Системи з повною інформацією працюють за „жорсткими” законами керування і постійними параметрами настройки. Системи з пасивним та активним накопичуванням інформації вивчають умови роботи об'єкта та змінюють структуру та (або) параметри настройки відповідно до умов роботи, це - адаптивні системи;

- за структурою системи керування: розімкнені - задача оптимального програмного керування; замкнені - задача стратегічного керування, синтезу оптимальних керувань;

- за кількістю критеріїв керування з одним (задачі скалярної оптимізації), з кількома критеріями - задачі векторної оптимізації.

В залежності від характеру задачі оптимізації обираються методи їх розв'язання, які можна розбити на групи:

- аналітичні: пошук екстремуму функцій; множників Лагранжа; варіаційного счислення; принцип максимума Л.С. Понтрягіна;

- математичного програмування: динамічного програмування Р. Беллмана; лінійного та нелінійного програмування;

- пошукові методи;

- методи автоматичної оптимізації.

Таким чином, для оптимального керування об'єктами необхідно виконати етапи: обрати мету системи, критерій оптимальності та обмеження, визначити методику розв'язання задачі, розкрити структуру системи та реалізувати її за допомогою технічних засобів.

4.2 Критерії оптимальності та обмеження в задачах оптимального керування об'єктами

Реалізація оптимального керування об'єктами передбачає пошук та підтримання найкращого (оптимального) в певному смислі режиму функціонування. Задача оптимізації доповнює традиційні контури стабілізації, програмного та логіко-програмного керування.Для оцінки ефективності функціонування об'єкта використовують узагальнену кількісну оцінку, яка характеризує якість, ефективність керування, що дає можливість не лише виконати порівняльну оцінку різних режимів роботи об'кта, а й обрати найкращу. Така оцінка називається критерієм оптимальності, в загальному випадку - це функціонал, який дає можливість отримати інтегральну оцінку на певному інтервалі роботи (4.1).

Глобальний критерій оптимальності має природу прибутку:

(4.5)

де: - випуск певного виду продукції та її ціна; - сумарні затрати на виробництво продукції, які включають вартість сировини, енергії, матеріалів та ін. Кількісна оцінка, яку отримують з виразу (4.5), залежить від технологічного режиму і відповідності його розрахунковому, оптимальному, що забезпечується відповідною системою автоматизації. Критерій оптимальності (4.5) характеризує виробництво в цілому, в якому можна виділити стадії (підсистеми), на яких формується ціна продукції. Розв'язком задачі оптимізації за критерієм (4.5) є вектор технологічних змінних, які характеризують технологічний режим. Ці значення можуть бути завданням для локальних контурів регулювання технологічних змінних.

В загальній постановці задачі синтезу оптимального керування необхідно знайти мінімум функціоналу:

- для детермінованих систем:

(4.6)

- для стохастичних систем

(4,7)

де - функція , яка характеризує якість в кінцевий момент часу ; - сереждє значення функціоналу. М - оператор математичного сподівання.

Отже, критеріями оптимальності можуть бути як технічні, так і економічні узагальнені показники функціонування об'єкта або системи в цілому. При цьому одні показники повинні сягати максимуму (наприклад, продуктивність), інші - мінімуму (наприклад, витрати енергії).

Вибір критерія оптимальності - складна науково-технічна задача. Від вибору критерія залежать кінцеві результати функціонування об'єкта і системи, а сам процес вибору не піддається формалізації.

В задачах синтезу та аналізу АСР використовуються такі критерії оптимальності:

- мінімальної тривалості перехідного процесу (максимальної швидкодії):

(4.8)

- мінімального відхилення регульованої координати:

(4.9)

(4.10)

Для обєкта з регульваними координатами

(4.11)

де: - вагові коефіцієнти;

- мінімум витрати енергії

(4.12)

де: - вагові коефіцієнти; - керування;

- мінімум витрати матеріальних ресурсів - палива, сировини, каталізатора

(4.13)

(4.14)

- досягнення кінцевого стану координати Х або об'єкта в цілому (термінальна задача)

(4.15)

Якщо об'єкт функціонує в умовах випадкових збурень, то якість окремого процесу буде гіршою, ніж в середньому за множиною процесів. В таких випадках використовуються середні значення показників:

- мінімізація похибки керування

(4.16)

- ймовірність помилки спостерігача (задача ідеального спостерігача)

(4.17)

де: - відповідно ймовірність помилкового виявлення сигналу, та його витрати;

- середнього ризику:

(4.18)

де: А - оператор системи, який зв'язує та ; - функція витрат (час процесу, витрати палива, та ін.);

- мінімальний критерій, який характеризує найкращий результат в найгірших можливих умовах:

(4.19)

В цьому випадку необхідно знайти максимальну оцінку з усіх можливих значень, для , що відповідає умовному ризику. , а мінімізується його максимальне значення. Для іншого завдання, яке характеризується вектором , будуть більші витрати, але у самому несприятливому випадку функція витрат буде меншою, ніж при мінімізації середнього ризику.

Для складних систем керування достатньо повно охарактеризувати процес функціонування за допомогою одного критерія оптимальності неможливо. Для цього випадку формується вектор критеріїв

(4.20)

що відповідає задачі векторної (багатокритеріальної) оптимізації. Такі задачі складні, розв'язуються як правило, шляхом багатоетапних оцінок, які мають суб'єктивний та еврістичний характер. Розв'язання задач векторної оптимізації можливе двома шляхами:

- зведення до задачі скалярної (однокритеріальної) оптимізації, коли обирається один головний критерій, а решта розглядається як обмеження, наприклад мінімізується критерій середньоквадратичного відхилення при обмеженнях на витрату енергії;

- формується згортка критеріїв за певними правилами (їх агрегування).

На перший погляд можливість оцінки рішень за кількома різними критеріями здається нереальною, однак на практиці саме такі задачі виникають найбільш часто, коли необхідно враховувати різні сторони функціонування об'єктів або систем, наприклад:

- робота кількох взаємозв'язаних апаратів, ефективність функціонування кожного з них оцінюється своїм критерієм;

- робота окремого апарата в різних умовах, наприклад при різній сировині, коли кожний режим оцінюється своїм критерієм.

Якщо визначено вектор координат задачі оптимізації Х, який належить множині (Х є ), а векторні критерії залежать від цього вектора, то необхідно знайти правило порівняння критеріїв. Це може бути саме згортка критеріїв, тобто скалярна функція від вектора , яка дає можливість визначити оптимальне значення Х. З множини допустимих розв'язків Д виділяють робочу підмножину, яка об'єднує розв'язки, отримані з розумного способу згортки критеріїв. Розумним способом згортки критеріїв називають такий, коли вектор , вважають кращим, ніж вектор , якщо всі компоненти цих векторів, крім і-го співпадають, а . Змінювання однієї складової робочої підмножини обов'язково приводить до певного погіршення інших, тому підмножина називається областю компромісів. Таким чином, множині компромісних рішень відповідає частина простору критеріїв, для якої неможливо покращити , не погіршуючи і навпаки. Такі задачі утворюють окремий клас Паретооптимальних задач (вперше в кінці ХІХ століття такі задачі сформулював італійський вчений - економіст В.Парето).Ідеальним буде той випадок, коли в результаті розв'язання задачі оптимізації можна отримати такі оптимальні керування, за яких кожний частинний критерій має мінімум (максимум). В той же час кожний частинний критерій віділяє „свою” множину оптимальних керувань, тому необхідно враховувати важливість кожного з критеріїв.В деяких задачах векторної оптимізації частинні критерії можна впорядкувати (ранжувати) за значимістю так, що необхідно добиватись приросту найбільш важливого критерія за рахунок втрат по інших критеріях.

В багатокритеріальних задачах оптимізації можна отримати кілька векторів керувань , і тоді виникає проблема порівняння їх ефективності. В детермінованих задачах приймається, що вектор керування , не гірший вектора в смислі векторного критерія, тобто , якщо виконуються нерівності

(4.21)

Якщо в (4.21) мають місце лише рівності, або керування і еквівалентні () щодо векторного критерія. Керування явно краще, має перевагу перед ,тобто , якщо мають місце нерівності (4.21), при чому хоча б одна з них виконується строго.

Нарешті, керування називають ефективним, якщо не існує кращого , тобто ефективними називають керування, які не можна покращити за векторним критерієм. Тоді оптимальним за векторним критерієм будуть ефективні керування .

Всі точки множини Парето можна отримати, розв'язуючи сімейство додаткових оптимізаційних задач:

(4.21)

де: - вектор пріоритетів.

Важливість частичних критеріїв визначають за допоміжними схемами:

- справедливий компроміс. За рахунок прийняття значень згортка (4.21) має чітко фіксовані пріоритети. При цьому відносне зниження одного або кількох критеріїв не перевищує відносного підвищення інших критеріїв.

В точці оптимума сумма відносних змін всіх критеріїв дорівнює нулю:

(4.22)

Цій умові відповідає згортка критеріїв

(4.23)

або

(4.24)

Одиниці вимірювань критеріїв не впливають на результат, тому що розраховуються відносні величини;

- послідовні поступки, без жорсткого пріоритету.

При такій схемі всі частинні критерії розташовуються та нумеруються в порядку їх відносної значущості. Забезпечується екстремум (мінімум або максимум) найбільш важливого критерія . Далі призначається величина зниження першого критерія і знаходять екстремум другого по значущості критерія за умови, що для значення першого критерія не повинно відрізнятись більше, ніж встановлена похибка:

(4.25)

Далі призначають поступку для другого критерія та знаходять екстремум третього кретерія з урахуванням поступок для першого та другого і т.д. Оптимальним є таке керування , яке забезпечує екстремум останнього за значущістю частинного критерія з урахуванням поступок для всіх інших критеріїв

(4.25)

- жорсткий пріоритет (ранжування частинних критеріїв) спочатку розв'язують однокритеріальну задачу з найбільш важливим критерієм . Якщо розв'язок не єдиний, то це значення фіксується як умова, за яким розв'язують задачу для другого критерія і т.д. Кількість умов в кожній наступній задачі оптимізації зростає, звужуючи множину її допустимих розв'язків. Якщо розв'язок для даного критерія єдиний, то розв'язки для інших задач втрачають смисл.

В реальних задачах математичні моделі задачі оптимізації та її умови визначені наближено, тому немає сенсу добиватись точного оптимуму та можна вважати допустимими задачі про оптимум всі ті значення Х, для яких зменшення в порівнянні з його граничним значенням не перевищує деякої величини, яка тим більша,чим більша похибка вихідних даних, тобто при розв'язанні задачі на оптимум до її умов додають обмеження

(4.26)

- метод „ідеалу”.

Рис.4.2 Площина критеріїв оптимальності

В просторі критеріїв або на площині (рис.4.2.) можна виділити т.А координати якої визначаються граничним значенням кожного з критеріїв , знайдених без урахування інших. Оптимальним вважається такий розв'язок, який знаходиться найближче до „ідеалу” по відстані, яка вимірюється в просторі критеріїв і є допустимим.

В наведених схемах компромісу розв'язок багатокритеріальної задачі зводиться до однокритеріальної або до багаторазового розв'язання задачі з одним критерієм.

Як вже зазначалось, задачі оптимізації розв'язуються в умовах обмежень та кординати стану, вихідні змінні та ресурси Обмеження в задачах оптимізації можуть бути природніми (об'єктивно існуючими) та штучними, які вводяться спеціально для конкретної задачі. До природніх обмежень відносяться такі, які існують у відповідності до фізичних законів, які визначають природу та закономірність функціонування об'єктів та системи в цілому. При формалізації задачі оптимізації, тобто подання її в математичний формі, обмеження визначаються математичними моделями об'єктів, якими і визначаються реальні значення змінних . Зокрема до природніх обмежень відносяться: кількість обертів асинхронного двигуна, яка не може перевищувати синхронної; витрата речовини, яка визначається конструктивними розмірами трубопроводів і швидкістю течії та ін. До умовних обмежень відносяться штучно встановлювані допустимі значення, наприклад, координат стану (рис 4.3.)

Рис 4.3 Залежність значення критерія від обмежень

Ці значення визначаються різними причинами: запобігання аварійних ситуацій, необхідність точного підтримання бажаного технологічного режима і т.д. Обмеження в задачах оптимізації відіграють важливу роль і визначають можливість досягнення бажаного результату. На рис 4.3. показана залежність критерія від координати Х, а також екстремальних значень від діапазонів обмежень та . Видно, що в умовах жорстких обмежень можливе досягнення лише локального екстремуму (т.А), а при збільшенні діапазона обмежень до можна отримати глобальний екстремум (т.В).

Таким чином, формалізація задачі оптимізації передбачає запис в математичній формі таких складових:

- критерій:

- математичні моделі, обмеження

(4.27)

або

або або

В залежності від типу задачі оптимазації її розв'язком може бути вектор змінних оптимального технологічного режиму або вектор оптимальних керувань, або значення параметрів окремих елементів (наприклад, параметрів настройок автоматичних регуляторів) та ін.

4.3 Методи оптимізації

В задачах оптимізації автоматичних систем керування найбільше застосування знайшли:

- принцип максимуму Л.С. Понтрягіна;

- метод динамічного програмування Р.Беллмана.

Принцип максимуму Л.С. Понтрягіна заснований на класичному варіаційному численні і є його узагальненням та випадки, коли оптимальні керування обмежені і становлять кусково-безперервні функції з точками розриву першого роду, кількість яких невідома.

Принцип максимуму є необхідною і достатньою умовою оптимальності процесу керування для лінійних об'єктів, а для нелінійних об'єктів-лише необхідним. За принципом максимуму визначається для нелінійних об'єктів не оптимальне керування, а звужена група допустимих керувань.

Тоді оптимальне керування, якщо воно взагалі існує, буде належати саме до цієї групи.

Суть методу полягає в наступному. Динаміка об'єкта задається у вигляді диференціальних рівнянь:

(4.28)

або у векторній формі

(4.29)

де: - вимірний вектор координат стану; - вимірний вектор керувань, який належить до замкненої множини , тобто для кожного керування набуває певного значення з множини.

Ці керування є кусково-безперервними функціями і називаються допустимими.

Задається також функіонал:

(4.30)

Задача оптимізації полягає в тому, щоб серед допустимих керувань знайти таке, яке переводить об'єкт з початкового стану в кінцевий , а функціонал (4.30) набуває екстремуму.

Принцип максимума передбачає використання додаткових процедур:

- вводиться додаткова штучна змінна стану :

(4.31)

де: відповідає підінтегральному виразу з (4.30);

- вводяться допоміжні функції ,які визначається лінійними однорідними рівнянням:

(4.32)

- приєднується вираз (4.31) до системи (4.28), що утворює систему з (n+1) рівнянь

(4.33)

або у векторній формі

(4.34)

Тут необхідно звернути увагу на такі обставини: у виразі (4.33) права частина не залежить від , а вектор та його похідна є(n+1) - вимірними; критерій оптимальності стає однією з координат об'єкта керування;

- вводиться допоміжна функція (функція Гамільтона) у вигляді

(4.35)

- рівняння (4.33) та (4.32) об'єднують в одну систему (в механіці - система Гамільтона):

(4.36)

(4.37)

Рівняння (4.36) - це рівняння об'єкта, а (4.37) - спряжені рівняння.

В такій постановці принцип максимуму формулюється так:

- для того, щоб керування і траекторія , яка йому відповідає, були оптимальними, необхідно існування такої ненульової безперевної - вимірної функції , складові якої задовольняють рівняння (4.36), (4.37), щоб при будь-якому у заданому інтервалі величина як функція керувань у заданій зоні їх допустимих значень досягала максимуму:

(4.38)

При чому

Принцип максимуму має добру геометричну інтерпретацію. Приймемо, що необхідно перевести об'єкт з початкової точки П в кінцеву К за мінімальний час (рис 4.4.)

Рис 4.4 До принципу максимуму

Кожній точці фазового простору,який оточує т.К, відповідає певна оптимальна траекторія і відповідний мінімальний час переходу в цю точку. Навколо т.К можна побудувати поверхні, які будуть геометричним місцем точок з однаковим мінімальним часом переходу в т.К (рис 4.4.) - ізохрони. Оптимальна за швидкодією траекторія з точки П в точку К повинна бути максимально близькою нормалям до ізохрон, наскільки це дозволяють обмеження на кординати об'єкта і керування. Дійсно, будь-який рух вздовж ізохром збільшує час процесу, не зменшує відстань до кінцевої точки. Математично умова оптимальності траекторії означає, що скалярний добуток вектора швидкості та вектор, обернений до градієнта часу перехода в кінцеву точку, повинен бути максимальним (скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними):

(4.39)

де: , - кордината векторів

Таким чином умовою оптимальності є максимум проекції вектора на напрямок .

Метод динамічного прграмування зручно застосовувати в задачах оптимізації багатостадійних процесів, коли оптимальну траекторію можна поділити на окремі дільниці, а стадія передбачає часовий інтервал проведення процесу. Принцип оптимальності в методі динамічного програмування формулюється так:

- будь-яка кінцева ділянка оптимальної траекторії є також оптимальною, тобто частина оптимальної траекторії від будь-якої проміжної точки до кінця буде оптимальною, якщо цю точку вважати початком траекторії. Таким чином, оптимальна стратегія не залежить від попереднього стану системи, а визначається лише її станом у даний момент;

- оптимальний розв'язок має таку властивість, що за будь-якого стану , який система досягає за (і-1)-шу стадію, подальший розв'язок повинен бути оптимальним по відношенню до попереднього стану.

У фазовому просторі (рис.4.5.) показана оптимальна траєкторія 1-2 між точками П і К, і кожна її дільниця буде також оптимальною, а не 2'.

Рис 4.5 Оптимальна система руху систем

Сутність метода динамічного програмування можна пояснити на такому прикладі (рис.4.6.). Нехай об'кт необхідно перевести з точки Н в точку К за n кроків, кожний за яких, крім останнього, має варіантів і при цьому забезпечити мінімум критерія оптимальності .

Рис. 4.6 До метода динамічного програмування

Значення цього критерія залежить від траекторії руху, і можна визначити приріст на будь-якому кроці. В даному випадку значення є функцією змінних, а число можливих комбінацій, тобто варіантів розв'язку буде . При невеликих та оптимальний розв'язок можна знайти повним перебором варіантів, однак для реальних систем цей підхід використати неможливо: так при число варіантів буде 109.

Ефективним алгоритмом є отримання розв'язку, починаючи з кінцевої точки К. Для кожної точки -го кроку знаходять будь-яким методом, в тому числі і повним перебором оптимальну траекторію переходу в точку К. Аналогічну операцію повторяють для і т.д кроків. Знаходження значення критерію

(4.40)

тобто вибір з 109 варіантів зводиться до послідовного вибору на кожному кроці з десяти варіантів.

Існують також алгоритми для знаходження оптимальної траекторії в прямому напрямку від т.П до т.К.

Формалізувати процедуру знаходження оптимального розв'язку за методом динамічного програмування можна так: приймається, що величина втрат визначається як мінімум за керуванням суми двох доданків: втрат на і-й стадії і мінімальних втрат, визначених раніше за умови, що система попадає в стан . Тоді :

(4.41)

Функцію називають функцією Беллмана, а рівняння (4.41) рівнянням Беллмана. Це рекурентне співвідношення, яке зв'язує та . Для розв'язання цього співвідношення задаються граничні умови:

(4.42)

тому, що для переходу із стану в цей же стан не потрібно ніяких затрат. Розв'язуючи рівняння Беллмана для і т.д., доходимо до початкової стадії, коли , при цьому після кожної стадії визначаємо з (4.41) крім також .

Функція Беллмана дорівнює тому граничному значенню критерія оптимальності, якого можна досягти, рухаючись із стану як з початкового.

Для неперервних систем метод динамічного програмування в математичній постановці формулюється так. Задається нелінійне векторне диференціальне рівняння нестаціонарного об'єкта

(4.43)

Необхідно знайти керування , яке мінімізує функціонал:

(4.44)

при заданому початковому стані , кінцевому часі , обмеженні та довільному кінцевому стані . Згідно принципу оптимальності кожне поточне значення часу на заданому інтервалі може бути обрано, як початок відрахунку, і оптимальне керування, яке мінімізує функціонал (4.44) на цьому інтервалі, буде співпадати на інтервалі з оптимальним керуванням ,яке мінімізує функціонал:

(4.45)

причому мінімізоване значення функціонала (4.45) при знайденому оптимальному керуванні буде залежати лише від початкового для дільниці 2 (рис. 4.5.) стану і тривалості процесу керування:

(4.46)

Повна похідна інтеграла (4.43) по змінній нижній границі буде:

(4.47)

З урахування рівнянь об'єкта (4.41):

(4.48)

Це рівняння справедливе для будь-якого допустимого керування, яке не виводить об'єкт на межу області . При оптимальному керуванні це рівняння з урахуванням (4.46) набуває виду:

(4.49)

Це рівняння Беллмана в іншій формі, яке в компактному вигляді можна записати так:

(4.50)

або:

(4.51)

де: вектор-стовпець, який відповідає градієнту склалярної функції векторного аргумента , < >-позначення скалярного добутку векторів.

Рівняння Беллмана - специфічне диференціальне рівняння першого порядку в частинних похідних відносно однієї змінної . Специфічність рівняння полягає в тому, що воно включає операцію мінімізації за аргументом і тому справедливе лише для оптимального керування .

Рівняння (4.49)-(4.51) виражають необхідну умову оптимальності керування і визначають порядок розв'язання задачі оптимального керування методом динамічного програмування. На першому етапі мінімізують вираз в правій частині, тобто диференціюють його за керуванням і прирівнюють похідну нулю. В результаті мінімізації оптимальне керування виражають через функції та невідомі складові градієнта :

(4.52)

При підстановці (4.52) в (4.51) в останньому вже не буде операції мінімізації та керування ,тому можна розв'язати його відносно невідомого при граничній умові:

(4.53)

Нарешті, отримавши функцію та її за аргументом та підставивши у (4.52), виражають оптимальне керування через змінні стану . Необхідно врахувати таку обставину: якщо функції та не залежать явно від часу , то функція також не залежить від

4.4 Синтез оптимальних систем

Для технологічних об'єктів найбільш важливими є системи, оптимальні за швидкодією та квадратичними критеріями. Задача розробки систем, оптимальних за швидкодією, виникає коли необхідно мінімізувати час перехідного процесу в таких режимах: пуск, зупинка, перехід з одного режиму на інший. Тоді критерій оптимальності записується так

(4.54)

В лінійних системах швидкодія може бути як завгодно великою, що забезпечується введенням необхідних ланок та ланцюгів корекції. Наприклад, якщо перед аперіодичною ланкою включити ПД - ланку корекції, то можна компенсувати її інерційність і отримати нескінченно велику швидкодію, коли час перехідного процесу . Для системи -го порядку для отримання такого ж результату необхідно включити ланки корекції з похідними.

Для реальних нелінійних систем завжди існують обмеження на змінні та їх похідні, що обмежує швидкодію, повна компенсація інерційності за рахунок похідних не реалізується, тому при стрибкоподібному змінюванні вхідного сигналу похідна буде нескінченно великою, що не пропускається ланкою внаслідок обмеження статичної характеристики. Наприклад, для електричного двигуна постійного струму вихідною змінною є кількість обертів, вхідною напруга якоря. В зв'язку з обмеження цієї напруги за умови електричної міцності та механічної цілісності якоря при дії центробіжних сил час перехідного процесу (зміни кількості обертів від одного значення до іншого) буде мати кінцеве значення.

Для системи першого порядку, яка подана у вигляді аперіодичної ланки (рис.4.7, а), необхідно забезпечити можливу швидкодію в умовах обмеження вхідного сигналу при змінюванні від 0 до (статичного значення). Очевидно, спочатку сигнал необхідно змінити від 0 до максимального значення і утримувати його таким до того часу, поки не досягн значення .

Рис.4.7 Перехідні процеси в системі 1-го порядку

Після цього значення необхідно миттєво змінити до величини:

(4.55)

де: - коефіцієнт передачі, який відповідає статичній характеристиці.

Тривалість перехідного процесу (рис.4.7,б) визначається інерційною ланкою (постійною часу Т, величиною та значенням на початку та в кінці перехідного процесу). Якщо ,то , що відповідає випадку компенсації інерційності лінійної ланки за допомогою додаткового діяння за похідною.

Рис.4.8. Перехідні процеси в системі 2-го порядку

Для систем 2-го порядку (рис.4.8) необхідно враховувати обмежене значення при обмеженому :

(4.56)

На початку сигнал необхідно стрибкоподібно змінювати так, як це розглядалось в попередньому випадку для системи першого порядку (ділянка 1 на рис.4.8). коли змінна досягне максимального значення , необхідно миттєво змінити керування з до і підтримувати його до моменту часу, коли не досягне значення (ділянка 2):

(4.57)

Таким чином, для системи 2-го порядка процес керування в задачі максимальної швидкодії включає два інтервали з граничними значеннями і .

Для систем 3-го порядку оптимальний перехідний процес керування буде складатись з трьох інтервалів, на кожному з яких керування приймає одне з граничних значень із змінюванням знаку на межах інтервалу. При цьому знак на першому інтервалі співпадає зі знаком кінцевого стану , тому що сигнал на вході другої ланки повинен бути близьким до сигналу для системи 1-го порядка. В той же час, з урахуванням інерційності першої ланки сигнал на вході другої буде змінюватись не миттєво, а за експонентою.

В загальному випадку для послідовно з'єднаних лінійних ланок 1-го порядку з дійсними від'ємними коренями характеристичного поліному оптимальне керування при наявності обмежень на складається з інтервалів, на кожному з яких цей сигнал приймає граничне значення, тобто керування є релейним. В кінці кожного інтервалу змінюється знак , а на першому інтервалі знак визначається необхідним напрямком зміни вихідного сигналу . Ці висновки справедливі при нульових початкових умовах. Якщо початкові умови довільні, то кількість інтервалів може бути меншою, аж до одного. Дійсно, якщо в момент розгляду процесу керування стан об'єкта (значення та їх похідних) виявляється таким, як в кінці -го інтервалу оптимального керування, при переведенні об'єкта в той же заданий стан за інших початкових умов, то кількість інтервалів буде .

Ці міркування узгоджуються з тим принципом, згідно якого будь-який кінцевий відрізок оптимальної траекторії буде також оптимальним. Ці результати є наслідками теореми про інтервалів Фельдбаума А.А.

Теорема про інтервалів доводиться строго за допомогою принципа максимума Л.С. Понтрягіна.

Об'єкт описується системою рівнянь:

(4.58)

або у векторній формі

(4.59)

Приймається обмеження у формі:

(4.60)

де: - граничне значення керування.

Запишемо для системи гамільтоніан

(4.61)

де: . Від сигналу керування залежить лише другий доданок, тому максимум з урахуваннями (4.61) буде при:

(4.62)

Цей вираз показує, що керування весь час буде мати граничне значення , тобто релейний закон оптимального за швидкодією керування справедливий для нелінійного об'єкта, який описується рівняннями (4.59).

Для лінійного об'єкта рівняння (4.58) набуває виду:

(4.63)

Спряжені рівняння будуть:

(4.64)

а

(4.65)

Якщо характеристичне рівняння об'єкта, який описується диференціальними рівняннми (4.63) при , має всі корені дійсні, то це справедливо і для спряжених рівнянь (4.64). Це значить, що розв'язок цих рівнянь має вид суми експоненційних складових:

(4.66)

де: - дійсні числа; - постійні інтегрування. Тоді у відповідності до (4.62):

(4.67)

де:

Сума експонент в (4.67)може переходити через 0 не більше разів, тобто кількість інтервалі в з постійним знаком буде не більше , що й потрібно було довести.

До викладеного матеріалу необхідно додати таке:

- якщо обмеження накладено не лише на сигнал керування , а й на довільне число проміжних змінних рівняння об'єкта, то кількість інтервалів оптимального керування буде більшою;

- в цьому розділі розглядалась задача оптимальної швидкодії, при зміні завдання. Викладений матеріал справедливий також для перехідних процесів, які викликані збуреннями. В цьому випадку необхідно забезпечити найшвидше повернення об'єкта до початкового стану.

При синтезі замкненої системи керування додатково до принципу максимуму використовують метод фазових траекторій, за допомогою якого визначають рівняння поверхонь перемикання:

(4.65)

а також функції перемикання

(4.66)

які приймають нульові значення на поверхні перемикання.

Поверхня (лінія) перемикання у звязку з неперервною залежністю оптимальної траекторії від початкових умов являє собою неперервну, кусково-гладку поверхню (лінію), яка розділяє простір станів на дві області, які відповідають різним знакам сигналів керування. Форма і положення поверхні перемикання залежать як від виду і параметрів рівняння об'єкта, так і від виду і параметрів зовнішніх сигналів та . Якщо прийняти в якості змінних стану відхилення, то поверхня пермикання обов'язково пройде через початок координат, де закінчується перехідний процес, який починається в будь-якому початковому стані . Якщо порядок зовнішнього діяння у вигляді степеневої функції менший порядку астатизму системи, то поверхня перемикання буде кососиметричною відносно початку координат.

Рис 4.9 Лінія перемикання для об'єкта другого порядку

Некососитетрична лінія перемикання АОВ для об'єкта другого порядка (рис 4.9.) розділяє фазову площину на дві області, які відповідають різним знакам сигналів керування . В залежності від початкових умов (початкового стану об'єкта) можуть бути різні варіанти керування, які переводять об'єкт в початок координат.

Якщо точка М1 знаходиться над лінією перемикання, то керування спочатку бути від'ємним, а в точці М2 - додатнім. Якщо точка N1 розташована нижче лінії перемикання, то сигнал керування спочатку додатній, а точці N 2- від'ємний. В частинному випадку, коли початкова точка знаходиться на лінії перемикання, (точки А або В), змінювати знак керування на протязі перехідного процесу не потрібно.

Знак сигналу керування на першому інтервалі визначається знаком функції перимикання в початковій точці. Функцію перемикання доцільно записувати так, щоб її знак з різних сторін лінії перемикання співпадав із знаком сигналу керування:

(4.70)

Таким чином, задача синтезу оптимальної за швидкодією замкненої системи зводиться до пошуку в просторі станів функції перемикання та її реалізації в пристрої керування. Ортимальне керування буде:

(4.71)

Це керування формується двохпозиційним пристроєм, вихідний сигнал якого приймає лише максимальні значення ;.

Визначення рівнянь для поверхні перемикання і відповідної функції при наявності зовнішніх сигналів - завдання і збурення - є складною задачею. В цьому випадку ці сигнали необхідно враховувати в рівнянні об'єкта або вимірювати і вводити в обчислювальний критерій, який реалізує функцію перимикання, але поверхня перемикання дрейфує в просторі станів. Викладений підхід порівняно просто реалізується лише для об'єктів не вище другого порядку, коли зовнішні сигнали є степеневими функціями, порядок яких не перевищує порядок об'єкта.

Синтез замкнених лінійних систем керування розроблено російським вченим О.М.Лєтовим і американцем Р.Калманом. Ці процедури назвали методикою аналітичного конструювання оптимальних регуляторів (АКОР). В цій задачі використовується узагальнений квадратичний критерій якості функціонування:

(4.72)

де: - вектор сигналів похибок;

q - діагональна невід'ємно визначена матриця вагових коефіцієнтів, які оцінюють степінь небажаності відхилень вихідних змінних від заданих значень; r- діагональна позитивно визначена матриця коефіцієнтів, які відповідають вартості енергії окремих керувань.

Якщо розглядається об'єкт, змінні стану якого піддаються повному і точному спостереженню, то для нього записується матричне диференціальне рівняння (за умови стаціонарності):

(4.73)

та алгебраїчне рівняння виходу

(4.74)

Нагадаємо ще раз позначення змінних і констант в рівняннях (4.73) - (4.74):

- вимірний вектор стану з компонентами;

-вимірний вектор керувань;

- вимірний вектор збурень типу „білий шум” з інтенсивностями ;

- вимірний вектор вихідних змінних,які повинні відповідати певним вимогам;

- постійні матриці, елементи яких є параметрами об'єкта.

В першому наближенні приймається, що керування не обмежені, і щодо розмірностей векторів виконується співвідношення:

(4.75)

В задачах стабілізації вихідних змінних забезпечується мінімум середньоквадратичного відхилення , що відповідає та мінімуму середньоквадратичного відхилення керування . Тоді мінімізується квадратичний функціонал:

(4.76)

Діагональні матриці враховують „штрафи” за відхилення та векторів . Вагові коефіцієнти підбирають експериментально шляхом послідовних ітерацій з визначення результатів на основі моделювання. При цьому головною закономірністю є: чим більше значення коефіцієнтів , тим ширша смуга пропускання замкненої системи,тобто збільшується швидкодія, чим більші значення коефіцієнтів , тим більша інерційність системи.

Задача стабілізації вихідних змінних за критерієм (4.76) еквівалентна задачі стабілізації змінних стану за критерієм

(4.77)

де:

Головним висновком, який отримали А.М.Лєтов і Р. Каллман, є:

- для системи керування,яка функціонує в режимі стабілізації оптимальні керування , які відповідають мінімуму функціоналів (4.76) або (4.77), є лінійними функціями змінних стану:

(4.78)

де: -матриця коефіцієнтів зворотніх зв'язків між змінними стану та керуваннями,

(4.79)

Матриця Д є симетричною позитивно-визначеною розміром і знаходиться як розв'язок нелінійного матричного алгебраїчного рівняння Ріккаті.

(4.80)

Оптимальні коефіцієнти зворотніх зв'язків в задачах стабілізації не залежать від параметрів випадкового збурення типу „білий шум”, але від цих параметрів залежить мінімально-досяжне значення критерію (4.77). Так, якщо - векторний „білий шум”, то мінімальне значення критерія буде:

(4.81)

де: - слід матриці (сума діагональних елементів);

-матриця інтенсивностей компонент вектора розміром .

Для системи стабілізації існує оптимальна передаточна функція, яка зв'язує вихід та задане значення :

(4.82)

При керуванні складними об'єктами, математичні моделі яких мають довільний порядок оператор оптимального керування буде також складним з використанням похідної змінної -го порядку.

Це приводить до труднощів реалізації таких систем, тому використовують квазіоптимальні системи (близькі до оптимальних). Такий підхід передбачає два можливих шляхи реалізації:

- спрощення знайденого строго оптимального оператора;

- синтез оптимального оператора для попередньо спрощеного об'єкта.

Контрольні запитання

1. Дайте визначення поняття „оптимізація”.

2. Що називають критерієм оптимальності?

3. В якому вигляді отримують оптимальне керування?

4. Наведіть класичну постановку задачі оптимального керування.

5. Наведіть класифікацію задач оптимізації стосовно систем керувань.

6. Які методи оптимізації використовуються при синтезі оптимальних систем керування?

7. Наведіть приклади критеріїв оптимальності для детермінованих та стохастичних систем.

8. Коли виникають задачі векторної оптимізації?

9. Що таке згортка критеріїв та область компромісів?

10. Як оцінюється важливість частинних критеріїв оптимальності?

11. Яка природа обмежень в задачах оптимізації?

12. Як формалізуються задачі оптимізації системи керування?

13. Наведіть суть принципу максимуму Л.С.Понтрягіна.

14. Які процедури використовуються при використанні принципу максимуму?

15. Наведіть геометричну інтерпретацію принципу максимуму.

16. Як формулюється задача оптимізації при використанні методу динамічного програмування?

17. Наведіть приклад застосування методу динамічного програмування для оптимізації багатостадійного процесу.

18. Наведіть приклад функції Беллмана.

19. Наведіть приклад системи, оптимальною за швидкодією 1-го, 2-го та n-го порядків.

20. Як формулюється і які наслідки має теорема про n інтервалів.

21. Як використовується принцип максимуму при розв'язанні задачі на максимальну швидкодію.

5. Адаптивні системи автоматичного керування

5.1 Загальні положення

В задачах керування стаціонарними об'єктами можна обмежитись такими алгоритмами оптимального керування, які визначають незмінну структуру та параметри пристрою керування (автоматичного регулятора). Передбачається, що існує достатній об'єм апріорної інформації щодо властивостей об'єкта та зовнішнього середовища. В той же час технологічні об'єкти керування є нестаціонарними, тобто їх параметри змінюються з часом, змінюються статичні та динамічні властивості в достатньо широкому діапазоні непередбачуваним чином. Об'єкти керування функціонують в умовах невизначеності, коли значно змінюються характеристики зовнішнього середовища, навантаження, якість сировини. Таким чином, завжди існує неповнота апріорної інформації, а також відсутні математичні моделі, які описують змінювані властивості об'єктів та зовнішнього середовища. В технологічних об'єктах, в яких, наприклад, відбуваються процеси теплообміну, змінюються коефіцієнти теплопередачі, що приводить до змінювання значень постійних часу та коефіцієнтів передачі. В таких умовах автоматичні регулятори, які розраховувались з урахуванням початкових значень параметрів об'єктів, не забезпечують потрібної якості процесів керування. Виникає об'єктивна необхідність змінювати алгоритми функціонування, створювати можливість пристосування (адаптації) системи керування до змінюваних умов функціонування. В цьому випадку частина частина інформації поповнюється в процесі функціонування системи. Часто свідомо йдуть на те, щоб система поповнювала інформацію в процесі функціонування, а на стадії проектування штучно створюються умови для адаптації.

Адаптивними автоматичними системами називають такі, в яких параметри пристроїв керування та (або) структура (алгоритми керування) автоматично цілеспрямовано змінюються для забезпечення необхідної якості функціонування у відповідності до прийнятого критерія в умовах невизначеності. Адаптивні системи застосовують тоді, коли складність нестаціонарного об'єкта керування сягає такого рівня, що вплив неповноти апріорної інформації стає настільки суттєвим, при якому неможливо забезпечити необхідну якість системи без її пристосування до змінюваних умов функціонування. Оптимізацію складних систем за допомогою адаптивних пристроїв керування називають автоматичною оптимізацією.

Адаптивні системи дозволяють розв'язувати ряд важливих задач керування:

- здійснити оптимізацію роботи об'єкта;

- забезпечити працездатність системи з необхідними показниками якості в умовах змінювання властивостей об'єкта;

- підвищити надійність та живучість складних систем, уніфікувати алгоритми керування для класів об'єктів;

- зменшити вимоги до процесу проектування систем за рахунок наступного поповнення інформації в процесі функціонування;

- здійснити дуальне керування з отриманням математичної моделі об'єкта в процесі експлуатації шляхом застосування спеціальних ідентифікаторів.

В першому наближенні визначити доцільність застосування адаптивних систем керування можна на основі аналізу функцій чутливості. Чутливість - властивість об'єкта змінювати режим роботи під впливом змінних в часі параметрів, тобто цим характеризується нестаціонарність об'єкта. Якщо в математичній моделі об'єкта є змінювані параметри ai(t), то розглядаються малі варіації параметрів відносно початкових значень ai0. Це дає можливість встановити вплив цих параметрів на координати об'єкта. Запишемо ряд:

 (5.1)

Функцією чутливості називають вираз:

(5.2)

Вплив варіацій параметрів на статичні і динамічні властивості системи називають параметричними збуреннями, а викликані ними відхилення координат - параметричними похибками. Якщо система зберігає свої властивості при певних параметричних збуреннях, її називають грубою або робастною. Чим менше значення функції чутливості, тим менші відхилення вихідних координат, тобто система грубіша, краща якість системи.

При ступінчастому координатному діянні додаткові відхилення координат будуть:

(5.3)

Класифікацію адаптивних систем виконують за такими ознаками:

- за характером змін в основному пристрої керування: із самонастройкою, коли адаптація відбувається за рахунок змінювань параметрів регулятора при постійній його структурі; із самоорганізацією, коли адаптація здійснюється за рахунок зміни структури пристрою керування (регулятора);

- за характером дії: із стабілізацією якості, тобто критерій І=Ізад або ІІзад; з оптимізацією якості: ІІextr;

- за методом пошуку екструмуму критерія якості: пошукові, безпошукові;

- за структурою: адаптивні системи з еталонними моделями (АСЕМ) і адаптивні системи з ідентифікацією об'єкта керування (АСІ).

Структура адаптивної системи із самонастройкою показана на рис.5.1.

Рис.5.1 Структура адаптивної системи

Рис.5.2 Статичні характеристики нестаціонарного об'єкта

Основний пристрій керування ПКо включений так, як у схемі регулювання за відхиленням з автоматичним регулятором АР. Пристрій керування адаптації ПКа отримує сигнали завдання Хзд, збурення Z, координат Х та керування U. Це дає можливість отримати інформацію щодо змінювань характеристик об'єкта та зовнішнього середовища, зокрема статичних характеристик за каналом керування x=f(u) (рис.5.2). В наведеній адаптивній системі можна виділити два канали керування: основний (координатний), який формує сигнал U, і адаптації (параметричний), який формує вектор параметрів ж, часто це - коефіцієнт підсилення.

5.2 Адаптивні системи з еталонними моделями та ідентифікаторами

Рис.5.3 Структура АСЕМ

Адаптивні системи з еталонними моделями - АСЕМ - часто використовуються при створенні систем автоматизації технологічних об'єктів. Узагальнена структура АСЕМ (рис.5.3) включає еталонну модель ЕМ в явному виді. Вихід моделі Хм порівнюється з координатою Х, а різниця між ними поступає на виконавчий пристрій самонастроювання ВПснс, на виході якого формується вектор параметрів ж. Цей вектор використовується у функціональному блоці ФБ. АСЕМ функціонує так: сигнал автоматичного регулятора Uрег поступає на об'єкт через ФБ і на еталонну модель ЕМ. На розрахунковому режимі властивості об'єкта та еталонної моделі співпадають, тому Х=Хм, а сигнал похибки =0. В цьому випадку коефіцієнт передачі ФБ дорівнює одиниці, і сигнал регулятора Uрег без змін поступає на вхід об'єкта. При зміні властивостей об'єкта ХмХ, 0 і вектор параметрів ж поступає на ФБ, який змінює вихідний сигнал регулятора так, щоб повернути систему в початковий стан, коли Х=Хм, =0. В таких системах додатково компенсується збурення Z, для чого вводиться компенсуючий пристрій КП.

Рис.5.4 Структурна схема АСЕМ

Розрахункова структурна схема АСЕМ показана на рис.5.4. На структурній схемі позначено: Wрег(р), Wок(р), W0зб(р) - відповідно передаточні функції регулятора, об'єкта за каналами керування та збурення. Крім того позначені передаточні функції: WЕМ(р) - еталонної моделі; WВПС(р) - виконавчого пристрою самонастройки; WКП(р) - компенсуючого пристрою; WФБ(р) - функціонального блока. При аналізі структури використовуються сигнали: ж - вихід контура самонастроювання; х1, х2 - складові координати х, обумовлені відхиленнями сигналів керування і збурення; хк - вихід блоку компенсації; - координатна похибка та похибка самонастройки; хм - вихід еталонної моделі.

Приймемо, що в системі застосовано ПІ - регулятор з передаточною функцією

(5.4)

Передаточні функції об'єкта:

(5.5)

(5.6)

(5.7)

Передаточні функції еталонної моделі та компенсатора обираються такими ж, як і передаточні функції об'єкта:

(5.8)

(5.9)

де: (н - індекс, яким позначено номінальний режим роботи системи).

В процесі функціонування технологічних об'єктів їх параметри (коефіцієнти передачі та постійні часу) змінюються в 1,510 разів і більше, тому виникає необхідність застосування адаптивних систем. В найбільш широкому діапазоні змінюються значення коефіцієнтів передачі k1 та k2.

Основою функціонування АСЕМ у цьому випадку приймається співвідношення:

(5.10)

На номінальному (розрахунковому) режимі ж=1, а в процесі функціонування ж цілеспрямовано змінюється для збереження залежності (5.10). При виконанні умови (5.10) автоматичний регулятор активно діє на об'єкт, тому змінювання постійних часу Ті та часу запізнювання будуть слабко впливати на якість перехідних процесів. Для реалізації залежності (5.10) функціонувальний блок ФБ виконує операцію множення на постійну величину.

Для аналізу процесу функціонування АСЕМ складається рівняння статики параметричного канала. В усталеному стані х=хм=хзд, тоді:

(5.11)

Приймаючи до уваги, що завжди Uрег>0 та Uрег= (це справедливо при задовільній компенсації складових х2), поділимо обидві частини (5.11) на Uрег, тоді:

(5.12)

Враховуючи, що kм=r характеризує ідеальний закон адаптації, величична

(5.13)

є оцінкою похибки адаптації. Таким чином, рівняння (5.12) визначає статичну характеристику контура адаптації, а (5.13) - методичну похибку адаптації. Видно, що точність адаптації в статиці можна підвищити шляхом компенсації збурення Z, тобто забезпечити статичну інваріантність. Похибку адаптації можна також зменшити за рахунок зменшення величини дробу (5.13). Методичну похибку можна усунути, якщо вимірювати значення коефіцієнта передачі k2.

Отже, поведінка основного контура порівнюється з поведінкою еталонної моделі, і задача пристрою адаптації полягає в мінімізації деякої функції неузгодженості їх станів (виходів) шляхом перенастроювання основного контура (параметрична адаптація).

Адаптивні системи з еталонними моделями мають суттєві переваги перед іншими за рахунок високої швидкості адаптації та незначного об'єму необхідної апріорної інформації. В той же час ці системи мають низький рівень перешкодостійкості.

При синтезі АСЕМ використовуються різні методи:

- мінімізації критеріїв якості. Обирається зручний критерій, який характеризує близкість параметрів моделі та об'єкта або векторів їх стану, наприклад, квадратичне відхилення;

- градієнтні методи. Алгоритм змінювання параметрів передбачає рух в напрямку антиградієнта цільової функції в залежності від похибки розузгодження. Обчислюється функція чутливості з використанням еталонної моделі;

- застосування функцій Ляпунова. Ці алгоритми використовують схеми швидкісного градієнта: враховується, що градієнт цільової функції близький за напрямом до градієнта її приростів у часі. Алгоритм адаптації також передбачає антиградієнтний рух щодо швидкості змінювання цільової функції та квадрата нев'язки між ідеальними параметрами і тими, які настроюються;

- теорії гіперстійкості. Синтез контура адаптації здійснюється з умов гіперстійкості (абсолютної стійкості за В.Поповим) системи з адаптивним регулятором;

- організації ковзких режимів. При цьому система набуває властивостей інваріантності по відношенню до параметричних збурень і перешкод. До цього методу часто відносяться системи з сигнальною адаптацією, отримані на основі схем швидкісного градієнта;

- введення „нескінченно великого” коефіцієнта підсилення, за рахунок чого передаточна функція системи стає еквівалентною передаточній функції еталонної моделі, але при цьому існують, як завжди, проблеми щодо стійкості та перешкодозахищеності.

Теоретичні, строго обгрунтовані, методи синтезу адаптивних систем можна розділити на два класи: точні та наближені. Приймається двохрівнева схема адаптивної системи, і задача синтезу розбивається на дві: основного контура та адаптації.

До точних методів відносяться:

- метод інваріантності, в якому реалізується ідея вибора „ідеального” керування на основі рівності правих частин еталонної моделі і моделі об'єкта;

- модального керування, коли „ідеальне” керування обирається, виходячи з бажаних показників якості перехідного процесу;

- оптимального синтезу, коли розв'язується задача оптимізації по сигналу керування щодо асимптотичного (при ) показника якості.

Наближені методи використовують прийоми декомпозиції, засновані на спрощенні моделі та синтезу на її основі системи. Для спрощення і декомпозиції використовуюються методи теорії збурень, скалярних і векторних функцій Ляпунова, лінеаризація, пониження порядку. Досить широко використовується підхід, заснований на виділенні швидких та повільних рухів системи, а синтез здійснюється на моделі, яка описує повільні рухи. Це методи осередження та сингулярних збурень.

Рис.5.5 Структура адаптивної системи з ідентифікатором

В адаптивних системах з ідентифікатором (рис.5.5) синтез контура адаптації здійснюється за допомогою математичної моделі, яка визначається за допомогою спеціального пристрою - ідентифікатора Ід. В процесі функціонування об'єкта можуть уточнюватись як структура моделі, так і її параметри, тобто сама модель є адаптивною, а процес ідентифікації включається в контур зворотнього зв'язку. Адаптивна система з ідентифікатором функціонує в двох режимах:

- навчання, коли ідентифікатор здійснює побудову моделі до того, поки похибка прогнозу вихідної змінної по моделі не стане меншою заданої величини;

- паралельний, коли уточнюється модель і одночасно здійснюється керування.

В ідентифікаторі закладено алгоритм уточнення моделі, наприклад, для лінійної моделі зв'язок між координатою Х та вхідним сигналом Z задається залежністю:

(5.14)

де: ai - оцінка і-го параметра моделі, N - номер такта (час).

В однокроковому алгоритмі ідентифікації застосовується ітераційна формула:

(5.15)

де: - параметр адаптації, який залежить від значень похибок вимірювання вхідних і вихідних змінних (наприклад, сума дисперсій). Алгоритм побудовано так, що значення параметрів моделі ai харатеризує зміни, які відбулись в об'єкті. Чисельник виразу (5.15) - це різниця між дійсним значенням вихідної змінної в N - му такті та її значенням, обчисленим по моделі з використанням оцінки ai,N-1 , тобто на попередньому кроці (такті). Якщо модель відповідає реальному об'єкту, то різниця в чисельнику однозначно характеризує зміни в об'єкті, а її величина дає кількісну оцінку відхилень властивостей об'єкта і моделі. Крім того, ці відхилення одразу враховуються змінюванням ai та сигналу керування. Наприклад, сигнал керування може формуватись так: