Цикл лекций по теории изгиба пластин

Устойчивость пластины при сдвиге

Имея ввиду соответствующее решение плоской задачи теории упругости, записываем уравнение нейтрального равновесия в виде

(8.19)

Граничные условия, как и в предыдущих примерах, принимаем в форме (8.2). Решение уравнения (8.19) можно было бы искать в виде

(8.20)

Эта функция хорошо описывает картину волнообразования, но она не соответствует граничным условиям шарнирного закрепления (8.2). Таким образом, аппроксимация прогиба в форме (8.20) невозможна.

Решать задачу будем приближенно с помощью метода Бубнова-Галеркина. В качестве аппроксимирующей функции возьмем следующее выражение

(8.21)

Здесь , - число полуволн в направлении оси , характеризует угол наклона волн на поверхности пластины после потери устойчивости. Функция (8.21) на кромках пластины удовлетворяет условию , но не удовлетворяет условию. При граничные условия шарнирного закрепления не выполняются. В качестве аппроксимирующей эту функцию можно использовать лишь для пластины, вытянутой в направлении оси , то есть при . В рамках реализации метода Бубнова-Галеркина сдвигающее усилие определяем, вычисляя интеграл

(8.22)

Сдвигающее усилие представляется в виде следующей функциональной зависимости

(8.23)

Минимизируя по параметрам и , получаем критическое сдвигающее усилие в виде

(8.24)

Соответствующее критическое напряжение

(8.25)

Теорема Папковича

Рассмотрим пластину, находящуюся под действием системы нагрузок. Каждая из этих нагрузок, действуя по отдельности, приводит к потере устойчивости пластины. Соответствующие критические напряжения получены в результате вышеприведенных решений и определяются из соотношений (8.8), (8.18) и (8.25). Для решения задачи устойчивости пластины в условиях комбинированного нагружения необходимо воспользоваться уравнением (7.14), которое, переходя от усилий к напряжениям, можно записать в виде

(8.26)

Здесь - критические значения напряжений и при комбинированном нагружении. Очевидно, что их определение из уравнения (8.26) невозможно. Введем следующие обозначения: - критические напряжения при раздельном нагружении пластины односторонним сжимающим усилием, действующим соответственно вдоль оси или . С учетом обозначения дины стороны пластины они определяются по формуле (8.8). - критическое напряжение при раздельном нагружении пластины сдвиговой нагрузкой. Для его нахождения с поправкой на размеры пластины можно использовать соотношение (8.25). Кроме того, введем в рассмотрение безразмерные напряжения

(8.27)

Запишем уравнение поверхности

(8.28)

Теорема Папковича утверждает следующее:

В пространстве безразмерных напряжений (8.27) поверхность (8.28) является выпуклой, для чего необходимо выполнение условия: .

Поверхность Папковича (8.28) позволяет при комбинированном нагружении пластины установить такое взаимное сочетание нагрузок, при котором пластина будет находиться в устойчивом состоянии. Схематично это показано на рисунке 8.1.

Рис 8.1

Замкнутая область пространства безразмерных напряжений (8.27), заключенная между координатными плоскостями и поверхностью (8.28) представляет из себя область устойчивости пластины. Прокомментируем ситуацию на примере. Допустим, что пластина находится одновременно в условиях сжатия вдоль оси и сдвига. Уравнение Папковича в этом случае имеет вид

 (8.29)

Геометрически эта плоская кривая в общем виде показана на рисунке 8.2.

Рис. 8.2

Очевидно, что координатные оси она (как и любая другая поверхность Папковича) пересекает в точках , . Пусть величина сжимающих усилий такова, что соответствующие напряжения составляют половину от критического значения, то есть . Какова должна быть величина сдвигающих усилий и соответствующих им касательных напряжений , чтобы пластина сохраняла устойчивость? Ответ легко получить анализируя рисунок 8.2. Напряжению соответствует точка В на кривой Папковича. По оси безразмерных касательных напряжений эта точка имеет координату . Таким образом, при заданном уровне нормальных напряжений , устойчивое состояние пластины будет обеспечено, если касательные напряжения не будут превышать .

Теорема Папковича является основой для реализации теоретико-экспериментального метода решения задачи устойчивости пластины при комбинированном нагружении. Уравнение (8.28) в этом случае представляет из себя структурную зависимость между безразмерными комплексами. Показатели степени определяются из эксперимента. В результате получается расчетная формула, обеспечивающая надежные количественные результаты.

Лекция 9

Изгиб круговой цилиндрической панели

В отличие от пластины поверхность цилиндрической панели обладает кривизной в направлении одной из координатных осей. Если цилиндрическая панель круговая, то радиус кривизны фиксирован. Наличие кривизны во многом определяет специфику в поведении панели при нагружении, в частности, более высокую несущую способность. В то же время, получение уравнений изгиба круговой цилиндрической панели при поперечной нагрузке практически не отличается от соответствующей процедуры для пластины. Рассмотрим круговую цилиндрическую панель, отнесенную к координатным осям так, как показано на рисунке 9.1.

Рис 9.1 Рис 9.2

Радиус кривизны срединного слоя панели равен , толщина - . Как и в случае пластины считаем, что при изгибе выполняются гипотезы Кирхгофа-Лява. Обобщенные моменты и усилия, представленные на рисунке 9.2, записываются без изменений в виде (3.6), (3.7) и (5.6). Входящие в выражения моментов изменения кривизны и параметр кручения срединного слоя также сохраняются в форме (3.4), а деформации срединного слоя имеют вид

(9.1)

В отличие от соответствующих соотношений для пластины (7.2), здесь, в выражении деформации , присутствует слагаемое , обусловленное кривизной.

Система уравнений равновесия мембранных усилий в проекции на касательную к боковой поверхности панели плоскость записываются, как и для пластины, в виде

(9.2)

Уравнение изогнутой поверхности панели аналогично соответствующему уравнению (7.5) для пластины

(9.3)

Слагаемое , как видно из рисунка 9.3, появляется в результате проектирования мембранных усилий на ось .

Рис 9.3

Уравнение неразрывности деформаций, как и в предыдущих случаях, получается в результате исключения из системы уравнений (9.1) тангенциальных перемещений . Оно имеет вид

(9.4)

От соответствующего уравнения (7.6) для пластины оно отличается наличием слагаемого . После выражения деформаций через мембранные усилия по формулам (5.12) и введения функции усилий (5.15) уравнение (9.4) может быть записано следующим образом

(9.5)

Система (9.2) при этом тождественно удовлетворяется. Уравнение (9.3) с использованием функции усилий также может быть переписано

(9.6)

Система уравнений (9.5), (9.6) является системой уравнений равновесия пологой, круговой цилиндрической панели под действием поперечной нагрузки интенсивности . Она аналогична системе уравнений Кармана для пластины (7.7), (7.8). Уравнения (9.5), (9.6) нелинейные и описывают поведение круговой цилиндрической панели во всем диапазоне изменения прогибов. Уравнения Кармана для пластины получаются из них как частный случай, если в соответствующих слагаемых положить радиус кривизны равным бесконечности. Полученные уравнения равновесия для панели применимы и для круговой цилиндрической оболочки. При реализации различие заключается лишь в формулировке граничных условий.

Пологость цилиндрической панели и оболочки

Цилиндрическая панель полога в смысле своей геометрии, если выполняется следующее неравенство:

(9.7)

Здесь - подъем панели, - кратчайшее расстояние между прямолинейными кромками (рисунок 9.4а).

Рис 9.4а

Рис 9.4 б

Панель может быть пологой в смысле волнообразования при изгибе. В этом случае условие (9.7) может не выполняться для панели в целом, но оно выполняется в рамках одной полуволны. При таком подходе имеет смысл прогиба, а - длина полуволны в окружном направлении (рисунок 9.4б). Очевидно, что круговая цилиндрическая оболочка не может быть пологой в смысле своей геометрии, поскольку в этом случае . Она может быть пологой лишь в рамках каждой полуволны в окружном направлении.

Слабый изгиб круговой цилиндрической оболочки

Все рассуждения в дальнейшем будем вести для круговой цилиндрической оболочки, имея в виду их справедливость и для панели, как части оболочки. Предполагаем, что при деформации оболочки прогибы удовлетворяют условию: . В этом случае, в уравнениях (9.5). (9.6), как и при слабом изгибе пластины, можно пренебречь нелинейными слагаемыми. Упрощенная система уравнений примет вид

(9.8)

(9.9)

В предположении, что радиус кривизны равен бесконечности, данная система уравнений переходит в систему (3.9), (5.16) для случая слабого изгиба пластины с деформацией срединного слоя. При этом прогибы пластины могут варьироваться в более широком диапазоне . Если , то уравнение (5.16) удовлетворяется тождественно, что соответствует отсутствию мембранных усилий в срединном слое пластины. В уравнении (9.8) слагаемое не может быть тождественно равным нулю даже при прогибах, меньших четверти толщины. Это означает, что прогиб боковой поверхности оболочки, даже самый незначительный, всегда приводит к возникновению мембранных усилий. Этот факт, в частности, объясняет лучшие несущие свойства панели и оболочки по сравнению с пластиной.

1. Симметричная деформация

На практике довольно часто возникают ситуации, когда действующие на оболочку силовые факторы распределены симметрично относительно оси цилиндра. К подобным задачам можно, например, отнести задачу о распределении напряжений в цилиндрических резервуарах с вертикальной осью, находящихся под воздействием жидкости. Применительно к уравнениям (9.8) и (9.9) симметрия нагружения означает, что интенсивность распределенной нагрузки не зависит от дуговой координаты, то есть . В силу симметрии нагружения и симметрии самой оболочки ее боковая поверхность деформируется симметрично относительно продольной оси цилиндра. Соответственно, функции усилий и прогиба зависят только от координаты : , . Система уравнений (9.8) и (9.9) в этом случае преобразуется к виду

(9.10)

(9.11)

Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку длины , шарнирно закрепленную по торцам. Это означает, что, при :

(9.12)

Дважды интегрируя уравнение (9.17), получим

(9.13)

Потребуем, чтобы радиус торцевых сечений оболочки не изменялся в процессе деформирования. В этом случае, при кольцевое усилие . Реализуя краевые условия, получим, что постоянные интегрирования . Уравнение (9.20) принимает вид

Выражая из этого уравнения и подставляя в уравнение (9.11), последнее переписываем в виде

, или

(9.14)

Здесь приняты обозначения: , .

Полученное уравнение является основным разрешающим уравнением изгиба круговой цилиндрической оболочки постоянной толщины в случае симметричной деформации. По форме оно совпадает с уравнением изгиба балки на упругом основании. У оболочки роль упругого основания играет кривизна . В уравнении изгиба балки параметр является коэффициентом упругости основания. Уравнение (9.14) является линейным, неоднородным дифференциальным уравнением четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

(9.15)

- постоянные интегрирования, определяемые из условий на торцах цилиндра.

Рассмотрим в качестве примера длинную цилиндрическую оболочку, к одному из торцов которой () приложены изгибающий момент и поперечная сила , равномерно распределенные по окружности цилиндра. Схема нагружения показана на рисунке 9.6.

Рис 9.6

Так как поверхностной нагрузки нет, в решении (9.15) необходимо положить . Силовые факторы, приложенные на торце цилиндра , вызывают местный изгиб, затухающий с увеличением расстояния от торца. В силу этого в выражении функции прогиба (9.15) необходимо положить , так как множитель возрастает с ростом продольной координаты. Функция прогиба принимает следующий вид

(9.16)

Постоянные и необходимо определить из условий на загруженном торце оболочки. При :

Подставляя в полученные выражения из (9.16), определяем и .

,

Окончательное выражения для прогиба получается следующим

(9.17)

Максимальный прогиб получается на загруженном торце оболочки (при )

(9.18)

В качестве другого примера симметричной деформации круговой цилиндрической оболочки можно рассмотреть изгиб длинной цилиндрической оболочки под нагрузкой, равномерно распределенной по круговому сечению (рисунок 9.7).

Рис 9.7

Участок боковой поверхности оболочки под нагрузкой находится в условиях местного деформирования. Длина этого участка соизмерима с длиной зоны краевого эффекта . Если плоскость приложения нагрузки находится достаточно далеко от торцов цилиндра, то для каждой части оболочки справа и слева от нагрузки решать задачу можно отдельно, воспользовавшись решением (9.17) и отсчитывая продольную координату от плоскости нагружения. При этом в выражении функции прогиба в силу симметрии необходимо положить :

(9.19)

Для нахождения воспользуемся тем фактом, что вследствие симметрии нагружения оболочки при .

.

При :

, откуда получаем:

Окончательное выражение функции прогиба имеет вид

(9.20)

Максимальный прогиб получается под нагрузкой (при ) и его значение равно

(9.21)

Максимальный изгибающий момент также реализуется в плоскости нагружения

(9.22)

2. Несимметричная деформация.

Предполагается, что интенсивность распределенной нагрузки является произвольной функцией координат . Иногда в этом случае систему (9.8), (9.9) можно привести к одному уравнению. Соответствующим образом дифференцируя уравнение (9.9), приводим его к виду

, или

с учетом уравнения (9.8)

(9.23)

Решение задачи сводится к интегрированию уравнения восьмого порядка (9.23).

Безмоментные уравнения равновесия круговой цилиндрической оболочки

При определенных условиях оболочка деформируется таким образом, что изменения кривизны и кручения срединного слоя ее боковой поверхности не происходит (). В силу соотношения (3.6) изгибающие и крутящий моменты равны нулю (). Уравнения (9.8) и (9.9) в этом случае упрощаются

(9.24)

(9.25)

С учетом выражения функции усилий их можно записать иначе

(9.26)

(9.27)

Система (9.24), (9.25) - система безмоментных уравнений равновесия круговой цилиндрической оболочки.

Уравнения равновесия в этом случае можно записать и без введения функции усилий. Для этого необходимо использовать систему уравнений (9.2), дополненную уравнением (9.27)

Пример. Круговая цилиндрическая оболочка в условиях всестороннего равномерного обжатия.

Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку, торцы которой жесткими цилиндрическими фланцами. Оболочка находится под действием всестороннего нормального давления, интенсивности (рисунок 9.5).

Рис 9.5

В местах, удаленных от торцов оболочки, боковая поверхность деформируется без искривлений так, как это показано на рисунке. Ее можно считать находящейся в безмоментном состоянии. Вблизи края образуются искривления. Напряженное состояние в этой области моментное, а сама эта область называется зоной краевого эффекта. Ее длина . Все аксиальные сечения оболочки находятся в одинаковых условиях вследствие симметрии нагружения, поэтому внутренние усилия не зависят от дуговой координаты . Кольцевое усилие сразу получается из уравнения (9.27)

(9.28)

Поскольку , из второго уравнения (9.2) сразу получаем . Но мембранные усилия от дуговой координаты не зависят, поэтому . Величина определяется краевыми условиями. Если на торцах оболочки внешних сдвигающих усилий нет (как в данном примере), то . Тогда, из первого уравнения (9.2) следует, что . Величина легко определяется из анализа равновесия торцевого фланца оболочки. Полная внешняя нагрузка, действующая на фланец в направлении оси равна . Она уравновешивается соответствующим по направлению суммарным усилием , которое возникает в оболочке. Таким образом

 (9.29)

К соотношениям (9.28), (9.29) необходимо добавить выражение для сдвигающих усилий

(9.30)

Область применимости безмоментных уравнений довольно узка. Если участок боковой поверхности оболочки (или панели) удален от края и имеет постоянную или плавно изменяющуюся кривизну, нагрузка также постоянная или плавно меняющаяся, то с большой степенью точности можно использовать безмоментные уравнения

Рекомендуемая литература

1. Тимошенко С.П.,Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. ? М.:Государственное издательство физико-математической литературы. 1963. 635 с.

2. Доннел Л.Г. Балки, пластины и оболочки. - М. «Наука». 1982. 567 с.

3. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. ? М. «Наука». 1976. 512 с.

4. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. ? Киев. Издательство «Наукова думка». 1972. 507 с.

5. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. М.: Наука, 1968

6. Погорелов В.И. Строительная механика тонкостенных конструкций. Санкт-Петербург.:Изд-во БХВ-Петербург, 2007

7. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Издательство МГУ, 1969

Размещено на Allbest.ru