и обращают в экстремум линейную функцию этих переменных:

F = с ₁x_{1 +} с₂x_{2 +} … +с_nx_n max (min)

Набор неотрицательных значений x_1,x₂ … x_n, который удовлетворяет этому требованию, называется допустимым решением ЗЛП, m - числом ограничений, n - числом переменных, и в совокупности определяет размерность ЗЛП.

Коротко постановка задачи выглядит так:

F = max (min);(1)

;(2)

; i=1,m; j=1,n(3)

где с_j - коэффициент в целевой функции, a_ij - норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы j-ой продукции, b_i - располагаемый ресурс, d_j и D_j - минимальное и максимальное допустимые значения x_j.

Задача оптимизации в общем случае включает 3 составляющие: целевую функцию (1), ограничения (2), граничные условия (3).

Граничные условия показывают предельно допустимые значения искомых переменных. В общем случае граничные условия могут быть двухсторонними:

.

Достаточно часто возможны частные случаи.

1. В технических и экономических расчетах искомые величины, как правило, могут быть положительными или равными нулю. В этом случае в задаче принимается d_i = 0, D_j = и накладывается только требование неотрицательности x_j >= 0.

2. В ряде случаев значение величины x_j задается:

Значения переменных, удовлетворяющие граничным условиям и ограничениям, называются допустимыми решениями задачи.

На практике случается, что в задачу включают требования, которые оказываются противоречивыми и выполнить которые не представляется возможным. Это приводит к несовместимым задачам, которые в планировании называют несбалансированными планами. Естественно, что в этих случаях допустимых решений нет и быть не может.

Оптимальное решение - это наилучшее решение. Но решения, наилучшего во всех смыслах, быть не может. Оно может быть наилучшим только в одном, строго установленном смысле.

Принимающий решение должен абсолютно точно представлять, в чем заключается оптимальность принимаемого решения, т.е. по какому критерию принимаемое решение должно быть оптимальным.

Критерий часто называют целевой функцией, а в математических работах - функционалом. Критерий выбирается лицом, принимающим решение. Стремление к оптимизации - это естественное состояние человека. И не случайно это естественное поведение человека нашло отражение в пословицах «Рыба ищет, где глубже, а человек - где лучше» (для случая максимизации), «Из двух зол выбирают меньшее» (для минимизации).

Кондитерский цех выпускает продукцию двух видов, используя для этого сырье трех видов. Известны рецепты каждого изделия, цена 1 кг изделия и запас каждого ресурса на складе. Найти объем продукции, который нужно производить, исходя из наличия ресурсов, для получения максимальной прибыли.

Условие задачи записываем в виде таблицы (рис. 1):

Рис. 1. Таблица с исходными данными

Обозначим: x₁ - кол-во произведенной продукции вида 1, x₂ - кол-во произведенной продукции вида 2, тогда целевая функция

F(x₁,x₂)= 25000x₁ + 50000x₂,

т. к. F(x₁,x₂) - цена произведенной продукции, нужно найти max F.

Налагаются ограничения:

1,2 x₁ + 1,9 x₂ <= 37

2,3 x₁ +1,8 x₂ <= 57,6

0,1 x₁ + 0,7 x₂ <= 7

x₁ >= 0

x₂ >= 0

Теперь эту математическую модель нужно записать в терминах электронной таблицы и применить инструмент Поиск решения.

Ячейки В7:В8 отведем под значения искомых переменных, тогда в ячейке В10, отведенной под целевую функцию, можно записать формулу:

=В6В7+С6В8.

В ячейку D3 запишем формулу использования первого ресурса:

=В3$В$7+С3$В$8

и скопируем ее на ячейки D4:D5, абсолютная адресация для ячеек со значениями переменных позволяет произвести правильное копирование.

Теперь можно применить инструмент Поиск решения, указав в нем все необходимые параметры (рис. 2):

Рис. 2 Заполнение диалогового окна Поиск решения

После нажатия клавиши Выполнить получаем (рис. 3):

Рис. 3. Результаты поиска решения

И результаты решения сохраняем в таблице (рис. 4):

Рис. 4. Результаты решения в табличном виде

ЗАДАНИЕ 3

Проанализировать связь между объемом продукции А и стоимостью фондов по следующим исходным данным:

Рис. 5 - Полученные данные

Рис. 6 - Полученные данные (формульный вид)

ЗАДАНИЕ 4

В туристическом агентстве отслеживается поступление заявок на путешествия по Америке в течение 2-х недель. По мере приближения сезона отпусков количество заявок резко возрастает:

количество день заявок количество день заявок

15 1 33 8

17 2 39 9

14 3 43 10

16 4 49 11

21 5 48 12

29 6 53 13

29 7 50 14

Составить прогноз поступления заявок на третью неделю. Обосновать выбор метода прогнозирования. Вывести графическое представление данных, представив базовую и прогнозную части графика одной линией, но базовая часть - сплошной линией, а прогнозная - пунктирной.

Рис. 7 - Полученные данные

Рис. 8 - Полученные данные (формульный вид)

ЗАДАНИЕ 5