(3.14)

где xi, xj - малые приращения компонент вектора х. Следовательно, чтобы x = xопт была точкой, в которой целевая функция принимает минимальное значение, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись условия (3.13) и (3.14). Для решения (3.13) используются изветные методы, в частности, численный метод решения системы нелинейных алгебраических уравнений Ньютона - Рафсона. Отметим, что любые неравенства, накладываемые на неизвестные параматры вектора х, можно привести к равенствам, вводя дополнительные неизвестные. Например, пусть имеем ограничение вида: х<5, которое можно переписать в виде: х=5 - х, где х дополнительно вводимый параметр, подлежащий определению наравне с остальными параметрами вектора х. Рассмотрим применение методики параметрической оптимизации на конкретной задаче.

Проектирование САР имеющей PID - регулятор в контуре управления.

Пусть задана схема управления в виде:

В схеме известен вид передаточных функций звеньев:

Wp = kp; W i= ki /s; Wd = kd s; Wор (s) = k / (s + a).

Нужно найти значения вектора параметров x = ( kp, ki, kd), при которых корни si характеристического уравнения замкнутой системы принадлежат области качества , определяемой параметрами = 2, 1. Решение будем строить по шагам:

1. Найдем передаточную функцию разомкнутой системы:

Wразом (x,s) = (kp + ki/s + kds) k /(s + a) = k(skp + ki + kds2)/(s(s +a)).

2. Определим передаточную функцию замкнутой системы:

3. Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

4. Зададим эталонное расположение корней характеристического уравнения и по ним составим эталонное характеристическое уравнение:

, = s2 + 5s + 6 = 0.

5. Cоставим целевую функцию F(x) на основе минимизации невязок коэффициентов двух характеристических уравнений:

.

Отметим, что поскольку на параметры вектора х не наложены ограничения, то имеем дело с задачей безусловной оптимизации. Для достижения минимума положительной квадратичной функции F(x) достаточно, чтобы нулю равнялись все три слагаемые, а именно:

Если мы используем необходимое и достаточное условие минимальности F(x), то получаем следующую систему уравнений:

Поскольку оптимизируемая функция является положительной, квадратичной, она имеет один экстремум - минимум и, следовательно, нет необходимости проверять условие Вейерштрасса, то есть положительность квадратичной формы.

Рассмотрим алгоритм параметрической оптимизации. Его применение предполагает выполнение следующих этапов:

1. Задание схемы, вектора оптимизируемых параметров х, ограничений (x), начального значения х = х0.

2. Выполнение декомпозиции схемы в случае многомерной САУ.

3. Нахождение матрицы W(x,s).

4. Анализ качества системы управления по расположению нулей и полюсов матрицы W(x,s) при х = х0. Если качество удовлетворительно, то нужно перейти к п.9.

5. Задание эталонной системы управления в виде .

6. Формирование целевых функций Ф(x,), F(x).

7. Решение задачи оптимизации для Ф(x,) min или F(x) min.

8. Условие Вейерштрасса выполнено? Если нет, то требуется корректировка начальных условий и переход к п.1.

9. Вывод результатов в виде значений вектора х.

10. Конец алгоритма.

В заключение параграфа отметим, что полученное значение вектора х = хопт обеспечивает рациональное расположение корней характеристического уравнения, при заданных ограничениях на качество.

При автоматизации производственного процесса возникает задача выбора типового регулятора и определение его параметров, обеспечивающих заданное качество управления объектом. При этом обычными приемами синтеза регулятора являются: - выбор закона регулирования в виде уравнений динамики регулятора; - определение передаточной функции САР;- исследование САР на устойчивость; - определение параметров настройки регулятора в соответствии с требованиями, налагаемыми на качество управления. Если не удается настроить параметры регулятора должным образом, то проектирование продолжается в направлении усложнения регулятора. Под сложностью регулятора понимают порядок его уравнений. Обычно сложность регулятора не превышает сложности объекта регулирования.



3. Синтез адаптивных систем управления

3.1 Постановка задачи синтеза самонастраивающихся систем

Рассмотрим две схемы адаптивного управления:

- схема 1 - “ЭВМ + РГ + ОУ”:

- схема 2 - “ЭВМ + ОУ ” :



Введем в рассмотрение вектора:

- p - вектор параметров ОУ;

- х - вектор перенастраиваемых параметров регулятора;

- V - вектор управляющих воздействий на регулятор;

- U - вектор управляющих воздействий на ОУ;

- r - вектор задающих воздействий;

- f - вектор возмущающих воздействий.

Считаем значения векторов p, r, f нестационарными. В качестве самонастраивающейся системы управления будем рассматривать такую, которая вырабатывает управляющее воздействие на нестационарный объект при нестационарности задающих и возмущающих воздействий, обеспечивая цель и качество управления.

1. Задача синтеза самонастраивающейся системы управления с ЭВМ и регулятором в контуре управления может быть сформулированна следующим образом. Для заданного объекта управления передаточной матрицей WОУ( p,s), отдельные или все коэффициенты которой являются переменными, необходимо определить структуру системы управления и закон x (tм) = x ( p, r, f, tм) изменения вектора настраиваемых параметров регулятора в зависимости от изменения во времени p, r, f , кроме того требуется сформировать закон

который будет обеспечивать требуемые показатели качества функционирования системы во времени.

Задача синтеза системы управления с ЭВМ в контуре управления, на которую возлагаются все функции управления, может быть сформулированна таким образом. Для заданного объекта управления матрицей WОУ(p,s) необходимо определить закон



.

выработки управляющих воздействий на объект управления, который при вариации во времени p, r, f ,будет обеспечивать требуемые показатели качества управления объектом.

3.2 Процедура синтеза закона управления

Пусть структура системы управления уже выбрана или известна. В зависимости от типа синтезируемой системы управления с автоматическим регулятором или без него в контуре управления нужно различать и задачи синтеза управлений. Рассмотрим процедуру синтеза вектора V. Для того чтобы воспользоваться рассмотренными ранее положениями нужно перейти от математической модели непрерывной системы управления к модели непрерывно дискретной, квазистационарной, то есть такой модели, которая в дискретно малые интервалы времениt может быть представлена системой уравнений вида:

Y (R, х, p, f, s) = WI (х, p, s) R (s) + WII (х, p, s) f (s) (4.1)

При нахождении вектора х в момент tм решение будет искаться в интервалеt. Для этого необходимо задать эталонную систему управления через расположение полюсов и нулей. Синтезируемый закон управления должен отвечать за формирование в интервале t математической модели системы управления максимально приближенной к эталонной. Тогда из решения расчетной системы уравнений определяются искомые зависимости

х = х (p, r, f) (4.2)

Рассмотрим формирование целевой функции. Моделирование процессов в комплексной области позволяет выбрать в качестве целевой функции функцию вида:

F (x, f, p, r) min (4.3)

Здесь через обозначено заданное значение управляемой величины Yi на i-ом выходе объекта управления в установившемся режиме. При формировании функции F учитывают вариации тех параметров, которые принимаются за неизвестные. Минимизация F будет проводиться по переменным вектора х. Это позволит в дискретные моменты времени tм = tм-1 +t по измеренным или оцененным значениям p(tм ), f(tм), r(tм) находить х(tм ) из расчетной системы уравнений. Предполагается, что реализации p(tм ) определяются прямо (с датчиков) или косвенно (с помощью оценок), реализации r(tм), относящиеся к задающим воздействиям, поступают от ЭВМ в моменты времени tм в соответствии с целями управления. Значения вектора возмущений f(tм) учитываются в том случае, если места приложения таких воздействий известны, а их величины могут быть измерены или оценены. Отметим, что при синтезе закона управления нужно стремиться к получению линейных алгебраических зависимостей, что обеспечит наиболее простое, а значит и более эффективное управление объектом. Линейные зависимости могут быть получены путем рационального синтеза структуры регулятора ( аналитического конструирования регулятора).

Полученные зависимости: х(tм) = х (p, f, r, tм ) позволят формировать вектор управляющих воздействий

V (tм) = х (tм) - х(tм-1) (4.4)

направленый на изменение параметров регулятора. Перенастройка параметров х осуществляется с помощью исполнительных устройств.

Перейдем к рассмотрению синтеза закона управления для второй схемы. Отметим, что, несмотря на исключение регулятора из контура управления, его формальное присутствие остается в математической модели системы управления. Работу регулятора в данном случае берет на себя ЭВМ. При этом характеристики модели регулятора будут влиять на выработку управляющих воздействий U. Обратимся к схеме и найдем выражение, определяющее вектор Y.

Y = (4.5)

Выразим U посредством R и f. Для этого вначале положим сигнал f = 0. Тогда, как это наглядно видно из схемы, можно записать:

Далее положим сигнал R=0, и найдем связь U с f.

В соответствии с принципом суперпозиции можно записать:



(4.6)

Несмотря на сложность выражений (4.5)- (4.6) окончательные формулы при решении задач намного проще после подстановки значений p(tм), r(tм), f(tм), х(tм) = х(p, r, f, tм). Законы управления (4.4) и (4.6) позволяют на дискретных интервалах времени t с помощью ЭВМ определять управляющие воздействия, обеспечивающие заданные требования к управлению в виде выполнения условий (3.9) и (3.10). Учет требований (3.9) и (3.10) закладывается при формировании обобщенного функционала качества (4.3), минимизация которого составляет основу формирования закона управления.

3.3 Синтез адаптивного управления объектом при помощи PI регулятора

Пусть динамика нестационарного объекта управления описывается передаточной функцией вида:

Требуется спроектировать схему управления объектом при нестационарности задающего воздействия r, при нестационарности параметров объекта k и a. Найти функцию управления объектом, позволяющую поддерживать качество управления на заданном уровне, обеспечивая выполнение условий:

| s Y(s) - R(s) |s=0 ,

s , ( = 2, 1).

Выберем PI - регулятор. Введем в рассмотрение два вектора х = (kp, ki), p = (k, a). Схема регулятора имеет вид:

Запишем характеристическое уравнение САР в параметрической форме:

Зададим эталоную САР через расположение корней характеристического уравнения: , уравнение примет вид:

s2 + 5 s + 6 = 0.

Составим целевую функцию:

Последнее слагаемое характеризует статическую ошибку, учитывая, что величина статической ошибки должна подчиняться условию:

| s Y(s) -R | , (s = 0).

Параметры регулятора определятся из уравнений:

По сути это есть зависимость x(tм)=x(k(tм),a(tм)).Таким образом сигналы, подаваемые ЭВМ на объект управления будут формироваться в соответствии с законом:

V(tм) = х (a(tм), k(tм)) - х (a(tм-1), k(tм-1))

V1(tм) =

V2(tм) =

Схема 1 системы адаптивного управления примет вид:

Рассмотрим процедуру синтеза закона управления для схемы 2 адаптивного управления, воспользовавшись полученной ранее формулой (4.6) при f = 0.

Поскольку управляющее воздействие должно вырабатываться только по завершению переходного процесса, то, положив s = 0, находим

3.4 Постановка задачи оптимального управления

Рассмотрим формулировку задачи оптимального управления Майера. Пусть поведение объекта управления описывается уравнением:

(4.7)

Назовем допустимыми такие управления ui(t):

| ui(t) | ui*, (i=1,2,...n),

которые принимают значения из заданного множества U. Среди допустимых управлений переводящих объект (4.7) из состояния x(t0) в состояние x(t1) требуется выбрать оптимальное, то есть такое, которое будет минимизировать функционал



.

Рассмотрим формулировку задачи оптимального управления на основе моделирования процессов в комплексной плоскости. Пусть объект управления описывается уравнением:

,

где p - вектор параметров объекта управления; r - вектор задающих воздействий; f - вектор возмущений. Отметим, что p, r, f - нестационарные.

Среди допустимых управлений переводящих объект из заданного состояния y(t0) в состояние y(t1) требуется найти такое, для которого функционал (4.3) будет минимальным.

3.5 Аналитическое конструирование регулятора

Рациональный или оптимальный выбор структуры регулятора во многом определяет эффективность синтезируемой системы управления. Поэтому задача синтеза структуры является одной из важнейших в инженерной практике. Рассмотрим синтез структуры многомерной системы управления базирующийся на моделировании процессов в комплексной области. Прежде всего, обратимся к вопросу синтеза структуры и параметров регулятора для одномерного объекта управления заданного своей передаточной функцией. Затем полученное решение обобщим на класс многомерных систем. Вернемся к полученному ранее решению задачи параметрической оптимизации. Среди значений параметров регулятора определялись такие, при которых проектируемая система управления была максимально приближена к эталоной. В таком приближении двух математических моделей большую роль играли передаточная функция синтезируемого устройства и расположение полюсов и нулей эталоной системы управления. Задание расположения эталонных полюсов выполнялось с учетом требования (3.10). Формирование передаточной функции регулятора можно осуществлять на базе итерационного процесса, построенного на последовательном усложнении структуры регулятора. Правила предписывающие задание характеристик структуры системы управления касаются в основном передаточной функции регулятора и состоят в следующем:

- структура одномерной системы управления определяется последовательным соединением объекта управления и регулятора, охваченными единичной отрицательной обратной связью;

- математическая модель объекта управления должна быть представлена передаточной функцией вида:

- регулятор на начальном этапе синтеза задается передаточной функцией вида

WРГ(х, s) = x;

- все коэффициенты передаточной функции регулятора принимаются за искомые значения;

- усложнение структуры регулятора идет путем последовательного добавления членов в полиномы его передаточной функции, которые вводятся в порядке возрастания степени s, начиная со знаменателя и переходя к полиному числителя.

Синтез структуры системы управления продолжается до тех пор, пока не будет синтезирована схема, удовлетворяющая требованиям (3.9), (3.10). Проиллюстрируем процедуру синтеза регулятора на примере. Пусть в начале регулятор задан пропорциональным звеном с передаточной функцией равной х1 и пусть такая система управления не выполнила задачу управления (например, неудовлетворительное качество), тогда дальнейшая последовательность синтеза регулятора следующая:

WPГ=, WPГ=, WPГ=, …

Задание на начальной итерации передаточной функции регулятора и структуры системы управления дает необходимую информацию для формирования математической модели системы управления в виде передаточной функции, представленной в параметрической форме, а также дает основание для задания ее эталоной модели расположением полюсов и нулей или передаточной функцией. Это позволяет определить параметры вектора х путем решения задачи параметрической оптимизации. В случае неудовлетворительного качества синтезированной системы управления процесс синтеза сосредотачивается на двух направлениях: корректировке или усложнении эталоной модели и усложнении структуры регулятора синтезируемой системы управления. Усложнение эталоной модели осуществляется путем увеличения степени полиномов ее передаточной функции, например, вводится дополнительный полюс или нуль или даже несколько. Корректировку расположения полюсов предполагается проводить внутри области . Обобщение рассмотренной процедуры на класс многомерных систем управления касается синтеза структуры многомерного регулятора. Предполагается в качестве такого устройства рассматривать устройство, компоненты которого (локальные регуляторы каналов вход - выход) синтезируются в соответствии с изложенными выше правилами. При этом необходим учет влияния каналов друг на друга, если такое влияние существует. Эта задача, как правило, разрешима, если в качестве функции цели использовать функцию вида:

,

минимизация которой должна вестись по параметрам вектора х. Методика синтеза объединяет процедуру синтеза структуры регулятора с процедурой синтеза его параметров по схеме:

1. Синтез структуры регулятора.

2. Синтез параметров передаточной функции регулятора.

3. Анализ качества системы управления.

4. Синтез структуры регулятора.

5. Синтез параметров передаточной функции регулятора.

6. Анализ качества системы управления

… и т.д.

процесс продолжается до тех пор, пока не будет синтезирована система управления с заданными свойствами.



4. Отдельные вопросы теории управления

4.1 Управляемость и наблюдаемость

Дифференциальные уравнения многомерной системы управления могут быть представлены в форме Коши векторно - матричной записью вида:

(5.1)

В этих выражениях используются следующие матрицы - столбцы: х - для фазовых координат системы, y - для управляемых величин, u - для управляющих величин, f - для возмущающих и задающих воздействий.

A, B, C, D, E - матрицы коэффициентов. , ( i=1,2,…,n) представляют собой некоторые абстрактные величины, задание которых полностью определяет текущее состояние системы. Эти величины называются фазовыми координатами системы. Состояние системы может быть полностью отождествлено с положением изображающей точки в n - мерном пространстве, которое носит название пространства состояния. Рассмотрим n - мерное пространство состояния Х, в котором каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки, определяемое значениями фазовых координат . Пусть в пространстве состояния Х заданы два множества . Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление u(t), определенное на конечном интервале времени, которое переводит изображающую точку в пространстве Х из подобласти в подоблась . Можно сузить понятие управляемости и понимать под ней возможность перевода изображающей точки из любой области пространства состояния Х в начало координат. Система будет полностью управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле.

Когда часть управляющих величин не входит в некоторые дифференциальные уравнения (5.1) , то это говорит о том, что система будет не полностью управляемой. А если часть фазовых координат не учавствует в формировании выхода y, то система считается не полностью наблюдаемой. Например, система управления, представленая уравнениями вида:

является не полностью управляемой, а система управления, представленая уравнениями вида:

является не полностью наблюдаемой.

4.2 Инвариантные системы управления

Вариации параметров системы управления, вызванные внешними возмущающими воздействиями или возмущающими факторами, действующими внутри системы управления, способствуют появлению дополнительного движения, которое при неконтролируемых изменениях параметров обычно является нежелательным. В связи с этим возникает проблема синтеза таких систем управления, которые были бы способны компенсировать нежелательные параметрические возмущающие воздействия.

В качестве математической модели многомерной системы управления будем рассматривать передаточную матрицу W(x,h,s), где х- вектор настраиваемых параметров управляющей части, h - вектор неконтролируемых параметров. Задачей современного развития теории инвариантности является исследование в области многомерных и сложных систем управления, нелинейных, с переменными параметрами, с перемнной структурой и т.д.

Синтез инвариантных систем управления обычно осуществляется с использованием показателей качества и ограничений, налагаемых на параметры. За показатели качества, характеризующие дополнительное движение, вызванное возмущающими воздействиями, могут приниматься максимальное отклонение дополнительного движения

или интегральное квадратичное отклонение вида:

.

Среди задач синтеза инвариантных систем выделяются задачи, в которых требования малой чувствительности формализованы в виде ограничений на дополнительное движение или на функцию чувствительности. В качестве ограничений могут использоваться соотношения



Здесь приняты следующие обозначения: - функция чувствительности, - точность. Среди задач синтеза инвариантных систем выделяются задачи, в которых требования малой чувствительности формализованы в виде ограничений на дополнительное движение или на функцию чувствительности. Отметим, что системы абсолютно инвариантные как и системы с нулевой чувсвительностью к изменению неконтролируемых параметров физически не реализуемы. Системы параметрически инвариантные до и системы с - чувствительностью принципиально могут быть физически реализованы. В общей форме синтез таких систем, как во временной, так и в частотной области сводится к решению задачи нелинейного программирования, что связанно с вычислительными трудностями, когда речь идет о сложных системах. Рассмотрим класс систем управления, описываемых в комплексной плоскости системой уравнений, представленной векторно-матричной формой:

Y(x,h,s) = W(x,h,s) R(s) (5.2)

где х - вектор настраиваемых параметров управляющей части, h - вектор неконтролируемых параметров системы управления, Y и R соответственно векторы сигналов на выходах объекта управления и внеших входах системы управления, W - матрица передаточных функций, коэффициенты которых выражены явно через компоненты векторов х и h. За характеристику дополнительного движения, вызванного вариацией вектора h, выберем суммарное отклонение сигналов на выходах объекта управления вследствие отклонения параметров вектора h от номинальных ( расчетных) значений вектора h и запишем его в виде:

(5.3)

где k - размерность вектора y, z - размерность вектора h. Дополнительное движение при вариации неконтролируемого параметра h, возникающее на выходе i - го канала входы - выход многомерной системы управления определим выражением:

Тогда ограничение на модуль дополнительного движения может быть представлено условием:

(5.4)

Систему управления назовем параметрически инвариантной до , если при вариации h дополнительное движение, возникшее в системе управления, не нарушит ограничение (5.4).

4.3 Расчет и анализ чувствительности

Основной задачей теории чувствительности является анализ дополнительного движения вызванного вариацией параметров. Такой анализ, в частности, включает количественные оценки, характеризующие влияние одних параметров на другие или на качество технической системы в целом. Обычно анализ дополнительного движения строится на основе нахождения функций чувствительности, получаемых в результате решения дифференциальных уравнений называемых уравнениями чувствительности. Вместе с тем применяются различные косвенные оценки, в том числе частотные или корневые. Будем рассматривать систему управления в комплексной плоскости. В качестве вектора варьируемых параметров выберем вектор p, компоненты которого есть отдельные коэффициенты передаточных функций определенных звеньев системы управления. В качестве исследуемых характеристик, изменяющихся при вариации p, выберем вектор переменных y на выходах объекта управления (управляемых параметров). Тогда чувствительность y к p может быть представлена матрицей

(5.5)

для системы управления описываемой системой уравнений вида

Y( p, s) = W( p, s) R(s) (5.6)

В формуле (5.5) k - размерность вектора y, а v - размерность вектора p, - начальное (номинальное) значение праметра , - установившееся значение сигнала на i- ом выходе при . Частные производные, входящие в формулу (5.5), вычисляются в точке .

Рассмотрим вопрос количественной оценки чувствительности установившегося режима к вариации параметров вектора p. Для этого положим s = 0 и R(s )=1/ s. В силу принятых допущений выражение (5.5) значительно упростится без потери существенной информации относительно установившегося режима:

(5.7)

Расчет матрицы чувствительности включает этапы:

1. Задание структуры и состава системы управления, вектора .

2. Построение W(p,s).

3. Формирование .

4. Определение .

5. Вычисление элементов матрицы чувствительности по формуле (5.7).

Если анализ диктует необходимость рассмотрения функций чувствительности для установления влияния вектора p на динамику системы управления, то s в формуле (5.7) не должно обнуляться и от полученных функций следует перейти к временным функциям на основе известного разложения Хевисайда рациональной алгебраической функции.

4.4 Робастные системы управления

Проектирование робастных систем управления - одна из сложных проблем современной теории управления. Свойство систем управления обеспечивать устойчивость при вариации параметров объекта управления в определенных пределах называется робастной устойчивостью. Отметим, что устойчивость является одним из самых важных свойств систем управления, но не единственным. Такие важные характеристики управления как точность, время регулирования, перерегулирование должны обеспечиваться также на приемлемом уровне. Свойство системы управления выполнять заданные требования на качество при вариации параметров объекта управления можно определить как свойство робастности в более широком смысле, чем робастная устойчивость, хотя устойчивость должна обеспечиваться в первую очередь. Ограничения на качество управления могут назначаться как во временной, так и в комплексной области. Для исследования робастной устойчивости систем управления на практике используется подход, базирующийся на результатах теоремы Харитонова, дающий заключение о робастной устойчивости на основе алгебраического анализа корней четырех полиномов.

Рассмотрим вопрос проектирования робастно устойчивых систем управления с заданным качеством управления. Отметим, что качество многомерной системы управления зависит от качества ее каналов входы - выход. Представим обобщеную передаточную функцию таких каналов в виде

,

где х - вектор настраиваемых параметров управляющей части, p - вектор квазистационарных параметров объекта управления. Пусть

Границы включают номинальные значения параметров , а также их возможные вариации под действием внешних и внутренних факторов. Для того чтобы найти зависимость х = х ( p), которая бы позволяла настраивать х по известным реализациям p, обеспечивая требуемое качество управления воспользуемся моделированием процессов в комплексной плоскости, что позволит сформировать целевую функцию

на основе приближения проектируемой системы управления к эталоной.

Введем в рассмотрение семейство полиномов:

где и D - являются полиномами числителя и знаменателя передаточных функций каналов входы - выход с коэффициентами вида:

Если компоненты векторов х и p находятся внутри своих границ , то и коэффициенты , ( i =1,…,m; j = 1,…n) тоже могут варьироваться только внутри своих собственных границ, зависящих от х и p, потому что c и d являются однозначными функциями переменных х и p, то есть

Считаем, что многомерная система управления является робастно устойчивой и имеет заданное качество управления, если семейства ее полиномов и D(s,Q) удовлетворяют требованиям (3.9) - (3.10). Их сказанного следует, что семейство D(s,Q) робастно устойчиво тогда и только тогда, когда для любой реализации вектора корни полинома D(s, d) располагаются в левой полуплоскости s. Отметим, что значения компонент вектора d определяются путем подстановки в выражения коэффициентов значений и

Теорема. Для того чтобы многомерная система управления являлась робастно устойчивой и удовлетворяла заданным динамическим характеристикам (3.10) достаточно, чтобы F(x,p) = 0 при

.

Доказательство. Следуя от противного, предположим, что качество управления оптимизированной по параметрам системы управления неудовлетворительно при F(x,p) = 0, где . Это означает, что расположение полюсов и нулей, соответствующее решению , не удовлетворяет требованию (3.10). Следовательно, существует, по крайней мере, один полюс или нуль отличный от идеального. В рамках правила формирования целевой функции F(x,p) это означает, что она имеет хотя бы одно слагаемое отличное от нуля, что противоречит условию теоремы.

Рассмотрим процедуру определения запаса робастности многомерной системы управления. Считаем известными номинальные значения компонент вектора p и возможные границы его вариации , а также считаем известным аналитическое выражение D(x,p,s).Задача состоит в том, чтобы вычислить запас робастности многомерной системы управления при . Иначе, из более широкой области границ P, внутри которых качество системы управления неизвестно, нужно выделить подобласть, то есть такие границы , при которых семейство полиномов будет робастно устойчивым. Величину

, (5.8)

будем считать мерой запаса робастности. Рассмотрим сказанное на простом примере. Пусть номинальные значения вектора варьируемых параметров равны . Наименее возможное отклонение параметров от номинальных значений до границ интервалов составляет 1.0, то же самое значение дает формула (5.8). То есть, если параметры будут отклоняться на величину менее чем 1.0, то система управления сохранит свое качество, если оно гарантируется расположением варьируемых параметров внутри заданных интервалов.

Обратимся к интерпретации теоремы Харитонова. Доказано, что если корни четырех полиномов:

полученных из полинома характеристического уравнения, имеют отрицательные действительные части, то система управления будет сохранять устойчивость при вариации вектора p внутри границ назначенных интервалов. Если все корни четырех полиномов располагаются в левой полуплоскости области s, то система управления будет робастно устойчивой при условии, что варьируемые параметры не будут выходить за границы назначенных интервалов.



5.Литература

1. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. - М.: Энергия, 1980. - 312с.

2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука,1972. - 768с.

3. Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. Для вузов./ Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. - М: Высш. Шк., 2003. - 614с.

4. Прохорова О.В. Оптимизация многомерных систем автоматического управления на основе модификации метода корневого годографа. //Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. М.: МИЭМ, 1998. - 30 с.

5. Прохорова О.В. Машино - ориентированный метод расчета чувствительности многомерных систем управления // Приборостроение. - 1994. - №. 11 - 12. - С. 36 - 41.

6. Prokhorova O., Filanovsky I.M. Multivariable System Design and Optimization Using Root Locus Method // Proc. 33rd Midwest Symposium on Circuits and Systems. - Calgary: IEEE. - 1991. - V.1. - P 523 - 526/

Размещено на Allbest.ru