Электромагнитные волны

Таким образом, создав в одной точке пространства плоскую волну с заданным направлением лучевого вектора, мы получаем в другой точке пространства также плоскую волну, у которой направление распространения будет, вообще говоря, уже другим. Построив лишь один луч, мы не получаем никаких сведений об амплитудах волн на входе и выходе, а построив семейство лучей, получим сгущение лучей в тех сечениях, в которых амплитуда поля растет, и разряжение, где падает.

Простейший случай -- распространение плоских волн в однородной среде, для которой n = const и поэтому grad n = 0. Из (3.93) следует, что здесь d/ds² = 0, откуда г = sa + b , где а и b --некоторые постоянные векторы. Луч представляет собой прямую линию.

Наклонные лучи в среде с показателем преломления, изменяющимся по вертикали. Простейшая математическая модель распространения достаточно коротких электромагнитных волн в неоднородной атмосфере Земли или в градиентном световоде в рамках метода геометрической оптики сводится к решению уравнений лучей (3.94) при условии, что показатель преломления среды зависит только от вертикальной координаты z. Будем считать, что распространение происходит в плоскости xoz. При этом dy/ds=0. Поскольку показатель преломления зависит только от z, первое уравнение из системы (3.94) приобретает вид

d/ds (n dx/ds) = 0. (3.95)

Отсюда следует, что

dx/ds =C/n , (3.96)

где C - постоянная величина, которую можно определить исходя из того, что производная dx/ds является направляющим косинусом лучевого вектора по отношению к оси х. Если источник волн расположен в точке с координатами х = 0, z = z₀ и луч в точке входа образует угол ₀ с осью z, то

С/n(z₀) = sin₀ , C =n(z₀)sin₀ . (3.97)

Чтобы получить уравнение траектории луча в явном виде, следует учесть, что второй из направляющих косинусов, то есть проекция единичного вектора на ось z может быть найдена по теореме Пифагора

dz/ds= ± [l - (dx/ds)²]^1/2 = ±[l-(С/n)² ]^l/2. (3.98)

Здесь положительный знак отвечает восходящей, а отрицательный - нисходящей ветви луча. Разделив (3.96) на (3.98), получаем дифференциальное уравнение кривой.

dx/dz = ± [(n/С)²-l]^-1/2 , (3.99)

решение которого

. (3.100)

При численных расчетах по этой формуле следует (в необходимых случаях) изменять знак перед корнем, переходя с восходящей на нисходящую ветвь луча.

Выражение (3.97) справедливо при любых значениях z.

n(z₀) sin₀ = n(z) sin. (3.101)

Это непосредственно следует из (3.96), если учесть, что при заданном z, sin = dx/ds. Если показатель преломления с ростом координаты z увеличивается, т. е. n(z) > n(z₀), то в соответствии с (3.101) угол < ₀ и луч искривляется вверх, стремясь стать более вертикальным. Наоборот, если n(z) < n(z₀), то > ₀ и луч искривляется вниз. В физике искривление траектории луча из-за изменения показателя преломления называют рефракцией. Общее правило таково: луч отклоняется в ту сторону, где оптическая плотность среды, выше.

Если показатель преломления с ростом высоты уменьшается, то возможна ситуация, когда = /2, т. е. происходит поворот луча. Это эквивалентно отражению волны от идеально проводящей плоскости. Точка поворота располагается на высоте z_n, в которой угол = 90⁰, sin = 1 и

n(z_n) = n(z₀)sin₀. (3.102)

Если значение ₀ близко к /2, т. е. луч входит в неоднородную среду почти горизонтально, достаточно весьма небольшого уменьшения показателя преломления с высотой, чтобы произошел поворот луча. Описанные здесь явления играют существенную роль в распространении радиоволн вблизи поверхности Земли и светового луча в световоде.

Размещено на Allbest.ru