Разработка методов повышения точности построения линейных моделей в задачах цифрового управления

Дан вывод основных соотношений квадратичной аппроксимации, требующих минимальных вычислительных затрат.

Разработано 4 варианта алгоритмов квадратичного аппроксимационного сглаживания данных, отличающиеся числом последующих точек, используемых при сглаживании (глубинами h =0,1,2,3), а также величиной доли учета аппроксимированных значений функции .

На основе предварительного анализа определено оптимальное значение доли учета аппроксимированных значений функции = 0,6.

Разработано семейство аппроксимационных квадратичных методов с глубинами h =0,1,2,3 и заданной долей аппроксимированного значения . Дана оценка их вычислительной сложности при фильтрации одного значения функции.

Разработан алгоритм имитационного моделирования зашумленных данных при помощи квадратичного аппроксимационного сглаживания. По нему написана программа на языке С++.

Выполнено сравнительное исследование предложенных методов, которое показало, что устойчивый результат дает алгоритм глубины 0. Методы глубины 1,2,3 дают либо заметно худшие результаты либо вообще не применимы, поскольку приводят к резкому возрастанию погрешностей.

Заключение

В работе выполнен обзор методов решения систем линейных уравнений. По совокупности показателей для систем цифрового управления лучшим признан метод Гаусса.

Для фильтрации входной информации наиболее подходящим по трудоемкости вариантом из существующих являются скользящие линейные фильтры.

Для моделирования моментов наступления событий в реальной механической системе не подходят методы моделирования временных характеристик событий, применяемые в системах массового обслуживания, поскольку они не учитывают инертность функционирования самой системы, ограничения на минимальную и максимальные скорости выполнения процессов в ней.

Для моделирования шумов ближе всего подходит нормальный закон распределения. Генерирование нормальных шумов предпочтительно выполнять по второму варианта преобразования Бокса-Мюллера.

Асимметричные фильтры дают хорошие результаты для функций, близких к константам. Линейные симметричные фильтры дают хорошие результаты на функциях, близких к линейным. У таких фильтров применительно к задачам управления движением две основные проблемы: 1) как реализовать линейность на неравномерной сетке событий и 2) какой должны быть оптимальная полуширина фильтра s.

В работе получены следующие результаты.

1. Найдена зависимость погрешностейх векторовх коэффициентов линейных моделей от погрешностей и коэффициентов матрицы и свободного вектора, которая показывает, что с точностью до малых второго порядка данная зависимость х (,).линейна.

2. Предложено формульное задание для симметричной относительно центральной точки t_j линейно-взвешенной фильтрации по общему нечетному числу m=2s+1 сигналов для случая неравномерной сетки по времени, учитывающее два возможных случая отклонение текущих точек относительно центральной точки. Оценена вычислительная сложность фильтров. Для фильтрации одной точки при полуширине фильтра s требуется: сложений и вычитаний: s(s) = 4s-2; умножений: m(s)=2s; делений: d(s)=1. Т.о. предложенный алгоритм фильтрации имеет линейную сложность по s.

3. Разработан алгоритм имитационного моделирования зашумленных данных и их симметричного линейного сглаживания. По выполненному алгоритму разработана расчетная программа на языке С++ и выполнены расчеты для 11 видов характерных функций.

4. Анализ результатов моделирования в целом показал, что:

а) для медленно изменяющихся функций симметричное линейное сглаживание дает значительное улучшение показателей по части уменьшения среднеквадратичного отклонения,

б) при средних скоростях роста улучшение показателей есть для больших и средних погрешностей, для малых показатели ухудшаются,

в) при больших скоростях роста рассмотренное линейное сглаживание только ухудшает разброс значений.

5. На основе анализа результатов имитационного моделирования дана постановка задачи аппроксимационного сглаживания.

6. Дан вывод основных соотношений квадратичной аппроксимации, требующих минимальных вычислительных затрат.

7. Разработано 4 варианта алгоритмов квадратичного аппроксимационного сглаживания данных, отличающиеся числом последующих точек, используемых при сглаживании (глубинами h =0,1,2,3), а также величиной доли учета аппроксимированных значений функции .

8. На основе предварительного анализа определено оптимальное значение доли учета аппроксимированных значений функции = 0,6.

9. Разработано семейство аппроксимационных квадратичных методов с глубинами h =0,1,2,3 и заданной долей аппроксимированного значения . Дана оценка их вычислительной сложности при фильтрации одного значения функции.

10. Разработан алгоритм имитационного моделирования зашумленных данных при помощи квадратичного аппроксимационного сглаживания. По нему написана программа на языке С++.

11. Выполнено сравнительное исследование предложенных методов, которое показало, что устойчивый результат дает алгоритм глубины 0. Методы глубины 1,2,3 дают либо заметно худшие результаты либо вообще не применимы, поскольку приводят к резкому возрастанию погрешностей.

Найденный метод глубины 0 сочетает высокую эффективность с довольно высокой эффективностью при уменьшении средних размеров высокочастотных шумов во входной информации, получаемой по обратной связи.

Библиографический список

1. Бабенко К.И., Основы численного анализа. - М.: Наука, 1986. - 744 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука, 1987. - 600 с.

3. Галеев Э.М.,Оптимизация. Теория, примеры, задачи., М.:КомКнига, 2006. - 336с.

4. Гданский Н.И. Основы дискретной математики и ее практические приложения. Учебное пособие. М., МГУИЭ, 2006 - 512 с

5. Гнеденко Б.В., Курс теории вероятностей: Учебник. Изд. 8-е, испр. и доп.- М.: Едиториал УРСС, 2005. - 448 с.

6. Джонсон Д., Джонсон Дж., Мур Г.. Справочник по активным фильтрам: Пер с англ./- М.: Энергоатомиздат, 1983. -128с.,ил.

7. Измайлов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. - 2-е изд., перераб. И доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.- 320 с.

8. Киреев В.И., Пантелеев А.В. численные методы в примерах и задачах, М.: Высшая школа, 2002. - с.280.

9. Криницкий Н.А. Алгоритмы и роботы. - М.: Радио и связь, 1983. - 167 с, ил. 20 см. -(Кибернетика).

10. Логинов Алексей Андреевич, Методы определения взаимной временной задержки сигналов на основе нелинейной цифровой фильтрации : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.04.03 / Логинов Алексей Андреевич; [Место защиты: Нижегор. гос. ун-т им. Н.И. Лобачевского].

11. Мазуров В. Автоматические регуляторы в системах управления и их настройка. Компоненты и технологии, 2003г., №6.

12. Марченко Юлия Андреевна, Алгоритмическое и программное обеспечение управления приводом исполнительных механизмов с предсказанием внешней нагрузки : диссертация кандидата технических наук : 05.13.06.

13. Марченко Ю.А. Адаптивный цифровой алгоритм программного управления в условиях переменной внешней нагрузки. // Химическое и нефтегазовое машиностроение. №12, 2010. - с. 34-36.

14. Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ./ Под ред. С.Я. Шаца.-М.: Связь, 1979. - 416 с., ил.

15. Панфилова Н.Ю. Цифровые алгоритмы траекторного управления инерционными нелинейными объектами электромеханических систем. Автореф. дис. к.т.н. Спец. 05.09.03.. Омск, Типография ОмГУПСа, 2009. -

16. Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. Пер. с англ., М., "Мир", 1985, 510 с.

17. Пирумов У.Г., Численные методы, М.: Дрофа, 2003, с.221.

18. Пупков К.А. и Егупова. Н.Д. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и тт.; 2-е изд., перераб. и доп. Т.4: Теория оптимизации систем автоматического управления- М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 744с.; ил.

19 Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. Пер. с англ. М., "Мир", 1980, 476 с.

20 Ретинская Ирина Владимировна, Рекурсивная цифровая фильтрация со стохастическим округлением : дис.кандидата технических наук : 05.13.17.

21 Семенищев Евгений Александрович, Способы, устройства и алгоритмы сглаживания цифровых сигналов по нескольким критериям в условиях ограниченного объема априорной информации : диссертация ... кандидата технических наук : 05.13.05, 05.12.04 / Семенищев Евгений Александрович; [Место защиты: Юж. федер. ун-т].

22 Сизиков В.С., Устойчивые методы обработки результатов измерений, М.: Спецлит, 1999. - 240с.

23 Софиева Ю.Н., Софиев А.Э. Теория автоматического управления. Конспект лекции. М.:МГУИЭ, 1975. 165с.

24 Титов Дмитрий Анатольевич, Алгоритмы цифровой фильтрации сигналов, построенные на базе теории нечетких множеств : диссертация ... кандидата технических наук : 05.12.04.

25 Турчак Л.И., Плотников П.В.Основы численных методов М: Физ.мат лит., 2002. -с.300.

26 Уидроу Б., Стирнз С., Адаптивная обработка сигналов, М.:Радио и связь, 1989 - 440с.

27 .Цирлин А.М. Методы усредненной оптимизации и их приложения. М: Наука; Физматмет, 1997.

28 .Цыпкин Я.С. Адаптация и обучение в автоматических системах.-М.: Наука, 1988.-128 с.

29 Цыпкин Я.C. Основы теории автоматических систем. - М.: Наука, 1977.-560 с.

30 Шаронов А.В., Методы и алгоритмы обработки результатов экспериментальных исследований, М.: МАИ, 2004.- 244 с.

31 Штаненко Татьяна Ивановна, Минимаксная рекуррентная интерполяция динамических объектов : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.09.

32 Бурбаки. Линейная и полилинейная алгебра // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). -- М: Издательство иностранной литературы, 1963. -- с. 73--86. -- 292 с. -- (Элементы математики).

33. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. -- 3-е. -- М.: Наука, 1970. -- 400 с.

34 Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. -- М.: Наука, 1996. -- 304 с. -- (Физматлит). -- ISBN 5-02-014727-3

35. Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. -- М.: Мир, 1980. -- 454 с.

36. Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн. Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. -- 2-е изд. -- М.: «Вильямс», 2006. -- с. 1296. -- ISBN 0-07-013151-1

37. Дональд Кнут Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. -- 3-е изд. -- М.: «Вильямс», 2006. -- с. 720. -- ISBN 0-201-89683-4

38. Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. -- 2-е изд., стер.. -- М.: ИЦ «Академия», 2008. -- 448 с. -- ISBN 5-7695-1363-2

Размещено на Allbest.ru