Розробка математичних методів і дослідження контактної взаємодії пружних тіл при врахуванні тертя

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.04 механика деформируемого твердого тела. Днепропетровский национальный университет, Днепропетровск, 2004.

На основе метода Винера Хопфа разработан единый математический подход к решению некоторых классов граничных задач механики контактного взаимодействия упругих тел с учетом трения. Осуществлено развитие метода Винера Хопфа для его применения к решению смешанных задач теории упругости для клина и конуса в случае гладкого контакта и контакта с трением, а именно: предложен метод получения асимптотических оценок для бесконечных произведений, возникающих при проведении факторизации мероморфных функций; разработана методика получения асимптотики корней усложненных трансцендентных уравнений; метод Винера Хопфа применен к интегральному уравнению на конечном интервале с разностным ядром.

Найдены точные решения некоторых плоских контактных задач теории упругости для клиньев и осесимметричных контактных задач для конусов в условиях гладкого и фрикционного контакта. Рассмотрен контакт упругого и жесткого клиньев, а также двух упругих клиньев, первоначально касающихся в общей вершине; контакт упругого клина с жесткой насадкой; аналогичные задачи для конусов; вдавливание жесткой обоймы в упругий конус. Установлено, что

при контакте упругого и жесткого клиньев (конусов), первоначально соприкасающихся своими вершинами, наличие трения устраняет логарифмическую особенность контактных напряжений в вершине упругого клина (конуса), характерную для гладкого контакта, и контактные напряжения становятся ограниченными;

при контакте упругого клина (конуса) с жесткой насадкой наличие трения снимает контактные напряжения в вершине клина (конуса);

при контактном взаимодействии двух упругих конусов их упругие характеристики оказывают влияние на приведенные контактные напряжения лишь в малой (по сравнению с областью контакта) окрестности их общей вершины.

В рамках теории подобия Спенса исследовано фрикционное взаимодействие индентора различной геометрии (жесткого клина, прямого и наклонного штампа, индентора полиномиального профиля) с упругой полуплоскостью при наличии зон сцепления и проскальзывания в области контакта. Показано, что наличие трения, так же как и несимметричность нагружения, оказывают небольшое влияние на распределение контактного давления и размер области контакта и существенным образом влияют на распределение касательных напряжений и размеры зон сцепления и проскальзывания в области контакта.

Получено решение задачи о несвободном равномерном вращательном движении сжатых жесткого и упругого дисков с ведущим жестким диском. Установлено, что область контакта разделяется на две зоны зону сцепления (на входе в контакт) и зону проскальзывания (на выходе из контакта). Причем “защемленная” деформация в зоне сцепления может принимать отрицательные значения, и тогда угловая скорость вращения ведомого упругого диска становится больше угловой скорости ведущего жесткого диска. Показано, что первоначально горизонтальная площадка контакта становится наклонной и точка приложения равнодействующей нормальных напряжений смещается с линии, соединяющей центры валов дисков. Проведен баланс мощности и показано, что разность входной мощности на валу жесткого диска и выходной передаваемой мощности, снимаемой на валу упругого диска, оказывается равной значению мощности потерь на трение в зоне проскальзывания.

Получены точные решения задач для упругой кусочно-однородной среды с межфазной трещиной в условиях возникновения контакта берегов трещины вблизи ее вершин согласно моделям гладкого и фрикционного контакта Комниноу. Рассмотрены контактные задачи для полубесконечной и конечной трещины, находящейся на границе раздела двух упругих полуплоскостей из разных материалов, а также осесимметричная контактная задача для круговой трещины, расположенной в плоскости соединения двух разнородных полупространств. Изучено влияние трения и упругих постоянных кусочно-однородной среды на размер области контакта и распределение напряжений вблизи вершин (контура) трещины.

Ключевые слова: метод Винера Хопфа, факторизация, бесконечные произведения, интегральное уравнение, контакт упругих тел, трение, зоны сцепления и проскальзывания, контактные напряжения, межфазная трещина.

ABSTRACT

Ostrik V. I. The Elaboration of Mathematical Methods and Research of Contact Interaction of Elastic Bodies in the Presence of Friction. Manuscript.

Thesis for a doctor degree in physics and mathematics by speciality 01.02.04 Mechanics of Deformable Solids. Dnipropetrovsk National University, Dnipropetrovsk, 2004.

On the basis of the WienerHopf method the calculation united mathematical approach to the solution for some classis for boundary problems for contact mehanics for elastic bodies in the presence of friction. WienerHopf method for his using to the solution for mixed problems for theory of elasticity for wedge and cone was developed, exactly: the method to the receipt for asymptotic estimations of infinite products arising in the course of factorization of meromorphic functions was offered; the method to the receipt for asymptotic forms of roots for complicated transcendental equations was developed; the WienerHopf method applied to the integral equation on finite interval with the difference kernel.

The exactly solutions of the plain contact problems of the theory of elasticity for wedge and axisymmetric contact problems for cones with smooth and frictional contact were obtained. The contact of elastic and rigid wedges and two elastic wedges in their contact by common vertex; a press in rigid tip in an elastic wedge; analogous problems for cones; contact of elastic cone with rigid clasp is studied.

On the basis of the Spense theory of eigenvalues the frictional interaction of indentor of various geometry (rigid wedge, right and inclined stamp, indentor with polynomical profile) with an elastic half-plane in the precence of adhesion and slipping zones in contact domain was investigated.

A solution of problem of bounded steady rotation of two pressed elastic and rigid disks with leading rigid disk was obtained. A contact domain is division into adhesion zone on entrance in contact and slipping zone on exit from contact, also initially horizontal plane becomes inclined after deformation and a point of application of the stresses resultant moves away from initial position at the line connecting centers of disks. A balance of power was realized and magnitude of the power of frictioal losses at slipping zone was determined.

The exact solutions of problems for elastic part-homogeneous environment with interface crack in conditions of contact of shores crack according to the Comninou models of smooth and frictional contact were obtained. A influence of friction at the stressed-straired state of bodies in contact.

Key words: WienerHopf method, factorization, infinite products, integral equations, contact of elastic bodies, friction, adhesion and slipping zones, contact stresses, interface crack.

Размещено на Allbest.ru