Принятие решений в условиях неопределенности

Возвращаясь к нашей таблице 1 предположим, что q1=0.4, q2=0.2 и q3=0.4. Тогда согласно критерию Байеса-Лапласа таблицу 1 дополняем столбцом математических ожиданий и среди этих значений выбираем максимальное. Получим таблицу 13.

Таблица 13.

B X	В1	В2	В3	аir
X1	1	10	1	2.8	2.8
X2	1.1	1.1	1.2	1.14

Оптимальным является решение X1.

Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

v вероятности появления состояний Вj известны и не зависят от времени;

v решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;

v для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск исключён.

Исходная позиция применяющего - критерий оптимистичнее, чем в случае критерия Вальда, однако она предполагает более высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.

Перечисленные критерии не исчерпывают всего многообразия критериев выбора решения в условиях неопределенности, в частности, критериев выбора наилучших смешанных стратегий, однако и этого достаточно, чтобы проблема выбора решения стала неоднозначной:

Таблица 14. Оптимальные варианты, полученные с помощью различных критериев

Решение	Критерии
Стратегии	Вальда	maxmax	Гурвица, =0.6	Сэвиджа	Лапласа	Байеса-Лапласа q1=0.4, q2=0.2, q3=0.4
X1		*	*	*	*	*
X2	*

Из таблицы 14 видно, что от выбранного критерия (а, в конечном счете - от допущений) зависит и выбор оптимального решения.

Выбор критерия (как и выбор принципа оптимальности) является наиболее трудной и ответственной задачей в теории принятия решений. Однако конкретная ситуация никогда не бывает настолько неопределенной, чтобы нельзя было получить хотя бы частичной информации относительно вероятностного распределения состояний природы. В этом случае, оценив распределение вероятностей состояний природы, применяют метод Байеса-Лапласа, либо проводят эксперимент, позволяющий уточнить поведение природы.

Поскольку различные критерии связаны с различными условиями, в которых принимается решение, лучшее всего для сравнительной оценки рекомендации тех или иных критериев получить дополнительную информацию о самой ситуации. В частности, если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами, то рекомендуется применять критерий Байеса-Лапласа. Если же число машин не велико, лучше пользоваться критериями минимакса или Сэвиджа.

Примеры постановки решения задач

В данном параграфе на примере решения задач мы должны научиться определять вектор стратегий, вектор состояний и платёжную матрицу и применять различные критерии для получения оптимального решения.

Задача. В приморском городе решено открыть яхт-клуб. Сколько следует закупить яхт (из расчета: одна яхта на 5 человек), если предполагаемое число членов клуба колеблется от 10 до 25 человек. Годовой абонемент стоит 100 денежных единиц. Цена яхты - 170 денежных единиц. Аренда помещения и хранение яхт обходится в 730 денежных единиц в год.

Решение. Несомненно, что имеет смысл рассматривать количество приобретаемых яхт в диапазоне от двух до пяти (4 варианта) и количество потенциальных яхтсменов от 10 до 25. Для уменьшения объема перебора ограничимся вариантами 10, 15, 20, 25 (если полученные выводы для смежных вариантов будут существенно разниться, проведем дополнительный, уточняющий расчет). Итак: X= {Xi} = (2, 3, 4, 5) - количество яхт (i=1,2,3,4); B = {Bj} =(10, 15, 20, 25) - количество членов яхт-клуба (j=1,2,3,4).

Для того, чтобы начать поиск решения, построим матрицу решений, элементы которой показывают прибыль при принятии i -го решения при j -ом количестве членов яхт-клуба:

aij = 100min(5Xi ; Bj) - 170Xi - 730

т.е. решающее правило в нашей задаче формулируется как "доход - затраты".

Выполнив несложные расчеты, заполним матрицу решений {aij} (см. табл. 15):

теория игра матричный решение

Таблица 15. Платёжная матрица

B X	B1=10	B2=15	B3=20	B4=25
X1=2	-70	-70	-70	-70
X2=3	-240	260	260	260
X3=4	-410	90	590	590
X4=5	-680	-80	420	920

Например, a11 = 100min(52, 10) - 1702-730 =-70

a12=100min(52, 15)-1702-730=-70

a13 = a14 = -70 (спрос на яхты останется неудовлетворенным). Отрицательные значения показывают, что при этих соотношениях спроса на яхты и их наличия яхт-клуб несет убытки.

Критерий Вальда (выбор осторожной, пессимистической стратегии) - для каждой альтернативы (количество яхт в клубе) выбирается самая худшая ситуация (наименьшее значение величины прибыли) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект:

ZMM=max(-70; -240; -410; -580)=-70

Вывод: принимая решение по критерию Вальда, яхт-клубу следует закупить 2 яхты и максимум ожидаемого убытка не превысит 70 д.е.

Критерий Гурвица (компромиссное решение между самым худшим исходом и излишне оптимистическим). Рассмотрим изменение решения нашей задачи в зависимости от значений коэффициента оптимизма (в таблице 16 выделены значения, удовлетворяющие критерию Гурвица при различных ):

Таблица 16. Решения по Гурвицу для различных

X	=0,2	=0,5	=0,8
X1 = 2	-70	-70	-70
X2 = 3	-140	10	160
X3 = 4	-210	90	390
X4 = 5	-380	170	620

Вывод: при 0,5 следует закупить 5 яхт и ожидать прибыль порядка, не меньшую 170 д.е. (надеемся на широкую популярность нашего клуба и определенную финансовую состоятельность любителей), при = 0,2 не следует закупать более 2 яхт (мы более осторожны в своих прогнозах и, скорее всего, предпочтем отказаться от создания клуба).

Критерий Сэвиджа (нахождение минимального риска). При выборе решения по этому критерию сначала матрице полезности сопоставляется матрица сожалений D - для нашего примера, вычитанием (-70) из первого столбца матрицы полезности, 260 из второго столбца, 590 и 920 из третьего и четвертого столбцов соответственно, получим матрицу рисков (см. табл. 17):

Таблица 17. Матрица рисков

B X	B1=10	B2 =15	B3 =20	B4 =25	air
X1 = 2	0	330	660	990	990
X2 = 3	170	0	330	660	660
X3 = 4	340	170	0	330	340
X4 = 5	510	340	170	0	590

Наименьшее значение среди максимальных элементов строк (выделенные в таблице значения) равно:

ZS=min(990; 660; 340; 510)=340

Вывод: покупая 4 яхты для открываемого яхт-клуба, мы уверены, что в худшем случае убытки клуба не превысят 340 д.е.

Критерий принятия решения Байеса-Лапласа. Предположим, что есть статистические данные, позволяющие оценить вероятность того или иного спроса на членство в яхт-клубе: q=(0,1; 0,2; 0,4; 0,3). Тогда математическое ожидание величины прибыли для каждого из рассматриваемых вариантов решения (предложение яхт в яхт-клубе):

a1r = (-700,1)+(-700,2)+(-700,4)+(-700,3) =-70 ,

a2r= (-2400,1)+(2600,2)+(2600,4)+(2600,3) =210;

a3r = 390; a4r = 370.

Вывод: в условиях рассматриваемой ситуации наиболее целесообразно закупить 4 яхты (в этом случае максимальная ожидаемая прибыль яхт-клуба составит 390 денежных единиц).

Для применения критерия Лапласа находим:

a1r = ((-70)+(-70)+(-70)+(-70)) / 4 = -70 ;

a2r = ((-240)+(260)+(260)+(260)) / 4 =135;

a3r = 215; a4r = 170.

Вывод: в условиях равновероятности возникновения той или иной величины спроса на членство в яхт-клубе следует закупить 4 яхты и при этом можно рассчитывать на прибыль в размере 215 д.е.

Общий вывод. Рассмотренные критерии приводят к различным решениям и дают тем самым информацию к размышлению (принятое решение здесь будет существенно зависеть от психологии и интуиции субъекта решения). Это неудивительно, так как критерии основаны на различных гипотезах. вводя ту или иную гипотезу о поведении среды, мы тем самым "снимаем неопределённость", однако сама гипотеза является только предположением, а не знанием. Было бы странным, если различные предположения приводили всегда к одному и тому результату.

Принятие решений в условиях риска

Как было сказано выше, принятие решений в условиях риска характеризуется тем, что поведение природы (среды) имеет случайный характер. Это проявляется в том, что существует некоторая вероятностная мера, в соответствии с которой возникают (наступают) те или иные состояния природы. При этом лицо принимающее решение имеет определённую информацию о вероятностях появления состояний среды, которая по своему характеру может быть весьма разнообразна. Например, имеется три состояния среды B1, B2 и B3, то дополнительная информация о появлении этих состояний может заключаться в том, что состояние B1 наименее вероятно, а состояние B3 более вероятно.

Следовательно, принятие решений в условиях риска предполагает, кроме задания функции реализации, задание некоторой дополнительной информации о вероятностях состояния среды. Если множество состояний природы B конечно (число состояний равно m), то вероятностная мера на нём может быть задана вероятностным вектором q=(q1, q2, …, qm), где qj?0 и .

Таким образом, матрица выигрышей в условиях риска может быть представлена в следующем виде (см. таблицу 1)

Таблица 1. Платёжная матрица с вероятностным вектором состояния среды

Решения	Состояния среды
	q1	…	qj	…	qm
	B1	…	Bj		Bm
X1	a11		a1j		a1m
…
Xi	ai1		aij		aim
…
Xn	an1		anj		anm

Выбирая решение Xi, игрок знает, что получит один из выигрышей a11, …, a1m с вероятностями q1, …, qm соответственно. Следовательно, исходом для принимающего решение при выборе им решения Xi является случайная величина

.

Итак, сравнение двух решений X1 и X2 сводится к сравнению соответствующих им случайных величин ..

Выбор оптимального решения обычно основывается на одном из следующих критериев:

1) критерий Байеса-Лапласа - ожидаемого значения (прибыли или расходов);

2) комбинации ожидаемого значения и дисперсии;

3) критерий произведения;

4) наиболее вероятного события в будущем и другие.

Рассмотрим подробнее критерий Байеса-Лапласа.

Критерий ожидаемого значения (критерий Байеса-Лапласа)

На прошлой лекции мы рассмотрели критерий Байеса-Лапласа. Использование данного критерия (в литературе встречается другое название - критерий "ожидаемого среднего значения") обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчётные формулы. Математически это выглядит так: пусть о - случайная величина с математическим ожиданием Mо и дисперсией Dо. Если x1, x2,..., xn - значения случайной величины (с.в.) о, то среднее арифметическое их (выборочное среднее) значений

имеет дисперсию . Таким образом, когда n>

>0 и >Mо.

Другими словами при достаточно большом объёме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия "ожидаемое значение" справедливо только в случае, когда одно и то же решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.

Прежде чем перейти к модификации критерия Байеса-Лапласа рассмотрим данный критерий подробнее.

Известно, что естественной числовой характеристикой случайной величины о является её математическое ожидание Mо, к которому приближается среднее значение этой случайной величины при большом количестве испытаний.

Если у человека, выступающего против природы, есть статистические данные о закономерностях в конкретных проявлениях природы, то задача легко может быть решена вероятностными методами.

Таким образом, если вероятности состояний природы известны и не изменяются со временем (стационарны), то оптимальным следует считать решение, максимизирующее ожидаемый выигрыш (которое дает наибольшее математическое ожидание выигрыша против известной стратегии природы - состояния или условия).

Пример. Фирма купила станок за 100 денежных единиц. Для его ремонта можно купить специальное оборудование за 50 ед. или обойтись старым оборудованием. Если станок выходит из строя, его ремонт с помощью спецоборудования обходится в 10 ед., без спецоборудования - в 40 ед. Известно, что в течение срока эксплуатации станок выходит из строя не более трех раз: вероятность того, что станок не сломается - 0.3; сломается 1 раз - 0.4; сломается 2 раза - 0.2; сломается 3 раза - 0.1. Требуется определить целесообразность приобретения специализированного ремонтного оборудования.

Формализация. Первый игрок имеет две чистые стратегии: покупать (X1) и не покупать (X2) специализированное ремонтное оборудование. У природы - второго игрока - четыре состояния: станок не выйдет из строя, выйдет один раз, сломается два раза и три раза. Функция выигрыша - затраты фирмы на покупку и ремонт станка, задается платежной матрицей (см. таблицу 1):

Таблица 1.

Решения	Выход станка из строя
	B1, ни разу	B2,1 раз	B3,2 раза	B4,3 раза
X1, не купить	-100	-140	-180	-220
X2, купить	-150	-160	-170	-180

Решение. Рассмотрим сначала эту задачу как антагонистическую игру. В матрице методом минимакса находим седловую точку: (X2, B4), таким образом, цена игры v= - 180 денежных единиц (см. таблицу 2).

Таблица 2.

Решения	Выход станка из строя
	B1,ни разу	B2,1 раз	B3,2 раза	B4,3 раза	бi
X1, не купить	-100	-140	-180	-220	-220
X2, купить	-150	-160	-170	-180	-180
вj	-100	-140	-170	-180

Ответ: нужно купить специализированное оборудование.

Однако в играх с природой положение коренным образом меняется: уже в условии заложена устойчивая смешанная стратегия природы: q= (0,3; 0,4; 0,2; 0,1) и мы знаем, что именно этой стратегии придерживается природа.

Если же человек - первый игрок - будет продолжать играть оптимально, то его выигрыш составит M=-150Ч0.3-160Ч0.4-170Ч0.2-180Ч0.1=-161, а если применит первую, неоптимальную стратегию, то математическое ожидание его выигрыша составит M=-100Ч0.3 - 140Ч0.4 - 180Ч0.2 -220Ч0.1 =-144.

Таким образом, первому игроку выгодно играть не оптимально!

Таблица 3.

Решения	Выход станка из строя
	q1=0.3	q2=0.4	q3=0.2	q4=0.1	M
	B1, ни разу	B2,1 раз	B3,2 раза	B4,3 раза
X1, не купить	-100	-140	-180	-220	-144
X2, купить	-150	-160	-170	-180	-161

Ответ: не покупать специализированное оборудование.

Существенное различие между значениями v(x*) и v(x') объясняется тем, что смешанная стратегия природы неоптимальна и она, "отклоняясь" от своей оптимальной стратегии "недополучает" 36 денежных единиц выигрыша.

Итак, в игре с природой ориентация на математическое ожидание выигрыша есть фактически ориентация на средний выигрыш, который получится при многократном повторении этой игры (при предположении, что условия игры не меняются). Разумеется, если игра в действительности многократно повторяется, то критерий среднего выигрыша (например, в экономических задачах - средней прибыли) можно считать оправданным. Однако разумно ли ориентироваться на этот критерий при единичном испытании?

Рассмотрим следующий пример. Фирма I может выставить на продажу один из товаров TI1или TI2, а фирма II - один из товаров TII1, TII2, TII3. Товары TI1 и TII1 являются конкурирующими (например, пиво и лимонад), а товары TI1 и TII3 дополнительными (например, пиво и вобла); остальные товары нейтральны. Прибыль фирмы I зависит от сочетания товаров, выставляемых на продажу обеими фирмами, и определяется таблицей 4. Известно, что фирма II выставляет на продажу товар TII3 в три раза реже, чем TII1 и в четыре раза реже, чем TII2. Какой товар следует поставлять на продажу фирме I?

Таблица 4

Решения	Состояния среды
	q1=3/8	q2=4/8	q3=1/8
	B1	B2	B3
X1	8	18	40
X2	18	15	14

Здесь решение выставить на продажу фирмой I товар TI1, решение X2 выставить на продажу фирмой I товар TI2.

Вычислим математические ожидания для данной таблицы:

M=8Ч3/8+18Ч4/8+40Ч1/8=17, M=18Ч3/8+15Ч4/8+14Ч1/8=16.

Оптимальной стратегией будет решение X1, т.е. фирма I поставлять товар TI1. Безусловно, выигрыш в 17 денежных единиц лучше, чем в 16. Однако при выборе решения X1 мы получим не 17 денежных единиц, а один из выигрышей: 8, 18 или 40. При выборе решения X2 мы получим не 16 денежных единиц, а один из выигрышей 18, 15 или 14. Составим таблицу, где указаны отклонения возможных выигрышей от их ожидаемых значений и вероятности этих отклонений.

Таблица 5. Значения отклонений

Решения	q1=3/8	q2=4/8	q3=1/8	Mо
	B1	B2	B3
X1	-9	1	23	17
X2	2	-1	-2	16

Из данной таблицы видно, что при равных ожидаемых выигрышах, по-разному ведут отклонения от ожидаемых выигрышей: для X1 эти отклонения значительны, а для X2 - сравнительно невелики.

Из проведённого анализа можно сделать вывод: в условиях риска критерий Байеса-Лапласа (ожидаемого среднего выигрыша) не является адекватным и должен быть изменён с учётом возможных отклонений случайной величины от её среднего значения.

В теории вероятностей в качестве меры отклонения случайной величины от её среднего значения обычно используют дисперсию Dо или среднеквадратичное отклонение у=. В задачах принятия решений в условиях риска будем рассматривать в качестве показателя риска среднеквадратичное отклонение у, т.к. у.имеет такую же размерность, что и случайная величина о, математическое ожидание Mо.

Таким образом, для принятия решения в условиях риска выбор альтернативы Xi приводит к случайной величине оi, которая может быть охарактеризована парой показателей (Mо, уi). Теперь приступим к построению адекватного критерия сравнения альтернатив. Фактически здесь получается задача двухкритериальной оптимизации, где в качестве частных критериев выступают математическое ожидание Mо (значение данного критерия нужно максимизировать) и среднеквадратичное отклонение у (значение данного критерия нужно минимизировать).

Рассмотрим нахождение Парето-оптимальных решений для данной многокритериальной задачи. Предположим, что требуется выбрать одну оптимальное решение из множества допустимых решений, каждое из которых определяется парой показателей (Mоi, уi). Изобразив на координатной плоскости точки с координатами (Mоi, уi), получим картинку типа изображённой на рис. 1, т.е. мы получили пространство оценок. Левая часть рисунка (красные точки) значения математического ожидания мы взяли положительными, а у отрицательные значения, т.к. этот критерий (у) мы должны минимизировать. Парето-оптимальными оценками является правая верхняя граница и соответственно Парето оптимальными решениями X1, X2, X9 и X7.

В данном примере множество Парето-оптимальных решений есть X1, X2, X9, X7 и окончательный выбор оптимального решения проводится из этого множества. Как было сказано выше, здесь есть два подхода: первый подход заключается в том, что строится множество Парето-оптимальных решений и из этого множества ЛПР выбирает единственное решение на основе неформальных дополнительных соображений. Рассмотрим второй подход на основе сужения множества Парето-оптимальных альтернатив.

1. Выбор главного критерия и назначение нижних границ по остальным критериям. Назначим нижнюю границу по критерию M и минимизировать критерий у. В качестве нижней границы критерия M возьмём значение M4 (см. рис. 1), то оптимальным будет решение X2, так среди решений удовлетворяющих условию Mi? M4, она наименее рискованна.

2. Лексикографическая оптимизация предполагает упорядочение критериев по важности. Пусть, например, M - важнейший критерий. Так как максимальное значение по критерию M имеет единственное решение X7, то оно и является оптимальным. Здесь наглядно проявляется недостаток метода лексикографической оптимизации: учёт одного (важнейшего) критерия. Этот недостаток связан с необходимостью введения жесткого приоритета критериев и может быть снят за счёт ослабления "жесткости" приоритетов. В этом случае используют метод последовательных уступок (метод смены цели), который был рассмотрен выше.

Например, в нашем случае в качестве уступки по критерию M величину Д, указанную на рис. 1. Тогда результатом выбора на первом шаге будут альтернативы X7, X8, X9. Среди них наилучшей по второму критерию будет X9. Таким образом, несколько снизив требования по критерию M, мы значительно улучшили оценку по критерию у (т.е. некоторое уменьшение ожидаемого выигрыша привело к существенному снижению риска).

Рис. 1. Пространство оценок

Рассмотрим применение обобщенного критерия для нашей задачи. Возьмём в качестве обобщённого критерия функцию вида:

f(M, у)= M-лЧу, (1)

где л - некоторая постоянная величина. Фактически критерий (1) представляет аддитивный критерий оптимальности частных критериев M, у с весовыми коэффициентами 1 и - л. При л>0 оценка случайной величины с помощью аддитивного критерия (1) меньше, чем её среднее значение, что характерно для осторожного человека, т.е. человека не склонного к риску. Напротив, при л<0 оценка (1) выше, чем среднее значение, что характеризует человека, склонного к риску. Наконец, при л=0 оценка случайной величины совпадает с её средним значением (т.е. возможные отклонения случайной величины от её среднего значения игнорируются) - это характеризует человека, безразличного к риску.

Содержательный смысл аддитивного критерия (1) при л>0 состоит в том, что увеличение критерия f(M, у) может происходить как за счёт увеличения M, так и за счёт уменьшения у. Таким образом, для человека, не склонного к риску, критерий (1) отражает стремление к увеличению ожидаемого выигрыша и уменьшению риска отклонения от него. При этом показатель л характеризует субъективное отношение принимающего решение к риску. Следовательно, л можно рассматривать как субъективный показатель меры несклонности к риску (субъективный показатель осторожности).

Выбор варианта производимого товара. Фирма может выпускать продукцию из следующих шести видов: зонтики (З), куртки (К), плащи (П), сумки (С), туфли (Т) и (Ш). Глава фирмы должен принять решение, какой из этих видов продукции выпускать в течение предстоящего летнего сезона. Прибыль фирмы зависит от того, каким будет лето - дождливым, жарким или умеренным, и определяется таблицей 6. Выбор какого варианта производства будет оптимальным?

При отсутствии дополнительной информации о состояниях среды в условиях неопределённости, и её решение возможно при принятии какой-либо гипотезы о поведении среды. Если принимающий решение имеет информацию о вероятностях наступления дождливого, жаркого и умеренного лета, то указанная задача становится задачей принятия в условиях риска. В рассматриваемой случае необходимая информация может быть взята из статистических данных (наблюдений за погодой в данной местности). Предположим, что вероятность дождливого, жаркого и умеренного лета равна соответственно 0.2, 0.5 и 0.3. Тогда получаем задачу принятия решения в условиях риска, заданную таблицей 7.

Таблица 6.

Решения	Состояния среды
	Д	Ж	У
З	80	60	40
К	70	40	80
П	70	50	60
С	50	50	70
Т	75	50	50
Ш	35	75	60

Таблица 7.

Решения	Состояния среды
	0.2	0.5	0.3
	Д	Ж	У
З	80	60	40
К	70	40	80
П	70	50	60
С	50	50	70
Т	75	50	50
Ш	35	75	60

Найдём ожидаемые выигрыши, соответствующие решениям З, К, П, С, Т, Ш. Имеем:

МЗ=0.2Ч80+0.5Ч60+0.3Ч40=58,

Мк=0.2Ч70+0.5Ч40+0.3Ч80=58,

МП=0.2Ч70+0.5Ч50+0.3Ч60=57,

МС=0.2Ч50+0.5Ч50+0.3Ч70=56,

МТ=0.2Ч75+0.5Ч50+0.3Ч50=55,

МШ=0.2Ч35+0.5Ч75+0.3Ч60=62.5.

Далее, определим дисперсии случайных величин оЗ, оК, оП, оС, оТ, оШ:

DоЗ=196, DоК=336, DоП=61, DоС=84, DоТ=100, DоШ=231.5. Среднеквадратичные отклонения рассматриваемых случайных величин таковы:

уЗ=14.0, уК=18.3, уП=7.8, уС=9.2, уТ=10.0, уШ=15.2.

Составим таблицу значений критериев M и у для каждой альтернативы (таблица 8)

таблица 8

Критерии Решения	M	у
З	58	14.0
К	58	18.3
П	57	7.8
С	56	9.2
Т	55	10.0
Ш	62.5	15.2

Представим рассматриваемые решения точками на координатной плоскости переменных M и у, получим рис. 2, из которого Парето-оптимальные решения З, П, Ш. Окончательный выбор оптимальной альтернативы должен производиться из этого множества.



Рис. 2

Сужение Парето-оптимального множества (в идеале - до одного элемента) может быть произведено только при наличии дополнительной информации о соотношении критериев M и у. Как было сказано выше, это можно сделать методом главного критерия, методом последовательных уступок или с использованием лексикографического критерия.

Обзор критериев принятия решения в условиях риска

Критерий произведений

Правило выбора в этом случае формулируется так :

Матрица решений дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца.

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами :

· вероятности появления состояния Bj неизвестны;

· с появлением каждого из состояний Bj по отдельности необходимо считаться;

· критерий применим и при малом числе реализаций решения;

· некоторый риск допускается.

Критерий произведений приспособлен в первую очередь для случаев, когда все aij положительны. Если условие положительности нарушается, то следует выполнять некоторый сдвиг aij+а с некоторой константой а> . Результат при этом будет, естественно зависеть от а. На практике чаще всего

а:= +1.

Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то критерий произведений не применим.

Предыдущая Главная Следующая

Принятие решения в условиях риска с возможностью проведения эксперимента

При принятии решения в условиях неопределённости (или в условиях риска) принципиальная сложность выбора решения возникает из-за незнания ЛПР истинного состояния среды. В предыдущих лекциях рассмотрено несколько критериев, каждый из которых по-своему "борется" с неопределённостью: с помощью выдвижения гипотезы о поведении среды (критерий Лапласа, Вальда, Гурвица и Сэвиджа); с помощью усреднения получаемых выигрышей (критерий Байеса-Лапласа или критерий ожидаемого выигрыша); с помощью учёта как ожидаемого выигрыша, так и меры отклонения от него. Однако, каждый из этих подходов даёт лишь способ рационального анализа неопределённости, не устраняя самой неопределённости. Устранение или хотя бы уменьшение неопределённости может быть произведено только на основе уточнения истинного состояния среды.

На практике такое уточнение осуществляется, как правило, с помощью сбора дополнительной информации, а также с помощью проведения экспериментов, по результатам которых судят об имеющемся состоянии среды. Например, прежде чем приступить к лечению больного при неясном диагнозе, врач проводит дополнительные анализы; прежде чем бурить дорогостоящую нефтяную скважину, геолог производит сейсморазведку; прежде чем наладить производство какого-либо товара, предприниматель изготавливает пробную партию этого товара и т.д. В рамках теории принятия решений все эти действия означают не что иное, как проведение эксперимента с целью уточнения состояния среды.

Эксперимент называется идеальным, если по его результатам ЛПР узнаёт истинное состояние среды. На практике наличие идеального эксперимента - явление довольно редкое. Чаще всего результат эксперимента даёт некоторую информацию, на основе которой может быть произведено уточнение среды.

Как использовать результаты эксперимента и имеющиеся статистические данные при принятии решений наиболее эффективно? Одна из методик, позволяющая решить эту проблему основана на формуле Байеса - формула переоценки вероятностей событий с учётом результата проведённого эксперимента.

Отметим, что не для всякой задачи принятия решения эксперимент является возможным. Если для некоторой задачи эксперимент возможен, то возникает задача оценки целесообразности его проведения. Дело в том, что проведение эксперимента всегда требует затрат (материальных, организационных, временных и пр.).

В книге [Розен] показано, что идеальный эксперимент является выгодным тогда и только тогда, когда его стоимость меньше минимального ожидаемого риска:

,

где rij - риски, C - стоимость эксперимента.

Для изложения байесовского подхода к переоценке вероятностей напомним некоторые понятия из теории вероятностей.

Условная вероятность события A при условии, что произошло событие B, обозначается P(A/B) и вычисляется по формуле

P(A/B)=. (1)

Рассмотрим следующую теоретико-вероятностную схему. Пусть B1, B2, …, Bm - полная группа событий и для каждого события Bj, j= известна её вероятность P(Bj). Пусть произведён опыт, в результате которого произошло событие A. Если известны условные вероятности P(A/Bj) для всех j=, тогда условная вероятность (послеопытная) вероятность события Bj (j=,) может быть найдена по формуле Байеса

P(Bj/A)==.

Рассмотрим теперь в схематической форме задачу принятия решения в условиях риска, заданную с помощью матрицы выигрышей, которая имеет вид табл.

Таблица 1. Платёжная матрица с вероятностным вектором состояния среды

Решения	Состояния среды
	q1	…	qj	…	qm
	B1	…	Bj		Bm
X1	a11		a1j		a1m
…
Xi	ai1		aij		aim
…
Xn	an1		anj		anm

Здесь B1, B2, …, Bm - состояния среды, aij - выигрыш игрока в ситуации, когда он выбирает стратегию Xi, а среда принимает состояние Bj. ЛПР известна вероятность P(Bj)= qj наступления состояния Bj, причём P(Bj)?0 и . Предполагается, что среда может находиться в одном и только в одном из состояний B1, B2, …, Bm. Другими словами, случайные события B1, B2, …, Bm образуют полную группу событий, поэтому их можно взять в качестве гипотез. Известные ЛПР вероятности состояний среды P(Bj) (j=) являются безусловными (доопытными, априорными) вероятностями.

Предположим, что проводится некоторый эксперимент, результат которого как-то зависит от имеющегося состояния среды. Если в результате эксперимента наблюдается событие A и, кроме того, известны условные вероятности P(A/Bj) для всех j=, то используя формулу Байеса, можно найти послеопытные (апостериорные) вероятности каждого состояния среды. Знание уточненных вероятностей состояний среды позволяет более точно указать стратегию ЛПР.

Описанный подход к принятию решений в условиях риска называется байесовским, так как он основан на формуле Байеса. Этот подход иллюстрируется примером, рассмотренным ниже.

Задача. Бурение нефтяной скважины.

Руководитель поисковой группы должен принять решение: бурить нефтяную скважину или нет. Скважина может оказаться "сухой" (С), т.е. без нефти, "маломощной" (М), т.е. с малым содержанием нефти, и "богатой" (Б), т.е. с большим содержанием нефти. Альтернативами руководителя группы являются: x1 - бурить и x2 - не бурить. Чистая прибыль при выборе одной из альтернатив в зависимости от возможного типа скважины приведена в таблице прибылей (см. табл. 1)

Таблица 1. Платёжная матрица

Тип скважины Решения	С	М	Б
x1	-70	50	200
x2	0	0	0

Кроме того, руководителю поисковой группы известно, что в данной местности вероятности сухой, маломощной или богатой скважины таковы: P(C)=0.5, P(M)=0.3, P(Б)=0.2.

Руководитель поисковой группы может провести эксперимент с целью уточнения структуры грунта (состояния среды). Этот эксперимент представляет собой сейсморазведку, результатом которой будет ответ - какова структура грунта в данной местности (но не ответ на вопрос о типе скважины!). В принципе структура грунта может быть либо открытой (О), либо замкнутой (З). Руководитель группы имеет таблицу результатов экспериментов, приведённой в этой местности (см. табл. 2).

Таблица 2. Таблица экспериментальных данных

Тип скважины	Структура грунта	Всего
	открытая (О)	замкнутая (З)
С (сухая)	n11=45	n12=5	50
М (маломощная)	n21=11	n22=19	30
Б (богатая)	n31=4	n32=16	20
Всего	60	40	n=100

Эта таблица показывает, сколько раз на грунтах открытой и грунтах замкнутой структуры встречались скважины типа С, М, Б (т.е. даёт совместную статистику грунта и типа скважин для данной местности).

Проведём анализ экспериментальных данных полученной таблицы. Предположим, что произведено n экспериментов, результаты которых являются значениями дискретных случайных величин X (тип скважины) и Y (структура грунта), которые принимают соответственно значения С, М, Б и О, З. Обозначим через n11 число экспериментов, в которых X=С и Y=О, через n12 число экспериментов, в которых X=С и Y=З, через n21 число экспериментов, в которых X=М и Y=О и т.д. В нашем случае n=100, n11=45, n12=5, n21=11. Разделив значения таблицы 2 на 100 (на число проведённых экспериментов), мы получим закон распределения двумерной случайной величины (X, Y) заданной в табличной форме (см. табл. 3).

Таблица 3. Статистический ряд распределения двумерной с.в. (X, Y)

X, тип скважины	Y, структура грунта
	открытая (О)	замкнутая (З)
С (сухая)	p11=0.45	p12=0.05	0.50
М (маломощная)	p21=0.11	p22=0.19	0.30
Б (богатая)	p31=0.04	p32=0.16	0.20
	0.60	0.40	1

Из таблицы 3 следует, что Р(X=C)=P(C)=0.5, Р(X=M)=P(M)=0.3, Р(X=Б)=P(Б)=0.2; Р(Y=O)=P(O)=0.6, Р(Y=З)=P(З)=0.4,

Итак, руководитель группы должен принять решение:

· проводить ли эксперимент (его стоимость составляет 10 единиц);

· если проводить, то, как поступать в дальнейшем в зависимости от результатов эксперимента.

Таким образом, получена многошаговая задача принятия решений в условиях риска. Опишем методику нахождения оптимального решения.

Шаг 1. Построим дерево (рис. 1), на котором указаны все этапы процесса принятия решений - дерево решений. Ветви дерева соответствуют возможным альтернативам, а вершины - возникающим ситуациям. Альтернативами руководителя поисковой группы являются : б - отказ от эксперимента, в - проведение эксперимента, x1 - бурить, x2 - не бурить. Состояния природы: выбор типа скважины (С, М, Б), а также выбор структуры грунта (О, З).

Построенное дерево определяет игру руководителя группы с природой. Позициями данной игры служат вершины дерева, а ходами игроков - выбираемые ими решения. Позиции, в которых ход делает руководитель группы, изображены прямоугольником; позиции, в которых ход делает природа, - кружком.

Игра протекает следующим образом. В начальной позиции ход делает руководитель группы. Он должен принять решение - отказаться от эксперимента (выбрать решение б) или проводить эксперимент (выбрать решение в). Если он отказался от эксперимента, то игра переходит в следующую позицию, в которой руководитель группы должен принять решение: бурить (выбрать альтернативу x1) или не бурить (выбрать альтернативу x2). Если же он решает проводить эксперимент, то игра переходит в позицию, в которой ход делает природа, выбирая одно из состояний О или З, соответствующих возможным результатам эксперимента, и т. д. Игра заканчивается тогда, когда она переходит в окончательную позицию (т.е. вершину дерева, для которой нет исходящих из неё ветвей)

Шаг 2. Для каждого решения, которое является ходом природы (т.е. исходит из позиции, изображённой кружком), надо найти вероятность этого хода. Для этого поступаем следующим образом. Для каждой позиции дерева существует единственный путь, соединяющий эту позицию с начальной позицией. Если это для позиции природы, путь, соединяющий её с с начальной позицией, не проходит через позицию (Э), означающую проведение эксперимента, то вероятности состояний Р(С), Р(М) и Р(Б) являются безусловными (доопытными) и находятся из табл. 3:

Р(С)=50/100, Р(М)=30/100, Р(Б)=20/100.

Если же для позиции природы путь, соединяющий её с начальной позицией, проходит через позицию (Э), то вероятности состояний среды становятся условными вероятностями и находятся по формулам (1), используя данные табл. 3:

=45/60; =5/40;

=1/15; .

В позиции (Э) вероятности ходов, приводящих к позициям (О) и (З), находятся из таблицы 3: Р(О)=0.6, Р(З)=0.4.

Рис. 1. Дерево решений

Шаг 3. Произведём оценку всех позиций дерева игры, "спускаясь" от конечных позиций к начальной. Оценкой позиции служит ожидаемый выигрыш в этой позиции. Оценки конечных позиций находим из таблицы 2. Укажем теперь способ нахождения оценки произвольной позиции дерева игры в предположении, что уже найдены оценки всех следующих за ней позиций.

Для позиции природы её оценка представляет собой ожидаемый выигрыш (см. рис 2);

Для позиции игрока оценкой служит максимум всех за ней позиций. Мотив: в "своей" позиции игрок может сделать любой ход, поэтому он выберет тот, который приводит к наибольшему возможному выигрышу (см. рис 3). В каждой позиции игрок помечает черточкой ту ветвь дерева, которая приводит к позиции, имеющей максимальную оценку.

Обратимся к рис. 1. Получаем, что в начальной позиции ожидаемая прибыль без проведения эксперимента (альтернатива б) - 20 единиц; ожидаемая прибыль с проведением эксперимента (альтернатива в) - 28 единиц. Таким образом, целесообразным является решение - проводить эксперимент (сейсморазведку). Далее, если эксперимент покажет, что грунт открытый, то бурение производить не следует, а если замкнутый, то нужно бурить.

1 - ветвь: =20

2 - ветвь: 0

3 - ветвь:= -30

4 - ветвь: 0

5 - ветвь: =95

6 - ветвь: 0

Как следует из условия задачи, значение в 95 единиц мы можем получить с вероятностью 0.4. Следовательно, ожидаемый выигрыш будет равен 0.4*95=38 единицам. Вычитаем расходы на проведение эксперимента равное 10 единицам.

В итоге получим 28 единиц.

Деревья решений иерархически представляют собой логическую структуру принятия решений, и облегчает тем самым понимание задачи и процесс её решения. В отличие от матрицы решений здесь можно видеть временной ход процесса принятия решения. Дерево решений нельзя, однако, в общем случае представить простой матрицей решений; так могут быть представлены лишь отдельные этапы процесса. Разбиение на этапы производят так, чтобы выбор решения начинался с некоторого узла решений, от которого исходят одна или несколько ветвей, представляющих варианты решений. Далее следуют узлы событий и на конце - листья", представляющие конечные состояния с указанием значений соответствующих выходных параметров. Если же за узлами событий следует опять узел решений с соответствующими действиями, тогда это и всё последующие разветвления относятся к более поздней стадии выбора решения.. Таким образом, можно проследить весь путь с начала до конца дерева решений.

В дереве решений различают узлы событий и узлы решений. Можно себе представить, что в узлах событий выбор дальнейшего пути определяется внешними условиями (природой, в теории игр противником), а в узлах решений - лицом, принимающим решение.

Деревья решений легко поддаются модификации: при необходимости их можно дополнительно развить, а в случаях, когда какие-либо ветви практически лишены значения, - соответственно уменьшить. Узлы решений, если они связаны с одним действием и не разделены узлами событий могут быть объединены. То же справедливо и для узлов событий.

Литература

1. Аллен Р. Математическая экономия. М., Изд.ин. лит.,1963

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972

3. Вильямс Дж. Д. Совершенный стратег. - М.: ИЛ,1960

4. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и эконмике М.: Мир, 1964

5. Кофман А., Фор Р. Займемся исследованием операций. М: Мир, 1966

6. Ланге О. Оптимальные решения. М. Прогресс, 1967 .

7. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М., Физматгиз,1966

8. Оуэн Г. Теория игр. М., Мир 1971

9. Р.Л. Кини, Х. Райфа. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981

10. Р.Штойер. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления, приложения. М.: Радио и связь, 1992

11. Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976

12. Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений М.: Статистика, 1979.

13. Р.Л.Кини. Теория принятия решений. - В кн. Исследование операций. М.: Мир, 1981 г.

14. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков, М.: Наука, 1985.

15. Крушевский А.В. Теория игр. Киев: Вища школа, 1977.

16. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. М.: Наука, 1981

17. Мешковой Н.П., Закиров Р.Ш. Теория игр, конспект лекций. Челябинск, ЧПИ, 1974

18. Э.Й.Вилкас в сб. Современные направления теории игр. Вильнюс. Мокслас, 1976

19. А.Д.Школьников Основы теории игр. Л, Изд. Горного института, 1970

20. Смоляков. Всегда существующее решение кооперативных игр и его применение к анализу рынков. М.: ВНИИСИ, 1978.

21. http://vtit.kuzstu.ru/books/shelf/145/doc/ext.html

Размещено на Allbest.ru