Прецессия намагниченности второго порядка в магнитоупругой среде

Рассмотрим теперь рис.10, где показаны зависимости периода медленных колебаний намагниченности от величины константы магнитоупругого взаимодействия построенные по различным приведенным здесь формулам.

Рис.10. Зависимость периода медленных колебаний намагниченности от величины константы магнитоупругого взаимодействия по модели эффективных полей.

Формулы построения кривых: 1 - (59); 2 - (60); 3 - (61).

На врезке - зависимость, построенная по формуле (58).

Точки - те же, что на рис.8а.

Численный расчет по формулам (55)-(57) с использованием приведенных здесь параметров материала (раздел №3), действительно дает сначала резкий спад зависимости , после чего плавный подъем с последующей расходимостью. Однако уже при  период увеличивается настолько, что стремится к бесконечности. Этому случаю соответствует зависимость, показанная на врезке, для построения которой использовалась формула:

. (58)

Здесь постоянный коэффициент  при , нормирующий множитель , введен для того, чтобы согласовать ход зависимости (58) при . Коэффициент  при  настолько близок к единице, что вносимое им уточнение можно считать находящимся в пределах точности машинного эксперимента.

Видно, что хотя приведенная на врезке кривая качественно довольно хорошо отражает наблюдаемую зависимость, однако имеет место определенное количественное расхождение: чрезмерно ранняя расходимость , соответствующая значению , меньшему наблюдаемого примерно в три раза.

Для более точного согласования расчетных кривых с наблюдаемыми зависимостями были введены поправочные коэффициенты, результат действия которых приведен на основном рис.10. Здесь кривая 1 (пунктирная) построена по формуле:

, (59)

кривая 2 (пунктирная) - по формуле:

, (60)

причем по горизонтальной оси введено растяжение масштаба, для чего в формуле (57) величина  заменена на . Кривая 3 (сплошная) построена как сумма этих двух кривых, то есть по формуле:

. (61)

Можно видеть, что полученная кривая в области малых значений  довольно близко соответствует наблюдаемым точкам, а при достаточно больших значениях  отражает стремление периода к бесконечности. Однако в области средних значений  кривая 3 проходит ниже наблюдаемых точек, причем различие достигает полутора-двух раз.

Таким образом, модель эффективных полей позволяет качественно, а с учетом поправочных коэффициентов также и количественно, объяснить два свойства зависимости периода от константы магнитоупругого взаимодействия: резкий спад при малых ее значениях и постепенный рост при больших. Однако при промежуточных значениях константы модель дает заметно заниженные результаты.

Кроме того, дополнительное исследование показывает, что несмотря на рост периода при увеличении, расходимость вплоть до  как таковая не наблюдается, то есть период увеличивается значительно и рост его ускоряется, но все же не достигает бесконечности (то есть экспериментальная кривая (точки) в своем движении вертикальной асимптоты не имеет). Более подробно этот вопрос рассмотрен в разделе №18. 

Такое обстоятельство, в первую очередь необходимость растяжения горизонтального масштаба в формуле (57), побуждает обратиться к рассмотрению других возможных механизмов формирования наблюдаемых зависимостей. 

18. Модель квадратичной магнитоупругой связи

Как показано в предыдущем разделе, модель эффективных полей достаточно хорошо описывает поведение периода при малых и больших значениях , поэтому здесь обратимся к рассмотрению случая средних значений , при которых спад периода при увеличении  уже прекращен, а предсказываемая этой моделью расходимость еще не наступает, то есть в интервале: .

В качестве основного физического положения учтем, что пластина с магнитоупругой связью представляет собой совокупность двух связанных колебательных систем - магнитной и упругой. Связь осуществляется через посредство магнитоупругости, описываемой константой . Приложенное переменное поле возбуждает магнитную систему, откуда часть энергии возбуждения передается упругой системе.

То есть можно считать, что упругая система как бы нагружает магнитную, приводя при достаточной величине связи к увеличению ее инерционности, а следовательно и к увеличению периода свободных колебаний, каковыми являются медленные колебания положения равновесия намагниченности.

Говоря образно, легкая магнитная система таскает за собой тяжелую упругую, в результате чего их совокупное движение замедляется. 

В качестве иллюстрации воспользуемся механической векторной моделью, предложенной в работе [16, рис.4], где положение равновесия намагниченности рассматривается как самостоятельный вектор, который прецессирует вокруг направления постоянного поля. К такой системе применимы законы гироскопического движения [34], а именно, частота прецессии определяется формулой:

, (62)

где - момент силы,  - момент количества движения.

Учитывая, что момент количества движения пропорционален совокупной массе составляющих тело частиц, можно видеть, что период прецессии, обратный величине , с точностью до постоянного коэффициента, равен:

, (63)

где  - эквивалентная масса прецессирующего тела. 

Так как момент силы  определяется действием приложенного переменного поля на намагниченность, то есть от состояния упругой системы не зависит, можно полагать, что период прецессии равновесного положения намагниченности  с точностью до постоянного коэффициента пропорционален только «эффективной массе» магнитной системы. Полагая, что эта масса за счет взаимодействия с упругой системой увеличивается, можно предположить, что период  пропорционален константе  в какой-то не известной заранее степени. В случае линейного увеличения массы степень будет первая, в случае нелинейного - может быть более высокой.

Для того, чтобы определить показатель степени более точно, в качестве вспомогательной задачи обратимся к рассмотрению простой прецессии намагниченности в магнитоупругой системе, когда постоянное магнитное поле превышает поле размагничивания, так что вектор намагниченности в равновесном состоянии ориентирован точно вдоль оси .

Иллюстрацией решения такой задачи является рис.11, где показана зависимость периода свободной прецессии намагниченности от величины магнитоупругой связи. Рассмотрена свободная прецессия в условиях слабого магнитного () и полностью отсутствующего упругого () затухания. Для заведомой линейности задачи начальное значение поперечной компоненты намагниченности выбрано равным .

Точки получены при решении задачи, аналогичной рассмотренной в работе [22]. Сплошная линия построена по формуле:

, (64)

где коэффициент  и постоянное слагаемое  выбраны, исходя из условия максимального совпадения кривой с рассчитанными точками.

Рис.11. Зависимость периода свободной прецессии намагниченности от константы магнитоупругого взаимодействия.

На врезке - та же зависимость в большем интервале значений 

Параметры: ; ; ; ; , остальные параметры - совпадают с приведенными в разделе №3.

Из рис.11 видно, что зависимость периода свободной прецессии от константы  описывается квадратичной функцией с довольно высокой точностью. Так максимальное расхождение, имеющее место в области , составляет всего около , а в области  - не более , причем эти расхождения имеют противоположные знаки.

Таким образом, в качестве рабочего предположения можно считать, что период прецессии положения равновесия также описывается квадратичной функцией, подобной (64), при условии подбора соответствующих коэффициентов.

Замечание. Заметим, что для свободной прецессии при  наблюдается быстрый рост величины периода, квадратичной функцией уже не описываемый. Так при  рассчитанная по формуле (64) кривая проходит ниже измеренных точек примерно в два раза, как это показано на врезке рис.11. Однако можно полагать, что в этой области уже наступает рост периода, описываемый моделью эффективных полей в соответствии с формулой (57). То есть в этом случае период, по-видимому, может стремиться к бесконечности, отражая описываемую этой моделью расходимость. Однако, для целей дальнейшего рассмотрения, будем полагать, что в основном интервале изменения константы , величина периода описывается все же квадратичной функцией. 

Рассмотрим теперь возможность применения квадратичной функции к зависимости периода от  для случая прецессии положения равновесия. 

Обратимся к рис.12, где показана зависимость периода медленных колебаний намагниченности от величины константы магнитоупругого взаимодействия по модели квадратичной магнитоупругой связи.

Здесь кривая 1 (пунктир) отражает влияние поперечной составляющей намагниченности и построена по модели эффективных полей (раздел №17) с помощью формулы (59) с учетом (56), то есть аналогична кривой 1 на рис.10. Здесь однако введена несколько большая постоянная добавка, что обусловлено началом кривой 2 от нуля, то есть:

, (65)

Кривая 2 построена по формуле:

, (66)

полученной в соответствии с моделью квадратичной магнитоупругой связи и аналогичной формуле (64) с точностью до замены постоянных коэффициентов. Как видим, здесь введение постоянной добавки, аналогичной второму слагаемому формулы (64), необходимым не является.

Рис.12. Зависимость периода медленных колебаний намагниченности от величины константы магнитоупругого взаимодействия по модели квадратичной магнитоупругой связи. Формулы построения кривых: 1 - (65); 2 - (66); 3 - (67). На врезке - зависимость, построенная по формуле (68).

Точки - те же, что на рис.8а.

Кривая 3 (сплошная) является суммой кривых 1 и 2, то есть соответствует формуле:

. (67)

Из хода кривой 3 можно видеть, что она в области  отклоняется от расчетных точек примерно на , а в области  - не более чем на , причем эти отклонения имеют разные знаки. В промежуточной же области, то есть около , где отклонение меняет знак, можно считать совпадение практически точным. 

Таким образом, здесь соответствие кривой 3 точкам значительно лучше, чем аналогичное соответствие кривой 3 на рис.10.

То есть можно считать, что в основном интервале роста константы , то есть при  модель квадратичной магнитоупругой связи описывает наблюдаемый ход периода от величины  достаточно адекватно.

На врезке показана зависимость периода от константы  в более широком диапазоне ее изменения. Сплошная кривая построена по формуле:

. (68)

Можно видеть, что отличие этой формулы от (66) состоит только в небольшом (до ) отличии числового коэффициента перед , что общего квадратичного закона не меняет. Наблюдаемое при  небольшое (не более ) превышение измеренной точки над расчетной кривой, возможно, связано с резонансными свойствами упругой системы.

В любом случае роль квадратичной зависимости периода от  остается решающей.

19. Модель полной зависимости периода медленных колебаний от константы магнитоупругости

На основании рассмотренного в предыдущих разделах, можно полагать, что наиболее удачной формулой, описывающей ход зависимости периода  от константы , является следующая:

. (69)

Здесь во-первых учтена роль поперечной составляющей намагниченности по модели эффективных полей и во-вторых - квадратичный характер влияния константы магнитоупругости.

Эта формула является вполне адекватной в интервале изменения константы магнитоупругости от нудя до , что заведомо перекрывает реальные значения этой константы для большинства ферритов-гранатов, в том числе для ЖИГ и ТбФГ.

При больших значениях константы  вплоть до  более удобной является формула (68).

Из аналогии с ходом зависимости периода простой прецессии намагниченности от константы , показанной на рис.11 (врезка), можно предположить, что при еще больших значениях константы  возрастет роль продольной составляющей намагниченности, описываемая формулой (57), однако такое исследование выходит за рамки настоящей работы, так как в настоящее время лежит далеко за пределами параметров реальных материалов.

Заключение

Основные результаты настоящей работы сводятся к следующему.

Рассмотрена вынужденная нелинейная прецессия вектора намагниченности в нормально намагниченной пластине, обладающей магнитоупругими свойствами. Показано, что в условиях ориентационного перехода, то есть в поле, меньшем размагничивания формы, переменное поле круговой поляризации вызывает прецессию положения равновесия вектора намагниченности, причем за счет магнитоупругости свойства такой прецессии существенно изменяются. 

Подробно рассмотрен ориентационный переход вектора намагниченности, состоящий в изменении положения равновесия вектора намагниченности при изменении константы магнитоупругости. На основе минимизации плотности энергии, равной сумме плотностей магнитной, упругой и магнитоупругой энергий, для случая кубической анизотропии с ориентацией типа (100), получена система уравнений относительно компонент намагниченности и упругого смещения, описывающая равновесное положение вектора намагниченности.

С учетом неизменности полной длины вектора намагниченности показана возможность сведения такой системы к одному алгебраическому уравнению третьего порядка. Показано, что в интервале значений константы магнитоупругости, соответствующих реальным материалам, для решения этого уравнения применим метод Кардано, с помощью которого получена аналитическая зависимость продольной и поперечной компонент намагниченности от константы магнитоупругости и других параметров материла и поля.

На основе анализа общего хода зависимости плотности потенциальной энергии от величины константы магнитоупругости, показано, что общее решение упомянутого уравнения имеет три корня, один из которых, соответствующий положительным значениям компонент намагниченности, описывается формулой Кардано, а два других реального физического смысла не имеют.

Выявлена роль магнитоупругого взаимодействии в затягивании поля ориентационного перехода, тем большем, чем магнитоупругая связь выше. Введено понятие поля магнитоупругого взаимодействия, причем показано, что при внешнем поле меньшем этого поля увеличение продольной составляющей намагниченности приводит к уменьшению плотности энергии пластины, а при внешнем поле большем - к ее увеличению. 

Показано, что в равновесном состоянии уменьшение продольной компоненты намагниченности и соответствующее увеличение поперечной по мере увеличения , сначала довольно быстрое, постепенно замедляется, после чего останавливается на отклонении вектора намагниченности от нормали к пластине, равном , при котором обе нормированные компоненты намагниченности становятся равными . При этом в системе наступает не меняющаяся далее вплоть до  спонтанная деформация, обусловленная взаимным влиянием магнитной и упругой систем. 

Найдена постоянная компонента упругого смещения. Показано, что ее связь с константой магнитоупругого взаимодействия описывается линейной зависимостью, прямо пропорциональной произведению продольной и поперечной компонент намагниченности и обратно пропорциональной коэффициенту упругости материала пластины.

На основе связанной системы уравнений движения для намагниченности и упругого смещения проанализированы свойства прецессии второго порядка намагниченности в магнитоупругой среде. Получены параметрические портреты для намагниченности и упругого смещения. Показано, что по мере увеличения магнитоупругой связи диаметр больших колец параметрических портретов увеличивается, причем для компонент намагниченности - сначала линейно с последующим насыщением и выходом на горизонтальный участок, а для компонент упругого смещения - линейно во всем интервале исследованных значений константы магнитоупругости. Ширина больших колец при этом, как для намагниченности, так и для упругого смещения сначала уменьшается, а по мере увеличения магнитоупругой связи стремится к нулю. При этом малые кольца вдоль образующей большого кольца сужения не претерпевают, превращаясь в узкие эллипсы, вытянутые вдоль такой образующей.

Характер изменения геометрических параметров колец параметрических портретов объяснен на основе соответствия радиусов больших колец величинам равновесных значений поперечных компонент намагниченности. Показано, что уменьшение ширины этих колец по мере увеличения константы магнитоупругости определяется сужением потенциальной ямы, дно которой соответствует равновесному значению намагниченности.

Исследована зависимость периода прецессии от величины константы магнитоупругого взаимодействия. Показано, что при малых значениях этой константы период резко уменьшается, тогда как при средних стабилизируется, а при больших - плавно увеличивается тем быстрее, чем значение константы больше.

Для интерпретации наблюдаемого увеличения периода медленных колебаний прецессии намагниченности второго порядка предложено две модели: эффективных полей и квадратичности магнитоупругой связи. Показано, что резкий спад периода при малых значениях константы магнитоупругости можно описать путем введения добавки эффективного поля магнитоупругости, обусловленного поперечной составляющей намагниченности, к поперечной составляющей переменного поля, возбуждающего прецессию.

Для анализа возможности увеличения периода при больших значениях константы рассмотрена простая (первого порядка) свободная прецессия намагниченности в поле, превышающем поле размагничивания формы пластины. Показано, что период такой прецессии прямо пропорционален квадрату константы вплоть до довольно значительных ее значений. При очень больших значениях константы отмечен аномально быстрый рост периода, объяснением которому может явиться возрастание роли эффективного поля, обусловленного продольной составляющей намагниченности.

На основе аналогии с прецессией первого порядка предложена модель квадратичной магнитоупругой связи в качестве причины, вызывающей рост периода прецессии второго порядка при увеличении константы магнитоупругой связи.

В результате совокупного рассмотрения обеих моделей получена аналитическая формула, дающая не только качественное, но и количественное описание зависимости периода прецессии второго порядка от константы магнитоупругой связи с точностью до единиц процентов.

Работа выполнена при финансовой поддержке за счет гранта Российского Научного Фонда (проект № 14-22-00279).

Литература

1. Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит. 1994.

2. Ферриты в нелинейных сверхвысокочастотных устройствах. Сб. статей под ред. А.Г. Гуревича. М.: ИЛ. 1961.

3. Моносов Я.А. Нелинейный ферромагнитный резонанс. М.: Наука. 1971.

4. Львов В.С. Нелинейные спиновые волны. М.: Наука. 1987.

5. H. Suhl, Journ. Phys. Chem. Sol. // 1957. V.1. №4. P.209.

6. Temiryazev A.G., Tikhomirova M.P., Zilberman P.E.. // J. Appl. Phys. 1994. V.76. №12. P.5586. 

7. Alvarez L.F., Pla O., Chubykalo O. // Phys.Rev.B. 2000. V.61. №17. P.11613.

8. Зильберман П.Е., Темирязев А.Г., Тихомирова М.П. // ЖЭТФ, 1995. Т.108. №1. С.281.

9. Гуляев Ю.В., Зильберман П.Е., Темирязев А.Г., Тихомирова М.П. // ФТТ. 2000 Т.42. №6. С.1062.

10. Gerrits Th., Schneider M.L., Kos A.B., Silva T.J. // Phys.Rev.B. 2006. V.73. №9. P.094454(7).

11. Семенцов Д.И., Шутый А.М. // УФН. 2007. Т.177. №8. С.831.

12. Белов К.П., Звездин А.К., Кадомцева А.М., Левитин Р.З. Ориентационные переходы в редкоземельных магнетиках. М.: Наука. 1979.

13. Власов В.С., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2011. Т.56. №1. С.84.

14. Власов В.С., Котов Л.Н., Щеглов В.И. Нелинейная прецессия вектора намагниченности в условиях ориентационного перехода. Сыктывкар: ИПО СыктГУ. 2013. 

15. Власов В.С., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2011. Т.56. №9. С.1120.

16. Власов В.С., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2011. Т.56. №6. С.719.

17. Власов В.С., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2012. Т.57. №5. С.501.

18. Власов В.С., Кирушев М.С., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2013. Т.58. №8. С.806.

19. Власов В.С., Кирушев М.С., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2013. Т.58. №9. С.857.

20. Вонсовский С.В., Шур Я.С. Ферромагнетизм. М.: ОГИЗ Гостехиздат. 1948.

21. Власов В.С., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2010. Т.55. №6. С.689.

22. Власов В.С., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2009. Т.54. №7. С.863.

23. Comstock R.L., LeCraw R.C. // J. Appl. Phys. 1963. V.34. № 10. P.3022.

24. Ле-Кроу Р., Комсток Р. // В кн.: У. Мэзон (ред.): Физическая акустика. Т.3Б. Динамика решетки. М.: Мир. 1968. С.156. 

25. Беляева О.Ю., Зарембо Л.К., Карпачев С.Н. // УФН, 1992, т.162, №2, с.107-138.

26. Голдин Б.А., Котов Л.Н., Зарембо Л.К., Карпачев С.Н. Спин-фононные взаимодействия в кристаллах (ферритах). Л.: Наука. 1991.

27. Сушкевич А.К. Основы высшей алгебры. М.,Л.: Гос. изд. техн.-теор. лит. 1941.

28. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1973.

Размещено на Allbest.ru