложных дискретных систем на ЭВМ и успешно используется для моделирования систем, формализуемых в виде схем массового обслуживания, с помощью которых описываются многие объекты.

С помощью языка имитационного моделирования GPSS очень удобно моделировать работу систем массового обслуживания (парикмахерская, заводской цех и др.).

Язык GPSS построен в предположении, что моделью сложной дискретной системы является описание ее элементов и логических правил их взаимодействия в процессе функционирования моделируемой системы.

Рассмотрим такую задачу: В парикмахерскую с одним парикмахером приходят клиенты через 20 ± 10 минут друг за другом. Время стрижки одного клиента составляет 19 ± 5 мин. Требуется определить среднюю длину очереди клиентов и среднее время ожидания клиентами начала обслуживания.

В соответствии со схематическим изображением парикмахерской ее модель на языке GPSS может быть написана следующим образом:

10 GENERATE 20,10

20 SEIZE 1

30 ADVANCE 19,5

40 RELEASE 1

50 TERMINATE

Здесь левая колонка - это номера строк модели: произвольные положительные числа в порядке возрастания. Строки нумеруются не: 1, 2, 3 и т.д. Удобнее всего нумеровать их так, как показано: 10, 20, 30 и т.д. Это позволяет легко вставлять новую строку между любыми двумя уже введенными строками и присваивать ей номер, например 15, 25, 26 и т.п. В системе GPSS World можно не нумеровать строки.

Следующие две колонки - названия операторов и поле переменных. Рассмотрим, какие же операторы входят в модель, и для чего они предназначены.

Блок GENERATE порождает транзакты (клиентов) через каждые 20 ± 10 единиц времени (в данном примере считаем единицу времени минутой). Число 20 в первом операнде (в поле A) указывает интервал модельного времени, через который генерируются транзакты. В поле B записано число 10, которое задает временные границы интервала, т.е. время прихода очередного клиента получается как случайное число в промежутке от 20 - 10 = 10 до 20 + 10 = 30.

Таким образом, первый блок модели выдает через случайные интервалы времени транзакты, которые изображают приходящих в парикмахерскую клиентов.

Блок SEIZE 1, в который поступают транзакты из блока GENERATE, выполняет операцию занятия транзактами устройства номер 1.

В нашей модели устройство соответствует креслу парикмахера или самому парикмахеру. Транзакты, появляющиеся в блоке GENERATE в моменты, когда устройство занято, остаются в этом блоке в очереди к устройству.

Блок ADVANCE 19, 5 задерживает транзакт, который занял устройство, на 19 ± 5 единиц времени, моделируя тем самым задержку клиента на время его обслуживания.

По истечении этого времени транзакт переходит в блок RELEASE 1, в котором выполняется освобождение устройства номер 1, и далее поступает в блок TERMINATE, в котором транзакты уничтожаются. Конечно, это не означает, что клиенты после стрижки тоже уничтожаются, просто клиент уходит из системы, значит, транзакт, моделирующий его, больше нам не нужен. Мы уничтожаем транзакт, чтобы не нужно было описывать его дальнейшее движение и чтобы освободить занимаемую им память компьютера.

В тот момент, когда один транзакт освобождает устройство, другой транзакт, стоящий в очереди, занимает это устройство. Оба действия выполняются в один и тот же момент модельного времени. Когда один транзакт находится в блоке ADVANCE, другие транзакты время от времени появляются в блоке GENERATE и становятся в очередь к устройству. Следовательно, в модели одновременно в разных ее местах движутся несколько транзактов, выполняя те или иные операции, и могут влиять друг на друга и на другие объекты модели.

Здесь мы наблюдаем, параллельное выполнение нескольких процессов в одной программе, в которой и заключается существенное отличие языка GPSS от обычных алгоритмических языков, языков программирования. Это отличие делает язык имитационного моделирования GPSS мощным средством описания реальных систем, так как в реальных системах разные процессы в разных частях системы развиваются одновременно и при этом взаимодействуют между собой.

Но нам нужно не просто составить программу, моделирующую работу парикмахерской. Необходимо еще, чтобы при выполнении модели GPSS собирал статистику об очереди транзактов (клиентов). Для этого нужно включить в модель еще два блока - QUEUE (точка входа в очередь) и DEPART (точка выхода). Мы можем расставлять эти точки в своих моделях в принципе произвольным образом. Это зависит от того, о каком участке системы нам нужна статистика по движению через него потока транзактов.

В данной модели парикмахерской эти точки следует выбирать так:

10 GENERATE 20,10

15 QUEUE 1; точка входа в очередь номер 1

20 SEIZE 1

25 DEPART 1; точка выхода из очереди номер 1

30 ADVANCE 19,5

40 RELEASE 1

50 TERMINATE

При такой расстановке блоков QUEUE и DEPART получается, что транзакт входит в очередь в момент появления его в системе, а выходит из очереди в момент, когда ему удалось занять устройство, то есть пройти блок SEIZE. Следовательно, очередь 1 будет собирать статистику именно об очереди клиентов к парикмахеру, как она изображена на нашей схеме. И в результате выполнения модели мы узнаем ответ на вопрос, поставленный в задаче: найти среднюю длину очереди клиентов и среднее время ожидания клиентами начала обслуживания.

Но можно расставить блоки QUEUE и DEPART иначе:

10 GENERATE 20,10

15 QUEUE 1; точка входа в очередь номер 1

20 SEIZE 1

30 ADVANCE 19,5

40 RELEASE 1

45 DEPART 1; точка выхода из очереди номер 1

50 TERMINATE

В этом случае статистика по очереди номер 1 будет соответствовать числу всех клиентов в парикмахерской вообще, включая клиента, обслуживаемого парикмахером. Таким образом, очереди, по которым мы можем собирать статистику, не обязательно должны совпадать с теми очередями, которые создаются транзактами, ожидающими освобождения устройств и памятей.

Ввести модель необходимо следующим образом.

1. Запустить GPSS.

2. Ввести текст программы File ® New ® Model

10 GENERATE 20,10

15 QUEUE 1; точка входа в очередь номер 1

20 SEIZE 1

25 DEPART 1; точка выхода из очереди номер 1

30 ADVANCE 19,5

40 RELEASE 1

50 TERMINATE

100 GENERATE 480; один день - 480 минут

110 TERMINATE 1

3. Проверить программу на ошибки, создать симуляцию Command ® Create Simulation.

4. Запустить программу, моделировать один раз Command ® Start

5. Проанализировать отчет.

START TIME END TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES

0.000 480.000 9 1 0

LABEL LOC BLOCK TYPE ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY

1 GENERATE 25 0 0

2 QUEUE 25 3 0

3 SEIZE 22 0 0

4 DEPART 22 0 0

5 ADVANCE 22 1 0

6 RELEASE 21 0 0

7 TERMINATE 21 0 0

8 GENERATE 1 0 0

9 TERMINATE 1 0 0

FACILITY ENTRIES UTIL. AVE. TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY

1 22 0.894 19.505 1 23 0 0 0 3

QUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY (0) AVE. CONT. AVE. TIME AVE. (-0) RETRY

1 3 3 25 6 0.505 9.694 12.755 0

В колонке CURRENT_COUNT (счетчик текущих) показано число транзактов, задержанных в каждом блоке в момент останова модели.

Статистика по очередям содержит таблицу, в которой по каждой очереди в модели приводятся следующие основные данные.

В колонке QUEUE (очередь) содержится номер или имя очереди.

В колонке MAX (максимум) - максимальная длина очереди, которая достигалась за все время моделирования. В нашей модели длина очереди максимальная длина равна 3.

В колонке CONT (содержимое) приводится текущая длина очереди в момент останова модели.

Колонка ENTRIES (входы) содержит число транзактов, вошедших в очередь. Видно, что это число совпадает с числом транзактов, вошедших в блок QUEUE, показанное в трассировке.

Колонка ENTRIES (0) содержит число транзактов, прошедших очередь без задержки (с нулевой задержкой). Таим образом, 6 клиентов в момент прихода в парикмахерскую заставали свободного парикмахера, в очереди не стояли. Получается, что таких "везучих" клиентов было 6/25=0,24 или 24%.

В колонке AVE. CONT (среднее содержимое) выводится средняя длина очереди.

Столбец с заголовком AVE. TIME содержит среднее время прохождения транзакта через очередь. Соседний столбец AVE. (-0) - такое же среднее время, но рассчитанное только для тех транзактов, которые прошли очередь за ненулевое время, то есть которые фактически задерживались в очереди.

Мы можем теперь ответить на вопрос, поставленный в задаче моделирования, следующим образом: при заданных параметрах парикмахерской средняя длина очереди клиентов к парикмахерам составляет 0,505 клиента, среднее время ожидания начала обслуживания равно 9,69 минуты.

Статистика по устройствам (FACILITY). Требует пояснения UTIL - коэффициент использования устройства. В нашем случае коэффициент использования равен 89,4% - высокий темп.

1.3 Перечень задач исследования операций

Исследование операций, как наука, предназначенная для количественного обоснования принимаемых решений, имеет определенный инструментарий для описания реальных ситуаций и построения адекватных моделей.

Примерный перечень задач, которые решаются методами исследования операций /1/:

задачи оптимального распределения ресурсов

задачи оптимальной загрузки взаимозаменяемого оборудования

задачи выбора маршрута

задачи распределения и назначения

задачи раскроя материалов

задачи замены оборудования

задачи упорядочения

задачи динамического программирования

задачи управления запасами

задачи массового обслуживания

задачи теории игр.

Общая характеристика задач

Задача оптимального распределения ресурсов Целью данного класса задач является отыскание такого способа распределения ограниченного количества ресурсов, при котором либо минимизируются суммарные затраты (задан объем работ), либо максимизируется объем работ (при заданных затратах).

Задачи распределения и назначения весьма разнообразны как по содержанию, так и по методам решения. Часто эти задачи носят специальные названия, например, задача о ранце .

Ранец имеет некоторую «грузоподъемность», каждая вещь характеризуется ценностью в глазах владельца и весом. Требуется определить такой набор вещей, вес которых не превышает «грузоподъемность» ранца, а ценность их наибольшая с точки зрения обладателя этого ранца.

Если сформулировать эту задачу несколько по-иному, как задачу размещения набора предметов в некотором ограниченном объеме, то уже эту задачу можно решать применительно к любому транспортному средству. Сущность распределительных задач заключается в оптимизации распределения ограниченного количества ресурсов с целью достижения максимального эффекта.

Задачи оптимальной загрузки взаимозаменяемого оборудованияЗадача расстановки и загрузки оборудования. Отличительной особенностью данного вида задач является то, что для выполнения всех работ используется взаимозаменяемое оборудование, имеющее различную производительность и требующее разных затрат на обслуживание.

Следует выбрать такой способ загрузки оборудования, который обеспечит максимальную эффективность операции. Критерием эффективности данной операции выбирается: объем производства, суммарные затраты на производство работ и т.п. В качестве управляемых переменных в задачах загрузки взаимозаменяемого оборудования выбирается, как правило, время, в течение которого та или иная группа оборудования выполняет определенный вид работ. Задача решается симплекс-методом или с применением современных программных средств.

Задача выбора маршрута. Под термином «задачи выбора маршрута» объединяют несколько типов задач, которые имеют общий признак: в этих задачах оптимизируется маршрут перевозок. Отличаются эти задачи постановкой, критерием эффективности и методом решения.

Транспортные задачи. Сущность данного вида задач состоит в том, чтобы закрепить потребителей за поставщиками и составить план перевозки грузов от поставщиков к потребителям. Критерий эффективности в транспортных задачах, как правило, минимизация расстояния (пробега) или затрат денежных средств на реализацию плана перевозок.

К задачам выбора маршрута относится так называемая задача о коммивояжере. Цель задач данного класса - оптимизация маршрута движения по критерию времени или критерию стоимости последовательности работ. К этому классу относятся задачи сетевого планирования, цель которых оптимизация сроков выполнения проекта.

Для решения задач этого класса помимо стандартных методов «ручного» счета разработаны прикладные программы /7/. Отличительная особенность этого программного продукта в том, что с его помощью можно рассчитать оптимальное время выполнения проекта, построить сетевой график и представить результат расчета в виде файла графического формата. Данный программный продукт может использоваться, как самостоятельный пакет для расчета сетевых графиков реальных проектов, так и для обучения процессу расчета.

Задача распределения и назначения

В задачах данного класса требуется назначить имеющееся оборудование (людей) на определенные виды работ, с тем, что бы оптимизировать конечный результат. Примеры: задача распределения экскаваторов по местам работ с целью минимизации затрат на погрузочные работы, задача распределения рабочих по операциям технологического процесса и т.п.

Задача раскроя материалов

При решении задачи раскроя материалов существует, по крайней мере, два варианта постановки задачи: первый - произвести раскрой по заданным шаблонам таким образом, что бы свести число отходов (обрезки, остатки) к минимуму; второй - сформировать необходимое число комплектов, при этом используя наименьшее количество исходного материала.

В зависимости от выбранного варианта постановки задачи меняются управляемые переменные и критерий эффективности.

Задача замены оборудования. Задачи об износе и замене оборудования. Данный класс задач предназначен для расчета сроков замены оборудования с оптимизацией расходов на замену.

Исходными данными для этого типа задач являются начальная стоимость оборудования, затраты, которые несет предприятие при отказе оборудования из-за простоев, затраты на ремонт(восстановление) оборудования, размеры амортизационных отчислений при длительной эксплуатации оборудования. в результате расчетов определяется оптимальный, с точки зрения временных и финансовых показателей, срок замены оборудования.

Задачи упорядочения

В этих задачах речь идет о выборе такой последовательности выполнения работ, которая приведет к оптимальным значениям критерия эффективности.

К задачам этого типа относятся многие задачи организации производства и календарного планирования. Обычный перебор вариантов невозможен, так как даже с применением ЭВМ этот перебор вариантов займет длительное время; для решения задач такого типа используют методы дискретного программирования и комбинаторики.

Задача динамического программирования

Динамическое программирование - специальный метод оптимизации многошаговых задач. В основе этого метода лежит принцип оптимальности, основанный на алгоритме "«обратной прогонки"». Сущность алгоритма "«обратной прогонки"» заключается в поэтапном планировании и выборе такого решения на каждом этапе, который позволяет оптимизировать управление в целом, причем начальным этапом планирования является последний. Такой подход к планированию объясняется очень просто: зная конечное состояние системы, то есть итог ее работы за n этапов, несложно предположить предыдущее состояние системы, то есть спланировать n -1 этап, рассуждая аналогичным образом, планируется n -2 этап и так, «пятясь», проходит планирование до исходного состояния системы. Преимущества данного метода перед стандартными методами линейного программирования состоит в том, что пошаговая оптимизация позволяет учитывать влияние каждого решения принятого на отдельном этапе на общий результат.

Задачи управления запасами

Целью таких задач является определение размера запаса или определения частоты выполнения заказов.

Критерием оптимальности являются суммарные минимальные затраты на приобретение, доставку и хранение запаса с учетом возможных потерь от дефицита, оптовых скидок при покупке больших партий товара и т.д. Рассматриваются различные варианты оптимизации размеров запаса предприятия: от простых детерминированных моделей с периодическим контролем за состоянием запаса до моделей, учитывающих оптовые скидки, размеры складских помещений, вероятностный характер спроса и т.п.

Эти задачи решаются различными математическими методами с использованием теории вероятности, матричной алгебры и вариационного исчисления.

Задачи массового обслуживания Решение данного класса задач базируется на теории массового обслуживания (ТМО).

Методы ТМО применимы для ситуаций, которые характеризуется наличием двух составляющих системы массового обслуживания: обслуживающим прибором, иначе - каналом обслуживания и потоком заявок на обслуживание. Поступление заявок и продолжительность их обслуживания носят стохастический характер.

В задачах массового обслуживания рассчитывается средняя длина очереди, среднее число заявок, обслуженных за единицу времени, среднее время пребывания заявки в канале обслуживания, а также даются рекомендации по способам оптимизации системы массового обслуживания.

Задачи теории игр Основная цель задач данного класса - моделирование конфликтных ситуаций, причем под термином «конфликт» понимается несовпадение интересов участников операции, а под термином «игра» понимается математическая модель реальной конфликтной ситуации. Таким образом, данный раздел исследования операций рассматривает так называемые состязательные задачи.

Состязательные задачи рассматривают такие производственные ситуации, в которых участники (стороны) имеют или несовпадающие или антагонистические интересы.

Например, при разработке месторождений, проектировании карьеров состязательные задачи зачастую сводятся к так называемой игре одного игрока или игре с природой.

Сущность «игры»: проектировщику (разработчику) необходимо выбрать такую стратегию поведения в условиях неполной информации с тем, чтобы оптимизировать выбранный критерий эффективности. в качестве критерия эффективности, как правило выбираются временные или финансовые показатели.

Для всех этих задач характерна сложность, многомерность и большой объем вычислений.

Этапы исследования операций

Идентификация проблемы, т.е. определение цели, постановка задачи, определение альтернативных условий и ограничений, цены достижения цели, степени риска.

При определении цели следует учитывать, что существует деление целей, правда, весьма условное и относительное, на экономические, к примеру, максимизация прибыли в производственной сфере и неэкономические. В любом случае, цель должна быть сформулирована таким образом, что бы при анализе результатов была возможность количественно оценить полноту достижения цели.

Постановка задачи. На данном этапе осуществляется сбор данных о системе и среде.

На основе данных прогнозируется поведение системы и результаты проведения операции, определяются критерии и выбираются способы действия. Этот этап осуществляется руководителем, лицом, ответственным за принятие решения. Это наиболее ответственный этап в исследовании операций, так как именно на этом этапе производится переход от словесного описания реальной производственной ситуации к формулировке цели операции, здесь же определяются ограничивающие условия проведения операции.

Построение математической модели. На данном этапе проводится формализация выбранных показателей качества операции.

Определяется критерий эффективности (целевая функция), определяются параметры решения, то есть управляемые переменные, формулируется система ограничений, которая накладывается на реальную ситуацию.

Этот этап осуществляют специалисты по исследованию операций и прикладной математике. Работа на данном этапе должна вестись совместно с лицом, ответственным за принятие решения.

Проблематизация, постановка задачи и построение модели реальной ситуации - это наиболее важные этапы управления всем проектом в целом и необходимы новые методики их организации и проведения. Хорошие результаты дает применение игрового социального имитационного моделирования, так как этот методологический подход более эффективен по сравнению с традиционными приемами.

Решение поставленной задачи с помощью построенной модели: поиск оптимального решения и его анализ, экономическая интерпретация результатов решения.

Говоря об оптимальности полученного решения, следует понимать, что это оптимум в рамках построенной модели. Как выбрать «самое оптимальное решение»? Существуют такие рекомендации на этот счет: формулировка цели должна отражать глобальные, а не локальные задачи; можно выбирать комплексный критерий эффективности с учетом весовых коэффициентов каждого фактора; хороший результат дает построение нескольких моделей одной ситуации и проведение сравнительного вариантного анализа. Определяется алгоритм решения задачи. Задача программируется для ЭВМ. Если не удается найти алгоритм решения всей задачи, то задачу оптимизации решают по частям.

Проверка адекватности модели. На данном этапе требуется определить, обеспечивает ли построенная модель точный прогноз поведения системы.

Хороший результат можно получить, применяя для исследования параллельно несколько типов моделей, например, математические и имитационные. Полученные решения анализируются, затем проводится вариантный и структурный анализ, а также сравнение с ожидаемым результатом.

Реализация результатов исследования. На данном этапе устанавливается адекватность модели, проводится, в случае необходимости, ее корректировка и/или применяется другой метод решения поставленной задачи.

Результаты решения представляются в виде соответствующей программы действий или календарного плана выполнения работ.

2. Исследование системы массового обслуживания

2.1 Проверка гипотезы о показательном распределении

Исследуемое предприятие представляет собой двухканальную систему массового обслуживания с ограниченной очередью. На вход поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью л. Интенсивности обслуживания заявок каждым из каналов м, а максимальное число мест в очереди m.

Начальные параметры:

Время обслуживания заявок имеет эмпирическое распределение, указанное ниже и имеет среднее значение .

Мной были проведены контрольные замеры времени обработки заявок, поступающих в данную СМО. Чтобы приступить к исследованию, необходимо установить по этим замерам закон распределения времени обработки заявок.

Таблица 2. Группировка заявок по времени обработки

Количество заявок	22	25	23	16	14	10	8	4
Время обработки, мин	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35	35-40

Выдвигается гипотеза о показательном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого, каждый i - й интервал заменяем его серединой и составляем последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2) Принять в качестве оценки параметра л показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

(30)

3) Найти вероятности попадания X в частичные интервалы по формуле:

(31)

4) Вычислить теоретические частоты:

,(32)

где - объем выборки

5) Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где S - число интервалов первоначальной выборки.

Таблица 3. Группировка заявок по времени обработки с усредненным временным интервалом

Количество заявок	22	25	23	16	14	10	8	4
Время обработки, мин	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5	37,5

Найдем выборочную среднюю:

2) Примем в качестве оценки параметра л экспоненциального распределения величину, равную . Тогда:

()(33)

3) Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:

(34)

Для первого интервала:

Для второго интервала:

Для третьего интервала:

Для четвертого интервала:

Для пятого интервала:

Для шестого интервала:

Для седьмого интервала:

Для восьмого интервала:

4) Вычислим теоретические частоты:

(35)

Результаты вычислений заносим в таблицу. Сравниваем эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона.

Для этого вычислим разности , их квадраты, затем отношения . Суммируя значения последнего столбца, находим наблюдаемое значение критерия Пирсона. По таблице критических точек распределения при уровне значимости и числу степеней свободы находим критическую точку

Таблица 4. Результаты вычислений

i
1	22	0,285	34,77	-12,77	163,073	4,690
2	25	0,204	24,888	0,112	0,013	0,001
3	23	0,146	17,812	5,188	26,915	1,511
4	16	0,104	12,688	3,312	10,969	0,865
5	14	0,075	9,15	4,85	23,523	2,571
6	10	0,053	6,466	3,534	12,489	1,932
7	8	0,038	4,636	3,364	11,316	2,441
8	4	0,027	3,294	0,706	0,498	0,151
	122

Т.к. , то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.

Расчет основных показателей системы массового обслуживания.

Данная система представляет собой частный случай системы гибели и размножения.

Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, то существует предельное распределение вероятностей состояний. В стационарных условиях поток, входящий в данное состояние должен быть равен потоку, выходящему из данного состояния.

(36)

Для состояния S0:

(37)

Следовательно:

(38)

Для состояния S1:

(39)

Следовательно:

(40)

С учетом того, что :

(41)

(42)

Аналогично получаем уравнения для остальных состояний системы. В результате получим систему уравнений:

(43)

Решение этой системы будет иметь вид:

;

;

;

;

;

;

.

Или, с учетом (36):

;

;

;

;

;

;

.

Коэффициент загруженности СМО:

С учетом этого предельные вероятности перепишем в виде:

Наивероятнейшее состояние - оба канала СМО заняты и заняты все места в очереди.

Вероятность образования очереди:



Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е.:

Относительная пропускная способность равна:

Вероятность того, что вновь поступившая заявка будет обслужена, равна 0,529.

Абсолютная пропускная способность:

СМО обслуживает в среднем 0,13225 заявок в минуту.

Среднее число заявок, находящихся в очереди:

Среднее число заявок в очереди близко к максимальной длине очереди.

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, может быть записано в виде:

В среднем все каналы СМО постоянно заняты.

Среднее число заявок, находящихся в СМО:

Для открытых СМО справедливы формулы Литтла:

Среднее время пребывания заявки с СМО:

Среднее время пребывания заявки в очереди:

2.2 Решение задачи математическими методами

В такой же системе к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью л = 81 человек в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя об. = 2 минуты. Рабочее время 8 часов (1 час обеденный перерыв). Средняя з/п одного контролера-кассира составляет 50000 тенге. в месяц. Кассовый аппарат стоит 3000тенге. (срок службы 5 лет). Стоимость канцтоваров (бумага, кассовая лента, ручки и т.д.) на одного кассира составляет 150 тенге. в месяц.

Арендная плата в месяц составляет 10000 тенге. Коммунальные услуги составляют 2000 тенге. Налоги составляют 5670 тенге.

Средний размер покупки - 100тенге.

Определить:

а) Минимальное количество контролеров-кассиров nmin, при котором очередь не будет расти до бесконечности, соответствующие характеристики обслуживания при n=nmin и прибыль фирмы при этих условиях.

б) Оптимальное количество nопт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как:

Cотн. = ,

будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=nmin и n=nопт. Определить прибыль фирмы при n=nопт.

в) Вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей.

Решение задачи.

Задача представляет собой яркий пример СМО с ожиданием.

Необходимо найти:

А). Минимальное количество контролеров-кассиров nmin, при котором очередь не будет расти до бесконечности, соответствующие характеристики обслуживания при n=nmin и прибыль фирмы при этих условиях.

По условию =81 (1/ч) =1.35 (1/мин).

Очередь не будет расти до бесконечности при условии, что среднее число занятых каналов будет меньше, чем реальное количество кассиров. На числовой оси наименьшее натуральное целое число, большее, чем 2,7, есть число 3. Значит минимальное количество кассиров =3. Рассчитаем основные характеристики этой СМО с количеством кассиров =3. Вероятность того, что канал свободен. По формуле (1.27) получаем:

Таким образом, можно заключить, что 2,5% времени касса свободна.

Вероятность того, что заявка окажется в очереди, рассчитаем по формуле 1.30:

Среднее число заявок в очереди. Воспользовавшись формулой 1.31, получаем:

Среднее время ожидания в очереди

Среднее число заявок в системе



Рассчитаем прибыль фирмы при этих условиях.

Прибыль = выручка - себестоимость. На себестоимость продукции отнесем заработную плату 3х кассиров, амортизационные отчисления от использования основных средств (кассовые аппараты), материальные затраты на канцелярию, арендную плату, затраты на коммунальные услуги, а также начисленные предприятию налоги. При расчете заработной платы будем считать, что фирма работает без выходных, а отчетный период равен 30 дням.

З/П.3х кассиров = 3 кассира*5 т. тнг. =15 т. тнг.

Начислена амортизация основных средств:

т. тнг.

Материальные затраты на канцелярию 150*3=0,45 т. тнг.

Арендная плата = 10 т. тнг.

Затраты на коммунальные услуги = 2 т. тнг.

Начисленные предприятию налоги = 5,670 т. тнг.

Значит себестоимость по осуществлению предпринимательской деятельности предприятия = 15+3+0,45+10+2+5,670=36,12 т. тнг.

Рассчитаем выручку с учетом данных задачи об интенсивности обслуживания. Если человек в час, то можем посчитать, сколько людей обслуживается одним кассиром за месяц: человек.

Теперь можем определить размер выручки: т. тнг.

Прибыль = 5103-36,12 =5066,88 т. тнг.

Б). Оптимальное количество nопт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как Cотн. = , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=nmin и n=nопт. Определить прибыль фирмы при n=nопт.

При n=3 относительная величина затрат, выражаемая как Cотн. = , будет равна Cотн=. Рассчитаем относительную величину затрат при n=4,5,6,7 и представим их в сводной таблице. N=4

, N=5

N=6

N=7

Таблица 8. Сравнительные характеристики СМО с числом каналов обслуживания n = 3,4,5,6,7

Характеристика	N=3	N=4	N=5	N=6	N=7
Вероятность того, что канал свободен	0,025	0,057	0,05	0,053	0,05
Среднее время ожидания в очереди Toch	5,8	0,59	0,3	0,084	0,021
Затраты Cотн. =	19,6	5,32	5,55	4,944	5,332

Минимальное выражение относительная величина затрат принимает при n=6, значит . Из таблицы видно, что характеристики системы с шестью каналами обслуживания заметно уменьшились: вероятность того, что канал свободен, увеличилась в 2,12 раза; среднее время ожидания в очереди сократилось на 5,716 минуты; затраты на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей уменьшились в 3,964 раза.

Это говорит о несомненном росте эффективности функционирования СМО при увеличении обслуживающих каналов с 3х до 6ти.

Теперь рассчитаем прибыль для СМО с количеством обслуживающих каналов n=6.

З/П.6 кассиров*5 т. тнг. = 30 т. тнг.

Начислена амортизация основных средств:

т. тнг.

Материальные затраты на канцелярию 150*6=0,90 т. тнг.

Арендная плата = 10 т. тнг.

Затраты на коммунальные услуги = 2 т. тнг.

Начисленные предприятию налоги = 5,670 т. тнг.

Значит себестоимость по осуществлению предпринимательской деятельности предприятия = 30+6+0,9+10+2+5,670=54,57 т. тнг.

Рассчитаем выручку с учетом данных задачи об интенсивности обслуживания. Если человек в час, то можем посчитать, сколько людей обслуживается одним кассиром за месяц: человек.

Теперь можем определить размер выручки: т. тнг.

Прибыль = 10206-54,57 =10151, 43 т. тнг.

Прибыль предприятия, не смотря на рост себестоимости, возросла в два раза.

В). Для расчета вероятности того, что в очереди окажется не более трех покупателей для СМО с количеством обслуживающих каналов n=6, будем иметь ввиду, что эта вероятность будет складываться из вероятности того, что заняты все шесть каналов обслуживания и вероятности того, что в трех из них ждут своей очереди по одному человеку.

Значит:

,

где каждое слагаемое найдем по формулам (1.28) - (1.29). Итак,

0,1413+0,

1932+0,1739+0,1174+0,063+0,0285+0,0128+0,0059+0,0026=0,7386

Таким образом, вероятность того, что в очереди окажется не более трех покупателей, равна 73,86%.

Заключение

имитационный моделирование дискретный программный

Наиболее вероятное состояние данной СМО - занятость всех каналов и мест в очереди. Приблизительно половина всех поступающих заявок покидают СМО необслуженными. Приблизительно 66,5% времени ожидания приходиться на ожидание в очереди. Оба канала постоянно заняты. Все это говорит о том, что в целом данная схема СМО неудовлетворительна.

Чтобы снизить загрузку каналов, сократить время ожидания в очереди и снизить вероятность отказа необходимо увеличить число каналов и ввести систему приоритетов для заявок. Число каналов целесообразно увеличить до 4. Также необходимо сменить дисциплину обслуживания с FIFO на систему с приоритетами. Все заявки теперь будут иметь принадлежность к одному из двух приоритетных классов. Заявки I класса имеют относительный приоритет по отношению к заявкам II класса. Для расчета основных показателей этой видоизмененной СМО целесообразно применить какой-либо из методов имитационного моделирования. Была написана программа на языке Visual Basic, реализующая метод Монте-Карло.

Исследование видоизмененной СМО.

Пользователю при работе с программой необходимо задать основные параметры СМО, такие как интенсивности потоков, количество каналов, приоритетных классов, мест в очереди (если количество мест в очереди равно нулю, то СМО с отказами), а также временной интервал модуляции и количество испытаний. Программа преобразовывает сгенерированные случайные числа по формуле (34), таким образом, пользователь получает последовательность временных интервалов , распределенных показательно. Затем отбирается заявка с минимальным , и ставится в очередь, согласно ее приоритету. За это же время происходит перерасчет очереди и каналов. Затем эта операция повторяется до окончания времени модуляции, задаваемого изначально. В теле программы присутствуют счетчики, на основании показаний которых и формируются основные показатели СМО. Если для увеличения точности было задано несколько испытаний, то в качестве конечных результатов принимается оценка за серию опытов. Программа получилась достаточно универсальной, с ее помощью могут быть исследованы СМО с любым количеством приоритетных классов, либо вообще без приоритетов. Для проверки корректности работы алгоритма, в него были введены исходные данные классической СМО, исследуемой в разделе 7. Программа смоделировала результат близкий к тому, который был получен с помощью методов теории массового обслуживания (см. приложение Б). Погрешность, возникшая в ходе имитационного моделирования, может быть объяснена тем, что проведено недостаточное количество испытаний. Результаты, полученные с помощью программы для СМО с двумя приоритетными классами и увеличенным числом каналов, показывают целесообразность этих изменений (см. приложение В). Высший приоритет был присвоен более «быстрым» заявкам, что позволяет быстро обследовать короткие задания. Сокращается средняя длина очереди в системе, а соответственно минимизируется средство для организации очереди. В качестве основного недостатка данной организации можно выделить то, что «долгие» заявки находятся в очереди длительно время или вообще получают отказ. Введенные приоритеты могут быть переназначены после оценки полезности того или иного типа заявок для СМО.

Несмотря на то, что математическое программирование и стохастическое моделирование имеют широкий диапазон применения, при рассмотрении многих важных задач организационного управления возникает необходимость обращаться к совершенно иным методам анализа.

Наиболее эффективным из существующих в настоящее время операционных методов, выходящих за рамки обычного математического программирования, является метод имитационного моделирования на ЭВМ.

При имитационном моделировании, прежде всего, строится экспериментальная модель системы. Затем производится сравнительная оценка конкретных вариантов функционирования системы путем "проигрывания" различных ситуаций на рассматриваемой модели.

Язык (система) имитационного моделирования дискретных систем GPSS позволяет автоматизировать при моделировании систем процесс программирования моделей.

С помощью языка имитационного моделирования GPSS очень удобно моделировать работу систем массового обслуживания (парикмахерская, заводской цех и др.).

Язык GPSS построен в предположении, что моделью сложной дискретной системы является описание ее элементов и логических правил их взаимодействия в процессе функционирования моделируемой системы.

Сравнивая решение практической задачи в данной работе математическими методами и методом имитационного моделирования на языке GPSS, можно говорить о том, что, несомненно, компьютерное моделирование заметно облегчает процесс принятия решения по конкретному вопросу.

Хотя, с другой стороны, решение математическими методами более полно охватывает все характеристики интересующего вопроса, и отражают картину функционирования системы с разных точек зрения.

Так, например, решение математическими методами приводит к выводу о том, что оптимальное число кассиров в СМО "Универсам" должно быть равно шести, т.к. именно количество каналов обслуживания отражается на относительной величине затрат, связанной с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, по условию задачи, как Cотн=

Метод же имитационного моделирования приводит к выводу о том, что даже минимального количества кассиров, которое рассчитано математическими методами и равно трем, более, чем достаточно для эффективного функционирования системы. Здесь следует иметь ввиду, что при моделировании на языке GPSS, не предусмотрен расчет промежуточных характеристик СМО как то, например, среднее время ожидания в очереди, среднее число заявок в системе, да и само выражение величины себестоимости.

Компьютерное моделирование пока не может полно отразить положение вещей и учесть все характеристики системы, и уж тем более облегчить принятие оптимального экономического решения, хотя заметно помогает в выполнении рутинных расчетов при решении задач математическими методами.

Литература

Таха Х. Введение в исследование операций. - М.: Мир, 1987.- 496с.

Вентцель Е.С. Исследование операций. - М.: РиС, 1984. - 208с.

Кофман А. Методы и модели исследования операций. - М.: Мир, 1997. - 297с.

Морозов В.В. и др. Исследование операций в задачах и упражнениях. М. - ВШ, 1986. - 287с.

Экономико-математические методы и прикладные модели // Под ред. Федосеева В.В., М.: Наука, 1999. - 391с.

Клименко И.С. Автореферат диссертации «Технология оптимального выбора». - Алматы.: 2000. - 25с.

Баймухамедов М.Ф., Клименко И.С. Модели управления проектами, Костанай, 1999. - 24с.

Кофман А., Дебазей Г. Сетевые методы планирования и их применение. - М.: Прогресс, 1968. - 182с.

Резниченко С.С. Математическое моделирование в горной промышленности. - М.: Недра, 1981. - 216с.

Крупенченко Р.Л. АСУ в строительстве. - Л.: Стройиздат, 1979. - 207с.

Размещено на Allbest.ru