Вимірювання фізичних величин

m1 (х 1 - U1 ) = m2 ( U2 - х2), (7)

m1 (х 12 - U12 ) = m2 ( U22- х 22). (8)

Поділивши (8) на (7), одержуємо:

х 1 + U1 = U2 + х 2 . (9)

Розв'язуючи систему рівнянь (7) та (9), знаходимо вирази для швидкості куль після удару:

(10)

(11)

Якщо маси куль однакові, то:

m1 = m2 = m. (12)

Підставивши (12) в (10) та (11), одержуємо:

; , (13)

Тобто кулі обмінюються швидкостями.

Знаючи масу та швидкості куль до і після удару, можна визначити середню силу удару куль. Для цього застосуємо другий закон Ньютона, наприклад, до другої кулі:

(14)

де - час, протягом якого відбувався удар.

Якщо до удару друга куля була нерухома, то

х 2 = 0 (15)

підставляючи (12), (13), та (15) в (14), маємо:

(16)

У випадку абсолютно непружного удару двох куль виконується лише закон збереження імпульсу, на основі якого запишемо:

m1 х 1 + m2 х 2 = ( m1 +m2 ) U , (17)

де U - швидкість обох куль після удару.

Звідки знаходимо

(18)

Втрату кінетичної енергії при абсолютно непружному ударі знайдемо як різницю кінетичних енергій обох куль до та після удару:

(19)

Підставивши (18) в (19) прийдемо до такого виразу:

(20)

У цій роботі для вимірювання початкових і кінцевих швидкостей куль, а також часу удару використовується прилад, який складається з штатива 1 (див. рис.1), на якому з допомогою спеціального пристрою 2 прикріплені підвіси з кулями 3, двох кутомірних шкал 4, електромагніту 5 та секундоміра 6.

Рис. 1 Рис. 2

Для вивчення пружного удару використовуються стальні кулі, а при вивченні непружного удару - пластилінові. Електромагніт служить для утримання першої кулі в відхиленому на кут 1 положенні. Друга куля до початку вимірювань нерухома в положенні рівноваги.

Швидкість першої кулі безпосередньо перед ударом можна вирахувати, знаючи довжину підвісу та початковий кут відхилення кулі (Див.рис. 2 ).

Оскільки з положення А в положення В куля рухається тільки під дією гравітаційних сил, справджується закон збереження енергії, на основі якого можна записати:

(21)

При цьому вважається, що в положенні В потенціальна енергія дорівнює нулеві. З рисунка 2. видно, що:

(22)

З рівнянь (21) та (22) знаходимо:

(23)

За цією ж формулою визначаються швидкості куль після удару.

Час удару вимірюється електронним мілісекундоміром.

При виконанні лабораторної роботи необхідно мати на увазі, що використаний в ній метод вивчення законів збереження та спосіб вимірювання фізичних величин мають певні похибки, які безумовно впливають на кінцевий результат.

Дійсно, ми вважали систему куль ізольованою і не враховували сил тертя з боку кронштейна та повітря. Ми також вважали стальні кулі абсолютно пружними, а пластилінові - абсолютно непружними, що є ідеалізацією і не відповідає властивостям реальних тіл. Крім цього неминучі похибки при вимірюванні довжини підвісу та кутових відхилень куль, тому виконання законів збереження слід чекати в рамках цих похибок.

Порядок виконання роботи

А. Пружний удар куль.

Повертаючи корбочку 7, встановити таку віддаль між стержнями, щоб кулі дотикались одна до одної.

Встановити кутоміри так, щоб леза підвісів в положенні рівноваги показували на шкалах нулі. Шкали закріпити гайками.

Ввімкнути секундомір в мережу; натиснути клавішу "Сеть" мілісекундо-міра; відпустити клавішу пуск "Старт". Праву кулю відхилити в бік елек-тромагніту і блокувати в цьому положенні.

Записати значення кута 1; натиснути клавішу "Сброс"; натиснути клавішу пуск "Старт".

Після зіткнення куль визначити значення кутів 1 і 2, а також записати час зіткнення.

Дослід повторити не менше 10 разів та визначити середні значення кутів і часу за формулами:

Виміряти висоту піднімання кулі за допомогою лінійки відповідно до рис.2.

На аналітичних терезах визначити масу кулі з точністю 0,12г. При відсутності терезів масу розрахувати за формулою

,

де

9. Всі дані вимірювань занести в таблицю:

Таблиця 1

№ досліду	1, град	1, град	2, град	h, м	m, кг	, с

В. Непружний удар куль.

Замінити на приладі стальні кулі пластиліновими.

Виконати пункти 1- 4 завдання А.

Після зіткнення куль визначити кут 2.

Дослід повторити не менше 10 разів та визначити середнє значення кута за формулою:

Виконати пункти 7 - 9 завдання А.

Таблиця 2.

№ досліду	1, град	2, град	m, кг	l, м

Обробка результатів експерименту та їх аналіз

А.1. За формулою (23), використовуючи дані таблиці 1, вирахувати швидкості куль до удару х1 та х2, а також після удару U1 та U2 .

2. За формулами (5) та (6) перевірити справедливість законів збереження. Виконати аналіз результатів експерименту.

3. За формулою (16) знайти середню силу удару. Оцінити її величину.

4. Знайти абсолютну та відносну похибки.

В.1. За формулою (23), використовуючи дані таблиці 2, вирахувати швидкості куль до удару х1 та х2, а також після удару U.

2. За формулою (17) перевірити справедливість закону збереження імпульсу.

3. За формулою (19) знайти втрати механічної енергії.

4. Виконати аналіз одержаних результатів та вирахувати абсолютну і відносну похибки експерименту.

Контрольні запитання

Імпульс тіла. Закон збереження імпульсу. Центр мас системи.

Удар. Абсолютно пружний та абсолютно непружний удари.

Енергія. Види енергії в механіці. Закон збереження енергії. Чи завжди він справджується?

Перерахуйте джерела похибок при виконанні даної роботи.



4. Лабораторна робота №1-4. Визначення швидкості кулі з допомогою балістичного маятника

Визначення швидкості кулі

з допомогою балістичного маятника

л.1.

16, 17, 24, 25

Мета роботи: вивчення законів збереження при абсолютно непружному зіткненні тіл на прикладі визначення швидкості кулі.

Прилади і матеріали: балістичний маятник, пневматична гвинтівка, аналітичні терези, лінійка.

Опис установки

(Теоретичні відомості описані в лабораторній роботі 1 - 3 )

Балістичним маятником в нашій роботі являється масивний циліндр, запов-нений пластиліном і підвішений на практично нерозтяжних нитках (рис. 1).

На деякій віддалі від циліндра на його осі закріплена пневматична гвинтівка. При пострілі швидкість кулі направлена вздовж прямої, яка проходить через центр ваги маятника. Куля масою m після зіткнення за-стрягає в пластиліні маятника, тому удар вважають абсолютно непружним.

Так як маятник до удару був нерухомий, тобто х1 = О, то із спів-відношення (1) лабораторної роботи № 3 одержимо:

(1)

де m - маса кулі;

х - швидкість кулі перед ударом;

M - маса маятника.

Рис.1 (Установка для визначення швидкості польоту кулі.)

Якщо знехтувати силами тертя в нитках, на яких підвішений маятник і опором повітря, то система маятник-куля після удару є ізольованою і кон-сервативною. Тут можна використати закон збереження механічної енергії:

(2)

Таким чином, завдання зводиться до визначення висоти піднімання маятника після попадання в нього кулі.

але так як кут відхилення малий, можна вважати

Знаходимо

Тому

У межах похибки вимірювання можна вважати, що AB АС,

де AB=S - віддаль, на яку зміщується покажчик на лінійці L.

Остаточно одержуємо:

(3)

Використовуючи співвідношення (1) - (3), одержуємо формулу для визначення швидкості кулі:

(4)

У співвідношенні (4) величини M, m, l, S визначаються експеримен-тально.

Порядок виконання роботи

Для проведення необхідних вимірювань слід:

зважити балістичний маятник;

зважити кулі;

підвісити маятник так, щоб вісь циліндра знаходилась на лінії польоту кулі. Покажчик на лінійці підвести впритул до задньої стінки циліндра. Виміряти довжину підвісу маятника;

здійснити постріл і зміщення покажчика занести в таблицю;

дослід повторити кілька разів.

№ досліду	M, кг	m, кг	l, м	S, м

Обробка результатів дослідження і їх аналіз

За формулою (4) визначити швидкість кулі для кожного пострілу окремо. При розрахунках слід враховувати, що маса маятника після кожного пострілу збільшується на величину маси кулі.

Із результатів дослідів визначити середнє значення швидкості кулі; абсолютну і відносну похибки; провести необхідний аналіз результатів.

Контрольні запитання

Що називається балістичним маятником?

Записати закони збереження для пружного і непружного ударів куль.

Як розрахувати зміну внутрішньої енергії системи "маятник-куля" при непружному ударі?

Як зміниться результат експерименту, якщо куля влітає в маятник під деяким кутом до горизонту?

Як можна пояснити розходження в значеннях швидкості кулі, одержаних із даних кінематичного і динамічного методів?

5. Лабораторна робота №1-5. Вивчення абсолютно пружного центрального удару куль з допомогою конденсаторного хронометра

Вивчення абсолютно пружного центрального удару куль

з допомогою конденсаторного хронометра

л.1.

16,17,24,25

Мета роботи: вивчити закони збереження при абсолютно пружному ударі на прикладі визначення часу удару; середньої сили удару і швидкості кулі в момент удару з допомогою конденсаторного хронометра.

Прилади і матеріали: експериментальна установка; штангенциркуль і лінійка.

Опис установки

( Теоретичні відомості описані в лабораторній роботі №.1 - 3 )

Час зіткнення тіл настільки малий, що його неможливо виміряти секундо-міром. Його визначають методом конденсаторного хронометра, принцип

дії якого полягає в слідуючому: куля при ударі замикає електричне коло, що складається із зарядженого конденсатора С, резистора R і гальванометра G, з'єднаних між собою згідно з рис. 1.

Рис.1 (Установка для визначення часу удару куль.)

Нехай у початковий момент часу t конденсатор мав заряд q. За час t при ударі заряд конденсатора зменшився на q. Виходячи із співвідношення

І=dq/dt, маємо dq=Іdt,

де

І - миттєве значення струму (його можна визначити із закону Ома)

І=U/R, але U=q/C,

де С - ємність конденсатора; R - опір кола.

Тод

і dq=(- q/RC)dt.

Розділимо змінні і проінтегруємо останній вираз:

Звідки :

= C R ln q0/q ,

де q0 - початковий заряд конденсатора ;

q - заряд, який залишився після удару.

Для вимірювання заряду скористаємось гальванометром, відхилення покажчика якого n пропорційне значенню заряду. Тобто q0 n0, а q n. Тоді

= С R ln n0/n.

Порядок виконання роботи

Відвести одну із куль і закріпити її фіксатором, зарядити конденсатор, поставивши перемикач П в положення "Зарядка" на 3-4 с, а потім розрядити його через гальванометр шляхом переведення перемикача П в положення "Розрядка". Записати показ гальванометра n0 . Дослід повторити не менше 10 разів. Одержані результати занести в таблицю. Для заспокоєння покажчика гальванометра слід періодично натискати кнопку К .

Зарядити конденсатор, перевівши перемикач П спочатку в положення "Зарядка" на 3-4 с, а потім в нейтральне положення. Провести удар куль, звільнивши при цьому фіксатор. Потім перемикач П перевести в положення "Розрядка" і записати відхилення покажчика гальванометра n. Дослід повторити не менше 10 разів.

Визначити значення висоти піднімання кулі h і її радіус r , а також записати значення опору кола R і ємності конденсатора C .

C, Ф	R , Ом	n0, под.	n, под.	h, м	r, м

Обробка результатів дослідження і їх аналіз

За формулою (23) визначити швидкість кулі при ударі(л.р. 1-3).

За формулою (1) визначити час зіткнення куль. Знайти абсолютну і відносну похибки .

Визначити масу кулі і за формулою (16) вирахувати середню силу удару. Пояснити одержані результати (л.р. 1-3).

Контрольні запитання

Що таке пружний і непружний удари?

Який буде характер руху куль після удару?

Одержати формули для розрахунку відносної і абсолютної похибок вимірюваних величин.

6. Лабораторна робота №1-6. Визначення моментів інерції тіл з допомогою трифілярного підвісу.

Визначення моментів інерції твердих тіл з

допомогою трифілярного підвісу

п.1.

31, 23.

Мета роботи: набути навичок експериментального визначення моментів інерції твердих тіл та перевірити теорему Штейнера.

Прилади і матеріали: трифілярний підвіс; терези; комплект різноважків; штангенциркуль; досліджувані тіла.

Теоретичні відомості

Момент інерції - це фізична величина, що є мірою інертності тіл при обертовому русі. Чисельно вона дорівнює сумі добутків мас матеріальних точок, на які подумки розбивають тіло, на квадрати їх віддалей від осі обертання:

У випадку однорідного тіла правильної форми сума замінюється інтегруванням. На практиці часто необхідні значення моментів інерції твердих тіл неоднорідних або довільної (неправильної) форми. У таких випадках моменти інерції визначають експериментально. Одним з методів визначення моментів інерції є метод трифілярного підвісу. Трифілярний підвіс являє собою круглу платформу, що підвішена на трьох симетрично розташованих нитках, прикріплених до країв цієї платформи. Зверху ці нитки також симетрично прикріплені до диска меншого діаметра, ніж діаметр платформи. Платформа може здійснювати крутильні коливання навколо ( Рис.1. )

Рис 1.

вертикальної осі, що перпендикулярна до її площини та проходить через її середину. Центр мас платформи при цьому переміщується вздовж осі обертання. Період коливань визначається величиною моменту інерції платформи. Він буде іншим, якщо платформу навантажити яким-небудь тілом. Це й використовується в даній роботі.

Якщо платформа масою m , обертаючись в одному напрямку, піднялась на висоту h , то вона набуде приросту потенціальної енергії

W = m g h ,

де g - прискорення вільного падіння.

Обертаючись в другому напрямку, платформа прийде в положення

рівноваги з кінетичною енергією:

де І - момент інерції платформи ;

0 - кутова швидкість платформи в момент досягнення нею положення рівноваги.

Знехтувавши роботою сил тертя, на основі закону збереження механічної енергії, можемо записати:

(1)

Вважаючи, що платформа здійснює гармонічні коливання, можемо записати залежність кутового зміщення платформи від часу в вигляді:

де - кутове зміщення платформи ;

0 - амплітуда зміщення ;

Т - період коливань ;

t - поточний час.

Кутова швидкість визначається як перша похідна від кута за часом, тобто:

В моменти проходження через положення рівноваги (t = 0, 0.5Т; 1.5Т і т.д.) абсолютне значення її буде:

Підставивши значення 0 в рівняння (1), одержимо:

(2)

Якщо l - довжина ниток підвісу, R - радіус платформи, r - радіус верхнього диска, то з рис.1. видно, що

Але

Тому

При малих значеннях кута відхилення 0 синус цього кута можна замінити значенням самого кута в радіанах, а знаменник вважати рівним 2l. Врахувавши це, одержимо:

Підставивши значення h у рівняння (2), маємо:

(3)

звідки одержуємо остаточно:

(4)

За формулою (4) можна визначити момент інерції і самої платформи і тіла, що покладене на неї, так як всі величини, правої частини формули можуть бути безпосередньо виміряні.

Трифілярний підвіс дає можливість також перевірити теорему Штейнера:

І = І0 + ma2 . (5)

Момент інерції тіла відносно якої небудь осі дорівнює сумі моменту його інерції відносно паралельної осі, яка проходить через центр мас, та добутку маси тіла на квадрат віддалі між осями.

Для перевірки теореми Штейнера необхідно мати два абсолютно однакових тіла. Спочатку визначають момент інерції одного з них, а потім обидва тіла розміщують симетрично на платформі і визначають їх момент інерції при такому розташуванні. Половина цього значення і буде давати момент інерції одного тіла, що знаходиться на фіксованій віддалі від осі обертання. Знаючи віддаль, масу тіла та момент інерції його відносно центральної осі, можна вирахувати момент інерції цього ж тіла за теоремою Штейнера. Порівняння одержаних значень моментів інерції і буде перевіркою теореми.

Порядок виконання роботи

Повернути нижню платформу на кут 8-100, надавши їй обертовий імпульс для початку крутильних коливань. Секундоміром виміряти час 25-30 повних коливань підвісу та визначити період коливань за формулою:

(6)

У центрі платформи розташувати досліджуване тіло m1 та визначити період коливань системи T1 .

На платформі симетрично відносно центру розмістити два тіла масою m1 і визначити період коливань системи T2 .

Штангенциркулем заміряти радіус досліджуваного диска r1, та віддаль a між центрами платформи і зміщеного диска. Дані всіх вимірювань занести в таблицю:

R, м	r, м	l, м	m0, кг	T0, с	T1, с	T2, с	m1, кг	r1, м	a, м

Обробка результатів експерименту та їх аналіз

За формулою (4) вирахувати момент інерції I0 платформи. У цьому випадку

m=m0 , T=T0 .

За формулою (4) вирахувати момент інерції I0 платформи, навантаженої диском m1. У даному разі

m=m0+m1; T=T1.

Із співвідношення

IC=I0+Iд

знайти момент інерції диска відносно центральної осі Iд.

За теоретичною формулою

Iд= 0.5m1r12

знайти момент інерції цього ж диска. Результат співставити з експериментальним.

За формулою (4) вирахувати момент інерції I2 платформи, навантаженої двома симетрично розташованими дисками m1

За формулою знайти момент інерції диска відносно осі, зміщеної на O від центра мас.

За формулою (5) вирахувати момент інерції зміщеного диска згідно з теоремою Штейнера. Результат співставити з експериментом.

Знайти відносну та абсолютну похибки одного з експериментів.

Контрольні запитання

Тверде тіло як система частинок. Його момент інерції та кінетична енергія.

Основний закон динаміки обертального руху.

Теорема Штейнера.

Переваги та недоліки вивченого методу визначення моменту інерції тіл.

7. Лабораторна робота №1-7. Визначення моменту інерції маятника Обербека

Визначення моменту інерції маятника Обербека

л.І.

31, 32

Мета роботи: вивчення основного закону динаміки обертового руху шляхом визначення моменту інерції маятника Обербека експеримента-льним та розрахунковим способом.

Прилади і матеріали: маятник Обербека; комплект вантажів; штангенциркуль; електронний секундомір.

Теоретичні відомості

В даній роботі належить визначити момент інерції маятника Обербека, який являє собою хрестовину 1 (рис.1.), що складається з чотирьох взаємно перпендикулярних стержнів. Вздовж них можуть переміщуватись вантажі 2 однакової маси m1 . На горизонтальній осі хрестовини є двоступінчастий диск 3, на який намотується нитка. Один кінець її прикріплений до диска, а на інший кінець підвішується вантаж 4. Під дією цього вантажу нитка розмотується з диска і викликає обертовий рух хрестовини, який приблизно можна вважати рівномірно прискореним рухом.

Визначити момент інерції маятника Обербека можна двома способами.

1 спосіб - експериментальний:

Якщо виміряти кутове прискорення руху хрестовини і момент діючих на диск сил М , то скориставшись основним рівнянням динаміки обертового руху

(1)

ми зможемо визначити момент інерції маятника. Але величини M та безпосередньому вимірюванню не піддаються. Тому, вимірявши висоту

падіння h вантажу m та час його падіння t за рівнянням рівноприскореного руху при V0 = 0

можемо знайти прискорення падіння вантажу, яке є одночасно тангенціаль-ним прискоренням обертового руху маятника. Замірявши радіус диска r, вирахуємо кутове прискорення:

(2)

Момент діючих сил створюється силою натягу нитки

F=m(g - a).

Якщо знехтувати силою тертя, то

(3)

Підставивши вирази (2) і (3) в (1), одержимо кінцевий результат:

(4)

II спосіб - теоретичний.

Розіб'ємо маятник на систему тіл, що обертаються: чотирьох стержнів довжиною l, чотирьох тіл масою m1 та довжиною l0. Момент інерції маятника дорівнює сумі моментів інерції тіл, що його складають.

Момент інерції стержня довжиною l відносно осі, що проходить перпендикулярно до стержня через його кінець дорівнює:

де m2 - маса стержня. Для чотирьох таких стержнів

(5)

Розміри тіл масою m1 малі в порівнянні з віддаллю R від осі обертання до центра мас цих тіл, тому їх можна розглядати як матеріальні точки, момент інерції яких визначиться співвідношенням:

(6)

Знехтувавши моментом інерції дисків, одержуємо для всього маятника:

(7)

Порядок виконання роботи

Встановити верхній кронштейн на вибраній висоті так, щоб вантаж при падінні проходив через середину робочого вікна фотоелектричного датчика.

Розмістити вантажі m1 на однаковій віддалі від осі обертання.

Штангенциркулем заміряти радіуси двоступінчастого диска r1 та r2.

Намотати нитку з вибраним числом вантажів масою m на диск радіусом r1.

Встановити нижній край вантажів точно по рисці на корпусі верхнього фотоелектричного датчика.

Натиснути клавішу "Сеть" та переконатись, чи всі індикатори показують "нуль", в протилежному випадку натиснути клавішу "Сброс".

З допомогою шкали визначити висоту падіння вантажів m.

Натиснути клавішу "Пуск".

Записати час падіння вантажів, виміряний мілісекундоміром.

Експеримент повторити 3-4 рази для однакового положення вантажів m1 при різних значеннях вантажу m для радіуса диска r1, потім повторити те ж саме для радіуса r2. Всі дані занести в таблицю 1.

Табл. 1

m, кг	t, с	H, м	r1, м	r2, м

Для визначення моменту інерції маятника Обербека теоретичним шляхом необхідно заміряти довжину стержня хрестовини l, записати масу вантажів m1 та заміряти їх довжину l0.

Заміряти діаметр стержня хрестовини D і віддаль вантажів від осі обертання R. Всі дані занести в таблицю 2.



Табл. 2

l, м	D, м	m1, кг	l0, м	m2, кг	R, м	R0, м

де m2 - маса стержня, яку можна знайти за формулою:

(8)

- густина матеріалу стержнів,

R - віддаль від осі обертання до центрів мас вантажів

(9)

Обробка результатів експерименту і їх аналіз

За формулою (4) вирахувати момент інерції маятника Обербека для різних радіусів диска та вантажів m .

Визначити абсолютну та відносну похибки експерименту.

За формулою (7) визначити теоретичний момент інерції маятника Обербека.

Порівняти результати, одержані експериментальним та теоретичним шляхом. Зробити відповідні висновки.

Контрольні запитання

Тверде тіло як система матеріальних точок. Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.

Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла. Момент інерції, момент сили, момент імпульсу.

Кінетична енергія тіла, що обертається.

Закони збереження енергії та моменту імпульсу.



8. Лабораторна робота №1-8. Визначення моментів інерції тіл методом крутильних коливань

Визначення моментів інерції тіл методом

крутильних коливань

л.1.

31, 32; 2.

64,65

Мета роботи: поглиблення поняття моменту інерції тіла; експериментальне і теоретичне визначення моментів інерції тіл.

Прилади і матеріали: крутильний маятник з вмонтованим електронним секундоміром; набір досліджуваних тіл; штангенциркуль.

Теоретичні відомості

При розв'язуванні багатьох питань динаміки обертового руху тіл зустрічаються величини, які визначаються через суми добутків мас точок тіла на квадрати їх віддалей до осі, до точки чи до площини. Ці суми називають моментами інерції тіла відносно осі, відносно точки або відносно площини.

Наприклад, момент інерції тіла відносно осі z дорівнює:

Iz = ?mi(xi2 + yi2) =?miri2, (1)

Де

mi - маса і-тої точки;

xi, yi - абсциса та ордината цієї точки;

ri - віддаль її до осі z .

Аналогічно визначається момент інерції відносно якої-небудь точки чи площини. Так, момент інерції тіла відносно точки 0 дорівнює:

(2)

а момент інерції відносно площини ХОY:

(3)

Формули (1) та (2) дозволяють одержати наступне співвідношення:

(4)

яке вказує на зв'язок між моментами інерції тіла відносно координатних осей та відносно початку координат. Вираз (4) дає можливість в багатьох випадках порівняно легко визначити моменти інерції тіл.

Знайдемо момент інерції тіла відносно довільної осі OL, що проходить через початок координат 0. Нехай напрямок цієї осі характеризується направляючими кутами , , . Радіус-вектор довільної точки тіла масою mi позначимо через ri, а віддаль цієї точки до осі OL через Ri. Тоді, згідно з визначенням моменту інерції відносно осі, маємо:

(5)

З рис.1 видно, що Ri = ri sin . Нехай одиничний вектор осі OL дорівнює l. Тоді

| ri l | = ri sin

і відповідно

R2 = | ri l |.

Так як

l =(cos cos cos ), а

то проекції цього вектора на осі координат дорівнюють:

Таким чином, момент інерції тіла відносно осі 0L можна записати у вигляді:

(6)

Після очевидних перетворень одержуємо:

(7)

Звернемо увагу, що

Введемо позначення для сум:

(8)

Величини Iхy, Iyz, Iхz називають відцентровими моментами інерції тіла відносно відповідних пар осей. Іншими словами, відцентровий момент інерції тіла відносно якої-небудь пари осей називають суму добутків мас всіх точок тіла на їх координати відносно цих осей. Тепер формула (7) набуде вигляду:

(9)

З одержаної формули випливає, що для визначення моменту інерції тіла відносно осі, яка проходить через точку, необхідно знати шість величин -- три моменти інерції відносно координатних осей та три відцентрових моменти інерції.

Якщо через точку О провести пучок осей, то за формулою (9) можна визначити моменти інерції тіла відносно всіх осей пучка. У загальному випадку вони виявляться різними. Для наочного уявлення зміни моментів інерції тіла відносно осей пучка використаємо наступний геометричний спосіб. Відкладемо від точки О вздовж осі OL відрізок R, довжина якого рівна

Виконавши таку побудову для кожної осі пучка, одержимо сукупність точок, що складають деяку поверхню. Знайдемо рівняння цієї поверхні. З рис.1 видно, що координати кінця відрізка дорівнюють:

(11)

Домноживши обидві частини рівняння (9) на R2 і приймаючи до уваги співвідношення (10) та (11), одержуємо:

(12)

Якщо зробити припущення, що IL 0 то вираз (12) являє собою рівняння еліпсоїда. Знайдений еліпсоїд називають еліпсоїдом інерції для даного тіла в точці 0.

Момент інерції тіла відносно осі характеризує інертність його в обертовому русі, а також розподіл маc тіла відносно цієї осі. Тому еліпсоїд інерції тіла в якій-небудь точці є загальною геометричною характеристикою розподілу мас тіла відносно пучка осей, що проходять через цю точку.

З аналітичної геометрії відомо, що рівняння еліпсоїда значно спрощується, якщо осі координат вибрати спрямованими вздовж його головних діаметрів. У цьому випадку рівняння еліпсоїда інерції (12) набуває вигляду:

(13)

тобто, відцентрові моменти інерції тіла дорівнюють нулеві.

Три взаємно перпендикулярних осі, що проходять через дану точку і відносно яких відцентрові моменти інерції тіла рівні нулеві, називаються головними осями інерції для даної точки, а моменти інерції Ix, Iy, Iz відносно цих осей носять назву відповідно головних моментів інерції тіла.

Написавши рівняння еліпсоїда в канонічній формі

та співставивши його з рівнянням (13), знайдемо півосі еліпсоїда інерції тіла:

(14)

Напрямок головних осей тіла часто можна визначити, користуючись принципом симетрії. Наприклад, головні осі однорідного прямокутного паралелепіпеда відповідно паралельні його ребрам.

Якщо тіло має симетрію обертання навколо деякої осі, то його еліпсоїд інерції має таку ж симетрію. До тіл подібного типу відноситься, наприклад, циліндр. Причому, у таких випадках вісь симетрії тіла є одночасно однією з головних осей інерції.

Для динаміки обертового руху тіла суттєвою є не симетрія самого тіла, а симетрія відповідного йому еліпсоїда інерції. Всі тіла з однаковими еліпсоїдами інерції динамічно еквівалентні. Наприклад, в динамічному відношенні конус може бути еквівалентним кулі або циліндрові.

Моменти інерції тіл правильної геометричної форми можна теоретично вирахувати з допомогою методів інтегрального числення. Для тіл складної форми простіше момент інерції знаходити експериментально. На практиці особливо велике застосування знайшли методи маятникових та крутильних коливань, а також метод падаючого тягаря (маятник Обербека).

Знання моментів інерції тіл відіграють важливу роль у техніці. У різних машинах зустрічаються деталі, що обертаються з дуже великою частотою. Наприклад, веретена прядильних машин, вали парових газових турбін, колінчаті вали двигунів внутрішнього згорання і т.д. У цих випадках дуже важливо, щоб головна вісь обертання проходила через центр мас. При цьому відбувається зрівноваження відцентрових сил інерції. Слід зокрема підкреслити, що в сучасному машинобудуванні зрівноваження сил інерції є предметом постійних турбот конструкторів.

Моменти інерції перерізів різних конструкційних елементів поряд з характеристиками міцності матеріалу визначають їх властивість чинити опір зовнішнім навантаженням. Це широко використовується при розрахунках будівельних конструкцій -- ферм, балок, каркасів і т.п.

У даній роботі для експериментального визначення моментів інерції тіл використовується метод крутильних коливань. Конструкція установки дає

Рис. 3

можливість визначити тільки центральні моменти інерції, тобто, моменти інерції відносно осей, які проходять через центр мас тіла.

Нехай деяке тіло закріплене з допомогою дроту, як показано на рис. 2. Якщо це тіло повернути на невеликий кут навколо осі ОО і потім відпустити, то виникнуть так звані крутильні коливання. Період цих коливань визначається за формулою

(15)

де I - момент інерції тіла відносно осі ОО;

f - модуль кручення дроту.

Для визначення невідомої величини f вимірюють спочатку період крутильних коливань T1 тіла, момент інерції I1 якого відомий (куб, I1 =(4,083±0,0005)10- 3 кгм2). Далі вимірюють період крутильних коливань T2 досліджуваного тіла і визначають його момент інерції I2 за формулою:

(16)

Опис експериментальної установки

Крутильний маятник зображений на рис.З. До підставки 2, що має чотири гвинтові ніжки, прикріплені мілісекундомір 1 та колонка 3 з кронштейнами 4, 5, 6. Кронштейни 4 і 6 мають затискачі для закріплення стального дроту з рамкою

7. З допомогою кронштейна 5 закріплюється стальна плита 8 з фотоелектричним датчиком 9, електромагнітом 10 та кутовою шкалою 11. Положення електромагніту відносно датчика вказує стрілка на кутовій шкалі.

Конструкція рамки дає можливість закріплювати тіла 12 різних форм. Тіла закріплюються з допомогою гвинтів та рухомої балки з затискними втулками. На передній панелі мілісекундоміра розташовані клавіші управління приладом: "Сеть", "Сброс", "Пуск" і "Стоп", а також цифрові індикатори лічильника періодів коливань та лічильника часу. (Рис. 4)

Період крутильних коливань маятника вираховується на основі показів цифрових індикаторів за формулою:

(17)

де t - час коливань;

N - число періодів.

Порядок виконання роботи

Ввімкнути прилад в електричну мережу.

Натиснути клавішу "Сеть". Переконатись, чи всі індикатори висвічують нулі, чи світиться лампочка фотоелектричного датчика.

В рамці приладу закріпити еталонне тіло-куб.

Повертаючи рамку приладу, наблизити стрілку до електромагніта і зафіксувати її в цьому положенні.

Рис.4

.

Натиснути клавішу "Пуск".

Після здійснення не менше 10 крутильних коливань натиснути клавішу "Стоп".

Записати покази лічильника періодів N та лічильника часу t .

Натиснути клавішу "Сброс" і "Пуск".

Виконати пункти 3-7 для досліджуваного тіла, вимірюючи періоди його крутильних коливань відносно головних осей та двох інших центральних осей.

Визначити розміри досліджуваного тіла.

Обробка результатів вимірювання

За формулою (17) знайти періоди крутильних коливань еталонного та досліджуваного тіла.

Вирахувати головні моменти інерції досліджуваного тіла за формулою (16).

Написати рівняння еліпсоїда інерції досліджуваного тіла в формі (1З).

За формулою (16) знайти моменти інерції досліджуваного тіла відносно вибраних інших центральних осей.

Знаючи Ix , Iy , Iz та розміри досліджуваного тіла, за формулою (9) знайти моменти інерції відносно цих же осей і співставити одержані результати.

Знайти похибки вимірювань.

Контрольні запитання

Фізичний зміст поняття моменту інерції тіла. Роль моментів інерції в техніці.

Знаходження моментів інерції окремих тіл правильної форми: стержень, диск, куля, кільце відносно різних осей.

Теорема Штейнера-Гюйгенса та її практичне застосування.

Еліпсоїд інерції тіла та його геометричний зміст. Динамічна еквівалентність тіл.

9. Лабораторна робота №1-9. Балістичний крутильний маятник

Балістичний крутильний маятник

л.1.

31,32; 2.

64,65

Мета роботи: вивчення законів динаміки обертового руху на прикладі вимірювання швидкості "снаряда" з допомогою балістичного крутильного маятника.

Прилади і матеріали: балістичний крутильний маятник з вмонтованим мілісекундоміром; досліджувальне тіло-"снаряд".

Теоретичні відомості

Крутильний маятник у найпростішому варіанті являє собою горизонтальний стержень, підвішений на пружній нитці довжиною l. З допомогою крутильного маятника одержані фундаментальні результати в фізиці, а саме: виміряно гравітаційну сталу (Г.Кавендіш), вивчено закон взаємодії точкових зарядів (Ш.0.Кулон), виміряно тиск світла (П.І.Лебедєв). Крутильний маятник, являючись основним елементом прецезійних вимірювальних приладів, знаходить широке застосування і в сучасній дослідницькій практиці, наприклад, для вимірювання магнітної сприйнятливості, вивчення процесів внутрішнього тертя в твердих тілах і ін.

В даній лабораторній роботі з допомогою балістичного крутильного маятника вимірюється швидкість "снаряда" - тіла масою m, яке вистрілює стиснена пружина.

Схема досліду для визначення швидкості v "снаряда" зображена на рис. 1. Нехай плече імпульсу, тобто віддаль від осі обертання Z (вісь співпадає з ниткою) до лінії, вздовж якої рухається "снаряд", дорівнює r. Попадаючи в мішень, "снаряд" застрягає в пластиліні і рухається разом з мішенню. Таким чином, має місце абсолютно непружний удар. Обертання маятника відносно z описується рівнянням динаміки обертового руху:

(1)

де Lz - проекція моменту імпульсу системи на вертикальну вісь z;

Mz - проекція результуючого моменту сил на цю ж вісь.

До удару і безпосередньо після нього всі діючі сили (тяжіння, реакції) напрямлені вздовж осі z, тому проекція моменту цих сил рівна нулеві. Враховуючи це, з рівняння (1) одержуємо:

(2)

Звідки слідує, що Lz = const .

До удару маятник знаходився в стані спокою, а момент імпульсу "снаряда" був рівний mvr. Після удару маятник разом з "снарядом" обертається з початковою кутовою швидкістю . Якщо в указаному на рис.1 положенні вантажів М (на віддалі R2 від осі обертання) момент інерції маятника позначити через I2, то момент імпульсу його безпосередньо після удару буде:

(3)

На основі закону збереження моменту імпульсу (2) можемо записати:

(4)

Маючи початковий момент імпульсу L2Z, маятник повертається відносно осі Z, але внаслідок деформації кручення виникають пружні сили, момент яких M() залежить від кута повороту маятника , що приводить до зменшення моменту імпульсу, а також кутової швидкості обертання. У той момент часу, коли кутова швидкість стає рівною нулю, кут повороту досягає максимального значення , яке піддається безпосередньому вимірюванню. У процесі удару механічна енергія системи не зберігається, бо частина її перетворюється у внутрішню енергію тіл, які стикаються. Але після удару рух відбувається під дією пружних сил, а дисипативними силами, внаслідок малих значень лінійних швидкостей елементів маятника, можемо знехтувати. Тому надалі правомірне застосування закону збереження механічної енергії:

(5)

причому, безпосередньо перед ударом W1П= 0, а при

= W1К = 0.

Кінетична енергія системи як енергія тіла, що обертається відносно нерухомої осі, визначається за формулою:

(6)

Врахувавши всі ці висновки, закон збереження (5), приводить нас до співвідношення

(7)

де WП() - є потенціальна енергія деформації при максимальному відхиленні маятника.

Тепер необхідно цю енергію явно виразити через кут . При повороті на безмежно малий кут d силами пружності виконується елементарна робота:

(8)

де знак "мінус" враховує, що момент сили протидіє зростанню кута повороту. Оскільки

dWП= - dA,

то проінтегрувавши (8), одержуємо:

(9)

Вважаючи, що деформація має пружний характер, згідно з законом Гука запишемо:

(10)

де к - коефіцієнт кручення, що залежить від пружних властивостей нитки, її геометричної форми та розмірів.

Підстановка (10) в (9) дає:

(11)

Таким чином, закон збереження енергії (7) набуває форми:

(12)

Розв'язуючи сумісно рівняння (4) та (12) відносно швидкості v, одержуємо:

(13)

Для доведення співвідношення (10) розглянемо більш детально деформацію кручення нитки, вважаючи що модуль зсуву матеріалу її дорівнює G, а радіус - r0.

Виділимо в нижній основі частину кругового кільця радіусом x, товщиною dx з відповідним центральним кутом d (рис.2). Нехай в результаті кручення основа нитки повернулась на кут , тоді твірна AC повернеться на кут .

При цьому виникне пружна напруга , тобто дотична сила, що діє на одиницю площі нижньої основи, яка визначається за законом Гука:

З трикутників ОАВ та АВС (рис. 2) знаходимо:

Враховуючи це, перепишемо закон Гука:

Знаючи механічну напругу , можемо розрахувати силу, що діє на виділений елемент кільця площиною

dS = x dx d:

Плече цієї сили дорівнює x, тому момент її дії буде:

Інтегруючи одержаний вираз по x від 0 до r0, а також по від 0 до 2, одержуємо:

що співпадає з виразом (10), причому

У співвідношенні (13) величини , m, r доступні безпосередньому вимірюванню. Але величини k та I2 невідомі. Тому необхідно провести такі два незалежні досліди, з результатів яких ці невідомі можна було б визначити.

Звернемося до аналізу руху маятника під дією моменту пружних сил. Згідно з рівнянням динаміки обертового руху

Підставивши момент сили з (10), одержимо:

Таким чином, крутильний маятник здійснює гармонічні коливання, період яких визначається за формулою:

При віддаленні вантажів M від осі z на величину R2 період крутильних коливань буде:

(15)

а якщо змістити вантажі на віддаль R1, період зміниться і стане рівним

(16)

Використовуючи теорему Штейнера, визначимо моменти інерції маятника в цих випадках:

(17)

(18)

де I - момент інерції важеля відносно осі z,

I0 - момент інерції вантажів відносно вертикальної осі, що проходить через центр їх мас.

Розв'язуючи сумісно систему рівнянь (15-18), знаходимо:

, (19)

, (20)

Підстановка виразів (19) та (20) в (13) приводить до одержання основної розрахункової формули швидкості:

, (21)

Таким чином, знаходження швидкості "снаряду" з допомогою балістичного крутильного маятника зводиться до безпосереднього вимірювання таких величин:

Маси вантажів М, маси "снаряду" m та плеча імпульсу "снаряда" r.

Максимального кута повороту маятника після пострілу.

Періодів T1 і T2 гармонічних коливань при двох положеннях вантажів M відносно осі R1 і R2.

Порядок виконання роботи

Ознайомитись з будовою та принципом дії лабораторної установки. Підготувати її до роботи.

Розташувати вантажі M на мінімальній віддалі R2 від осі маятника та виміряти цю віддаль.

Встановити маятник так, щоб риска на мішені співпадала з нульовою поділкою кутової шкали.

Виконати постріл, виміряти кут максимального відхилення маятника та віддалі r.

Клавішею "Сеть" ввімкнути лічильник часу.

Відхилити маятник на деякий кут , клавішею "Сброс" деблокувати лічильник часу та відпустити маятник.

Після здійснення

N =10 повних коливань клавішею "Стоп" зупинити відлік та заміряти час t цих коливань.

Розташувати вантажі М на максимальній віддалі R1 від осі маятника та заміряти цю віддаль.

Повторити вимірювання за пунктами 3 та 4.

Кожне з вимірювань за пунктами 3, 4 та 5, 7 виконати 3-5 разів. Результати вимірювань, а також значення мас вантажів M та "снаряда" m занести в таблицю.

Обробка результатів вимірювань

Вирахувати періоди T1 і T2 за формулою

T = t / N.

Визначити середні значення T1 і T2 а також абсолютні похибки T1 і T2.

За робочою формулою (21) вирахувати швидкість "снаряда".

Користуючись методом розрахунку похибок непрямих вимірювань, знайти абсолютну та відносну похибки.

Додаткові та дослідницькі завдання

Дослідити залежність періоду коливань T від кута відхилення .

Змінюючи віддаль R вантажів від осі маятника, дослідити залежність T від R. Результати зобразити графічно в координатах

T2 = f (R2).

Оцінити модуль зсуву G нитки маятника.

Контрольні запитання

Сформулюйте визначення понять моменту імпульсу, моменту сили, моменту інерції.

Виведіть рівняння динаміки обертового руху, закон збереження моменту імпульсу.

Які закони динаміки використовуються при виведенні робочої формули (21)? Обгрунтуйте їх застосування.

Виведіть робочу формулу (21).

Запропонуйте незалежний спосіб визначення швидкості "снаряда" в даній роботі.

10. Лабораторна робота №1-10. Визначення моментів інерції тіл на основі збереження енергії

Визначення моментів інерції тіл на основі

закону збереження енергії

л.1.

24, 32, 33

Мета роботи: експериментальна перевірка закону збереження енергії в механіці шляхом визначення моментів інерції тіл кочення.

Прилади і матеріали: установка для визначення моментів інерції тіл; набір тіл кочення; терези; штангенциркуль; лінійка.

Теоретичні відомості

Закон збереження та перетворення енергії є одним з фундаментальних законів природи, справедливим для систем як макроскопічних тіл, так і для елементарних частинок. Він є вираженням вічності й незнищуваності руху в природі, який лише переходить із однієї форми в іншу. Цей закон полягає в слідуючому: в ізольованій системі тіл енергія може переходити із одних видів в інші та передаватися від одного тіла до іншого, але її загальна кількість залишається незмінною.

Якщо в ізольованій системі діють тільки потенціальні (консервативні) сили, то взаємні перетворення механічної енергії в інші види (немеханічні форми) відсутні. Така система носить назву ізольованої консервативної системи і для неї дійсний закон збереження та перетворення енергії в механіці: механічна енергія ізольованої консервативної системи тіл не змінюється в процесі її руху:

Закон збереження механічної енергії не можна застосовувати до систем, в яких діють сили тертя або існує залишкова (пластична) деформація, так як частина механічної енергії в процесі руху розсіюється, перетворюється в немеханічні форми, наприклад, в теплоту. Такі системи називаються дисипативними.

Нехай тіло масою m скочується без тертя по похилій площині висотою h. Опором повітря знехтуємо. Так як в цьому випадку діє тільки сила тяжіння, яка є потенціальною (консервативною), то це тіло являє собою ізольовану консервативну систему, до якої можна застосувати закон збереження механічної енергії:

(1)

Потенціальна енергія вираховується за формулою:

(2)

Кінетична енергія тіла визначається як сума кінетичної енергії поступального та обертового рухів:

(3)

де I - момент інерції тіла, - його кутова швидкість.

З рівнянь (1)-(3) одержуємо:

(4)

Кутова швидкість обертання тіла зв'язана з швидкістю його поступального руху співвідношенням:

(5)

де R - радіус тіла.

Рух тіла рівномірноприскорений, тому

х = at ; (6)

(7)

де S - довжина похилої площини;

t - час скочування тіла.

З формул (6) і (7) одержуємо:

(8)

Підставивши вирази (5) та (8) в (4) і, розв'язавши рівняння відносно I, одержимо:

. (9)

Таким чином, визначення моменту інерції тіла кочення зводиться до вимірювання його маси, радіуса, висоти похилої площини, довжини шляху та часу скочування.

Але момент інерції тіл правильної форми можна розрахувати теоретично. Дійсно, момент інерції безмежно малого елемента з масою dm відносно осі виражається формулою:

(10)

де ri - віддаль елемента до осі обертання.

Для знаходження моменту інерції тіла його розбивають на безмежно велике число безмежно малих елементів, вираховують момент інерції кожного елемента, потім момент інерції тіла визначають сумою моментів інерції всіх його елементів. Ця операція зводиться до інтегрування:

. (11)

Вирахуємо момент інерції однорідного циліндра відносно осі z, що проходить через центр маси тіла (рис.1). Для цього виділимо елемент о6'єму циліндра в вигляді кільця завтовшки dr, його об'єм буде:

(12)

тоді:

(13)

Значення dm з формули (13) підставляємо в формулу (11) та інтегруємо:

де m - маса тіла;

R - радіус тіла.

Цим способом можна визначити момент інерції будь-якого іншого однорідного тіла правильної форми ; результати для найбільш часто поширених тіл приводяться в таблиці 1.

Таблиця 1.

Тіло	Момент інерції
Однорідний циліндр
Однорідна куля
Тонкостінний циліндр
Диск з отвором

Порядок виконання роботи

Лабораторну роботу виконують на установці, що являє собою похилу площину, висоту якої можна змінювати. Після ввімкнення установки в мережу досліджуване тіло утримується в верхній частині похилої площини з допомогою електромагніта. Після вимкнення живлення електромагніта тіло починає скочуватись і одночасно вмикається секундомір, який вимикається автоматично тілом, що скочується в кінці похилої площини. При виконанні роботи необхідно:

Спочатку виконати кілька тренувальних пусків тіла; добитись, щоб тіло при скочуванні не торкалось бортиків похилої площини ; переконатись у справності секундоміра.

За вказівкою викладача для кожного з досліджуваних тіл (куля, циліндр та ін.) виконати 3-4 вимірювання часу скочування. Знайти середній час скочування кожного тіла.

Заміряти довжину похилої площини та її висоту.

Зважити досліджуване тіло та виконати необхідні вимірювання. Всі результати занести в таблицю 2.

Таблиця. 2

Тіло	t	m	h	s	R	r	Iексп	Iтеор
Куля
Циліндр

Обробка результатів експерименту та їх аналіз

За формулою (9) вирахувати момент інерції досліджуваного тіла експериментальним способом.

За формулою з таблиці 1 для відповідного тіла вирахувати момент інерції теоретично.

Результати експериментальні і теоретичні співставити між собою та зробити висновки.

Знайти абсолютну та відносну похибки експерименту.

Контрольні запитання

Тверде тіло як система матеріальних точок, його момент інерції і кінетична енергія.



11. Лабораторна робота №1-11. Маятник Максвелла

Маятник Максвелла.

л. І.

24, 32, 33

Мета роботи: експериментальне дослідження закону збереження енергії на прикладі визначення моменту інерції металічних кілець.

Прилади і матеріали: маятник Максвелла; набір кілець.

Теоретичні відомості

Закон збереження та перетворення енергії є одним з фундаментальних законів природи, що справджується як для систем макроскопічних тіл, так і для систем елементарних частинок. Він полягає в тому, що для ізольованої системи тіл енергія може переходити з одного виду в інший та передаватися від одного тіла до іншого, але її загальна кількість залишається сталою.

Якщо в ізольованій системі тіл діють тільки потенціальні (консервативні) сили, то взаємні перетворення механічної енергії в інші види (немеханічні форми) відсутні. Така система носить назву консервативної і для неї має місце закон збереження та перетворення механічної енергії: механічна енергія ізольованої консервативної системи не змінюється в процесі її руху

Закон збереження механічної енергії не можна застосовувати до ізольованих систем, в яких діють сили тертя чи існують залишкові (пластичні) деформації, бо частина механічної енергії розсіюється, перетворюється в немеханічні форми, наприклад, в теплоту. Такі системи звуть дисипативними.

Розглянемо закономірності перетворення енергії в системі, до складу якої входить масивне тіло, що обертається, падаючи з певної висоти h під дією сили тяжіння. Якщо знехтувати опором повітря, то дане тіло являє собою консервативну систему, до якої можна застосувати закон збереження механічної енергії, тобто його повна механічна енергія в процесі руху залишається величиною сталою:

(1)

Зростання кінетичної енергії тіла під час падіння відбувається за рахунок зменшення потенціальної. В нашому випадку кінетична енергія тіла складається з енергії поступального та енергії обертального рухів:

(2)

де m - маса тіла ;

х - швидкість поступального руху центра мас ;

I - момент інерції тіла;

- кутова швидкість обертання.

Частину потенціальної енергії яка перетворилась в кінетичну, можна визначити за формулою:

(3)

де h - висота падіння тіла ;

g - прискорення вільного падіння.

Згідно з законом збереження механічної енергії запишемо: