Моделирование деформирования композитов

Обобщая эти и другие результаты, связанные с проблемой взаимодействия многих тел, можно отметить, что локальность во взаимодействии компонентов является: физическим свойством композитов с периодическими и случайными структурами.

Итак, исходя из выше перечисленного, сформулируем принцип локальности следующим образом: в расположении и взаимодействии компонентов композитов со случайной структурой имеет место ближний порядок.

Признаком ближнего порядка в расположении является локальность момент-ных функций второго и более высоких порядков полей структурных физико-механических свойств. Ближний порядок во взаимодействии означает, что на формирование полей деформирования в некоторой подобласти, содержащей произвольно выделенное включение решающее влияние оказывают лишь ближайшие к ней включения из их произвольно большого (в том числе и бесконечного) множества.

На основе принципа локальности и в подтверждение его получены новые решения краевой задачи теории упругости композитов со случайной структурой, а также приведены два новых метода решения краевых задач механики композитов: метод периодических составляющих и метод локаль-ного приближения.



3. Краевые задачи теории упругости композитов со случайной структурой

Рассматриваемая в данном разделе стохастическая краевая задача теории упругости является основой статистической механики композитов со случайной структурой. Начало систематическому изучению этой задачи положено работой И.М. Лифшица и Л.Н. Розенцвейга применительно к поликристаллам, в дальнейшем многочисленные результаты были обобщены во многих монографиях. При единой практически для всех работ в этом направлении постановке задачи, связанной с представлением упругих модулей микронеоднородной среды как случайных статистически однородных функций координат и выбором граничных условий в виде, обеспечивающим однородность макроскопических деформаций, а также общности подхода к решению с использованием метода функции Грина уравнений теории упругости в перемещениях для неограниченной изотропной или анизотропной среды существуют различия в получаемых результатах для эффективных свойств композитов и, в большей мере, для оценки полей напряжений и деформаций в компонентах компо-зитов. Это обусловлено статистической нелинейностью исследуемой задачи и построением приближенных решений, которые неодинаково адекватны физической модели композита, в частности, его структуре.

Случайная структура композитов может быть описана с помощью совокуп-ности моментиых функций структурных модулей упругости. Так, двухточечная моментная функция характеризует взаимное расположение элементов структуры: степень и характер упорядоченности, трехточечная - форму включений, четырехточечная позволяет установить, как группируются включения и как они распределяются по размерам.

Ниже приведены результаты решения стохастической краевой задачи с учетом реального вида моментных функций упругих свойств двухфазных композитов. Построено полное корреляционное приближение задачи в перемещениях, когда при вычислении бинарных корреляционных тензоров деформаций удерживаются только члены бесконечного ряда, содержащие моментные функции упругих свойств с порядком не выше второго. Однако при вычислении бинарных корреляционных тензоров напряжений и условных моментов, характеризующих средние значения и дисперсии полей деформаций и напряжений в компонентах композита, учитываются все слагаемые, соответствующие полученному корреляционному приближению задачи в перемещениях, в том числе и содержащие моментные функции упругих свойств третьего, четвертого и пятого порядков.

Результаты проиллюстрированы решением прикладных задач, связанных с определением статистических характеристик полей напряжений в компо-нентах дисперсно-упрочненного стеклопластика и в матрице пористого мате-риала.

3.1 Моментные функции упругих свойств композитов

Известно, что для построения полного корреляционного прибли-жения решения краевой задачи теории упругости микронеоднородной среды в перемещениях с определением статистических характеристик случайных полей микронапряжений и микродеформаций в компонентах композита в качестве исходной информации о структуре материала необходима следую-щая совокупность моментных функций структурных модулей упругости: двухточечные и трехточечные моментные функции второго, третьего, четвертого и пятого порядков.

Для двухкомпонентного стохастически армированного композита с детерми-нированными свойствами компонентов корреляционная функция модулей упругости является финитной и имеет вид

(3.1)

где - оператор математического ожидания; = л(1)- л(2); =м(1)- м(2), л(1), л(2), м(1), м(2)- коэффициенты Ламе соответственно первого и второго компонентов; дij- символы Кронекера; (r,r1) = - центральная моментная функция второго порядка случайной индикаторной функции к(r)

(3.2)

где V1 и V2 - части области V = V1 + V2, заполненные соответственно первым и вторым компонентом.

Моментная функция должна быть непрерывной и дифференцируемой. Предположим, что к(r) - статистически однородная и изотропная функция. Тогда (r,r1)= (|r - r1|). Как показано, для гранули-рованных композитов, которые состоят из матрицы и хаотически располо-женных в ней с объемным содержанием с1 сферических включений одина-ковых размеров, можно записать

(3.3)

где - нормированная моментная функция. Ранее для аппроксимации функции f были использова-ны выражения вида

(3.4)

(3.5)

В формуле (3.5) б = 3,4; b= 5,3, причем значения констант б и b не зависят от содержания включений; d - размер области статистической зависимости, т.е. области, в которой значения локальной функции (r,r1) отличны от нуля.

Рис. 3.1 Нормированная моментная функция случайного параметра

Анализ экспериментальных данных и результатов численного моделирования структуры гранулированных композитов (объемная структу-ра) и волокнистых однонаправленно армированных композитов (плоская структура) указывает на общую закономерность изменения нормированной моментнои функции f(|r - r1|) от модуля разности векторов r и r1, изобра-женную на рис. 3.1.

Для отыскания аналитического решения стохастической краевой задачи теории упругости необходимо аппроксимировать f(|r - r1|) функцией с непрерывной первой производной в нулевой точке. С этой целью запшпем нормированную функцию в виде

(3.6)

где б = 5,5 ; b = 3,6 ; d = -1,4.

Формула (3.6) обобщает выражения типа (3.4), (3.5), хорошо описывает известные экспериментально построенные функции и не противоречит физическому смыслу корреляционной функции в окрестности нулевой точки.

Аналогичным образом может быть записано анали-тическое выражение для моментной функции третьего порядка случайного параметра к(r):

(3.7)

где - центральный момент третьего порядка параметра к(r).

Из свойства индикаторной функции к(r) принимать значения, равные нулю либо единице, вытекают равенства:

(3.8)

С помощью предложенных формул (3.6) - (3.8) определяются остальные моментные функции третьего, четвертого и пятого порядков параметра к(r), необходимые для построения полного корреляционного приближения для полей деформаций и напряжений:

(3.9)(3.10)(3.11)(3.12)

Таким образом, определены все структурные моментные функции, необходи-мые для построения полного корреляционного приближения решения стоха-стической краевой задачи теории упругости двухкомпонентных сред.



3.2 Постановка и решение стохастической краевой задачи в перемещениях в корреляционном приближении

Пусть структурно неоднородное тело V с границей S таково, что случайное поле структурных модулей упругости Сijkl(r) является статистически одно-родным. На границе S заданы перемещения иi(r) =rj, причем - произ-вольный симметричный тензор малых деформаций. Если элементы структу-ры тела прочно соединены по поверхности раздела, т.е. на этих поверхностях выполняются условия непрерывности перемещений [ui(r)]+ = [ui(r)]- и напряжений [уij(r)nj(r)]+ = [уij(r)nj(r)]-, то = (еij(r)). Тогда стохастическая краевая задача теории упругости для тела V может быть записана в виде

(3.13)

Случайные поля структурных напряжений уij(r) и деформаций еij(r) статистически однородные, а краевая задача (3.13) статистически нелинейна, поскольку ее физические уравнения содержат произведение случайных полей.

В дальнейшем будем рассматривать краевую задачу для вектора перемеще-ний ui(r). Из (3.13) следует, что этот вектор внутри тела V удовлетворяет уравнению

(3.14)

а на границе S удовлетворяет условию

(3.15)

Возможность представления вектора перемещений на границе в виде (3.15) соответствует случаю, когда тело V находится в условиях макроскопически однородной деформации, т.е. во всех точках тела ui*(r) = еijrj.

Представим поля структурных модулей упругости и перемещений краевой задачи (3.14), (3.15) в виде

(3.16)

где =ui*(r).Поскольку плавная составляющая искомого быстро осциллирующего поля ui(r) в данной задаче известна, перейдем к краевой задаче относительно пульсаций вектора перемещения uiґ(r). Эта краевая задача состоит из уравнений

(3.17)

где и граничных условий

(3.18)

Уравнения (3.17) можно рассматривать как уравнения краевой задачи теории упругости для однородного тела с тензором модулей упругости (Cijmn) и перемещениями uiґ(r), обусловленными действием случайных объемных сил Пij,j(r). Бели размеры тела V неограниченно велики по сравнению с разме-рами элементов структуры, то решение краевой задачи (3.17), (3.18) не зависит от формы границы S .

Поэтому всюду внутри тела V, кроме малой окрестности, прилегающей к границе S , решение задачи (3.17), (3.18) можно представить с помощью тензора Кельвина-Сомильяны Gij однородной среды, упругие свойства которой определяются тензором (Cijmn). Тензор G вместе со своими производными обращается на бесконечности в нуль и удовлетворяет уравнению

где д(r - r1) - обобщенная функция Дирака.

Если (Cijmn) - изотропный тензор, то

(3.19)

где коэффициенты А и В связаны с постоянными Ламе соотношениями:

(3.20)

Возвращаясь к решению краевой задачи, имеем для неизвестного поля uiґ(r) интегро-дифференциальное уравнение:

(3.21)

Поверхностный интеграл в уравнении (3.21) отсутствует в силу условия (3.18).

Будем решать уравнение (3.21) методом последовательных приближений. Здесь приведем решение в первом (корреляционном) приближении, поскольку в дальнейшем ограничимся рассмотрением только этого прибли-жения:

(3.22)

Таким образом, решение стохастической краевой задачи теории упругости в перемещениях (3.17), (3.18) имеет вид (в первом приближении)

(3.23)

(3.24)

На основе решения (3.23) можно перейти к полям структурных деформаций и напряжений краевой задачи (3.13):

(3.25)

(3.26)

где I - единичный тензор четвертого ранга:

(3.27)

Выражения (3.25) и (3.26) показывают, что структурные поля деформиро-вания краевой задачи (3.13) линейно зависят от заданных макродеформаций eij. Сомножители, заключенные в (3.25) и (3.26) в квадратные скобки, являя-ются случайными однородными полями, определяемыми геометрией элемен-тов структуры, их упругими свойствами и характером взаимного располо-жения.

На основе выражений для полей деформирования (3.23), (3.25), (3.26) можно перейти к решению задачи (3.13) в моментных функциях. Например, для моментной функции второго порядка случайного поля перемещений имеем

(3.28)

Для момеитной функции (3.28) поля иi(r) в корреляционном приближении с учетом линейности операторов осреднения и дифференцирования имеем

(3.28)

Для нахождения момента второго порядка поля иi(r) в корреляционном приближении по формуле (3.28) необходимо вычислять момент поля Eijm:

(3.30)

Аналогичным образом определение момента второго порядка поля структур-ных деформаций еij(r) , как это следует из (3.25), связано с вычислением момента поля Eijm,k :

(3.31)

Интегралы одинакового типа в формулах (3.30) и (3.31), содержащие тензор Кельвина-Сомильяны, можно рассматривать как несобственные, так как размер тела V неограниченно больше размера элементов структуры. Инте-грирование по объему всего тела в этих формулах можно заменить интегрированием по области статистической зависимости случайного поля структурных модулей упругости - области, в которой значения локальной функции (r', r") отличны от нуля.

Новизна предлагаемого подхода заключается в том, что при построении решения интегрирование в (3.30), (3.31) проводится по всей области статис-тической зависимости поля Сijmn(r).

При вычислении интеграла (3.31) и аналогичных ему необходимы явные представления для поля Сijmn(r) через тензоры модулей упругости элементов структуры и функцию к(r) , а именно, для рассматриваемого класса материа-лов:

(3.32)

Тогда моментные функции порядка п поля Сijmn(r) записываются через моментные функции

причем ранг тензора равен 4n . Раскладывая функцию (3.6) в ряд Тейлора, получим

(3.33)

и т.д.

rj= rnj, nj - направляющие косинусы, определяемые по формулам

Таким образом, выделена явная зависимость моментной функции (3.6) от углов и функций, определяющихся только модулями векторов. Представ-ление (3.33) позволяет вычислить несобственные интегралы (3.31) последовательным интегрированием по модулям векторов и углам.

Подставляя соотношения (3.33) в (3.1), затем (3.19) и (3.1) в (3.31) и выбирая полюс в точке r = 0, переходим к сферической системе координат. Используя введенные обозначения п'б = r'б/r', п''б = r ''б /r '' и известные соотношения

получаем

(3.34)

При интегрировании в (3.34) по углам применяются известные формулы:

и т.д.

Вычислив интегралы (3.34) по модулям векторов с учетом их изменяемости в области статистической зависимости и углам и выполнив соответствующие свертки по повторяющимся индексам, получаем окончательное выражение для бинарного корреляционного тензора случайных деформаций:

(3.35)

где , C(k) - коэффициенты, зависящие только от упругих свойств и относительной объемной концентрации компонентов.

Аналитические выражения для вычисления тридцати шести коэффициентов и четырех коэффициентов C(k) полностью содержатся в работе. Здесь для иллюстрации структуры этих выражений приведем лишь несколько из них:

(3.36)

(3.37)

где |r' - r"| = H1 и |rґ - r"| = H2 - первый и второй нули функции (|r'-r"|) соответственно.

Таким образом, бинарный корреляционный тензор случайных деформаций с учетом положительной и отрицательной областей изменения функции (|r'-r"|) определяется формулой (3.35).

Перейдем теперь к вычислению в рамках полного корреляционного прибли-жения стохастической краевой задачи (3.14), (3.15) бинарного корреляцион-ного тензора напряжений с учетом реального вида моментных функций упру-гих свойств.

Осреднив соотношение обобщенного закона Гука в (3.13), получаем пульса-ции случайных напряжений:

(3.38)

где Фpqkl = 0,5(Epkl,q + Eqkl,p). Тогда для центрального момента второго порядка микронапряжений имеем

(3.39)

где

(3.40)

Тензор М зависит только от структуры и свойств композита, поэтому определение его сводится к вычислению интегралов от ных функций поля С.

Как видно из выражения (3.40), для вычисления статистических характерис-тик поля напряжений даже в корреляционном приближении необходимы моментные функции не только второго, но также третьего и четвертого порядков случайного поля упругих свойств.

Моментные функции параметра к(r), используемые для определения коре-ляционного момента напряжений, определены в 3.1.

Слагаемые в выражении (3.40) вычисляем изложенным выше методом. Здесь приведены только окончательные результаты расчетов (в проекциях на оси координат):

(3.41)

(3.42)

слагаемое можно найти, если в выражении (3.42) заменить индексы m1, n1 на m2, п2 соответственно; слагаемое состоит из произведения двух сомножителей и , причем

(3.43)

а можно найти, если в выражении (3.43) заме-нить индексы m1, n1 на m2, п2 соответственно:

(3.44)

сумму слагаемых

можно найти, если в правой части выражения (3.35) записать вместо C(k) соотношения CIII(k)

CIII(1) = C(1); CIII(2) =0,25C(2); CIII(3)= 0,25C(3); CIII(4)=0,25C(4); (3.45)

и изменить на ,a на равные соответственно:

(3.46)

где определяются соотношениями (3.36); слагаемое

можно найти, если в правой части выражения (3.35) заменить на , равные соответственно:

(3.47)

слагаемое можно найти, если в пра-вой части выражения (3.35) вместо записать (1 -2c1) CIII(k) + C(k), а вместо -, заменив при этом в (3.47) и на и соот-ветственно.

Таким образом, все слагаемые в выражении (3.40) вычислены и бинарный корреляционный тензор напряжений построен.

3.3 Расчет характеристик полей деформаций и напряжений в компонентах дисперсно-упрочненных композитов

Средние деформации и корреляционные моменты деформаций в k-м компо-ненте композита определяются соотношениями:

(3.48)

где

(3.49)

Вычисление средних деформаций в компонентах <еij>k сводится, таким образом, к вычислению моментов вида <к'kеij >. Учитывая, что в случае двух-компонентной среды к'1 = к', к'2 = -к', где к' = к - с, к = к1, с = c1, будем искать моменты вида <к'k еґij >, поскольку при k= 2 изменяется лишь знак.

Так как для пульсаций деформаций справедливо соотношение

еґij =Фijmnemn (3.50)

то получаем

< к'еґij > = <к'Фijmn>emn (3.51)

Интеграл <к'Ф> вычисляется аналогично тому, как зто сделано выше.

Таким образом, для определения составляющих тензора средних деформаций в компонентах хаотически армированной среды получаем в корреляционном приближении:

(3.52)

Перейдем теперь к определению корреляционного момента деформаций в компонентах. В выражении (3.49) все слагаемые, кроме <к'еґijеґтп>, вычислены. Для отыскания <к'еґijеґтп> требуется знать моментную функцию третьего порядка, которую аппроксимируем выражением (3.7).

Дальнейшие вычисления <к'еґijеґтп> проводим так же, как и при отыскании момента <еґijеґтп>. В результате получаем формулу, аналогичную (3.35), в правой части которой остаются равными (3.36), вместо нужно записать , а вместо C(k) - выражения (3.45).

Таким образом, все слагаемые в формуле (3.49) определены, и корреля-ционный момент деформаций в компонентах композита вычислен.

На основе решения стохастической краевой задачи (3.13) теории упругости неоднородных сред со случайной структурой можно вычислять макроско-пические модули упругости таких сред. Осредняя уравнение (3.26), для тензора макромодулей C*ijkl получим

(3.53)

т.е. задача определения макромодулей сводится к вычислению поправки к средним модулям упругости <Сijkl>.

Для стохастически армированных композиционных материалов данная поправка получена в корреляционном приближении на основе гипотезы предельной локальности моментных функций поля:

(3.54)

Учет координатной зависимости корреляционной функции модулей упруго-сти не приводит к изменению результатов для эффективных свойств по сравнению с гипотезой предельной локальности.

Произведем расчет средних значений и корреляционных моментов напряже-ний в компонентах композита. Выше приведены формулы (3.48) и (3.49) для определения средних деформаций и корреляционных моментов в компонен-тах хаотически армированного композита.

Эти же соотношения справедливы и для расчета соответствующих статисти-ческих характеристик напряжений, так как в них физический смысл величин не играет никакой роли.

Итак, для составляющих тензора средних напряжений в компонентах стохастически армированного композита согласно (3.48) имеем

(3.54)

где <уm1n1> известно по (3.26), (3.53), (3.54) и остается вычислить момент <к'k у'm1n1>. В данном случае к'1 = к', к'2= - к', с = c1 поэтому будем искать момент вида <к'k у'm1n1>, поскольку при k = 2 изменяется лишь знак.

С учетом (3.38) получаем

(3.56)

Слагаемые в формуле (3.56) вычисляются аналогично тому, как это было сделано выше. В результате имеем

(3.54)

Корреляционный момент случайных напряжений в соответствии с (3.49) запишется так:

(3.58)

В формуле (3.58) все слагаемые, кроме <к'k у'm1n1у'm2n2> вычислены.

Так как к'1 = к', к'2= - к', будем искать момент <к'k у'm1n1у'm2n2>, который с учетом (3.38) принимает вид

(3.59)

Ниже будут приведены результаты вычисления слагаемых в выражении (3.59). Слагаемое

можно найти, если в выражении (3.41) вместо записать . Слагаемое

равно соотношению (3.42), умноженному на (1-2с). Сумму слагаемых

можно найти, если в формуле (3.44) вместо сомножителя (1 - 2с) записать

(1 - 3),

(3.60)

Слагаемое можно найти, если в выражении (3.60) заменить индексы m1, n1 на т2, п2 соответственно. Слага-емое можно найти, если правую часть выражения (3.42) умножить на (1 - 2с) и заменить индексы m1, n1 на т2, п2 соответственно.

Слагаемое можно найти, если в выражении (3.35) заменить С(k) на CIII(k) (3.45), - на (3.47) и - на . Сумма слагаемых

находится, если в выражении (3.35) вместо С(k)записать (1+2c) CIII(k) +

+ С(k)), а вместо - (см. (2.46)). Имеет место равенство

(3.61)

слагаемое может быть найдено, если в выражении (3.61) заменить индексы m1, n1 на т2, п2, соответственно; слагаемое

можно найти, если в правой части выражения (3.35) вместо С(k)записать (1 - 3) CIII(k)+ С(k), а вместо - (3.47), заменив при этом в (3.47) и наи соответственно. Получим равенство

(3.62)

а слагаемое найдем,

если в выражении (3.62) заменим индексы m1, n1 на т2, п2 соответственно.

Таким образом, все слагаемые в соотношении (3.59) вычислены, а следова-тельно, определен и корреляционный момент (3.58) случайных напряжений в компонентах стохастически армированного композита.

Известно, что даже при изотропном деформировании (гидростатическое сжатие) дисперсно упрочненного стеклопластика, учет реального вида моментных функций упругих свойств приводит к существенному изменению бинарных корреляционных тензоров деформаций и напряжений по сравне-нию с результатами, полученными на основе гипотезы о предельной локаль-ности, а также использования экспоненциальной координатной зависимости. При этом упругие свойства и объемное содержание компонентов стекло-пластика принимались следующими:

(3.63)

В задаче об одноосном растяжении отмечено практическое совпадение расчетных и экспериментальных значений средних деформаций в компо-нентах и качественное совпадение дисперсий.

В то же время обнаружено, что для некоторых вариантов расчета коэффи-циентов вариации случайных деформаций и напряжений в порошковых ком-позитах (вольфрам-медь, железо-медь) и наполненных полимерах с учетом действительных моментных функций упругих свойств и с использованием гипотезы о их предельной локальности, результаты расчетов могут отли-чаться в два и более раз. Вычисление дисперсий напряжений в компонентах композитов без учета действительных моментных функций вообще приводит к нулевым и даже отрицательным значениям, что противоречит физическому смыслу.

В качестве иллюстрации в табл. 3.1 приведены средние значения и коэффи-циенты вариации деформаций и напряжений в компонентах стеклопластика (3.63), вычисленные с помощью соотношений (3.48), (3.55), (3.49), (3.58). Здесь же приведены и коэффициенты вариации модулей объемного сжатия и сдвига. Видно, что учет реального взаимодействия компонентов при деформировании дает ненулевые значения коэффициентов вариации деформаций и напряжений в компонентах, сопоставимые с коэффициентами вариации случайных упругих модулей композита, что соответствует физии-ческой картине.

Таким образом, построено новое аналитическое решение стохастической краевой задачи теории упругости, позволяющее описывать сложное напряженно-деформированное состояние компонентов композита с помощью моментов первого и второго порядков структурных деформаций и напряже-ний. При этом удается вычислять и дисперсии таких случайных напряжений, средние значения которых при заданных условиях нагружения равны нулю.

Таблица 3.1.Коэффициенты вариации модулей, средние деформации, напряжения (ГПа) и коэффициенты вариации деформаций и напряжений в компонентах стеклопластика (3.63)

В развитие предлагаемого подхода исследована модель двухфазного поликристалла [268], когда одной из фаз материала являлись поры, а другой - хаотически ориентированные трансверсально-изотропные кристаллиты углерода. Такая постановка задачи связана с прогнозированием механических свойств пироуглеродных матриц углерод-углеродных композитов.

Ниже рассмотрен частный решения, представляющий интерес для практичес-ких приложений.



3.4 Статистические характеристики полей напряжений в матрице пористого материала

композит деформирование неупругий

Построение адекватных моделей прогнозирования прочностных свойств пористых сред сдерживается отсутствием решений ряда прикладных задач микромеханики композитов. К числу таких задач относится и задача о концентрации микронапряжений в матрице среды с учетом реальной струк-туры при произвольно заданном на макроуровне сложном напряженном или деформированном состоянии. Несомненный научный и практический инте-рес представляют оценки случайных полей деформирования, позволяющие рассчитать средние и бинарные корреляционные тензоры микронапряжений и микродеформаций в матрице пористых сред.

Стохастическая краевая задача в перемещениях для области V, ограниченной гладкой поверхностью S и заполненной пористой средой, в случае заданного тензором eij макроскопически однородного деформированного состояния имеет вид

(3.64)

где - компоненты тензора модулей упругости матрицы, u - вектор структурных перемещений, к(r) - случайная индикаторная функция, описы-вающая распределение пор в матрице. Функция к(r) введена условием

Тогда величина

будет характеризовать относительную пористость материала. Из общего решения стохастической краевой задачи теории упругости композитов (§ 3.2) можно построить корреляционное приближение задачи (3.64) и для полей деформаций еij(r) и напряжений уij(r) получить решение в виде

(3.65)

где Eijm,k(r) - статистически однородное поле, производное от функции к(r) и зависящее от упругих свойств матрицы и относительной пористости.

Расчет безусловных моментов второго порядка структурных полей деформи-рования - бинарных корреляционных тензоров микродеформаций и микронапряжений, а также статистических характеристик полей деформаций и напряжений в матрице пористого материала связан с необходимыми предположениями относительно геометрии пор и характера их расположения в матрице.

Пусть поры представляют собой одинаковые сферы, однородно и изотропно расположенные в матрице. Анализ результатов численного моделирования хаотических структур приводит к аппроксимирующим выражениям (3.3), (3.6), (3.7) для моментных функций второго и третьего порядков индикатора к(r), причем = ср(1 - cр), = ср(1 - cр)(1 - 2cр).

Тогда безусловные корреляционные тензоры деформаций еij и напряжений уij могут быть вычислены по ранее полученному в § 3.2, 3.3 решению для дисперсно-упрочненных двухкомпонентных композитов с учетом явного вида структурных моментных функций. Так, безусловные дисперсии деформаций вычисляются согласно формуле

(3.67)

а для безусловных дисперсий напряжений имеем

(3.68)

где I - единичный тензор четвертого ранга.

Из выражения (3.68) видно, что для вычисления бинарного корреляционного тензора напряжений даже в корреляционном приближении стохастической задачи (3.64) в перемещениях необходимы моментные функции не только второго, но также и третьего и четвертого порядков случайного поля упругих свойств. Однако с учетом приведенных ранее соотношений между момент-ными функциями и индикатора к(r) и моментными функциями высших порядков и формулы (3.65), а также линейности операторов статис-тического осреднения и дифференцирования, можно записать

Тогда из (3.68) следует

(3.69)

Перейдем теперь к анализу полей деформирования в матрице пористой среды, т.е. к вычислению условных моментов случайных деформаций еij(r) и напряжений уij(r).

Для тензора средних деформаций в матрице (еij)m имеем общую формулу

(3.70)

а, принимая во внимание (3.65), получим

(3.71)

Для тензора средних напряжений в матрице < уij >m, определяемого из реше-ния краевой задачи в перемещениях (т.е. когда заданы макродеформации еij ) имеем общую формулу

(3.72)

а, принимая во внимание

получим

(3.73)

Очевидно, что к этому же результату приводит и соотношение

с использованием (3.71).

В случае, если заданы не макродеформации е*ij= eij, а макронапряжения уij = =sij, для средних напряжений в матрице существует точное тривиальное решение

(3.74)

Для тензоров дисперсий деформаций Те и напряжений Tу в матрице, т.е. условных корреляционных тензоров полей деформирования еij(r) и уij(r), имеют место общие формулы

(3.75)

(3.76)

После необходимых преобразований получим

(3.77)

(3.78)

В расчетные формулы для безусловных дисперсий деформаций и напря-жений (3.67), (3.69), средних деформаций и напряжений в матрице (3.71), (3.72), дисперсий деформаций и напряжений в матрице (3.77), (3.78) входят моменты второго и третьего порядков.

Эти моменты найдены вычислением несобственных интегралов последо-вательным интегрированием по модулям векторов и углам после соответст-вующих разложений функций и , а также их производных (§3.2, 3.3). Полученные решения реализованы в программах численных расчетов для произвольно заданного тензором eij макроскопического деформиро-ванного состояния.

Ниже приведены результаты для статистических характеристик полей деформирования пористых сред при некоторых частных случаях заданного макроскопического напряженно-деформированного состояния материала. Упругие свойства матрицы заданы величинами: Eт = 2 ·105 МПа, vm = 0,3.

Пусть гидростатическое сжатие пористого материала задано давлением s, при этом у*ij = - sдij. Тогда макроскопические деформации eij заданы соотно-шениями

где K* - эффективный модуль объемного сжатия. Поля микронапряжений и микродеформаций являются изотропными. для этого частного случая нагружения в предположении о виде структурной корреляционной функции

получены простые формулы для безусловных дисперсий тензоров напряже-ний и деформаций двухкомпонентных гранулированных композитов:

(3.79)

где

(3.80)

Безусловные дисперсии компонент тензора деформаций

как частный случай формул (3.79), (3.80) для пористых сред вычисляются так:

а для дисперсий напряжений справедливы формулы

Эти же величины можно представить через безразмерные коэффициенты Н и Q

(3.81)

значения которых приведены в табл. 3.2 по результатам трех различных вариантов расчета: верхнее значение - расчет с использованием гипотезы о предельной локальности, среднее значение - расчет по формулам, нижнее значение - расчет по формулам данной работы с учетом реального вида моментных функций упругих свойств. Видно, что первый вариант приводит к нулевым значениям безусловных дисперсий сдвиговых деформаций и касательных напряжений, что противоречит физическому смыслу.

Таблица 3.2 Характеристики полей деформирования в пористом мате-риале при гидростатическом сжатии (сравнение результатов, у*ij = -дij, МПа)

Таблица 3.3 Характеристики напряжений в матрице пористого материала при гидростатическом сжатии (у*ij = -дij, МПа)

В таблицах 3.3 - 3.6 приведены впервые рассчитанные на основе решения стохастической краевой задачи микромеханики характеристики напряжений в матрице пористого материала: дисперсии компонент тензора напряжений, среднеквадратические отклонения и коэффициенты вариации. Особый инте-рес представляют характеристики тех компонент, средние значения которых равны нулю.

Очевидно, что решение рассматриваемой стохастической задачи при малом содержании пор (ср = 0,05) может быть проверено сравнением с известными результатами задачи о сферической полости в бесконечно протяженном теле.

Таблица 3.4 Характеристики напряжений в матрице пористого материала при чистом сдвиге (у*12 = 1 МПа)

Так, для оценки максимальных значений случайных напряжений в предположении о нормальном законе распределения напряжений в компонентах композитов может быть использована формула

Таблица 3.5 Характеристики напряжений в матрице пористого матери-ала при одноосном растяжении (у*11 = 1 МПа)

При всестороннем растяжении (сжатии) расчетное значение коэффициента концентрации нормальных напряжений в матрице пористого материала (см. табл. 3.3) составляет 1,42, в то время как точное значение этого коэффици-ента в задаче о сферической полости равно 1,5. В этом случае можно утверж-дать о количественном совпадении результатов. При одноосном растяжении (например, вдоль оси x1) расчетное значение коэффициента концентрации для напряжений у11 (см. табл. 3.5) составляет 1,41, при точном решении 2,045, а для напряжений у22 =у33 расчетное значение 0,06, при точном - 0,1485.

Таблица 3.6 Характеристики напряжений в матрице пористого материала при сложном напряженном состоянии (у*11 = - у*22 = 1 МПа)

При чистом сдвиге расчетное значение коэффициента концентрации касса-тельных напряжений (см. табл. 3.4) равно 1,27, а точное 1,91.

В этих случаях наблюдается лишь качественное совпадение, которое для результатов, полученных в рамках вероятностного и детерминированного подходов, можно считать удовлетворительным.

Вычисленные с учетом реального вида моментных функций дисперсии напряжений, в пользу достоверности значений которых свидетельствуют и соответствующие физической картине коэффициенты вариации, позволяют построить новые критерии прочности пористых материалов, адекватно отражающие процессы деформирования и разрушения структурно неодно-родных сред.

Размещено на Allbest.ru