Методы принятия оптимальных решений

Метод множителей Лагранжа

Дана задача нелинейного программирования при ограничениях.

Предположим, что функции и непрерывны вместе со своими первыми частными производными.

Ограничения заданы в виде уравнений, поэтому для решения задачи воспользуемся методом отыскания условного экстремума функции нескольких переменных.

Составим функцию Лагранжа.

Найдем частные производные по каждой переменной.

Приравняв к нулю частные производные, получим систему

Решая систему, получим множество точек, в которых целевая функция может иметь экстремальные значения. Следует отметить, что условия рассмотренной системы являются необходимыми, но не достаточными. Поэтому не всякое полученное решение определяет точку экстремума целевой функции.

Выпуклое программирование

В выпуклом программировании целевая функция является выпуклой (вогнутой) и гладкой.

Функция называется выпуклой, если для любых х1 и х2 отрезок АВ, содержащие точки на кривой, лежит ниже графика функции и имеет место условие для любых х1 и х2 и любого действующего числа.

Если в данном условии изменить знак неравенства на противоположный, то получим определение вогнутой функции. Если же в условии неравенства выполняются как строгие, то функция называется строго выпуклой (или строго вогнутой).

Гладкость функции означает непрерывность её первых производных.

Задача выпуклого программирования формулируется следующим образом:

Найти минимум целевой функции при наличии ограничений на переменные и условий неотрицательности переменных.

Для вогнутой функции целевая функция достигает максимального значения.

К методам решения задач выпуклого программирования относятся: градиентные методы, в том числе метод наискорейшего спуска; метод секущих плоскостей; метод кусочно-линейной аппроксимации целевой функции и функции ограничений; графический метод при наличии двух переменных.

Цель: Познакомиться со свойствами функции полезности, освоить алгоритм решения задачи потребительского выбора, графическую интерпретацию полученного решения, а также изучить метод Лагранжа для решения задач на условный экстремум.

Ключевые слова: полезность, рациональный потребительский выбор, закон убывания предельной полезности, кривые безразличия.

Поведение потребителя при выборе набора товаров

Выбор товара потребителем определяется набором нужд покупателя (удобство, качество, надежность, скорость и т.д.), в соответствии с которыми и оценивается каждый конкретный продукт. Товар, получивший наивысшую оценку, воспринимается как наиболее выгодный и полезный. Таким образом, полезность, с точки зрения потребителя, это способность товара удовлетворять его потребности.

Полезность продукта, с точки зрения экономистов, индивидуальна для каждого потребителя. То, что полезно для одного человека, может быть абсолютно бесполезно для другого. В то время как физиологическая полезность одинакова для всех потребителей (за исключением потребителей с серьезными заболеваниями). Удовлетворяя жажду, Кока-Кола и столовая вода имеют одинаковую «экономическую» полезность (и тот и другой продукт удовлетворяет жажду), но разную физиологическую полезность.

«Экономическая» полезность индивидуальна и сложна для измерения. Кроме того, на сегодняшний день задача рационального потребительского выбора теряет свою актуальность. Предположим, хозяйка идет в магазин приобрести определенный набор продуктов для приготовления. Она не стоит перед выбором - купить мясо или рыбу, так как она уже определилась с меню. У нее возникает вопрос, какой сорт или какой фирмы производителя, купить тот или иной товар. А здесь мы уже обращаем внимание на качество товара.

Таким образом, в современных условиях развития рынка потребитель стремиться получить максимальное удовлетворение от потребления товаров высокого качества, с учетом своей покупательной способности.

Встает вопрос о построении математической модели задачи разумного потребительского выбора (направленного на потребление продуктов хорошего качества, не оказывающих на здоровье отрицательного влияния).

Такая задача имеет существенное преимущество в прикладном значении. В данном случае полезность не абстрактная величина, которая индивидуальна для каждого потребителя.

Функция полезности и ее свойства

Пусть задана целевая функция предпочтения потребителя F(k1x1, k2x2,…, knxn), где xi - количество единиц i-го продукта, ki - показатель качества единицы продукции. Учитывая, что потребитель ведет себя на рынке в соответствии со своей покупательной способностью, записываем бюджетное ограничение: Поскольку потребитель, приобретая набор продуктов питания, стремиться максимизировать полезность, то задача потребительского выбора сводится к следующей задаче на максимум:

F(k1x1, k2x2,…, knxn)>max

при условиях

х1?0, х2?0,…, хn?0

Полученная задача является задачей нелинейного программирования и решается методом Лагранжа.

Определение производственной функции и ее свойства

Производственная функция - это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов.

Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология - новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта. Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение - не у всех будут места).

2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

Наиболее простой является двухфакторная модель производственной функции Кобба - Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемы.

Максимизация объема выпуска при ограничении на затраты.

Доходом (выручкой) R фирмы в определенном временном периоде называется произведение общего объема Х выпускаемой фирмой продукции на цену этой продукции. Издержками С фирмы называют общие выплаты фирмы в определенном временном периоде за все виды затрат. Прибылью фирмы П в определенном временном периоде называется разность между доходом и издержками. Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем рационального распределения затрачиваемых ресурсов. В случае долговременного промежутка фирма может свободно выбирать любой вектор затрат ресурсов, поэтому задача максимизации прибыли в случае долговременного промежутка имеет вид:

Это задача нелинейного программирования. Необходимые условия ее решения - равенство нулю частной производной. Если в оптимальном решении использованы все ресурсы, то >0. Отсюда следует, что в оптимальной точке стоимость предельного продукта данного ресурса должна равняться его цене. Рассмотрим задачу с использованием двух видов ресурсов, т.е. . Тогда выручка R=pF(x1,x2); издержки C=w1x1+w2x2, и прибыль

П(x1,x2)= pF(x1,x2)- (w1x1+w2x2).

Линия уровня функции издержек производства называется изокостой. Ее уравнение w1x1+w2x2=const.

А0В0¦ А1В1¦ А2В2

с0< с1< с2

А0В0: w1x1+w2x2=c0

А1В1: w1x1+w2x2=c1

А2В2: w1x1+w2x2=c2

Решая эту задачу, получаем

Вектор затрат ресурсов, который является решением задачи, называется локальным рыночным равновесием фирмы в случае долговременного промежутка. В данной системе разделим первое уравнение на второе, получим.

Отсюда следует: в точке локального рыночного равновесия фирмы отношение предельной производительности первого ресурса к предельной производительности второго ресурса равно отношению рыночных цен на эти ресурсы. Здесь отрезок АВ есть изокоста , кривая R изокванта, касающаяся изокосты в точке D , которая и соответствует оптимальному набору ресурсов. Левая часть выражения - это предельная норма замены первого ресурса вторым. Таким образом, в точке локального рыночного равновесия фирмы предельная норма замены первого ресурса вторым равна отношению рыночных цен на эти ресурсы.

- являются функциями от цен р, w1, w2. Эти выражения называются функциями спроса на ресурсы. Подставив эти функции в ПФ: Х=F(x1,x2), получаем выражение. Это выражение называется функцией предложения выпуска.

Минимизация издержек при фиксированном объеме выпуска. Постановка задачи многокритериальной оптимизации

Выпуск фирмы задается производственной функцией Кобба-Дугласа: .

Стоимость аренды единицы фондов равна wK=5 ус.ед./ед.ф, ставка зарплаты равна wL=10 ус.ед./чел. На аренду фондов и оплату труда на фирме выделено С0=150 ус.ед.

В практической деятельности часто встречаются задачи, заключающиеся в поиске лучшего (оптимального) решения при наличии различных несводимых друг к другу критериев эффективности. Если такого рода задачи решаются методами математического программирования, то говорят о задачах многокритериальной оптимизации.

Многокритериальная оптимизация -- это раздел математического программирования, посвященный проблемам выбора принципов оптимальности и методов нахождения их реализаций в экстремальных задачах с несколькими критериями.

Пусть на плоскости (х,у) задано множество щ и в каждой точке этого множества определены две непрерывные функции:

W1=Ц(x,y) и W2=Ш(x,y).

Требуется найти точку, в которой и принимают максимальные значения, т.е. решить совместно две экстремальные задачи.

В общем случае поставленная задача решения не имеет, удовлетворить обоим требованиям одновременно невозможно. И, следовательно, нужно искать какое-то компромиссное решение.

Среди известных методов решения задач многокритериальной оптимизации можно отметить:

1) метод последовательных уступок,

2) метод идеальной точки.

Оба метода используют множество Парето, составленное в данном случае из допустимых точек задачи, которые не могут быть «сдвинуты» в пределах допустимого множества с улучшением сразу по обоим критериям. Иными словами, улучшая значения одного из критериев, мы неизбежно ухудшаем значения другого.

Принцип оптимальности по Парето

Множество (область) Парето -- множество всех допустимых решений, для которых невозможно одновременно улучшить все частные показатели эффективности в задачах многокритериальной оптимизации, т.е. невозможно улучшить хотя бы один из них, не ухудшая остальных. Решения, принадлежащие этому множеству, называются эффективными или оптимальными по Парето

Метод (последовательных) уступок решения задач многокритериальной оптимизации применяется в случае, когда частные критерии могут быть упорядочены в порядке убывания их важности. Предположим, что все частные критерии максимизируются и пронумерованы в порядке убывания их важности. Находим максимальное значение первого по важности критерия в области допустимых решений путем решения однокритериальной задачи. Затем, исходя из практических соображений и принятой точности, назначается величина допустимого отклонения первого критерия и находится максимальное значение второго критерия при условии, что значение первого критерия не должно отклоняться от своего максимального значения более чем на величину допустимой уступки. Снова назначается величина уступки по второму критерию, которая вместе с первой уступкой используется для нахождения условного максимума третьего частного критерия.

Аналогичные процедуры повторяются до тех пор, пока не будет выявлено максимальное значение последнего по важности критерия при условии, что значение каждого из первых m-1 частных критериев отличается от соответствующего условного максимума не более чем на величину допустимой уступки по данному критерию. Полученное на последнем этапе решение считается оптимальным. Следует заметить, что этот метод не всегда приводит к эффективному решению. Поэтому практически метод реализуется так, что ЛПР, работая в режиме диалога со специалистом, анализирует точки на границе Парето и, в конце концов, соглашается остановиться на некоторой компромиссной.

Размещено на Allbest.ru