Математические упражнения в натуральной философии

При внимательном рассмотрении закона всемирного тяготения (1) можно заметить, что этот закон, по сути, является разновидностью 2-го закона Ньютона.

;(1)

Действительно, комплекс: - имеет размерность ускорения (обозначим его «а»)а = ; (52)И тогда, формула закона всемирного тяготения запишется в виде:

;(53)

Где, F - сила гравитационного притяжения массы m к массе М;

а - ускорение массы m, под действием массы М

То есть, Ньютон, без опытного обоснования, расширил область действия своего второго закона на Солнечную систему и, даже, на всю Вселенную.

Как мы уже убедились, первая гипотеза очень слаба: гравитационной постоянной силы, для всех случаев гравитационных взаимодействий, не существует. Есть гравитационная функция. Но в отдельных случаях (как, например, для случая взаимодействия планет с Солнцем) эта функция сохраняет постоянное значение. Именно для этого случая были установлены законы Кеплера, хорошо согласующиеся с гипотезой обратных квадратов, для ускорений взаимодействующих тел.

5.3 3-й закон Кеплера и гипотеза обратных квадратов для ускорений

Рассмотрим две планеты с массами и , обращающиеся вокруг Солнца (массой М) по круговым орбитам, с радиусами и , соответственно.

Длина орбиты, радиуса , будет равна:

Период обращения первой планеты найдётся из выражения:

; (54) Где, - окружная скорость первой планеты.

Возведём в квадрат обе части этого выражения, получим:

;(55)

- определится из выражения центростремительного ускорения, для тела движущегося по окружности:

;(56) Откуда,;(57)

Подставляя (57) в (55), получим:

;(58)Подставляя значение из формулы обратных квадратов (52), получим:

;(59)

Для планеты , обращающейся по радиусу , можно, по аналогии, записать:

;(60)

Разделив почленно выражения (59) и (60) получим формулу 3-го закона Кеплера.

;(61)

Таким образом, третий закон Кеплера (61) строго выводится из выражения (52), т.е. из формулы обратных квадратов для ускорения: а = ;Силы здесь ни при чём.

Ньютон, как известно, уточнил 3-й закон Кеплера; проделаем и мы эту процедуру.

Для чего, посмотрим ещё раз на закон всемирного тяготения (1)

;(1)

Тело М сообщает телу m абсолютное ускорение: = ;(62)

Тело m сообщает телу М абсолютное ускорение: =;(63)

Суммарное, то есть относительное, ускорение тел m и М, будет равно:

=+;или, после подстановки значений из (62) и (63), получим:

= ;(64)Это выражение можно назвать законом всемирного ускорения.

Подставляя значения относительных ускорений по формуле (64), для масс и в формулу (58), получим:

;(65)

; (66)

Умножив обе части уравнений (65) и (66) на (M+m) и (М+m), соответственно, и разделив почленно выражения (65) и (66), получим третий, уточнённый, закон Кеплера:

; (67)

Как видно, третий, уточнённый, закон Кеплера строго выводится из формулы обратных квадратов относительного ускорения масс (64). Силы опять остаются в стороне.

Ньютон ограничился уточнением третьего закона Кеплера, но, пользуясь формулой (64), можно уточнить и закон всемирного тяготения Ньютона.

Помножим обе части выражения величины относительного ускорения (см.формулу 64) на массу m, получим уточнённый закон всемирного тяготения Ньютона

; (68)

Ньютон этого не сделал. Возможно, он не хотел создавать прецедент к изменению своих формул.

Следует заметить, что это последнее уточнение не «спасает» гипотезу всемирного тяготения Ньютона, - не делает её законом.

Итак, формуле обратных квадратов для абсолютного ускорения (52) - соответствует формула 3-го закона Кеплера (61)

а =; (52); (61)

а формуле обратных квадратов для относительного ускорения действующих масс (закону всемирного ускорения, 64) - соответствует формула уточнённого 3-го закона Кеплера (67)

=; (64); (67)

Следует обратить внимание на то, что мы рассмотрели круговые орбиты планет. Поэтому, на основании проведённых выкладок, можно утверждать о соответствии формул обратных квадратов для ускорений (52 и 64) формулам 3-го закона Кеплера (61 и 67) только для круговых орбит.

Для эллиптических орбит, с малыми эксцетриситетами, следует ожидать лишь примерного соответствия, выше указанных формул.

Для эллиптических орбит с большими и, существенно различающимися, эксцентриситетами, следует ожидать существенного не соответствия между указанными формулами.

По поводу двух последних утверждений, я предвижу возражения, так как в учебной, справочной и научно-популярной литературе (см. Л 8, Л 9, Л 10) публикуются математические доказательства соответствия Закона всемирного тяготения и 3-го закона Кеплера. Причём, сами эти математические выкладки безошибочны и проведены именно для эллиптических орбит. Но основание, на которое опираются эти математические доказательства, не надёжно.

В основу доказательства положены выражения 1-го и 2-го законов Кеплера и Закона сохранения механической энергии небесного тела, при его движении по эллиптической орбите.

К формуле эллипса (1-му закону Кеплера) и к формуле выражающей постоянство секторальной скорости планеты (2-му закону) - вопросов нет. Нет вопросов и к существу Закона сохранения энергии, но математическая запись закона сохранения выполнена не корректно:

Кинетическая энергия планеты записана формулой , - формулой, безусловно, правильной на поверхности Земли, но не проверенной опытным путём в орбитальном пространстве планеты, где параметры гравитационного поля существенно отличаются от тех, что имеют место на поверхности Земли, см. также Л 2.

Формула потенциальной энергии получена из Закона всемирного тяготения, который также справедлив только на поверхности Земли и в других условиях не проверен.

С большой степенью вероятности можно утверждать, что в условиях планетной орбиты и формула кинетической энергии, и формула потенциальной энергии будут отличаться от общепринятых.

А, значит, и доказать строгую взаимосвязь Закона обратных квадратов для ускорения и 3-го закона Кеплера, для эллиптических орбит, - невозможно. О связи между Законом обратных квадратов для силы и 3-м законом Кеплера не приходится и говорить.

На этом возможности математики исчерпываются. Даже для круговых орбит невозможно, чисто математическими методами, доказать выполнимость (соответствие действительности) формул: обратных квадратов для ускорений и 3-го закона Кеплера. Сделать это могут только опыты (измерения параметров орбит планет и пробных тел), проведённые с достаточной точностью. Опытным путём, закон обратных квадратов для ускорений, проверен методом измерения параметров орбит искусственных спутников Земли, обращающихся по орбитам, близким к круговым.

С измерениями параметров орбит небесных тел есть определённые сложности. Прежде всего, это касается определения межпланетных расстояний и определения астрономической единицы (расстояния от Земли до Солнца).

Сейчас величина астрономической единицы принята равной 149 597 870 плюс минус 2 км. Это значение, утверждённое в 1976 году Международным Астрономическим Союзом, получено на основании радиолокационных измерений и исследований движения близких больших планет и Луны, с помощью космических аппаратов.

Точность, достигнутая в определении величины Астрономической единицы (А.е.), впечатляет. Но при этом, важно обратить внимание на следующее:

Во-первых, при вычислении величины (А.е.), по замеренной величине расстояния до ближайшей планеты, неизбежно использовалась формула обратных квадратов, следовательно, полученное таким образом значение (А.е.), - нельзя использовать для проверки формулы обратных квадратов и 3-го Закона Кеплера;

Во-вторых, при радиолокационных измерениях межпланетных расстояний используется значение фундаментальной физической константы - скорости света в вакууме (299 792 458 м/с). Величина эта была получена при измерениях скорости света на поверхности Земли, при вполне определённых и постоянных параметрах гравитационного поля; при других условиях, например на высоких Земных орбитах, скорость света в вакууме не измерялась, а там она вполне может быть другой. См. Л 3.

То есть, при измерении межпланетных расстояний применён не проверенный измерительный инструмент. А это значит, что погрешность в определении астрономической единицы может быть много больше заявленной величины (+ - 2 км).

Достижения метрологии в небесной механике весьма лаконично охарактеризовал Ричард Фейнман, в своих лекциях: «межпланетные расстояния определены с точностью до астрономической единицы», см. Л 7. Это надо понимать так, что все усилия астрономов направлены на определение радиуса обращения Земли, а расстояния до других планет солнечной системы определяются по периоду их обращения, то есть, определяются с использованием закона обратных квадратов, или 3-го закона Кеплера. Другими словами, закон обратных квадратов для ускорений, в масштабе солнечной системы, проверен лишь частично (для орбит искусственных спутников Земли и для орбиты Луны) и здесь он выполняется. Насколько строго выполняется (с какой погрешностью)? Наука это не афиширует, но расхожее мнение о том, что закон обратных квадратов точнее, чем сама действительность, - косвенно подтверждает наличие расхождений между теорией и практикой.

Подводя итог рассуждений, скажем, что закон обратных квадратов для ускорений взаимодействующих тел выполняется в первом приближении - следовательно, формулы (52); (64) и (61); (67) имеют опытное обоснование. И потому, именно этим формулам мы должны отдавать предпочтение перед законом всемирного тяготения Ньютона, выраженного формулой (1)

Тот факт, что (формулы 52 и 64) закона обратных квадратов и уточнённого закона обратных квадратов, для ускорений выполняются (подтверждаются опытом) указывает на то, что гравитационная постоянная ускорения существует и величина её одинакова, как для случая ускорения Землёй пробного тела, так и для случая взаимодействия Земли с Луной.

Конфигурации гравитационных полей пробного тела и небесного тела (Луны) существенно различаются. Отсюда, можно сделать вывод, что гравитационная постоянная ускорения зависит, в основном, от параметров и конфигурации гравитационного поля большой ускоряющей массы (например, Земли). В этом и заключается существенное отличие между гравитационной постоянной ускорения и гравитационной постоянной силы. Последняя, как мы выяснили ранее, пропорциональна произведению проекций гравитационного излучения взаимодействующих тел на линию их взаимодействия.

Более точно понять различие между гравитационной постоянной силы и гравитационной постоянной ускорения поможет сравнительный анализ формул (1 и 64) законов всемирного тяготения и всемирного ускорения:

;(1)=; (64)

В формуле (1), гравитационная постоянная численно равна силе притяжения при условии, что произведение масс (М и m) равно единице и расстояние между ними также равно единице. Например, m = 0,001 , а М =1000. Очевидно, что сила притяжения, пропорциональна величине массы m, а, следовательно, и пропорциональна проекции силовых линий гравитационного поля массы m, на линию взаимодействия. В том случае, когда масса m находится вблизи поверхности большой массы М и представляет собой малую (точечную) массу, её гравитационное поле разворачивается в сторону большой массы. Проекция силовых линий на линию взаимодействия увеличивается в несколько раз, по сравнению с равномерным распределением гравитационного поля точечной массы, удалённой в бесконечность от большой массы. В такое же количество раз возрастёт и сила взаимодействия. Формула (1) деформацию гравитационного поля малой массы не учитывает, следовательно, это должно быть учтено величиной гравитационной постоянной (гравитационной функции). Очевидно, что подобные выводы мы бы получили и при анализе уточнённого закона всемирного тяготения Ньютона, выраженного формулой:

;(68)

В формуле (64) гравитационная постоянная численно равна относительному ускорению масс, при условии, что сумма масс равна единице. Например, m =0,001; М=0,999. В этом случае, увеличение проекции гравитационного поля малой массы на линию взаимодействия (пусть даже в 3 раза) не сильно изменит относительное ускорение тел. Подсчитаем это. Увеличение проекции в три раза, равноценно увеличению малой массы в 3 раза (допустим, m стало равно 0,003). Суммарная масса будет равна: 0,999+0,003 = 1,002. Следовательно, ускорение (и величина гравитационной постоянной) увеличится всего лишь на 0,2 процента. Если же отношение масс М/m , будет ещё больше, скажем, , то изменением гравитационной постоянной ускорения, вследствие деформации гравитационного поля меньшей массы, можно пренебречь и считать гравитационную постоянную ускорения, неизменной во всём этом диапазоне. Отсюда можно сделать вывод, что гравитационная постоянная ускорения не зависит от степени деформации гравитационных полей пробных тел и определяется конфигурацией гравитационного поля большой массы.

Для случая взаимодействия Земли с Луной, отношение масс составляет, порядка . Но Луна находится на значительном расстоянии от Земли и поэтому её поле практически не деформируется, под влиянием поля Земли. Луна имеет такую же (равномерную) конфигурацию гравитационного поля, как и Земля, - поэтому диапазон действия гравитационной постоянной ускорения можно расширить и на взаимодействие небесных тел, в том числе, и имеющих отношение масс: и менее. Но, последнее замечание, не относится к гравитационной постоянной силы.

Мы, наконец, подошли к разрешению довольно сложного вопроса, который с самого начала исследования не давал покоя: какая же гравитационная постоянная (силы или ускорения) была определена в опытах Кавендиша и им подобных?

При определении гравитационной постоянной с помощью крутильных весов использовались: статический, динамический и резонансный методы. В первом случае, измерялся угол закручивания нити; во втором - частота крутильных колебаний, в третьем - амплитуда крутильных колебаний. Поэтому, в первом и третьем случаях, можно считать, что измерялась гравитационная постоянная силы, а во втором случае - измерялась гравитационная постоянная ускорения. Но, поскольку, в соответствии с основным законом механики, сила пропорциональна ускорению и, в соответствии с законом всемирного тяготения, сила притяжения также пропорциональна ускорению, то гравитационная постоянная силы численно равна гравитационной постоянной ускорения. И это действительно так, но только при взаимодействии пробных тел между собой и с Землёй, вблизи поверхности Земли (на фоне сильного гравитационного поля Земли).

При этом, общепринятая величина гравитационной постоянной, , совместно с общепринятым значением массы Земли, применимы для расчёта величин ускорений и сил:

- при взаимодействии между собой пробных тел, находящихся вблизи поверхности Земли;

- при взаимодействии пробных тел, находящихся вблизи поверхности Земли, с Землёй;

Уточнённая величина гравитационной постоянной, =2,64 , совместно с уточнённым значением массы Земли, - применимы для расчёта величин ускорений и сил, только при взаимодействии пробных тел, находящихся вблизи поверхности Земли, - с Землёй.

Общепринятая величина гравитационной постоянной, совместно с общепринятыми значениями масс, может применяться и для расчёта величин ускорений, при взаимодействии небесных тел.

Но для определения силы взаимодействия небесных тел, необходимо применять гравитационную постоянную силы , значение которой найдено ранее.

=(49)

Причём, применять совместно с уточнёнными (действительными) значениями массы Земли и масс других небесных тел, ибо, гравитационная постоянная - рассчитана для этих условий.

Действительные значения масс Земли и небесных тел интересуют, прежде всего, геологов, геофизиков и астрофизиков, астрономы же ещё долгое время могут довольствоваться общепринятыми значениями масс.

Из вышеизложенного следует, что формула обратных квадратов для ускорения не связана однозначно с законом обратных квадратов для силы (не связана с законом всемирного тяготения) и поэтому не может служить обоснованием последнего. Однако Ньютон так не считал и допустил ошибку.

5.3 Гипотеза о неограниченности области действия основного закона механики

В соответствии с математическими правилами, мы можем умножить обе части уравнения (52) на m и при этом равенство не изменится. Получим:

(69)

Произведение , стоящее в левой части выражения (69) мы (в соответствии со 2-м законом Ньютона) привыкли считать силой и обозначать (F). И это верно, но лишь для тех условий, при которых был выведен 2-й закон Ньютона .

Эксперименты же, обосновывающие этот основной закон механики, проводились в весьма ограниченной области пространства, а именно: на поверхности Земли, при вполне определённых и постоянных параметрах гравитационного поля Земли. У Ньютона и его предшественников, других возможностей по проверке основного закона не было. Сейчас такие возможности есть, но они до сих пор не использованы: основной закон механики не проверен ни на поверхности Луны, ни на высокой орбите Земли, см. также Л 1; Л 2

Вместе с тем естественно предположить, что законы движения должны зависеть от среды, в которой они происходят. Если ограничиться рассмотрением законов движения только в вакууме, исключив массивные среды, такие как, скажем, вода и воздух; и при этом защититься также от электромагнитных полей, то останется гравитационное поле. От него невозможно укрыться даже в вакууме.

Гравитационное поле большой гравитирующей массы ускоряет более мелкие тела и одновременно оказывает сопротивление их ускорению. Сила сопротивления - это, хорошо известная всем, сила инерции. Очевидно, что сила сопротивления должна зависеть от плотности гравитационного поля, от структуры поля и от направления движения пробного тела относительно радиус-вектора, проведённого из центра большой гравитирующей массы к пробному телу, см. также Л 1, Л 2

Поэтому, в правой части формулы основного закона механики должен появиться множитель (функция, зависящая от напряжённости, плотности и структуры поля, а также от направления движения пробного тела относительно радиус-вектора, проведённого из центра большой гравитирующей массы)

;

Где: М - масса большого гравитирующего тела;

R - расстояние от центра большой гравитирующей массы;

- угол, между направлением движения пробного тела и радиус-вектором, проведённым из центра большой гравитирующей массы;

Но и эта расширенная формула основного закона механики является лишь частным случаем более общей формулы, приведенной в Л 2.

Вблизи поверхности Земли, пробное тело, при любом направлении движения, пересекает одинаковое количество силовых линий гравитационного поля Земли, см. главу 3, и поэтому, здесь, второй закон Ньютона выполняется при любом направлении движения.

На значительном удалении от Земли, пробное тело облучается почти параллельными лучами и сопротивление такого направленного излучения должно существенно зависеть от направления движения пробного тела. Следовательно, и формула, связывающая силу массу и ускорение, будет менять свой вид, в зависимости от направления движения пробного тела относительно Земли.

То есть, на значительном удалении от Земли, второй закон Ньютона выполняться не должен и это можно проверить опытным путём, см. Л 1; Л 2.

Также, вполне естественно предположить, что в более слабом (более разряжённом) гравитационном поле надо затратить меньшее усилие, для того чтобы разогнать известную массу до заданной скорости. А это значит, что на поверхности, скажем, Луны, где структура гравитационного поля такая же, как на поверхности Земли, но плотность излучения значительно меньше, - второй закон Ньютона выполняться не должен. Это предположение легко проверить опытным путём, для чего достаточно взвесить известную массу на поверхности Луны, например, на пружинных весах. Следует ожидать, что вес будет менее 1/6 земного веса, хотя ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше земного.

Отсюда также можно сделать вывод, что если ускорение свободного падения уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния, то сила притяжения уменьшается ещё быстрее. И если закон изменения силы можно выразить обратной степенной зависимостью, то показатель степени при R должен быть больше двух.

Попробуем вывести формулу для определения силового гравитационного взаимодействия небесных тел.

Задача эта может быть решена, только при условии изменения модели взаимодействия тел и, соответственно, - при условии изменения структуры формулы взаимодействия.

6. Вывод новой формулы для определения силы взаимодействия небесных тел

6.1 Новая модель взаимодействия небесных тел

Предложенные Ньютоном, модель и формула взаимодействия небесных тел (1), - не единственно возможные. Ньютон в качестве характерного размера выбрал расстояние между центрами масс. Между тем, при гравитационном взаимодействии тел, непосредственно взаимодействуют между собой гравитационные поля этих масс, а не центры масс, или сами массы. И, далее, возмущения, возникающие при взаимодействии полей, распространяясь назад, оказывают непосредственное действие на тела. При этом очевидно, что взаимодействие происходит на всём пространстве, между рассматриваемыми телами, но наиболее сильное взаимодействие полей будет там, где параметры гравитационных полей равны между собой, см. Рис. 19

На рисунке изображены две взаимодействующие массы (М и m) тёмно серого и серого цвета. Конусами этих же цветов условно изображена плотность гравитационного излучения масс, или напряжённость, которая уменьшается быстрее, чем обратно квадратичная зависимость. Такая зависимость вполне может иметь место, если учесть рассеяние энергии гравитационного излучения.

В точке «Т» плотности гравитационных излучений масс равны между собой. И поэтому, в этой точке происходит наиболее сильное взаимодействие гравитационных полей масс (М и m).

- расстояние от центра массы (М) до точки максимального взаимодействия (Т);

- расстояние от центра массы (m) до точки взаимодействия (Т)

При такой схеме взаимодействия, сила притяжения тел больше, чем в схеме Ньютона. И такая модель (схема) более достоверно отображает реальный физический процесс.

Исходя из такой модели притяжения тел, плотность гравитационного излучения в точке Т выразится формулой:

;(70) или ;(71)

Где, - гравитационная постоянная плотности излучения, для случая взаимодействия небесных тел.

6.2 Определение показателя степени при R

Величину показателя (n) определим из рассмотрения взаимодействия двух пар небесных тел: Земля - Луна и Земля - Солнце, см. Рис. 20.

Где, S - точка максимального взаимодействия Земли и Солнца;

- расстояние от центра Земли до точки максимального взаимодействия;

- расстояние от центра Солнца до точки максимального взаимодействия с Землёй;

L - точка максимального взаимодействия Земли и Луны;

- расстояние от центра Земли до точки максимального взаимодействия с Луной;

- расстояние от центра Луны до точки максимального взаимодействия с Землёй.

Для пары Земля-Луна, пользуясь формулами (70) и (71), можно записать:

; откуда: ; (72)

Из рисунка видно, что= 384402-; подставляя в (72) получим:

;(73)

Аналогично, для пары Земля-Солнце, можно записать:

;(74)

Мы получили два уравнения (73) и (74), в которых имеется три неизвестных: ; ; n. Система уравнений не решается.

Третье уравнение мы получим из условия соотношения напряжённостей гравитационных полей Луны и Солнца в точках максимального взаимодействия (L и S)

Кто же сильнее (Луна или Солнце) возмущают гравитационное поле Земли?

Если проанализировать природные явления, такие как морские приливы, то получается, что - Луна. Гармонический анализ морских приливов показывает, что высота лунной волны вдвое больше солнечной волны. Вот этот факт мы и запишем в виде третьего уравнения:

Будем считать, что приливная волна образуется от действия центробежной силы, возникающей при вращении гравитационного поля Земли в гравитационных полях Луны и Солнца. Отсюда, можно записать.

; (75)

Где, и - центробежные силы (напряжённости), возмущающие гравитационное поле единичной массы Земли, в точках «L» и «S», соответственно.

Можно предположить, что центробежная сила пропорциональна произведению: плотности гравитационного излучения (в точках взаимодействия) на квадрат угловой скорости вращения гравитационного поля Земли и на расстояние до точки взаимодействия.

Для пары взаимодействия Земля - Луна, можно записать:

;(76)

Где: - центробежная сила (напряжённость), возмущающая гравитационное поле единичной массы Земли в точке «L»;

К - коэффициент.

- плотность гравитационного излучения Луны в точке «L», равная плотности гравитационного излучения Земли. Отсюда можно записать:

;(77)

- гравитационная постоянная плотности излучения небесных тел;

- масса Земли;

- угловая скорость вращения гравитационного поля Земли, относительно гравитационного поля Луны, в точке «L»; = ;(78)

- расстояние от Земли до точки «L»

- окружная скорость гравитационного поля Земли в точке «L»

Формула (76) сводится к классической формуле центробежной силы, если произведение положить равным единице. Что и сделано, выбором существующей системы единиц, для плотности гравитационного излучения на поверхности Земли; при другой плотности гравитационного излучения, произведение не будет равно единице.

Аналогично, для пары взаимодействия Земля - Солнце, можно записать:

;(79)

Где: - центробежная сила, возмущающая гравитационное поле единичной массы Земли в точке «S»;

К - коэффициент;

- плотность гравитационного излучения Земли в точке «S», равная плотности гравитационного излучения Солнца. Отсюда можно записать:

;(80)

- угловая скорость вращения гравитационного поля Земли относительно гравитационного поля Солнца, в точке «S»; = ;(81)

Подставляя выражения плотности и угловой скорости в формулы центробежных сил (76 , 79) и затем в (75) получим:

; (82)

Сокращая подобные члены и полагая, что: , - получим.

;Отсюда:;;(83)

Подставляя полученное соотношение в (74) и учитывая, что ;

; и подставляя эти значения в (73) и (74), получим систему уравнений с двумя неизвестными:

;(84)

333000;(85)

Решая эту систему уравнений, получим:

n=2, 17=339800 км, что составляет 53 радиуса Земли. Подставляя значение в (88), получим: = 422862 км, что составляет 66 радиусов Земли.

Следовательно, для пары взаимодействия Земля - Солнце, - сила взаимного притяжения определится по формуле:

;(86)Где:

- гравитационная постоянная силы взаимодействия, для больших гравитирующих масс (для небесных тел) =0,64 ; Гравитационная постоянная силы выражается через гравитационную постоянную плотности излучения, следующим образом: = ; Где, - гравитационная постоянная плотности излучения; К - коэффициент.

- расстояние от Солнца до точки максимального взаимодействия «S»; = 149597870-= 149597870-422862=149175008 км.

То есть, характерное расстояние от Солнца до точки максимального взаимодействия с гравитационным полем Земли отличается от величины астрономической единицы всего лишь на 0,3 процента.

- масса Солнца (уточнённое значение)

- масса Земли (уточнённое значение)

Для пары взаимодействия Земля-Луна, сила притяжения определится по формуле:

;(87)Где:

- расстояние от Земли до точки максимального взаимодействия «L»; =339800 км.

- масса Луны (уточнённое значение)

В общем случае, можно записать:

;(88)

Где: - расстояние от массы (M) до точки максимального взаимодействия (Т); Для солнечной системы эти расстояния отличаются от радиусов орбит планет земной группы, всего лишь, на доли процента.

М - наибольшая масса

Если масса m на много порядков меньше массы М, то формула тяготения небесных тел приобретает почти привычный вид:

;(89)

Где, R - расстояние,- примерно равное расстоянию между центрами масс

M и m - уточнённые (действительные) значения масс.

Следует заметить, что формулы (86) (87) (88) и (89) - справедливы для больших расстояний между взаимодействующими телами (для расстояний - несколько десятков радиусов).

Для определения силы тяготения на поверхности небесных тел эти формулы применять нельзя, так как для обратной степенной зависимости (с показателем n>2) основная теорема механики не выполняется - то есть массу небесного тела нельзя «помещать» в его центр, не внося существенных ошибок.

Прежде чем заниматься выводом формулы силы притяжения на поверхности небесных тел, желательно провести простые прямые эксперименты - измерить силу притяжения известной массы на поверхности ближайших небесных тел (Луны и Марса) на пружинных весах.

Полученное значение показателя обратной степенной зависимости (2,17) является приближённым вследствие того, что при определении «n» не учитывались скорости вращения гравитационных полей Луны и Солнца, и окружные скорости гравитационного поля Земли, в точках “L” и “S”, приняты равными, без достаточных на то оснований. Но эти уточнения целесообразно сделать позже, после проведения экспериментов по определению окружной скорости вращения гравитационных полей Земли и Луны, на различных удалениях от поверхности.

Методика проведения этих экспериментов отработана ещё сто лет назад Майкельсоном и Морли, при проведении экспериментов по определению скорости сноса света набегающим эфиром, на поверхности Земли.

С началом космической эры (полвека назад) появились возможности проведения подобных экспериментов на орбите, но эти возможности не были использованы.

Между тем, если на спутнике, обращающимся в экваториальной плоскости Земли, в направлении её вращения, одно плечо интерферометра Майкельсона направить по движению, а другое перпендикулярно движению, то прибор зафиксирует снос скорости света «набегающим» гравитационным полем Земли. Это в случае, если орбитальная скорость спутника больше скорости вращения гравитационного поля Земли. Зная скорость сноса света и орбитальную скорость спутника, легко определить скорость вращения гравитационного поля Земли.

Если же скорости окажутся равными, то прибор ничего не покажет. Этого нулевого эффекта следует ожидать на высоких орбитах. Если окружная скорость гравитационного поля Земли с высотой не меняется, то нулевой эффект проявится на геостационарной орбите. Если же окружная скорость гравитационного поля возрастает при удалении от Земли, то нулевой эффект обнаружится на более удалённых орбитах.

6.3 Сравнение моделей взаимодействия по их приливному эффекту

Пока же, до проведения экспериментов, будем считать, что окружная скорость гравитационного поля Земли в районе точки «L» равна окружной экваториальной скорости Земли (463 м/с). Исходя из этого, определим центростремительное ускорение гравитационного поля Земли, в точке “L”, по формуле:

;(90)

Подставляя значения, получим: (м/с)

(м/с);

Это значение центростремительного ускорения пропорционально центробежной силе, возмущающей гравитационное поле Земли, в точке “L”. Это возмущение передаётся по гравитационному полю, в направлении обратном излучению, и достигает Земли с некоторым опозданием. Тот факт, что приливная волна достигает максимума с запаздыванием примерно в 2,5 часа, после прохождения Луной верхней точки на небосводе, косвенно подтверждает предположение о том, что максимальное возмущение передаётся от точки максимального взаимодействия гравитационных полей (от точки “L”), в направлении обратном излучению.

Ньютон нашёл другое объяснение факту превосходства влияния Луны на морские приливы. Он ошибочно считал, что приливы обусловлены разницей сил притяжения центра и поверхностных водных участков Земли. По Ньютону, это различие сил вызвано различным удалением от центра, возмущающего небесного тела, в частности, Луны. См. рис. 21.

Из рисунка видно, что ближайшая к Луне водная поверхность Земли будет притягиваться Луной сильнее, чем центр. Дальний участок Земной поверхности будет притягиваться слабее, чем центр. В результате, и на ближнем и на дальнем участке будут возникать приливные волны.

По теории Ньютона, ускорение водных масс Луной, на ближней поверхности Земли определится из выражения:

;(91) Подставляя значения, получим:

(м/с2)

а = 0,112 (м/с2);

Сравним полученное значение, с центростремительным ускорением в точке “L”, последнее превышает первое почти на три порядка:

;

Следовательно, приливная волна образуется, в основном, за счёт центробежных сил, возникающих при вращении гравитационного поля Земли относительно гравитационных полей Луны и Солнца.

Вклад Ньютоновой математической модели взаимодействия в образование приливной волны мал, и им можно пренебречь.

7.Электростатика и закон обратных квадратов

7.1 Эксперименты с заряженной сферой

Экспериментальные лабораторные проверки закона обратных квадратов, для случая взаимодействия электрических зарядов на сфере, были проведены, Генри Кавендишем, около 1773 г. Отсутствие поля внутри заряженной сферы, Кавендиш ошибочно связал с законом обратных квадратов для электростатических сил. Вслед за ним, подобные ошибочные умозаключения сделали: Максвелл, Пристли и другие. Сейчас это заблуждение стало всеобщим.

На сегодняшний день, на основании экспериментов с заряженной сферой считается, что показатель степени для R в законе Кулона не может отличаться от 2-х, более чем, на

Если закон Кулона записать в виде:

;(92)

Где: F - сила взаимодействия электрических зарядов;

К - коэффициент пропорциональности. В системе СИ, К=9,0 (вольтм/кулон);

- электрические заряды;

R - расстояние между зарядами.

- отклонение от квадратичной зависимости; ,

то отклонение закона Кулона от обратно квадратичной зависимости будет выражаться величиной , которая, по общему мнению, ничтожно мала

Как видно, формула «закона Кулона», с математической точки зрения, ничем не отличается от формулы Ньютона (от «закона всемирного тяготения»). Поэтому, эксперименты, подтверждающие «закон Кулона», косвенно подтверждают и «закон всемирного тяготения». И наоборот, если у нас появились серьёзные сомнения в выполнимости «закона всемирного тяготения», то это заставляет внимательнее присмотреться и к методике экспериментов по проверке «закона Кулона». И здесь выясняется не мало интересного.

Дело в том, что эксперименты с заряженной сферой являются косвенными экспериментами. Косвенные эксперименты коварны тем, что здесь ещё надо правильно понять результат и сделать из него верные выводы. В этих экспериментах не измеряется сила взаимодействия, и не измеряется расстояние между зарядами; в этих экспериментах проверяется лишь отсутствие электрического поля внутри заряженной сферы. Если электрическое поле внутри сферы не обнаруживается, то этот факт расценивается как строгое выполнение закона обратных квадратов.

Попробуем опровергнуть это глубокое заблуждение, для чего рассмотрим подробнее физический процесс, происходящий внутри сферы, заряженной электричеством.

7.2 Физический процесс, происходящий внутри сферы, заряженной электричеством, см. Рис.2 (которым мы пользовались при рассмотрении гравитационных взаимодействий)

Где, а - радиус сферы;

- толщина сферы; =1, при условии, что а >> 1;

dL - ширина сферической полоски;

dS - площадь сферической полоски;

- угол, измеряемый в радианах;

- угол, измеряемый в радианах; =/2; d=2d;

r - расстояние от dS до точки «М».

Будем считать, что точка «М», при ближайшем рассмотрении представляет собой единичную площадку, вырезанную в сфере, на которой размещается электрический заряд равный . При условии, что радиус сферы много больше единицы, мы вправе так считать.

Будем считать, что, в начальный момент, вся сфера заряжена равномерно; плотность заряда равна . Электростатическое поле каждого единичного заряда равномерное (силовые линии поля расходятся во все стороны прямолинейно и равномерно). Половина силовых линий каждого единичного заряда направлена внутрь сферы, и часть этих линий попадает в точку «М».

7.3 Определим силу, действующую на единичную поверхность, расположенную в точке «М», при выполнении закона обратных квадратов

Из рисунка видно, что:

dL=da;dL=2ad;

y=aSin;y=2aSinCos;

dS=dL2y;dS=8aSinCos;

Сферическая полоска dS несёт на себе заряд, равный dQ

dQ = dS;

r=2aCos;

Используя закон обратных квадратов, можно записать формулы для: дифференциала силы взаимодействия , между заряженной сферой и зарядом единичной поверхности, размещённой в точке М; и дифференциала напряжённости , то есть силы взаимодействия между заряженной сферой и единичным зарядом, на единичной поверхности, в точке М.

;(93)

;(94)

Подставляя значения и r, в (97) получим:

; сокращая подобные члены, получим:

;интегрируя, получим:

;

;

;(95)

Для сравнения, найдём напряжённость , создаваемую зарядом единичной поверхности сферы, на единичном расстоянии от неё (то есть, в непосредственной близости от внутренней поверхности сферы)

;;(96) отношение найденных напряжённостей равно:

;(97)

Смысл найденного соотношения состоит в следующем:

Напряженность, создаваемая заряженной сферой в непосредственной близости от внутренней поверхности, в какой-либо точке (например, в точке М) в раз превосходит напряжённость единичной поверхности сферы, стягивающейся в точку при условии, что радиус сферы много больше единицы.

На единичной поверхности сферы находится заряд, равный по величине плотности заряда «». Естественно предположить, что на единичной поверхности разместится множество элементарных (единичных) зарядов . И если мы, за единицу расстояния выберем теперь ещё более мелкую единицу, скажем, радиус единичного заряда, то мы, вправе утверждать, что единичный заряд также будет, стянут в точку. И окончательно, можно сформулировать следующее:

На каждый единичный заряд сферы действует сила со стороны всей сферы, в раз превосходящая напряжённость единичного заряда, на единичном расстоянии от него.

И что же будет происходить дальше? Ведь очевидно, что при таком соотношении сил отталкивания, не может быть устойчивого равновесия. Очевидно, что суммарное электростатическое поле всех зарядов сферы будет выталкивать поле единичного заряда (разворачивать силовые линии поля единичного заряда, наружу сферы). Но точку М и единичный заряд в точке М мы выбрали произвольно. Точно в такой же ситуации находятся точечные заряды в любой другой точке сферы, - и поэтому, их силовые линии также будут разворачиваться наружу сферы, под воздействием поля всех остальных зарядов. В результате, силовые линии всех зарядов сферы развернутся наружу сферы и электростатическое поле внутри заряженной сферы исчезнет.

Следует подчеркнуть, что поле внутри сферы (и силовые линии этого поля) не уничтожаются, просто, поле меняет свою конфигурацию (силовые линии всех единичных зарядов разворачиваются наружу сферы). См. рис. 22

Пойдём дальше. Если теперь предположить, что напряжённость единичных зарядов уменьшается быстрее, чем по закону обратных квадратов, Например, показатель степени будет равен: 2,05; 2,1; 2,15 и так далее. То, очевидно, что подавляющее преимущество заряженной сферы над единичным зарядом будет уменьшаться. Если дополнительно к этому условию мы будем увеличивать радиус сферы, то преимущество сферы над единичным зарядом будет уменьшаться ещё быстрее. При каком то, достаточно большом, радиусе сферы преимущество заряженной сферы над единичным зарядом исчезнет. И, когда напряжённость сферы станет меньше напряжённости отдельно взятого заряда, внутри сферы появится электрическое поле. При этом, зная радиус сферы, можно будет оценить показатель степени и величину его отклонения от 2. Попробуем найти математическое выражение рассмотренных взаимосвязей.

7.4 Определение силы действующей на единичную площадь внутренней поверхности сферы, при не выполнении закона обратных квадратов

По аналогии с формулой (94) можно записать:

;(98)

Подставляя значения и r, в (98) получим:

; сокращая подобные члены и интегрируя, получим:

;

;

;(99) Полученная формула подтверждает сделанные ранее предположения.

Отношение напряжённостей: всей сферы (формула 99) и заряда единичной поверхности «» (формула 96), равно:

; (100)

7.5 Условия появления поля на внутренней поверхности сферы

Если и меньше, то на внутренней поверхности сферы появится электростатическое поле;

;(101)

Формула (101) определяет граничные условия появления поля на внутренней поверхности сферы.

Как видно, это отношение зависит от двух величин: (n) и (а)

Зададимся величиной n =2,17 (по аналогии с гравитационными взаимодействиями) и определим величину а, для случая равенства напряжённостей заряженной сферы и заряда единичной поверхности .

=1; 73592,0

Мы получили величину радиуса сферы, при которой следует ожидать появления электростатического поля на внутренней поверхности сферы, для n=2,17. Конечно, величину n =2,17 мы выбрали безосновательно, ведь свойства электростатического поля могут сильно отличаться от свойств гравитационного поля. Поэтому при проведении экспериментов надо поступать наоборот: опытным путём находить величину радиуса сферы, при котором на внутренней поверхности появляется поле, и, затем, по формуле (101) находить показатель степени n.

Для n=2,25, радиус сферы, рассчитанный по формуле (101), составит: 2458 единичных расстояний; для n=2,17, радиус сферы составит 73592 единиц; для n=2,1, радиус сферы составит 136817405 единиц; для n=2.05 , радиус составит 1,27единиц;

Из этих примеров видно, что шанс обнаружить поле на внутренней поверхности сферы возрастает при увеличении радиуса сферы, а также в том случае, если напряжённость электростатического поля зарядов уменьшается значительно быстрее обратно квадратичной зависимости. Последнее условие - от экспериментаторов не зависит.

Несомненно, что, представленное выше, понимание физического процесса взаимодействия электростатических полей внутри заряженной сферы не соответствует общепринятым представлениям. В частности, ещё со времён Ньютона, принято считать, что «поля внутри сферы полностью уничтожаются», см. Л7, т.5, параграф 8. Это ошибочное положение является доминирующим, хотя у многих вызывает недоумение. Даже такой выдающийся педагог и популяризатор физики, как Р. Фейнман, см. параграф 9, не может вразумительно объяснить, почему внутреннее поле обращается в ноль, а наружное поле удваивается, по его словам: «заряды устраивают заговор», чтобы создать на наружной поверхности добавочное поле.

Если это так, то «заговор зарядов», наконец то, раскрыт.

Всё хорошо, но мы упустили из виду один важный момент, а именно: выбор единицы расстояния. Что это: метр, сантиметр, миллиметр или что-то ещё? Понятно, что необходимо выбрать характерную, для рассматриваемого физического процесса, единицу длины. По-видимому, за единицу длины следует выбрать половину расстояния между соседними зарядами (т.е. радиус заряда).

С учётом этого выбора, формула (101), более конкретно, запишется в виде:

;(101*)

Где, - радиус сферы выраженный в радиусах элементарного заряда (электрона)

Попробуем найти величину этой характерной единицы длины (радиус заряда электрона)

Количество электронов (), размещённых на сфере, определится из выражения:

;(102)

Где, Q - заряд сферы, выраженный в Кулонах;

е - заряд электрона; е = 1,6 Кл.

Заряд сферы связан с напряжением электростатического поля «V» и ёмкостью сферы (С) следующим соотношением:

;(103)

Где, ёмкость измеряется в Фарадах, а напряжение в Вольтах;

Ёмкость сферы определяется выражением:

;(104)

Где: ; Ф/м(105)

а - радиус сферы, в метрах

Подставляя выражения (103), (104), (105) и значение заряда электрона в (102), получим:

;(106)

Площадь (s), на которой помещён элементарный заряд (e), найдётся из выражения:

;(107)

Где, S - площадь сферы (м);

;(108)

Подставляя выражения (108) и (106) в (107), получим:

;(109)

Радиус элементарного заряда: - найдётся из выражения.

; откуда: ;(110)

Подставляя выражение (109) в (110), получим:

;(111)

Выразим радиус сферы в радиусах элементарного заряда.

;(112), Где:

Отношение: - это длина радиуса сферы, выраженная в характерных единицах (обозначим её )

а - длина радиуса в метрах;

V - напряжение заряженной сферы (Вольт).

С учётом принятых обозначений уравнение (112) запишется в виде:

;(112*)

Подставляя выражение (112*) в (101*) получим более точное условие появления поля на внутренней поверхности сферы:

;(113)

Где: а - радиус сферы, в метрах;

V - напряжение заряженной сферы, в Вольтах

Задаваясь значениями (а) и (V), по формуле (113) мы можем определить значение показателя степени (n), при котором возможно появление электростатического поля на внутренней поверхности сферы.

Зафиксировав в опытах появление поля на внутренней поверхности сферы, при каких то, конкретных, значениях (а) и (V), - по формуле (113) можно определить действительное значение показателя степени (n) в формуле силы притяжения электростатических зарядов:

;(114)

Где: F - сила притяжения зарядов, в Ньютонах;

- точечные электрические заряды, в Кулонах;

R - расстояние между зарядами, в метрах;

К - коэффициент, равный: 9,0 (Вольтм/Кулон)

Формулу (113) можно использовать для планирования экспериментов и для оценки погрешности, уже проведённых, экспериментов по проверке закона Кулона.

Задаваясь значениями показателя (n) по формуле (113) можно определить величину произведения напряжения на радиус сферы, при которых возможно появление поля на внутренней поверхности сферы.

Для: n=2,15= 539;

n=2, 14 = 3191;

n=2, 13 = 23000;

n=2, 12 = 2, 4;

n=2, 11 = 3, 8;

n=2, 10 = 1, 1;

В уже проведённых общеизвестных экспериментах значение =3191 было превышено, но значение =23000, достигнуто не было. Следовательно, показатель степени проверен только до величины 2,14. То есть, он должен быть меньше 2,14, но вполне может быть равен 2,13; 2,12; 2,11 и так далее.

Другими словами можно сказать, что в опытах с заряженной сферой обратно квадратичная зависимость подтверждена с погрешностью в определении показателя степени = +0,13;

Это существенная погрешность, и поэтому говорить о выполнимости закона Кулона преждевременно.

О подтверждении показателя n=2, с погрешностью !!! - пока не приходится и мечтать.

Ну а что дают прямые эксперименты по проверке закона обратных квадратов, начало которым положил Кулон?

7.6 Прямые эксперименты по проверке закона Кулона

Прямые эксперименты по проверке закона Кулона также довольно грубые, в чём мы сейчас сможем убедиться.

Кулон измерял силу отталкивания электрических зарядов, на изобретённых им, крутильных весах. Где (по его расчётам) угол закручивания упругой нити пропорционален моменту сил сопротивления, уравновешивающему момент сил отталкивания зарядов. Момент сил отталкивания измерялся в трёх точках: при угловых расстояниях 36; 18 и 8,5 градусов, см. Л 11. В результате многократных замеров Кулон получил следующие значения.

36 18 8,5	0 126 567	36 144 575,5

Где, угловое расстояние между зарядами, в градусах;

- дополнительный угол закручивания нити, в градусах;

- суммарный угол закручивания нити; именно этот суммарный угол определяет величину момента закручивания нити.

Прежде чем анализировать выполнимость закона обратных квадратов, переведём угловые расстояния в линейные и найдём соотношение между силой сопротивления закрученной нити и силой отталкивания электрических зарядов. На первый взгляд, кажется, что они всегда равны между собой и противоположно направлены, но это не так. Равны между собой: проекция силы отталкивания зарядов, на касательную к окружности, и сила закручивания нити.

Линейные расстояния между зарядами и силы отталкивания, найдём из геометрических соображений, см. Рис. 23.

Где, через N обозначен неподвижный заряд;

1,2,3 - положения подвижного заряда, помещённого на конце коромысла крутильных весов;

О - ось вращения, нить подвеса коромысла;

- угловые расстояния между неподвижным зарядом «N» и подвижным зарядом, в положениях 1,2,3;

F - сила отталкивания зарядов, действующая по прямой соединяющей заряды;

- линейные расстояния между зарядами;

О-1; О-2; О-3; - плечо коромысла крутильных весов (расстояние от оси вращения до электрического заряда)

Для упрощения расчетов, расстояние от оси вращения до заряда примем равным единице, тогда:

;;;Подставляя значения , получим: = 0,61803; = 0,31287; = 0,14822;

;;;Подставляя значения и , получим: ~ 37,85; ~ 145,79; ~ 577,09;

= 1; = 3,902;=17,386;- это теоретическая, обратно квадратичная, зависимость

; = 3,958; = 15,247;- это экспериментальная, обратно степенная, зависимость, с показателем степени n =1,91, если кривую построить по первой и третьей точкам. Вторая точка, при этом, выпадает, см. рис.24

Если кривую построить по первой и второй точкам, то показатель степени (n) будет примерно равен 2,03. Третья точка, при этом, выпадает.

То есть, показатель степени (n) в опытах Кулона определён с погрешностью от -0,09 до +0,03.

Следует заметить, что эта величина определена без учёта погрешности измерений. Точность же своих измерений Кулон оценивал весьма скромно. Более подробно об опытах Кулона см. Л 11.

Очевидно, что достигнутая точность в прямых экспериментах по проверке закона Кулона также не является достаточной, для обоснования фундаментального физического закона.

8. ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1.Проведено доказательство основной теоремы небесной механики, результаты которого изложены ниже в нескольких вариантах:

- Если сила взаимодействия точечных масс пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, то и сила притяжения между точечной массой и большой массой также будет пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами масс.

- Если напряжённость гравитационного поля точечной массы уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния, то и напряжённость поля большой массы уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния от центра массы.

- Если точечная масса создаёт ускорение, изменяющееся обратно пропорционально квадрату расстояния, то и большая масса будет создавать ускорение пропорциональное величине массы и обратно пропорциональное квадрату расстояния от центра массы.

- Если плотность гравитационного излучения точечной массы уменьшается обратно пропорционально расстоянию, то и плотность излучения большой массы будет уменьшаться обратно пропорционально квадрату расстояния от центра массы. В этом случае, из геометрических соображений, следует, что лучи (гравитационные волны) должны распространяться сколь угодно далеко, не ослабляясь и не отклоняясь от прямых радиальных линий.

Все эти формулировки и есть - основная теорема небесной механики; доказываются они одними и теми же математическими приёмами. При доказательстве этой теоремы Ньютон математических ошибок не допустил.

Но, следует обратить внимание на то, что условия выполнения всех этих формулировок, начинающиеся со слова «Если» математически доказать нельзя. Здесь нужны опытные доказательства. Можно поступить и наоборот - доказать опытным путём вторую половину формулировки и тогда первая половина будет справедлива в силу приведенных выше математических доказательств. То есть, математика облегчила изучение природы только наполовину; математика, в данном случае, не смогла полностью заменить эксперимент и никогда не сможет этого сделать.

2.Экспериментальное обоснование имеет только закон обратных квадратов для ускорений, но погрешность измерений расстояний в этих экспериментах ещё следует уточнить, после проверки основного «измерительного инструмента» - скорости света в вакууме, в гравитационных полях различной плотности и различной структуры.