Теория неупругих слоистых и блочных сред

Уравнения динамики упруговязкопластической среды имеют вид:

(22)

Здесь - компоненты вектора скорости, - компоненты тензора напряжений, - среднее напряжение, - компоненты девиатора напряжений, - второй инвариант девиатора напряжений, - статический предел текучести, - вязкость при динамическом нагружении, - показатель степени в выражении для функции релаксации напряжений.

Как уже было сказано, при численном решении системы уравнений (5.1) по явной разностной схеме с шагом при соблюдении условия Куранта параметр все равно остается малым () из-за малости динамической вязкости . Этот малый параметр находится в знаменателе вязкого члена, поэтому интегрирование определяющих уравнений по явной разностной схеме с курантовским шагом по времени приводит к неустойчивости.

Положим, что значения компонент вектора скорости на -м временном слое уже найдены из уравнений движения. Неявная схема первого порядка для определяющих соотношений имеет вид:

(23)

При эта система нелинейных разностных уравнений может быть решена точно. Выражение для девиатора напряжений на новом временном слое принимает вид

(24)

Здесь введено обозначение , которое можно истолковать как вспомогательный “упругий” шаг расчета, .

Для произвольного значения эту разностную нелинейную систему (23) можно решить приближенно для малых значений . Значение девиатора напряжений на новом временном слое при этом равно:

В полученных формулах можно явно перейти к пределу , что соответствует переходу от упруговязкопластической к упругопластической модели, и получить известную корректировочную формулу Уилкинса. Процедуру корректировки Уилкинса часто называют «посадкой на круг текучести».

Для численного решения определяющих соотношений (22) можно применить неявную аппроксимацию второго порядка точности по времени и получить более точную корректировочную формулу для девиаторов напряжений.

Неявная схема второго порядка по времени получается при использовании средних значений девиатора напряжений в правой части уравнений (22):

(25)

Как и для аппроксимации первого порядка, систему (25) можно решить точно при :

Здесь введены обозначения:

,

Для остальных значений можно получить решение при , используя для решения системы уравнений (25) метод разложения по малому параметру. Окончательная формула для компонент девиатора напряжений на новом временном слое принимает вид:

В этой формуле также можно положить и получить корректировку, соответствующую упругопластическому решению («посадке на круг текучести»):

(26)

Таким образом, при использовании неявной схемы второго порядка точности сначала на круг текучести “сажается” средний девиатор, а затем “точка посадки” смещается на величину разницы между этим девиатором и значением девиатора на старом временном слое.

На основе полученных формул предложен новый вариант метода конечных объемов для расчета высокоскоростных взаимодействий упругопластических и упруговязкопластических тел, и даются примеры применения метода к расчету прикладных задач о сварке взрывом и о действии ударных волн на подземные полости и сооружения.

Задачи решаются в пространственно двумерной постановке (плоская деформация или осевая симметрия). Математическая постановка задачи в рамках модифицированной с учетом возможных больших деформаций упруговязкопластической модели материала (22) включает систему уравнений движения, неразрывности, сдвигового деформирования и объемного деформирования. Выпишем ее в общей тензорной форме:

(27)

Здесь - девиатор тензора напряжений, - среднее напряжение, - производная Ривлина. Граничные условия вне зоны контакта заданы в напряжениях. На внешней поверхности наружной оболочки (пластины): , .. Остальные участки поверхности вне зоны контакта свободны от нагрузок: , . Здесь индексы и обозначают нормальное и касательное напряжения к деформированной границе соударяющихся тел, - форма импульса нагружения в детонационной волне, - ее скорость. На контактной границе непрерывны нормальные составляющие скоростей и напряжения, а касательные подчиняются условию трения:

при - условие сцепления, (28)

- условие проскальзывания.

где - коэффициент сцепления контактных поверхностей, квадратными скобками выделены скачки искомых функций на контактной границе.

Основное предположение рассматриваемой модели контактного взаимодействия [9] состоит в том, что сцепление наступает при достаточно высоком уровне пластических деформаций в зоне контакта, тогда коэффициент сцепления будет сильно зависеть от величины интенсивности пластических деформаций : . Это предположение формулируется следующим образом: при , при .

Для численного решения системы уравнений (27) использовалась уже рассмотренная ранее новая явно-неявная двухшаговая конечно-объемная схема второго порядка точности по времени с процедурой корректировки (“посадки на поверхность текучести”) компонент девиатора (24) или (26). Задача решалась на лагранжевой сетке.

Был разработан новый контактный алгоритм расчета взаимодействия соударяющихся тел, основанный на геометрическом подходе, предложенном в работе Бураго Н.Г., Кукуджанова (1988). Расчет шага по времени проводился в два этапа. На первом этапе рассчитывались предварительные значения искомых функций на новом временном слое и предварительное новое положение лагранжевой сетки без учета контактных усилий. Контактные усилия учитывались на втором этапе. Для этого определялась зона контакта путем перебора всевозможных граничных пар «чужой граничный узел - свой граничный отрезок» для взаимодействующих тел и проверки геометрического условия непроникания. Если это условие для некоторой граничной пары нарушено, то она принадлежит зоне контакта и для нее определялись и учитывались контактные усилия, которые обеспечивали взаимное непроникание тел и выполнение контактных условий (28).

На Рис.9-а,b,c представлены результаты расчета высокоскоростного соударения титанового (внешнего) и стального (внутреннего) трубчатых образцов под действием детонационной волны. Волна распространяется по заряду взрывчатого вещества (ВВ) по внешней поверхности труб. Для наглядной иллюстрации процесса выбран режим с большим пиковым давлением в детонационной волне, что привело к сильным пластическим деформациям заготовок, особенно внешней титановой, в концевой зоне.

Рис. 9-а Изолинии Рис. 9-b Изолинии Рис.9-c Функция

На Рис.9-а,b представлены изолинии компонент напряжений и . О качестве сварки можно судить по функции (Рис.9-c), которая определена на контактной границе двух тел и принимает значения в зоне контакта со сваркой, в зоне контакта без сварки, вне зоны контакта. Функция показывает, что качество сварки рассмотренных образцов является хорошим всюду за исключением небольшой концевой зоны, что часто наблюдается в эксперименте.

На основе предложенного явно-неявного метода конечных объемов решена двумерная задача (плоская деформация) о прохождении продольной волны через цилиндрическую полость в упруговязкопластической среде [2]). Эта задача представляет интерес в связи с воздействием ударных волн на подземные полости и сооружения. Продольная волна формируется от нормальной динамической нагрузки амплитудой , действующей на полупространство с полостью радиуса , расположенной на глубине . Граница полости свободна от напряжений. Поведение среды описывается системой уравнений (27). Задача решалась в двух вариантах: на неподвижной сетке, и на лагранжевой сетке, узлы которой движутся вместе с частицами среды.

На Рис.10 представлены результаты упругопластического расчета () взаимодействия волны с полостью для случая, когда нагрузка значительно, до 10 раз превышает статический предел текучести, =0.01. Представлены изолинии компонент напряжений . Ось 2 направлена по нормали к границе полупространства. Концентрация напряжений характеризуется значениями в боковых частях полости и сильно убывает с понижением предела текучести с =2.4 для упругого расчета до = 1.8, 1.5, 1.0 для упругопластического при = 0.007, 0.005, 0.001. Отметим также факт смещения точки максимальной концентрации напряжений с границы полости во внутреннюю боковую зону.

Рис.10 Упругопластический расчет (=0.007, =0.005, =0.001)

В последнем случае картина напоминает обтекание гидродинамического препятствия (сильно развитое пластическое течение). Влияние нелинейной вязкости (параметра 0.,1.,2.), т.е. собственно упруговязкопластичности, на динамический процесс показано на Рис.11-а,b,c для случая сильной пластичности =0.001. Оно описывается коэффициентом динамичности , который характеризует превышение достигнутого значения второго инварианта девиатора над статическим пределом текучести. Расчет корректировочных девиаторов напряжений проводился по универсальной формуле (24). В данном случае этот коэффициент имеет значения =1.21 при 1., и =1.37 при 2. Таким образом, динамический предел текучести оказался больше статического почти на 40 % . В случае более высоких значений статического предела текучести коэффициент динамичности сильно уменьшается.

Рис.11-а 0. k=1 Рис.11-b 1. k=1.21 Рис.11-c 2. k=1.37

Данные примеры иллюстрируют возможности разработанного явно-неявного алгоритма для расчета нестационарных процессов деформирования, описываемых упруговязкопластическими системами уравнений с малым параметром вязкости, при сильных динамических нагрузках.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В диссертации получены новые результаты по теории механики сплошных сред. А именно, в изотропной неупругой среде, для условия скольжения с учетом вязкости и локального критерия текучести, впервые проинтегрированы соотношения теории скольжения в случае сложного трехмерного напряженного состояния. Для случая малой вязкости аналитически получены замкнутые соотношения упруговязкопластической модели с условием пластичности Треска и нелинейной функцией релаксации, содержащей степенные показатели нелинейности. Установлена зависимость этих показателей от структуры напряженного состояния.

2. В изотропной неупругой среде, для условия скольжения с учетом локального критерия текучести и локального критерия нагружения, впервые проинтегрированы соотношения теории скольжения в случае сложного трехмерного напряженного состояния. Для случая малого превышения предела текучести максимальным главным касательным напряжением получены замкнутые соотношения упругопластической теории течения с условием текучести Треска и с коэффициентами, зависящими от структуры напряженного состояния. В зависимости от параметров нагружения определены состояния активного, частичного нагружения и разгрузки. Построена функция текучести, для которой полученные соотношения при активном нагружении являются следствием ассоциированного закона течения.

3. На основе представлений теории скольжения в ее дискретном варианте построена континуальная модель слоистой среды, включающая в качестве новых зависимых переменных распределенные скорости скольжений и отслоений. Локальные условия проскальзывания выбраны в виде условий сухого трения с малой добавкой вязкого трения, что позволило сохранить упругий дифференциальный оператор определяющих анизотропных упруговязкопластических соотношений.

4. На основе представлений теории скольжения для тех же локальных условий скольжения построена континуальная модель блочной среды с проскальзыванием и отслоением. Для описания различных типов контактных взаимодействий введены понятия плоскости скольжения-отслоения и плоскости отслоения. Как вариант модели получены определяющие континуальные соотношения для структурно-периодических сред типа «кирпичной кладки» и «паркета». Учтена возможность начальной прочности на сдвиг и отрыв на контактных границах.

5. Для решения полученных систем уравнений предложен явно-неявный численный метод, основанный на методе конечных объемов и неявной аппроксимации полулинейных определяющих уравнений модели, содержащих малый параметр вязкости в знаменателе свободного члена. Аналитически решена неявная разностная система уравнений и получены формулы корректировки касательных напряжений на конус трения. Метод обобщен на случай произвольной упруговязкопластической системы классического типа с неявной аппроксимацией полулинейных уравнений, и получены формулы корректировки девиаторов напряжений на поверхность текучести первого и второго порядка точности.

6. Решен ряд новых динамических задач о взаимодействии волн с полостями и сооружениями в слоистой и блочной среде и развитии зон проскальзывания и отслоения в их окрестности. Также решен ряд квазистатических задач о развитии зон повреждений в слоистой среде и массивах кирпичной кладки при различных граничных нагрузках и смещениях, моделирующих сейсмические и техногенные воздействия на элементы зданий и сооружений

ЛИТЕРАТУРА

1. Никитин И.С. Задача о подвижной нагрузке на границе упругого полупространства с цилиндрической полостью.// Изв. АН СССР. МТТ. 1984. №3. С.93-99.

2. Никитин И.С. Задача о нагрузке, приложенной к неупругому полупространству с цилиндрической полостью.// Изв. АН СССР. МТТ. 1985. №5. С.184-187.

3. Глушко А.И., Никитин И.С. Об одном методе расчета волны хрупкого разрушения.// Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №3. С. 129-134.

4. Никитин И.С. Осредненные уравнения слоистой среды с нелинейными условиями взаимодействия на контактных границах.// Изв. АН СССР. МТТ. 1987. №5. С.80-86.

5. Никитин И.С. Осредненные уравнения блочной среды с нелинейными условиями взаимодействия на контактных границах//Изв. АН СССР. МТТ. 1988. №2. С.70-76.

6. Никитин И.С. Динамика слоистых и блочных сред с проскальзыванием и трением. Препринт №366 М.: Изд-е ИПМех АН СССР, 1989. 42с.

7. Никитин И.С. О распространении волн в слоистых и блочных средах с трением на контактных границах.// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1989. №7. С.3-11.

8. Korobov S.A., Gulbin V.N., Nikitin I.S. Stressed-strained state analysis of material under high-speed deformation conditions. Journal de Physique IV. Colloque C3. 1991.Vol.1. pp.235-240.

9. Гульбин В.Н., Никитин И.С. Методика расчета параметров режима сварки взрывом разнородных металлов.// Сварочное производство. 1995. №1. С.18-25.

10. Кобелев А.Г., Гульбин В.Н., Никитин И.С., Колесников Ф.В. Исследование напряженно-деформированного состояния при сварке взрывом слоистых биметаллов.// Сварка взрывом и свойства сварных соединений: Межвузовский сборник научных трудов/ ВолгГТУ. Волгоград. 2000. с.30-43.

11. Никитин И.С. Упруговязкопластическая модель и теория скольжения. Препринт № 784. М.: Изд-е ИПМех РАН. 2005. 32с.

12. Никитин И.С. Теория деформирования слоистых и блочных горных массивов с учетом трения. Материалы XIV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСППС-2005). М.: Вузовская книга. 2005. С.348.

13. Никитин И.С. Численный метод решения «жестких» полулинейных гиперболических систем. Тезисы докладов III Всероссийской конференции « Актуальные проблемы прикладной математики и механики». Екатеринбург: УрО РАН. 2006. С.87-88.

14. Никитин И.С. Упруговязкопластическая модель и теория скольжения. Труды IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород. 22-28 августа 2006. С. 159.

15. Никитин И.С. Интегрируемые варианты трехмерной теории скольжения для упруговязкопластических и упругопластических материалов. Материалы XV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСППС-2007). М.: Вузовская книга. 2007. С.395-396.

16. Nikitin I. The Integrable variants of the 3D slip theory for elastoviscoplastic and elastoplastic models. EMMC-10 Conference “Multi-phases and multi-components materials under dynamic loading” 11-14.06.2007.Kazimierz Dolny. Poland.

17. Никитин И.С. Определяющие соотношения упруговязкопластической модели и теория скольжения. // Изв. РАН. МТТ. 2007. №2. С.110-122.

18. Никитин И.С. Построение упруговязкопластической и упругопластической моделей на основе теории скольжения. «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды». Саратов. 2007.

19. Nikitin I. Elastoviscoplastic model and concept of slip.// Multidiscipline Modeling in Mat. And Str. 2007. Vol. 3. №1. pp.91-106.

20. Никитин И.С. Динамические модели слоистых и блочных сред с проскальзыванием, трением и отслоением. //Изв. РАН. МТТ. 2008. №4. С.154-165.

21. Nikitin I. The Integrable Variant of the Theory of Slip.// Multidiscipline Modeling in Mat. And Str. 2008 .Vol. 4. №2. pp. 163-178.

Размещено на Allbest.ru