Дисперсия скорости распространения и частотная зависимость поглощения гиперакустических фононов: экспериментальное исследование и анализ в рамках релаксационной теории

(3.3.3)

где a₁, a ₂ и a ₃ - коэффициенты поглощения звука для частот f₁, f ₂ и f ₃, соответственно. Решая эту систему уравнений можно найти значения A, B и t.

Стандартный метод решения систем уравнений позволяет определить неизвестные параметры в следующем виде:

(3.3.4)

(3.3.5)

(3.3.6).

Воспользуемся результатами измерений коэффициента поглощения гиперзвука, представленными в таблице.

a₁ = 2380 см^-1, a₁/f₁² = 2.15Ч10^-15 см^-1с ², 2pf₁ = 6.6Ч10⁹ рад/с.

a ₂ = 22100 см^-1, a₂/f₂² = 1.06Ч10^-15 см^-1с ², 2pf₂ = 28.6Ч10⁹ рад/с.

a ₃ = 29200 см^-1, a₃/f₃² = 0.67Ч10^-15 см^-1с ², 2pf₃ = 41.5Ч10⁹ рад/с.

Подставив эти значения в формулу (3.3.4) получим: t = 3.8Ч10^-11 с.

Далее, по формулам (3.3.5) и (3.3.6), следует: A = 2.4Ч10^-18 см^-1с ² и B = 2.3Ч10^-15 см^-1с ².

Таким образом, анализ экспериментальных результатов, приведенных в таблице, с точки зрения релаксационной теории распространения звука позволяет сделать следующие выводы:

1. В исследуемой жидкости в интервале звуковых частот от ~1 ГГц до ~7 ГГц имеет место заметная частотная зависимость коэффициента поглощения гиперзвука.

2. Наблюдаемая зависимость коэффициента поглощения от частоты гиперзвука обусловлена процессом релаксации объемной вязкости, характерное время которого 3.8Ч10^-11 с.

3. Рассчитанные по формулам релаксационной теории значения B и A равны, соответственно, 2.3Ч10^-15 см^-1с ² и 2.4Ч10^-18 см^-1с ².

4. Дополнительные указания

4.1 Вычисление ошибки при расчете дисперсии скорости звука

В рассмотренных выше примерах не оговаривался тот факт, что физические величины, используемые для расчета дисперсии (скорость звука или величина смещения КМБ) в эксперименте измеряются, вообще говоря, с некоторой погрешностью (ошибкой). Соответственно, необходимо обсудить вопрос о том, какое влияние оказывает ошибка измерения скорости и смещения КМБ на результат расчета дисперсии по формулам (3.1.1) и (3.2.4).

В формуле (3.1.1) ошибка при расчете дисперсии обусловлена тем, что значения скорости V₂ и V₁ определяются экспериментально с ошибками (среднеквадратичными), соответственно, dV₂ и dV₁, т.е. результат измерения скорости на частотах f₂ и f₁ представляется в виде V₂±dV₂ и V₁±dV₁.

Ошибка при расчете дисперсии по (3.2.4) обусловлена как ошибками измерения величины смещения КМБ dDn₁ и dDn₂, так и ошибками выставления угла рассеяния света dq₁ и dq₂.

Таким образом, в рассматриваемых случаях мы сталкиваемся с проблемой оценки ошибок косвенных измерений.

Ввиду того, что с косвенными измерениями (расчетами) мы сталкиваемся практически всегда при анализе любых экспериментальных данных, рассмотрим вопрос о вычислении ошибки в косвенных измерениях в виде, пригодном для любого случая. Мы приведем одну общую формулу, с помощью которой может быть решена любая задача вычисления ошибок в косвенных измерениях. Хотя эта формула на практике довольно громоздка, теоретически она весьма полезна. Более того, имеется ряд задач, для которых лучше проделать вычисления в один прием с помощью общей формулы, чем рассчитывать погрешность методом "шаг за шагом".

Будем считать, что рассчитываемая величина q является функцией нескольких переменных x, y, …, z. Каждая из переменных определена с ошибкой dx, dy, …, dz. Тогда ошибка dq будет равна:

(4.1.1)

При этом, в любом случае, ошибка dq никогда не может быть больше, чем обычная сумма, т.е.

(4.1.2)

Поясним это правило на конкретном примере.

Возьмем за основу формулу (3.1.1) и проведем расчет ошибки дисперсии в виде (4.1.1) с учетом того, что значения скоростей V₂ и V₁ определены в эксперименте с ошибками dV₂ и dV₁. Ввиду того, что в экспериментах по регистрации тонкой структуры спектра молекулярного рассеяния света величина скорость гиперзвука определяется с ошибкой порядка 1 %, можно таблицу, приведенную в параграфе 3.1, представить в виде:

	f, Гц	V, м/с	dV, м/с
Гиперзвук	1.05Ч109	1320 ± 13	13
	4.56Ч109	1383 ± 14	14
	6.60Ч109	1426 ± 14	14

Дисперсия скорости звука определяется (см. (3.1.1)) в виде:

(4.1.3)

Найдем ошибку dD при расчете дисперсии D по (4.1.3), если ошибки в значениях скорости на самой высокой и самой низкой частоте, согласно таблице, dV₂=14 м/с и dV₁=13 м/с.

(4.1.4)

Шаг 1. Найдем частную производную D по V₂. Согласно правилам нахождения производной от функции:

(4.1.5)

Шаг 2. Найдем частную производную D по V₁:

(4.1.6)

Шаг 3. Подставим значения V₂=1426 и V₁=1320 в (4.1.5) и (4.1.6) и получим:

, .

Шаг 4. Подставляя полученные значения частных производных и значения dV₂=14 и dV₁=13 в (4.1.4), получим dD?1.4 %.

Таким образом, в исследованной нами жидкости в интервале звуковых частот от 1.05 до 6.6 ГГц имеет место дисперсия скорости распространения гиперзвука D=7.7±1.4 %.

4.2 Применение современного компьютерного программного обеспечения для оптимизации процесса расчета и анализа дисперсии скорости звука

Как видно рассмотренного выше материала, анализ дисперсии скорости звука, параметров процесса релаксации объемной вязкости и ошибок, требует проведения вычислений по достаточно громоздким формулам.

Это во многих случаях оказывается неудобным и требует больших затрат времени. Задачу можно облегчить, если воспользоваться доступным современным компьютерным комплексом, позволяющим быстро и эффективно проводить вычисления, решать уравнения и системы уравнений, а также использовать элементы математического анализа. К числу таких программных продуктов можно отнести MatLab, Mapple и Mathematica. Каждая из перечисленных программ имеет свои достоинства и недостатки, но, как нам представляется, наиболее подходящей, в плане простоты работы, является Mathematica.

Приведем примеры небольших программ, составленных с помощью Mathematica (версия 6.0), для проведения рассмотренных выше типовых расчетов.

Простые расчеты. Примером простого расчета может служить расчет дисперсии по формуле (3.1.1), так как он по существу сводится к подстановке имеющихся числовых значений в известную формулу. В Mathematica такой расчет проводится следующим образом (командой для выполнения служит комбинация клавиш Shift + Enter):

Пример 1

.

Решение уравнений в аналитическом и численном виде. Для решения уравнений в аналитическом и численном виде в Mathematica применяются функции Solve и NSolve. Следующие примеры демонстрируют применение этих функций.

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

Решение систем уравнений в аналитическом и численном виде. Функции Solve и NSolve применяются также и для решения систем уравнений.

Пример 5:

Пример 6:

Пример 7:

Нахождение производной функции. Для нахождения производной функции (в случае одного переменного) используется функция D.

Пример 8:

В случае нахождения частной производной функции нескольких переменных можно использовать функцию ?:

Пример 9:

.

5. Задания для самостоятельного выполнения

5.1 Расчет и анализ дисперсии скорости гиперзвука

Задание: Пользуясь экспериментальными данными по значениям скорости гиперзвука, приведенным в Таблице 1(а):

1) Рассчитать величину дисперсии скорости DV для различных температур жидкости и ошибку в величине дисперсии, с учетом того, что ошибка в значениях скоростей звука составляет 1 % от значения V.

2) Заполнить Таблицу 1(б).

3) Построить график зависимости V от температуры среды для приведенных частот гиперзвука.

4) Построить график зависимости V от lg(f) (логарифм по основанию 10 от частоты) для приведенных температур среды.

5) Построить график зависимости дисперсии скорости гиперзвука DV от температуры.

Таблица 1(а). Результаты измерений скорости гиперзвука для различных частот и температур жидкости

f, ГГц	t=20 0C	t=40 0C	t=60 0C	t=80 0C
	V, м/с	V, м/с	V, м/с	V, м/с
6.2	1613	1586	1563	1535
4.8	1575	1555	1536	1515
1.1	1537	1519	1505	1486

Таблица 1(б). (Заполнить таблицу)

t, 0C	20	40	60	80
DV, %

5.2 Расчет и анализ параметров релаксационного процесса по результатам измерения скорости гиперзвука

Задание: Пользуясь экспериментальными данными по значениям скорости гиперзвука, приведенным в Таблице 1(а):

1) Рассчитать значения V_?, V₀ и t.

2) Рассчитать величину полной дисперсии скорости DV^* для различных температур.

3) Заполнить Таблицу 2(а).

4) Построить график зависимости t от температуры.

5) Построить график зависимости скорости гиперзвука V от температуры, на котором привести экспериментальные значения скорости (из Таблицы 1(а)) и рассчитанные значения V_? и V₀.

Таблица 2(а). (Заполнить таблицу)

t, 0C	V?, м/с	V0, м/с	t, с	DV*, %
20
40
60
80

5.3 Расчет дисперсии скорости звука по величине частотного смещения компонент Мандельштама-Бриллюэна

Задание: Пользуясь экспериментальными данными по величине смещения компонент Мандельштама-Бриллюэна, приведенными в Таблице 3:

1) Рассчитать величину дисперсии для различных температур жидкости и ошибку в величине дисперсии, с учетом того, что ошибка в значениях смещений КМБ составляет 1 % от значения Dn.

2) Заполнить последний столбец Таблицы 3.

3) Построить график зависимости дисперсии от температуры среды.

Таблица 3. Результаты измерения смещения КМБ для двух углов рассеяния света

t, 0C	Смещение КМБ Dn, см-1	Дисперсия, %
	Угол рассеяния 900	Угол рассеяния 1350
20	0.1643	0.2177
30	0.1593	0.2112
40	0.1544	0.2047
50	0.1495	0.1982
60	0.1446	0.1917
70	0.1397	0.1852

5.4 Расчет и параметров релаксационного процесса по частотной зависимости коэффициента поглощения гиперзвука

Задание: Пользуясь экспериментальными данными по значениям коэффициента поглощения гиперзвука, приведенным в Таблице 4(а):

6) Рассчитать значения A, B и t.

7) Заполнить Таблицу 4(б).

8) Построить графики зависимости A, B и t от температуры.

9) Используя выражение (3.3.2) и рассчитанные значения A, B и t, построить кривые зависимости a/f² от lg(f) для исследованных температур жидкости (из Таблицы 4(а)).

Таблица 4(а). Результаты измерений коэффициента поглощения гиперзвука для различных частот и температур жидкости

f, ГГц	t=20 0C	t=40 0C	t=60 0C	t=80 0C
	a, см-1	a, см-1	a, см-1	a, см-1
6.2	28800	28300	30100	29200
4.8	20200	20150	20800	22100
1.1	3110	3580	2700	2380

Таблица 4(б). (Заполнить таблицу)

t, 0C	A, см-1с-2	B, см-1с-2	t, с
20
40
60
80

Контрольные вопросы:

1. Частотный интервал, относящийся к ультра- и гиперзвуковым частотам.

2. Тонкая структура линии рэлеевского рассеяния света и причины ее возникновения.

3. Дисперсия скорости звука.

4. Основные положения и выводы релаксационной теории Мандельштама-Леонтовича.

5. Методы измерения скорости звука в диапазоне ультра- и гиперзвуковых частот.

6. Классическое поглощение звука.

7. Методы измерения коэффициента поглощения звука в диапазоне ультра- и гиперзвуковых частот.

Рекомендуемая литература

Основная:

1. И.Л. Фабелинский. Молекулярное рассеяние света. М.: Наука. 1970.

2. И.Л. Фабелинский. Спектры молекулярного рассеяния света и некоторые их применения. Успехи физических наук. 1994. т.164. с. 897.

3. И.Л. Фабелинский. Избранные труды. В 2 т. Под ред. В.Л. Гинзбурга. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2005.

4. М.Ф. Вукс. Рассеяния света в газах, жидкостях и растворах. Изд. ЛГУ. 1977.

5. Ультразвук. Маленькая энциклопедия. М. 1979.

6. Физическая акустика (под редакцией. У Мэзона). том VI. Пер. с. англ. М.: Мир. 1993.

7. Дж. Тейлор. Введение в теорию ошибок. Пер. с. англ. М.: Мир. 1985.

Дополнительная:

1. В.Ф. Ноздрев. Молекулярная акустика. Изд. "Высшая школа". М. 1974.

2. Л.И. Мандельштам. Полное собрание трудов: в 5 т. М.: Изд-во АН. 1948.

3. Г.С. Ландсберг. Избранные труды. М.: Изд-во АН. 1958.

4. L.M. Sabirov, D.I. Semenov, and Kh. S. Khaidarov, "Dispersion of the High-Frequency Sound Velocity in the Aqueous Solution of 4-Methylpyridine," Physics of Wave Phenomena. 2010. v.18, №3, p.159.

5. D.I. Semenov, "Adiabatic Compressibility of the 4-Methylpyridin?Water Solution as a Function of the Temperature, Concentration, and Sound Frequency," Physics of Wave Phenomena. 2010. v.18, №3, p.155.

6. Л.М. Кашаева, Л.М. Сабиров, Ш. Сидиков, Т.М. Утарова, Я.Т. Туракулов, "Дисперсия скорости высокочастотного звука в водном растворе ?-пиколина", Акустический журнал. 1998. т.44, №3, с. 369.

7. Н.Ф. Бункин, В.С. Горелик, Л.М. Сабиров, Д.И. Семенов, Х.С. Хайдаров, "Частотное смещение компонент тонкой структуры линии Рэлея в водном растворе 4-метилпиридина в зависимости от температуры, концентрации и угла рассеяния света", Квантовая электроника. 2010. т.40, №9, с. 817.

8. Л.М. Сабиров, Д.И. Семенов, Х.С. Хайдаров, "Спектры рассеяния Мандельштама-Бриллюэна в растворе g-пиколин - вода и проявление в них фазового перехода типа структурного при малых концентрациях g-пиколина", Оптика и спектроскопия. 2008. т.105, №3, с. 405.

9. Л.М. Сабиров, Д.И. Семенов, Х.С. Хайдаров, "Температурные и концентрационные исследования частотного смещения компонент тонкой структуры линии Рэлея в водном растворе g-пиколина", Оптика и спектроскопия. 2007. т.103, №3, с. 505.

Размещено на Allbest.ru