Построение имитационных моделей сложных систем

Существует два правила обслуживания неудовлетворенного требования, когда в очереди ожидают другие требования. Программа должна быть написана таким образом, чтобы, повторно задавая отдельный входной параметр, мы могли заменить правило 1 правилом 2:

+ Правило 1: требование, неудовлетворенное только что завершившимся обслуживанием, становится в конец очереди.

+ Правило 2: требование, неудовлетворенное только что завершившимся обслуживанием, становится в очередь так, чтобы следующее, которое перейдет из начала очереди на обслуживание, имело наибольшее число прохождений обслуживания; используется принцип FIFO в случае разрешения связей. Данное правило является справедливым и эффективным с точки зрения производительности, так как требованиям, у которых было несколько случаев неудовлетворительного обслуживания, скорее всего, потребуется кратчайшее время обслуживания и они, вероятно, будут удовлетворены качеством обслуживания.

В исходном состоянии в системе нет требований и устройства являются свободными. Моделирование должно выполняться в течение 480 мин. Вычислите среднее и максимальное общее время в системе (включая задержки в очереди и время обслуживания требования) и число удовлетворенных обслуживанием требований, покинувших систему в процессе моделирования. Кроме того, вычислите среднюю и максимальную длину очереди, среднее по времени и максимальное число занятых устройств обслуживания.

При выполнении этого варианта использовать теоретические сведения к контрольной работе (См. файлы: Имитационное_моделирование.doc, Имитационное_моделирование_ч2.doc).

Вариант 15. Компания Consolidated Corkscrews (CC) является международным производителем точных измерителей из углеродистой стали, предназначенных для работы в труднодоступных местах. Каждый пробник изготавливается на токарном станке. Чтобы удовлетворить растущий спрос на данную продукцию, компания СС планирует создать новый завод с шестью станками. Однако она не знает, как лучше построить такой завод и оборудовать отдел технического обслуживания. У каждого станка есть свой оператор, который отвечает также за ремонт станка, если тот становится неисправным. Данные, касающиеся надежности работы станков указывают на то, что время исправной работы станка распределено экспоненциально со средним значением 75 мин. Когда станок становится неисправным, оператор немедленно обращается на склад, чтобы получить комплект инструментов, необходимых для ремонта. На заводе имеется ограниченное число т комплектов инструментов, поэтому в нужный момент их там может не оказаться. При отсутствии на складе комплектов инструментов механик, обратившийся за ними, становится в очередь по принципу FIFO. Когда освобождается комплект инструментов, он помещается на конвейерную ленту и прибывает через tt мин к станку г; время ti зависит от номера станка i, для которого запрошен комплект инструментов. Если комплект инструментов доступен, он незамедлительно помещается на конвейерную ленту и прибывает через ti мин к станку i; в данном случае задержка оператора в очереди равна 0. После того как оператор неисправного станка получает комплект инструментов, он производит ремонт в течение времени, представленного случайной величиной с распределением Эрланга 3-го порядка и средним значением 15 мин. После окончания ремонта станок вновь начинает работу, а комплект инструментов отправляется на склад, куда он прибывает через ti мин, если отправлен со станка i Представим себе, что изначально все станки работают, они только что отремонтированы и все n комплектов инструментов находятся на складе. Компании С С необходимо получить следующие данные о 24-часовом рабочем дне проектируемого завода:

+ доля времени, когда все шесть станков неисправны; + среднее по времени число неисправных станков;

+ среднее по времени число неиспользуемых комплектов инструментов, находящихся на складе;

+ средняя задержка в очереди операторов, которым требуется комплект инструментов.

Нужно обратить внимание на два основных вопроса.

А. Схема расположения станков на заводе.

¦ Линейная схема: станки расположены по прямой линии, на левом конце которой находится склад инструментов (рис. ); одна конвейерная лента может обслуживать все станки. В рассматриваемом здесь случае U = 2i мин, для i = 1, 2,..., 6.

Рис. Линейная схема расположения станков

Б. Требуемое число комплектов инструментов. Поскольку инструменты стоят дорого, компания приобретает лишь нужное число комплектов.

Выполните необходимые прогоны имитационной модели завода и дайте свои рекомендации для компании СС по вопросам А и Б.

Вариант 16.

Кафе студенческого центра в университете стремится улучшить качество обслуживания. Особенно большой наплыв клиентов наблюдается в обеденное время, с 11.30 до 13.00, когда они прибывают группами по 1,2,3 и 4 чел., с соответствующими вероятностями 0,5; 0,3; 0,1 и 0,05. Интервалы времени между прибытиями групп распределены экспоненциально со средним значением 30 с. Изначально в системе клиенты отсутствуют. Прогон модели должен соответствовать 90 мин работы системы. Каждый клиент, не важно, прибыл он сам по себе или в группе, выбирает один из трех маршрутов по кафетерию:

+ пункт выдачи горячих блюд, пункт выдачи напитков, касса;

+ пункт выдачи холодных закусок, пункт выдачи напитков, касса;

+ пункт выдачи только напитков, касса.

Вероятности выбора таких маршрутов равны 0,80; 0,15 и 0,05 соответственно (см. рис.). На выдаче горячих блюд и холодных закусок клиентов обслуживают по одному (хотя там могут присутствовать один или два работника, о чем речь пойдет дальше). В пункте выдачи напитков организовано самообслуживание; допустим, что здесь никогда не бывает очереди, то есть можно считать, что выдачей напитков занимается бесконечное множество устройств.

В системе может присутствовать две или три кассы (см. дальше), к каждой из которых выстраивается своя очередь; переход клиентов из одной очереди в другую невозможен. Клиенты, желающие рассчитаться, просто присоединяются к самой короткой очереди. Все очереди в системе имеют дисциплину обслуживания FIFO.

На рис. ВО -- время обслуживания клиента на выдаче, НВО -- накопляемое (будущее) время оплаты, которое зависит от числа посещений пунктов выдачи, a ~U(a, b) обозначает, что соответствующая величина равномерно распределена между а и Ь, выраженными в секундах. Например, клиент, выбравший первый маршрут, сначала подходит к пункту выдачи горячих блюд, при необходимости становится в очередь, проходит обслуживание, время которого равномерно распределено между 50 и 120 с, для него «накапливается» часть (будущего) времени оплаты, которое равномерно распределено между 20 и 40 с. После этого данный клиент тратит время, равномерно распределенное между 5 и 20 с, на получение напитка и накапливает дополнительную часть (будущего) времени оплаты, равномерно распределенную между 5 и 10 с. Таким образом, время обслуживания этого клиента у кассы будет представлено суммой случайных величин U(20, 40) и U(5, 10), которые отражают время посещения клиентом пункта выдачи горячих блюд и пункта выдачи напитков.



Рис. Схема обслуживания в кафе: ВО -- время обслуживания; НВО -- накопляемое время оплаты

Определите следующие оценки критериев работы системы:

- среднюю и максимальную задержку в очереди к пунктам выдачи горячих блюд, холодных закусок и кассе (любой);

- среднее по времени и максимальное число клиентов в очереди к пунктам выдачи горячих блюд и холодных закусок (отдельно), а также среднее повремени и максимальное общее число клиентов в очередях ко всем кассам;

- среднюю и максимальную общую задержку во всех очередях для каждого из трех типов клиентов (отдельно);

- суммарную среднюю общую задержку для всех клиентов, которая определяется весовыми коэффициентами отдельных средних общих задержек по соответствующим вероятностям их возникновения;

- среднее по времени и максимальное общее число клиентов во всей системе (для уведомления начальника пожарной охраны).

Возникает несколько вопросов относительно работы системы. По соображениям безопасности в столовой необходимо наличие не менее двух и не более трех касс. Кроме того, на выдаче горячих блюд и холодных закусок должно работать по крайней мере по одному человеку. Следовательно, минимальное число работников равно четырем. Выполните прогон такой «базовой ситуации» для модели.

Рассмотрите работу системы с дополнительными работниками:

пять работников, дополнительный работник задействован в следующих местах:

¦ как третий кассир;

+ как помощник при выдаче горячих блюд, при этом клиентов по-прежнему обслуживают по одному, однако время обслуживания сокращается вдвое и равномерно распределено между 25 и 60 с;

+ как помощник при выдаче холодных закусок, при этом клиентов по-прежнему обслуживают по одному, но время обслуживания равномерно распределено между 30 и 90 с.

Рассмотрите работу системы с дополнительными работниками: шесть работников, которые задействованы следующим образом:

+ два кассира, по два работника на выдаче горячих блюд и холодных закусок;

¦ три кассира, два работника на выдаче горячих блюд и один на выдаче
холодных закусок;

+ три кассира, один работник на выдаче горячих блюд и два на выдаче холодных закусок.

Вариант 17. Рассмотрим систему массового обслуживания с заданным числом устройств обслуживания п = 3, действующих параллельно и использующих одну общую очередь. Интервалы времени между поступлениями требований экспоненциально распределены со средним значением 3 (все интервалы времени в этой задаче измеряются в минутах). Требование, поступившее, когда в системе есть свободное устройство, немедленно поступает на обслуживание, выбирая крайнее левое устройство, если таковых устройств несколько. Требование, поступившее, когда все устройства заняты, становится в очередь. Когда требование (первый раз) попадает на обслуживание, время его обслуживания равномерно распределено между а = 1 и b = 1,8. Но по завершении первого обслуживания может оказаться, что требование не удовлетворено (вероятность возникновения такой ситуации р - 0,2). Если обслуживание было удовлетворительным, требование покидает систему, в противном случае обслуживание будет продолжаться. Удовлетворено ли требование обслуживанием, следует определять по его завершении. Если требование не удовлетворено завершившимся обслуживанием и в очереди больше нет других требований, начинается повторное обслуживание этого требования на том же устройстве. Если же по завершении неудовлетворительного обслуживания в очереди еще имеются требования, неудовлетворенное требование должно присоединиться к очереди (при этом возможны два нижеописанных варианта развития ситуации), а освободившееся устройство приступает к обслуживанию следующего требования из очереди. С каждым последующим поступлением требования на обслуживание время его обслуживания и вероятность неудовлетворенности обслуживанием уменьшаются. В частности, следующее время обслуживания требования, которое уже i раз обслуживалось неудовлетворительно, будет равномерно распределено между а/(i + 1) и b/(i + 1), а вероятность того, что оно будет не удовлетворено обслуживанием, равна p/(i + 1). Теоретически ограничение на количество обслуживании одного требования отсутствует: требование обслуживается до тех пор, пока не будет удовлетворено.

Существует два правила обслуживания неудовлетворенного требования, когда в очереди ожидают другие требования. Программа должна быть написана таким образом, чтобы, повторно задавая отдельный входной параметр, мы могли заменить правило 1 правилом 2:

+ Правило 1: требование, неудовлетворенное только что завершившимся обслуживанием, становится в конец очереди.

+ Правило 2: требование, неудовлетворенное только что завершившимся обслуживанием, становится в очередь так, чтобы следующее, которое перейдет из начала очереди на обслуживание, имело наибольшее число прохождений обслуживания; используется принцип FIFO в случае разрешения связей. Данное правило является справедливым и эффективным с точки зрения производительности, так как требованиям, у которых было несколько случаев неудовлетворительного обслуживания, скорее всего, потребуется кратчайшее время обслуживания и они, вероятно, будут удовлетворены качеством обслуживания.

В исходном состоянии в системе нет требований и устройства являются свободными. Моделирование должно выполняться в течение 280 мин. Вычислите среднее и максимальное общее время в системе (включая задержки в очереди и время обслуживания требования) и число удовлетворенных обслуживанием требований, покинувших систему в процессе моделирования. Кроме того, вычислите среднюю и максимальную длину очереди, среднее по времени и максимальное число занятых устройств обслуживания.

При выполнении этого варианта использовать теоретические сведения к контрольной работе (См. файлы: Имитационное_моделирование.doc, Имитационное_моделирование_ч2.doc).

Вариант 18. Компания Consolidated Corkscrews (CC) является международным производителем точных измерителей из углеродистой стали, предназначенных для работы в труднодоступных местах. Каждый пробник изготавливается на токарном станке. Чтобы удовлетворить растущий спрос на данную продукцию, компания СС планирует создать новый завод с шестью станками. Однако она не знает, как лучше построить такой завод и оборудовать отдел технического обслуживания. У каждого станка есть свой оператор, который отвечает также за ремонт станка, если тот становится неисправным. Данные, касающиеся надежности работы станков указывают на то, что время исправной работы станка распределено экспоненциально со средним значением 75 мин. Когда станок становится неисправным, оператор немедленно обращается на склад, чтобы получить комплект инструментов, необходимых для ремонта. На заводе имеется ограниченное число т комплектов инструментов, поэтому в нужный момент их там может не оказаться. При отсутствии на складе комплектов инструментов механик, обратившийся за ними, становится в очередь по принципу FIFO. Когда освобождается комплект инструментов, он помещается на конвейерную ленту и прибывает через tt мин к станку г; время ti зависит от номера станка i, для которого запрошен комплект инструментов. Если комплект инструментов доступен, он незамедлительно помещается на конвейерную ленту и прибывает через ti мин к станку i; в данном случае задержка оператора в очереди равна 0. После того как оператор неисправного станка получает комплект инструментов, он производит ремонт в течение времени, представленного случайной величиной с распределением Эрланга 3-го порядка и средним значением 15 мин. После окончания ремонта станок вновь начинает работу, а комплект инструментов отправляется на склад, куда он прибывает через ti мин, если отправлен со станка i Представим себе, что изначально все станки работают, они только что отремонтированы и все n комплектов инструментов находятся на складе. Компании С С необходимо получить следующие данные о 24-часовом рабочем дне проектируемого завода:

+ доля времени, когда все шесть станков неисправны; + среднее по времени число неисправных станков;

+ среднее по времени число неиспользуемых комплектов инструментов, находящихся на складе;

+ средняя задержка в очереди операторов, которым требуется комплект инструментов.

Нужно обратить внимание на два основных вопроса.

А. Схема расположения станков на заводе.

+ Круговая схема: станки размещены вокруг склада инструментов, к каждому станку идет своя конвейерная лента (рис. ), в этом случае U = 3 для всех станков i Строительство завода с такой схемой расположения станков обойдется дороже, но позволит сократить время подачи комплектов инструментов к станкам.

Б. Требуемое число комплектов инструментов. Поскольку инструменты стоят дорого, компания приобретает лишь нужное число комплектов.

Рис. Круговая схема расположения станков

Выполните необходимые прогоны имитационной модели завода и дайте свои рекомендации для компании СС по вопросам А и Б.

Вариант 19. Возьмем модель компьютерной системы из задачи 1. Предположим, что при обработке заданий в очереди вместо циклической дисциплины обслуживания ЦП выбирает из очереди задания, которые совершили наименьшее количество проходов ЦП. В этом случае, если возникают связи, используется правило FIFO (что эквивалентно применению для разрешения связей времени поступления задания в очередь). Выполните прогон имитационной модели для п = 120 терминалов, пока не будет выполнено2000 заданий. Вычислите критерии работы модели в соответствии с примером задачи 1.

Вариант 20.

Вариант 21.

Вариант 22.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8. В африканском порту танкеры загружаются сырой нефтью. Оборудование в порту позволяет загружать одновременно до трех танкеров. Танкеры, прибывающие в порт каждые (11 ± 7) ч, могут быть трех различных типов. (Все значения времени, приведенные в этой задаче как интервал «±», равномерно распределены в указанном интервале.) Относительная частота появления танкеров различных типов и требования, относящиеся ко времени их погрузки приведены в таблице.

Тип	Относительная	Время
	частота	погрузки, ч
- 0,25	- 18 ±2	-
- 0,25	- 24 ± 4	-
- 0,50	- 36 ± 4	-

В порту имеется один буксир. Ни один тип танкеров не может обойтись без буксира, который отводит танкеры из гавани к причалу, а позднее уводит от причала в гавань. Когда буксир свободен, ему требуется около 1 ч, чтобы отвести танкер к причалу или вывести его в гавань. Если буксир не тянет танкер, ему требуется 0,25 % чтобы преодолеть расстояние от причала до гавани (или наоборот). Когда буксир завершит буксировку к причалу, он приступает к буксировке первого танкера из очереди у причала, если таковая имеется. Если в очереди у причала нет танкеров, буксир отправляется в гавань и приступает к буксировке первого танкера из очереди в гавань. (Если в обеих очередях нет танкеров, свободный буксир остается у причала.) Выполнив буксировку от причала в гавань, буксир берет первый танкер из очереди в гавани, если в ней есть танкеры, а у причала есть свободное место. В противном случае буксир отправится к причалу, и если в очереди у причала есть танкеры, начнет буксировку первого танкера из этой очереди. Если очереди у причала нет, свободный буксир остается у причала.

Ситуация может усложниться из-за того, что в этой зоне часто бывают штормы продолжительностью (4 ± 2) ч. Интервал времени между завершением одного шторма и началом другого представлен экспоненциально распределенной величиной со средним значением 48 ч. Буксир не начнет новую операцию, пока бушует шторм, но всегда завершит уже начатую. (Загрузка танкеров у причала продолжается и во время шторма.) Если на момент начала шторма буксир идет от причала в гавань без танкера, он развернется и возвратится к причалу.

Выполните моделирование этой системы для периода времени, равного 1 году (8760 ч) и оцените ожидаемые:

а) доли времени, когда буксир свободен, перемещается без танкера и выполняет буксировку к причалу или в гавань;

б) доли времени, когда каждое из мест у причала свободно, занято, но загрузка не выполняется, и занято с выполнением загрузки;

в) среднее по времени число танкеров в очереди у причала, а также в очереди в гавани;

г) среднего времени пребывания в порту каждого типа танкеров.

Используйте поток 1, чтобы задать интервал времени между прибытием танкеров, поток 2 -- для определения типа танкеров, поток 3 -- для времени загрузки, поток 4 -- для продолжительности шторма и поток 5 -- для интервала времени между завершением одного шторма и началом другого.

Компания-перевозчик, рассматривающая контракт на транспортировку нефти из этого порта в Великобританию, определила, что для реализации этой задачи должно быть дополнительно выделено пять танкеров определенного типа, для того чтобы обеспечить выполнение условий контракта. Этим танкерам понадобится (21 ± 3) ч на погрузку нефти в порту. После погрузки и буксировки от причала они идут в Великобританию, разгружают нефть, возвращаются в порт для дальнейшей погрузки и т. д. Переезд туда и обратно, включая разгрузку, занимает (240 ± 24) ч. Еще раз выполните моделирование этой системы, кроме того, оцените ожидаемое среднее время пребывания в порту предложенных дополнительных танкеров. Допустим, что на момент времени 0 все пять танкеров находятся в очереди в гавани. Используйте прежнее распределение потоков случайных чисел плюс поток 6 для времени погрузки нефти в порту и поток 7 для времени переезда туда и обратно этих новых танкеров.

Предположим, что буксир оборудован приемно-передающей радиоустановкой, с помощью которой на нем узнают о положении и статусе всех танкеров в порту. В результате стратегия действий буксира меняется. Если буксир идет из гавани к причалу без танкера и еще не преодолел половины пути, когда прибывает новый танкер, он разворачивается, возвращается и забирает этот танкер. Если буксир идет от причала в гавань без танкера, и еще не преодолел половины пути, когда завершилась загрузка танкера, он разворачивается, возвращается и забирает этот танкер. Выполните моделирование системы с прежними параметрами и распределением потоков, но в условиях новой стратегии действий буксира.

Вариант 9. В африканском порту танкеры загружаются сырой нефтью. Оборудование в порту позволяет загружать одновременно до трех танкеров. Танкеры, прибывающие в порт каждые (11 ± 7) ч, могут быть трех различных типов. (Все значения времени, приведенные в этой задаче как интервал «±», равномерно распределены в указанном интервале.) Относительная частота появления танкеров различных типов и требования, относящиеся ко времени их погрузки приведены в таблице.

Тип	Относительная	Время
	частота	погрузки, ч
0,25	18 ±2
0,25	24 ± 4
0,50	36 ± 4

В порту имеется один буксир. Ни один тип танкеров не может обойтись без буксира, который отводит танкеры из гавани к причалу, а позднее уводит от причала в гавань. Когда буксир свободен, ему требуется около 1 ч, чтобы отвести танкер к причалу или вывести его в гавань. Если буксир не тянет танкер, ему требуется 0,25 % чтобы преодолеть расстояние от причала до гавани (или наоборот). Когда буксир завершит буксировку к причалу, он приступает к буксировке первого танкера из очереди у причала, если таковая имеется. Если в очереди у причала нет танкеров, буксир отправляется в гавань и приступает к буксировке первого танкера из очереди в гавань. (Если в обеих очередях нет танкеров, свободный буксир остается у причала.) Выполнив буксировку от причала в гавань, буксир берет первый танкер из очереди в гавани, если в ней есть танкеры, а у причала есть свободное место. В противном случае буксир отправится к причалу, и если в очереди у причала есть танкеры, начнет буксировку первого танкера из этой очереди. Если очереди у причала нет, свободный буксир остается у причала.

Ситуация может усложниться из-за того, что в этой зоне часто бывают штормы продолжительностью (4 ± 2) ч. Интервал времени между завершением одного шторма и началом другого представлен экспоненциально распределенной величиной со средним значением 48 ч. Буксир не начнет новую операцию, пока бушует шторм, но всегда завершит уже начатую. (Загрузка танкеров у причала продолжается и во время шторма.) Если на момент начала шторма буксир идет от причала в гавань без танкера, он развернется и возвратится к причалу.

Выполните моделирование этой системы для периода времени, равного 1 году (8760 ч) и оцените ожидаемые:

а) доли времени, когда буксир свободен, перемещается без танкера и выполняет буксировку к причалу или в гавань;

б) доли времени, когда каждое из мест у причала свободно, занято, но загрузка не выполняется, и занято с выполнением загрузки;

в) среднее по времени число танкеров в очереди у причала, а также в очереди в гавани;

г) среднего времени пребывания в порту каждого типа танкеров.

Используйте поток 1, чтобы задать интервал времени между прибытием танкеров, поток 2 -- для определения типа танкеров, поток 3 -- для времени загрузки, поток 4 -- для продолжительности шторма и поток 5 -- для интервала времени между завершением одного шторма и началом другого.

Компания-перевозчик, рассматривающая контракт на транспортировку нефти из этого порта в Великобританию, определила, что для реализации этой задачи должно быть дополнительно выделено пять танкеров определенного типа, для того чтобы обеспечить выполнение условий контракта. Этим танкерам понадобится (21 ± 3) ч на погрузку нефти в порту. После погрузки и буксировки от причала они идут в Великобританию, разгружают нефть, возвращаются в порт для дальнейшей погрузки и т. д. Переезд туда и обратно, включая разгрузку, занимает (240 ± 24) ч. Еще раз выполните моделирование этой системы, кроме того, оцените ожидаемое среднее время пребывания в порту предложенных дополнительных танкеров. Допустим, что на момент времени 0 все пять танкеров находятся в очереди в гавани. Используйте прежнее распределение потоков случайных чисел плюс поток 6 для времени погрузки нефти в порту и поток 7 для времени переезда туда и обратно этих новых танкеров.

Предположим, что буксир идет из гавани к причалу без танкера, а в очереди у причала танкеров нет. Когда прибывает новый танкер, буксир разворачивается, возвращается и забирает его, независимо от расстояния, которое он преодолел. Выполните моделирование системы с прежними параметрами и распределением потоков, но в условиях этой новой стратегии действий буксира.

Вариант 10.

Вариант 11. . Устаревший компьютер работает в мультипрограммном режиме обработки пакетов, то есть одновременно компьютер начинает обработку нескольких (вплоть до установленного максимума к = 4) заданий, но не может начать обработку новых заданий, пока не будет выполнен этот пакет. В пакете каждое задание имеет собственное время выполнения и покидает ЦП по его истечении. В системе существует три класса приоритетов: высший приоритет имеют задания типа 1, средний -- задания типа 2, низший -- задания типа 3. Когда ЦП завершает выполнение последнего задания в пакете, он сначала обращается к заданиям из очереди класса 1 и берет на выполнение как можно больше заданий, вплоть до указанного максимума к. Если в очереди класса 1 было меньше k заданий, ЦП принимает как можно больше заданий из очереди класса 2, чтобы сумма заданий класса 1 и класса 2 составила максимальный размер пакета к. Если в пакете еще остается место, ЦП переходит к очереди класса 3. Если же общее число заданий во всех очередях меньше к, ЦП собирает их все и начинает обработку такого частично заполненного пакета. Процессор не может начать обработку любых поступающих заданий, пока не завершит выполнение всех заданий в текущем пакете. Если в очередях вообще нет заданий, ЦП переходит в состояние незанятости, и при поступлении следующего задания начинает его обработку в пакете размером 1. Обратите внимание, что когда начинается обработка, в одном пакете могут быть задания различных классов.

В рамках очереди данного класса задания могут обслуживаться либо в порядке FIFO, либо SJF (Shortest Job First - самое короткое задание обрабатывается первым). Программа моделирования должна быть написана так, чтобы любая из дисциплин обслуживания обрабатывалась с помощью изменения только одного входного параметра. (Итак, когда поступает задание, генерируется установленное время его обслуживания, сохраняемое вместе со временем поступления задания в очередь. Для дисциплины обслуживания FIFO это не является такой уж необходимостью, однако упрощает программирование вообще.) Установленное время обслуживания задания класса i равномерно распределено между константами a(i) и b(i). Для каждого класса заданий действует отдельный процесс поступления, то есть интервалы времени между поступлениями двух последовательных заданий класса i экспоненциально распределены со средним значением r(i). Таким образом, в любой момент моделирования должно быть задано три отдельных события поступления заданий -- по одному для каждого класса. Если задание поступает, когда ЦП занят, то оно присоединяется к очереди своего класса в месте, определяемом дисциплиной обслуживания (FIFO или SJF). Обслуживание задания, поступившего, когда ЦП свободен, начинается незамедлительно, при этом пакет имеет размер 1. Для заданий используются следующие параметры, мин.

i	r(i)	a(i)	b(i)
0,2	0,05	0,11
1,6	0,94	1.83
5,4	4,00	8,00

имитационный дискретный событийный модель

В исходном состоянии в системе нет заданий и ЦП свободен. Выполняется моделирование работы системы в течение 720 мин. Для каждой очереди вычислите среднюю, минимальную и максимальную задержки, а также среднюю по времени и максимальную длину. Вычислите также коэффициент использования ЦП, определяемый в этом случае как часть времени, когда ЦП занят, независимо от числа обрабатываемых заданий. Наконец, вычислите среднее по времени число заданий, выполняемых ЦП (при этом считается, что выполняется 0 заданий, когда процессор свободен). Используйте потоки 1, 2 и 3, для того чтобы задать интервалы времени между поступлением заданий класса 1, 2 и 3 соответственно и потоки 4, 5 и 6 - для соответствующих установленных значений времени обслуживания. Предположим, что благодаря модернизации оборудования размер пакета k можно увеличить до 6. Оправдает ли себя такое увеличение?

Вариант12.

Вариант 13.

Вариант 14. См. вариант 13. Рассмотрите работу системы с дополнительными работниками:

пять работников, дополнительный работник задействован в следующих местах:

¦ как третий кассир;

+ как помощник при выдаче горячих блюд, при этом клиентов по-прежнему обслуживают по одному, однако время обслуживания сокращается вдвое и равномерно распределено между 25 и 60 с;

+ как помощник при выдаче холодных закусок, при этом клиентов по-прежнему обслуживают по одному, но время обслуживания равномерно распределено между 30 и 90 с.

Используйте поток 1 для интервалов времени между прибытиями групп, поток 2 -- для определения размеров групп, поток 3 -- для определения маршрутов клиентов, потоки 4,5 и 6 -- для времени обслуживания на выдаче соответственно горячих блюд, холодных закусок и напитков, потоки 7, 8 и 9 -- для накопления времени оплаты на соответствующих местах.

Вариант 15. См. вариант 13. Рассмотрите работу системы с дополнительными работниками: шесть работников, которые задействованы следующим образом:

+ два кассира, по два работника на выдаче горячих блюд и холодных закусок;

¦ три кассира, два работника на выдаче горячих блюд и один на выдаче
холодных закусок;

+ три кассира, один работник на выдаче горячих блюд и два на выдаче холодных закусок.

Используйте поток 1 для интервалов времени между прибытиями групп, поток 2 -- для определения размеров групп, поток 3 -- для определения маршрутов клиентов, потоки 4,5 и 6 -- для времени обслуживания на выдаче соответственно горячих блюд, холодных закусок и напитков, потоки 7, 8 и 9 -- для накопления времени оплаты на соответствующих местах.

Вариант 16. См. вариант 13. Рассмотрите работу системы с дополнительными работниками: семь работников: три кассира и по два работника на выдаче горячих блюд и холодных закусок.

Используйте поток 1 для интервалов времени между прибытиями групп, поток 2 -- для определения размеров групп, поток 3 -- для определения маршрутов клиентов, потоки 4,5 и 6 -- для времени обслуживания на выдаче соответственно горячих блюд, холодных закусок и напитков, потоки 7, 8 и 9 -- для накопления времени оплаты на соответствующих местах.

Вариант 17.Компания Consolidated Corkscrews (CC) является международным производителем точных измерителей из углеродистой стали, предназначенных для работы в труднодоступных местах. Каждый пробник изготавливается на токарном станке. Чтобы удовлетворить растущий спрос на данную продукцию, компания СС планирует создать новый завод с шестью станками. Однако она не знает, как лучше построить такой завод и оборудовать отдел технического обслуживания. У каждого станка есть свой оператор, который отвечает также за ремонт станка, если тот становится неисправным. Данные, касающиеся надежности работы станков указывают на то, что время исправной работы станка распределено экспоненциально со средним значением 75 мин. Когда станок становится неисправным, оператор немедленно обращается на склад, чтобы получить комплект инструментов, необходимых для ремонта. На заводе имеется ограниченное число т комплектов инструментов, поэтому в нужный момент их там может не оказаться. При отсутствии на складе комплектов инструментов механик, обратившийся за ними, становится в очередь по принципу FIFO. Когда освобождается комплект инструментов, он помещается на конвейерную ленту и прибывает через tt мин к станку г; время ti зависит от номера станка i, для которого запрошен комплект инструментов. Если комплект инструментов доступен, он незамедлительно помещается на конвейерную ленту и прибывает через ti мин к станку i; в данном случае задержка оператора в очереди равна 0. После того как оператор неисправного станка получает комплект инструментов, он производит ремонт в течение времени, представленного случайной величиной с распределением Эрланга 3-го порядка и средним значением 15 мин. После окончания ремонта станок вновь начинает работу, а комплект инструментов отправляется на склад, куда он прибывает через ti мин, если отправлен со станка i Представим себе, что изначально все станки работают, они только что отремонтированы и все n комплектов инструментов находятся на складе. Компании С С необходимо получить следующие данные о 24-часовом рабочем дне проектируемого завода:

+ доля времени, когда все шесть станков неисправны; + среднее по времени число неисправных станков;

+ среднее по времени число неиспользуемых комплектов инструментов, находящихся на складе;

+ средняя задержка в очереди операторов, которым требуется комплект инструментов.

Нужно обратить внимание на два основных вопроса.

А. Схема расположения станков на заводе.

¦ Линейная схема: станки расположены по прямой линии, на левом конце которой находится склад инструментов (рис. ); одна конвейерная лента может обслуживать все станки. В рассматриваемом здесь случае U = 2i мин, для i = 1, 2,..., 6.

Рис. Линейная схема расположения станков

Б. Требуемое число комплектов инструментов. Поскольку инструменты стоят дорого, компания приобретает лишь нужное число комплектов.

Выполните необходимые прогоны имитационной модели завода и дайте свои рекомендации для компании СС по вопросам А и Б. Используйте поток 1 для периода исправной работы станков и поток 2 -- для времени ремонта.

Вариант 18. Компания Consolidated Corkscrews (CC) является международным производителем точных измерителей из углеродистой стали, предназначенных для работы в труднодоступных местах. Каждый пробник изготавливается на токарном станке. Чтобы удовлетворить растущий спрос на данную продукцию, компания СС планирует создать новый завод с шестью станками. Однако она не знает, как лучше построить такой завод и оборудовать отдел технического обслуживания. У каждого станка есть свой оператор, который отвечает также за ремонт станка, если тот становится неисправным. Данные, касающиеся надежности работы станков указывают на то, что время исправной работы станка распределено экспоненциально со средним значением 75 мин. Когда станок становится неисправным, оператор немедленно обращается на склад, чтобы получить комплект инструментов, необходимых для ремонта. На заводе имеется ограниченное число т комплектов инструментов, поэтому в нужный момент их там может не оказаться. При отсутствии на складе комплектов инструментов механик, обратившийся за ними, становится в очередь по принципу FIFO. Когда освобождается комплект инструментов, он помещается на конвейерную ленту и прибывает через tt мин к станку г; время ti зависит от номера станка i, для которого запрошен комплект инструментов. Если комплект инструментов доступен, он незамедлительно помещается на конвейерную ленту и прибывает через ti мин к станку i; в данном случае задержка оператора в очереди равна 0. После того как оператор неисправного станка получает комплект инструментов, он производит ремонт в течение времени, представленного случайной величиной с распределением Эрланга 3-го порядка и средним значением 15 мин. После окончания ремонта станок вновь начинает работу, а комплект инструментов отправляется на склад, куда он прибывает через ti мин, если отправлен со станка i Представим себе, что изначально все станки работают, они только что отремонтированы и все n комплектов инструментов находятся на складе. Компании С С необходимо получить следующие данные о 24-часовом рабочем дне проектируемого завода:

+ доля времени, когда все шесть станков неисправны; + среднее по времени число неисправных станков;

+ среднее по времени число неиспользуемых комплектов инструментов, находящихся на складе;

+ средняя задержка в очереди операторов, которым требуется комплект инструментов.

Нужно обратить внимание на два основных вопроса.

А. Схема расположения станков на заводе.

+ Круговая схема: станки размещены вокруг склада инструментов, к каждому станку идет своя конвейерная лента (рис. ), в этом случае U = 3 для всех станков i Строительство завода с такой схемой расположения станков обойдется дороже, но позволит сократить время подачи комплектов инструментов к станкам.

Б. Требуемое число комплектов инструментов. Поскольку инструменты стоят дорого, компания приобретает лишь нужное число комплектов.



Рис. Круговая схема расположения станков

Выполните необходимые прогоны имитационной модели завода и дайте свои рекомендации для компании СС по вопросам А и Б. Используйте поток 1 для периода исправной работы станков и поток 2 -- для времени ремонта.

Вариант 19. Двигатели реактивного самолета периодически должны подвергаться осмотру и в случае необходимости -- ремонту. В большом аэропорту станции технического обслуживания работают с семью различными типами реактивных самолетов, число двигателей для которых и другие данные приведены ниже в таблице.

Тип	Число
самолета (i)	двигателей	a(i)	А(i)	B(i)	p(i)	r(i)	c(i)
1	4	84	0,7	2,1	0,30	2,1	2,1
2	3	2,9	0,9	1,8	0,26	1,8	1,7
3	2	3,6	0,8	1,6	0,18	1,6	1,0
4*	4	8,4	1,9	2,8	0,12	3,1	3,9
4	10,9	0,7	2,2	0,36	2,2	1,4
2	6,7	0,9	1,7	0,14	1,7	1,1
7*	3	3,0	1,6	2,0	0,21	2,8	3,7

* Широкофюзеляжпый.

Интервалы времени между последовательными прибытиями самолетов типа i(где i = 1, 2,..., 7) распределены экспоненциально со средним значением a(i) (значения времени в таблице указаны в днях). Всего в аэропорту п параллельных станций обслуживания; каждая из них последовательно выполняет осмотр и ремонт всех двигателей самолета, но в определенный момент может работать только с одним двигателем. Так, у самолета типа 2 три двигателя, поэтому, когда он поступает на обслуживание, каждый двигатель должен пройти полный осмотр и ремонт (о чем будет сказано дальше), прежде чем начнется обслуживание следующего двигателя. Перед тем как самолет покинет станцию, должны быть проверены и отремонтированы (в случае необходимости) все три его двигателя. Каждая станция техобслуживания может работать с любым типом самолетов. Если самолет прибывает и есть свободная станция, он поступает на обслуживание немедленно, а если самолет, прибывает, когда все станции заняты, его необходимо поместить в конец очереди.

Два из семи типов самолетов классифицируются как широкофюзеляжные, тогда как пять остальных считаются обычными. Нас интересуют две дисциплины обслуживания:

+ простая дисциплина FIFO, при которой все типы самолетов формируют одну очередь;

+ дисциплина без прерывания обслуживания при поступлении широкофюзеляжных самолетов, имеющих более высокий приоритет, а в рамках класса (широкофюзеляжные или обычные самолеты) действует порядок FIFO.

Для каждого двигателя самолета выполняется следующий процесс обслуживания (i обозначает тип самолета).

+ Вначале самолет проходит техосмотр, требующий преиода времени, равномерно распределенного между A(i) и B(i).

+ Далее выясняется, нуждается ли двигатель в ремонте; вероятность необходимости ремонта равна p(i). Если ремонт не требуется, начинается осмотр следующего двигателя; если же этот двигатель был последним в самолете, самолет покидает станцию.

+ Если двигателю необходим ремонт, выполняются соответствующие работы. Время ремонта представлено случайной величиной с распределением Эрланга 2-го порядка со средним значением r(i).

¦ После ремонта выполняется еще одна проверка, для которой нужен период времени, равномерно распределенный между A(i)/2 и В(i)/2 (то есть продолжительность ремонта будет вдвое меньше, нежели продолжительность первоначального осмотра, поскольку демонтаж агрегатов двигателя уже выполнен). Вероятность того, что для двигателя не потребуется дальнейшего ремонта, равна p(i)/2,

+ Работа с двигателем завершается при успешном первоначальном ремонте. Однако, если двигатель все еще не может пройти техосмотр, требуется дальнейший ремонт, продолжительность которого представлена случайной величиной с распределением Эрланга 2-го порядка со средним значением r(i)/2. После этого двигатель снова проходит техосмотр, для чего требуется период времени, равномерно распределенный между A(i)/2 и В(i)/2. Вероятность того, что техосмотр не будет пройден, равна р(i)/2. Если двигателю снова нужен ремонт, его продолжительность будет представлена величиной с распределением Эрланга 2-го порядка со средним значением r(i)/2. Процесс длится до тех пор, пока двигатель не пройдет техосмотр. Среднее время ремонта и в дальнейшем имеет среднее значение r(i)/2, вероятность необходимости дальнейшего ремонта -- р(i)/2, а время осмотра -- значение между А(i)/2 и B(i)/2.

Каждый полный день простоя самолета (в очереди или на обслуживании) ведет к издержкам с(г) (измеряемым десятками тысяч долларов). Требуется изучить, каким образом общие (суммированные для всех типов самолетов) средние дневные издержки, вызванные простоем, зависят от числа станций техобслуживания п. Изначально в системе нет самолетов, и станции свободны. Выполните моделирование для 365 сут (полных). Определите среднюю задержку в очереди для каждого типа самолетов и общую среднюю задержку в очереди для всех типов самолетов, среднее по времени число самолетов в очереди, среднее по времени число простаивающих самолетов для каждого типа отдельно и общие средние ежедневные издержки, вызванные простоем, суммированные для всех типов самолетов. Опробуйте различные значения п, чтобы понять поведение системы. Дайте свои рекомендации относительно оптимального с точки зрения рентабельности системы значения п, а также названных выше дисциплин обслуживания. Используйте потоки с 1-го по 7-й для интервалов времени между прибытиями самолетов типа 1-7 соответственно, потоки с 8-го по 14-й -- для продолжительности их осмотра (первоначального или последующего), потоки с 15-го по 21-й -- чтобы определить, нуждается ли двигатель в дополнительном ремонте, и потоки с 22-го по 28-й - для продолжительности ремонта (первоначального или последующего).

Как альтернативу приведенной выше схеме обслуживания рассмотрите отдельное обслуживание широкофюзеляжных и обычных самолетов. Для этого выберите п2 из п станций и все широкофюзеляжные самолеты «отправляйте» туда на обслуживание (одна очередь широкофюзеляжных самолетов ведет ко всем п2 станциям), а оставшиеся станции п1=n-п2 будут обслуживать обычные самолеты (рис. 2.24). Будет ли такая схема обслуживания более выгодной и почему? Используйте прежние параметры и распределение потоков.

Рис. 2.24. Альтернативная схема обслуживания самолетов

Вариант 20. Для модели банка из раздела 2.6 предположим, что, прождав некоторое время в очереди, клиент может покинуть банк, не пройдя обслуживания. Такая ситуация называется бегством. Допустим, что период времени, который посетитель проведет в очереди, прежде чем придет к мысли о возможности бегства, равномерно распределен между 5 и 10 мин. Если это время пройдет, пока клиент находится в очереди, вероятность его ухода будет следующей.

Место в очереди по истечении времени 1	2	3	> 4
Вероятность бегства	0,00	0,25	0,50	1,00

Выполните прогон имитационной модели с пятью кассами и оцените (вдобавок к прежним показателям) ожидаемое число клиентов, которые предпочтут бегство, и ожидаемые задержки в очереди данных клиентов. Используйте прежнее распределение потоков, а также поток 3 -- для времени ожидания клиента в очереди до того, как он начнет рассматривать возможность бегства, и поток 4 -- чтобы определить, решится ли клиент на бегство по истечении этого времени.

Вариант 21. Пятиэтажное офисное здание обслуживает один лифт. Интервалы времени между прибытием людей на первый этаж представлены независимыми экспоненциально распределенными величинами со средним значением, равным 1 мин. Для каждого из верхних этажей вероятность того, что человек поднимется именно сюда, равна 0,25. Чтобы переместиться на один этаж вверх или вниз, лифту нужно 15 с. Допустим, лифту не требуется времени на то, чтобы пассажиры вошли в него и вышли из него на каком-либо этаже. На определенном этаже человек будет оставаться в течение времени, которое равно мерно распределено между 15 и 120 мин. Покинув этаж i (i = 2, 3, 4, 5), человек спускается на этаж 1 с вероятностью 0,7 или перемещается на каждый из трех других этажей с вероятностью ОД. Лифт вмещает 6 чел. Он отправляется с этажа 1. Если все люди, ожидающие на определенном этаже, не помещаются в лифте, оставшиеся образуют очередь. Человек, спустившийся на этаж 1, немедленно покидает здание. К лифту применяется такая логика управления.

+ Когда лифт поднимается вверх, он будет продолжать движение в этом направлении, если следующий пассажир хочет попасть на верхний этаж или если на верхних этажах человек ожидает прибытия лифта.

+ Когда лифт опускается вниз, он будет продолжать движение в этом направлении, если в нем есть хотя бы один пассажир, которому нужно попасть вниз, или если на нижних этажах кто-то ожидает прибытия лифта.

+ Если лифт движется вверх (или вниз) мимо этажа i (i = 2, 3, 4) и пойдет вверх (вниз), он не возьмет пассажира, который ожидает на этом этаже и стремится попасть вниз (вверх).

¦ Когда лифт свободен, он находится на этаже 1.

+ На каждом этаже лифт определяет, на какой этаж поедет дальше. Между этажами лифт не меняет направление.

Используйте следующее распределение потоков случайных чисел: + i -- интервалы времени между прибытиями людей в здание;

+ 2 -- определение следующего этажа (генерируется по прибытии на исходный этаж);

+ 3 -- длительность пребывания человека на определенном этаже (генерируется по прибытии на этот этаж).

Выполните моделирование работы системы в течение 20 ч и соберите следующие статистические данные:

а) среднюю задержку в очереди в каждом направлении (если их два) для каждого этажа;

б) среднее значение индивидуальных задержек всех пассажиров во всех очередях на всех этажах;

в) долю времени, когда лифт перевозит пассажиров, перемещается без пассажиров и находится в состоянии бездействия на этаже 1;

г) среднее и максимальное число пассажиров в лифте;

д) часть пассажиров, которые не могут сесть в лифт из-за его переполненности, для каждого этажа.

Вариант 23. Интервалы между прибытиями составов с углем на разгрузочную станцию представлены независимыми экспоненциально распределенными величинами со средним значением 10 ч. Если состав прибывает в момент, когда система находится в состоянии незанятости, разгрузка начинается незамедлительно. Время разгрузки представлено независимыми величинами, равномерно распределенными между 3,5 и 4,5 ч. Если состав прибывает, когда система занята, он присоединяется к очереди с дисциплиной FIFO.

Моделирование усложняется здесь так называемыми перерывами в разгрузке. В частности, бригада грузчиков может работать только в течение 12 ч, а при ее отсутствии разгрузка вестись не может. Когда состав прибывает на станцию, оставшееся время (из 12 ч) работы бригады представлено независимой величиной, равномерно распределенной между 6 и 11 ч. По истечении 12 ч работы бригада незамедлительно покидает поезд, и вызывается сменная бригада. Время между вызовом сменной бригады и ее прибытием представлено независимой величиной, равномерно распределенной между 2,5 и 3,5 ч.

В момент ухода первой бригады разгрузка состава прекращается до тех пор, пока не прибудет сменная бригада. Таким образом, разгрузочное оборудование может находиться в состоянии незанятости, когда в очереди еще есть состав (или составы) с углем.

Выполните моделирование 720 ч (30 дней) работы системы и получите следующие статистические данные:

а) среднее и максимальное время пребывания состава в системе;

б) часть времени, когда разгрузочное оборудование занято, свободно и испытывает перерыв в разгрузке;

в) среднее и максимальное число составов в очереди;

г) часть составов, которые испытывают перерыв в разгрузке 0, 1 и 2 раза.

Обратите внимание, если состав находится в очереди, когда работа бригады завершается, необходимо получить доступ к записи этого состава (состав может находиться в любом месте очереди).

Вариант 24. Рассмотрим систему проката автомобилей, показанную на рис. (расстояния приводятся в милях). Время между прибытиями клиентов к месту i (i = = 1, 2, 3) представлено независимыми экспоненциально распределенными величинами, интенсивность прибытия составляет 14,10 и 24 чел./ч соответственно. В каждом месте имеется очередь с дисциплиной FIFO, способная вмещать неограниченное количество человек. В системе действует один автобус, в нем помещается 20 чел., его скорость 30 миль/ч.

Рис. Система проката автомобилей

Изначально автобус находится у места 3 (прокат автомобилей), которое он покидает, двигаясь против часовой стрелки. Все те, кто прибыл на терминал аэропорта, имеют желание попасть к фирме по прокату автомобилей, а прибывшие в нее хотят попасть на терминалы 1 и 2 с соответствующими вероятностями 0,583 и 0,417. Когда автобус прибывает к определенному месту, действуют такие правила.

+ Вначале люди покидают автобус в порядке FIFO. Бремя, которое необходимо одному человеку, чтобы покинуть автобус, равномерно распределено между 16 и 24 с.

+ Затем люди заходят в автобус. Время, необходимое для этого одному человеку, равномерно распределено между 15 и 25 с.

+ Автобус проводит у каждого места по меньшей мере 5 мин. Если по истечении этого времени процесс выгрузки и загрузки пассажиров прекращается, автобус немедленно уезжает.

Выполните моделирование 80 ч работы системы и получите такие статистические данные:

а) среднее и максимальное число людей в каждой очереди;

б) среднюю и максимальную задержку в каждой очереди;

в) среднее и максимальное число пассажиров в автобусе;

г) среднее максимальное и минимальное время, которое автобус стоит у каждого места;

д) среднее максимальное и минимальное время, необходимое автобусу, чтобы сделать круг (начиная отправлением от здания фирмы по прокату автомобилей и заканчивая следующим таким отправлением);