Математичні основи теорії систем

Щоб описати систему в просторі станів необхідно задати її матрицями A,В,С,D.

- матриця Фробеніуса (матриця стану);

- матриця управління;

- матриця спостереження

D - матриця прямої передачі управління з входу на вихід. Ці матриці повинні задовольняти наступним умовам:

- кількість рядків матриць A та В, а також матриць С та D повинні співпадати.

- кількість стовпців матриць А та С, а також матриць В та D теж повинні співпадати.

Повний опис неперервної системи в просторі станів мас вигляд:

де х- вхід, у- вихід, u- стан системи.

Зв'язок між простором станів та передавальними функціями:

.

Оператор ss2tf виконує перехід від простору стану до передавальних функцій. У разі векторного виходу чисельник Num має вигляд матриці, кожний рядок якої містить в собі коефіцієнти полінома чисельника відповідної передавальної функції (від входу до першого, другого та ін. виходів). Якщо потрібно визначити якусь конкретну передавальну функцію, то з матриці Num треба взяти відповідний рядок, наприклад: tf2=tf(Num(2,:),Den). Знаменник буде спільним для всіх передавальних функцій. Наприклад:

[Num,Den]=ss2tf(A0,B0,C0,D0)

tfl=tf(Num(l,:),Dеn)

В командному вікні отримаємо результат:

Num = 1.0е+003 ·

0 0.0000 -0.0311 -0.0515 -0.0025 0

0 -0.0311 -0.0515 -0.0025 0.0000 0

0 -0.0000 0.0113 -0.0050 -3.5036 -0.0845

Den- 1.0000 3.9815 29.3302 1.0729 1.0861 0

Transfer Function:

Важливими поняттями в теорії простору станів є керованість та спостережуваність.

Система керована, якщо існує керована послідовність, яка переводить систему із будь якого початкового стану в початок координат за кінцевий час.

Система спостережувана, якщо існує таке кінцеве k, що знання входів (u),...,u(k-l) та виходів у(0).....y(k-l) достатньо для визначення її початкового стану.

Таблиця 5.1

У пакеті MATLAB визначити матриці керованості та спостережуваності можна за допомогою операторів ctrb та obsv відповідно.

Ранг матриці можна визначити за допомогою оператора rank. Якщо матриці керованості та спостережуваності мають повний ранг, то система повністю керована та спостережувана. Наприклад:

CT=ctrb(A0,B0)

rank(CT)

OB=obsv(A0,C0)

rank(OB)

В командному вікні отримаємо результат:

СТ=1.0е+004 *

0.0000 -0.0001 0.0122 0.0036 -0.3721

-0.0000 -0.0030 0.0125 0.0394 -0.5191

0 -0.0031 0.0072 0.0622 -0.4564

0.0031 0.0072 0.0622 -0.4564 -0.0114

0 0.0011 -0.0050 -0.3636 1.5847

ans 5

ОВ=1.0e+003

0 0 0.0010 0 0

0 0 0 0.0010 0

0 0 0 0 0.0010

0 0 0 0.0010 0

0.0000 -0.0257 0 -0.0022 0

0 -0.0694 0.0694 0 0

0.0000 -0.0257 0 -0.0022 0

0.0001 0.1014 -0.0000 -0.0205 0

0.0003 0.1220 0 0.0010 0

0.0001 0.1014 -0.0000 -0.0205 0

-0.0005 0.3496 -0.0010 0.1449 0

-0.0005 -0.2375 -0.0028 0.1181 0

-0.0005 0.3496 -0.0010 0.1449 0

-0.0009 -4.3379 0.0048 0.0263 0

0.0014 -2.6199 0.0050 -0.4958 0

ans = 5

У даному прикладі система повністю керована і спостережувана, оскільки ранг матриці керованості та ранг матриці спостережуваності дорівнюють порядку системи (мають повний ранг).

Зворотний перехід від передавальних функцій до опису у просторі станів можна виконати за допомогою оператора tf2ss. Наприклад:

[a3,b3,c3,d3]=tf2ss(Num(3,:),Den)

[A1,B1,C1,D1]=tf2ss(Num,Den).

У командному вікні отримаємо результат:

a3 =

-3.9815 -29.3302 -1.0729 -1.0861 0

1.0000 0 0 0 0

0 1.0000 0 0 0

0 0 1.0000 0 0

0 0 0 1.0000 0

b3 =

1

0

0

0

0

c3 =

1.0e+003 *

0 0.0113 -0.0050 -3.5036 -0.0845

d3 =

0

Треба помітити, що цей перехід не є однозначним, він виконується з точністю до неособливого перетворення вектору станів: Х=ТХ⁰, де Т - неособлива матриця. Тому отримані матриці не співпадають з початковими матрицями, але їх головні характеристики (власні та сингулярні числа, норми тощо) не зміняться.

Хід роботи

1. Задати систему у просторі станів

2. Виконати перехід від простору станів до передавальних

функцій.

3. Виконати зворотній перехід від передавальних функцій до простору станів.

4. Визначити керованість та спостережуваність системи.

5. Визначити власні числа матриць А0 та А1 (де матриця AO-задана матриця реального об'єкта, а матриця А1- матриця, отримана після виконання спочатку переходу до передавальних функцій, а потім знову до простору станів).

Контрольні запитання

1. Як задаються системи у просторі станів?

2. Дайте визначення терміну "керованість системи".

3. Дайте визначення терміну "спостережуваність системи".

4. Як отримати передавальні функції від кожного виходу окремо?

5. Яким умовам повинні задовольняти матриці А, В, С, D, щоб сформувати систему у просторі станів?

6. Яким чином перевіряється система на керованість та спотережуваність?

7. За допомогою яких операторів відбувається перехід від простору станів до передавальних функцій?

8. За допомогою яких операторів відбувається зворотній перехід від передавальних функцій до простору станів?

9. Яким чином відбувається з'єднання блоків, що задані моделлю у просторі станів?

Размещено на Allbest.ru