Физико-механические свойства композиционных материалов

b*B[1]-(7-4*nu[M])*b^3*B[2]/(1-2*nu[M])-2*B[3]/b^4+2*B[4]/b^2=b*D[1]-2*D[3]/b^4+2*D[4]/b^2;

lambda[M]*(21*b^2*B[2]-6*B[4]/b^3)+2*mu[M]*(B[1]-18*nu[M]*b^2*B[2]/(1-2*nu[M])+12*B[3]/b^5-2*(5-4*nu[M])*B[4]/((1-2*nu[M])*b^3))=-6*lambda*D[4]/b^3+2*mu*(D[1]-12*D[3]/b^5-2*(5-4*nu)*D[4]/((1-2*nu)*b^3));

mu[M]*(B[1]-(7+2*nu[M])*b^2*B[2]/(1-2*nu[M])+8*B[3]/b^5+2*(1+nu[M])*B[4]/((1-2*nu[M])*b^3))=mu*(D[1]+8*D[3]/b^5+2*(1+nu)*D[4]/((1-2*nu)*b^3));

перезапускаем Maple для того чтобы очистить память от имеющихся переменных:

restart;

with(LinearAlgebra):

задаем коэффициенты определяющие первое уравнение:

C[1,1]:=a/mu[M]:

C[1,2]:=-6*nu[I]*a^3/((1-2*nu[I])*mu[M]):

C[1,3]:=-a/mu[M]:

C[1,4]:=6*nu[M]*a^3/((1-2*nu[M])*mu[M]):

C[1,5]:=-3/(a^4*mu[M]):

C[1,6]:=-(5-4*nu[M])/((1-2*nu[M])*a^2*mu[M]):

C[1,7]:=0:

C[1,8]:=0:

задаем коэффициенты определяющие второе уравнение:

C[2,1]:=a/mu[M]:

C[2,2]:=-(7-4*nu[I])*a^3/((1-2*nu[I])*mu[M]):

C[2,3]:=-a/mu[M]:

C[2,4]:=(7-4*nu[M])*a^3/((1-2*nu[M])*mu[M]):

C[2,5]:=2/(a^4*mu[M]):

C[2,6]:=-2/(a^2*mu[M]):

C[2,7]:=0:

C[2,8]:=0:

задаем коэффициенты определяющие третье уравнение:

C[3,1]:=2*mu[I]/mu[M]:

C[3,2]:=3*a^2*(-7*lambda[I]+14*lambda[I]*nu[I]+12*mu[I]*nu[I])/((-1+2*nu[I])*mu[M]):

C[3,3]:=-2:

C[3,4]:=-3*a^2*(-7*lambda[M]+14*lambda[M]*nu[M]+12*nu[M]*mu[M])/(mu[M]*(-1+2*nu[M])):

C[3,5]:=24/a^5:

C[3,6]:=(2*(-3*lambda[M]+6*lambda[M]*nu[M]-10*mu[M]+8*nu[M]*mu[M]))/(a^3*mu[M]*(-1+2*nu[M])):

C[3,7]:=0:

C[3,8]:=0:

задаем коэффициенты определяющие четвертое уравнение:

C[4,1]:=mu[I]/mu[M]:

C[4,2]:=(7+2*mu[I]*nu[I])*a^2/((-1+2*nu[I])*mu[M]):

C[4,3]:=-1:

C[4,4]:=-(7+2*nu[M])*a^2/(-1+2*nu[M]):

C[4,5]:=-8/a^5:

C[4,6]:=(2*(1+nu[M]))/((-1+2*nu[M])*a^3):

C[4,7]:=0:

C[4,8]:=0:

задаем коэффициенты определяющие пятое уравнение:

C[5,1]:=0:

C[5,2]:=0:

C[5,3]:=b/mu[M]:

C[5,4]:=6*nu[M]*b^3/((-1+2*nu[M])*mu[M]):

C[5,5]:=3/(b^4*mu[M]):

C[5,6]:=(-5+4*nu[M])/((-1+2*nu[M])*b^2*mu[M]):

C[5,7]:=-3/(b^4*mu[M]):

C[5,8]:=b/mu[M]:

задаем коэффициенты определяющие шестое уравнение:

C[6,1]:=0:

C[6,2]:=0:

C[6,3]:=b/mu[M]:

C[6,4]:=-(-7+4*nu[M])*b^3/((-1+2*nu[M])*mu[M]):

C[6,5]:=-2/(b^4*mu[M]):

C[6,6]:=2/(b^2*mu[M]):

C[6,7]:=2/(b^4*mu[M]):

C[6,8]:=b/mu[M]:

задаем коэффициенты определяющие седьмое уравнение:

C[7,1]:=0:

C[7,2]:=0:

C[7,3]:=2:

C[7,4]:=3*b^2*(-7*lambda[M]+14*lambda[M]*nu[M]+12*nu[M]*mu[M])/(mu[M]*(-1+2*nu[M])):

C[7,5]:=-24/b^5:

C[7,6]:=-(2*(-3*lambda[M]+6*lambda[M]*nu[M]-10*mu[M]+8*nu[M]*mu[M]))/(b^3*mu[M]*(-1+2*nu[M])):

C[7,7]:=24*x/b^5:

C[7,8]:=2*x:

задаем коэффициенты определяющие восьмое уравнение:

C[8,1]:=0:

C[8,2]:=0:

C[8,3]:=1:

C[8,4]:=(7+2*nu[M])*b^2/(-1+2*nu[M]):

C[8,5]:=8/b^5:

C[8,6]:=-(2*(1+nu[M]))/((-1+2*nu[M])*b^3):

C[8,7]:=-8*x/b^5:

C[8,8]:=x:

строим исходную матрицу по заданным коэффициентам:

S:=Matrix(8,8,[[C[1,1],C[1,2],C[1,3],C[1,4],C[1,5],C[1,6],C[1,7],C[1,8]],[C[2,1],C[2,2],C[2,3],C[2,4],C[2,5],C[2,6],C[2,7],C[2,8]],[C[3,1],C[3,2],C[3,3],C[3,4],C[3,5],C[3,6],C[3,7],C[3,8]],[C[4,1],C[4,2],C[4,3],C[4,4],C[4,5],C[4,6],C[4,7],C[4,8]],[C[5,1],C[5,2],C[5,3],C[5,4],C[5,5],C[5,6],C[5,7],C[5,8]],[C[6,1],C[6,2],C[6,3],C[6,4],C[6,5],C[6,6],C[6,7],C[6,8]],[C[7,1],C[7,2],C[7,3],C[7,4],C[7,5],C[7,6],C[7,7],C[7,8]],[C[8,1],C[8,2],C[8,3],C[8,4],C[8,5],C[8,6],C[8,7],C[8,8]]]):

вводим формулы для модуля Юнга и констант Ламе, константу определяющую объемную долю включения:

E[I]:=2*mu[I]*(1+nu[I]):

E[M]:=2*mu[M]*(1+nu[M]):

lambda[I]:=-mu[I]*(2*mu[I]-2*mu[I]*(1+nu[I]))/(3*mu[I]-2*mu[I]*(1+nu[I])):

lambda[M]:=-mu[M]*(2*mu[M]-2*mu[M]*(1+nu[M]))/(3*mu[M]-2*mu[M]*(1+nu[M])):

a:=c^(1/3)*b:

исходная матрица с учетом подстановок:

simplify(S);

найдем определитель исходной матрицы и выделим элементы относительно x:

De:=Determinant(S)*c^(4/3)*b^5:

DeSimp:=simplify(De):

L:=collect(DeSimp, x):

введем обозначение, коэффициент A:

A:=collect(simplify(op(1,L)/x^2),c):

введем обозначение, коэффициент B:

B:=collect(simplify(op(2,L)/x),c):

введем обозначение, коэффициент C:

C:=collect(simplify(op(3,L)),c):

решим уравнение вида Ax^2+Bx+C=0, интересующий нас корень x=(-B+(B^2-4*AC)^(1/2))/(2*A) в символьном виде:

x:=(1/2)*(-B+sqrt(B^2-4*A*C))/A:

рассмотрим решение уравнения по коэффициентам заданным в [1]:

A:=8*(mu[I]/mu[M]-1)(4-5*nu[M])*eta[1]*c^(10/3)-(2*((63*(mu[I]/mu[M]-1))*eta[2]+2*eta[1]*eta[3]))*c^(7/3)+(252*(mu[I]/mu[M]-1))*eta[2]*c^(5/3)-25*(mu[I]/mu[M]-1)(7-12*nu[M]+8*nu[M]^2)*eta[2]*c+(4*(7-10*nu[M]))*eta[2]*eta[3]:

B:=-2*(mu[I]/mu[M]-1)(1-5*nu[M])*eta[1]*c^(10/3)+(2*((63*(mu[I]/mu[M]-1))*eta[2]+2*eta[1]*eta[3]))*c^(7/3)-(252*(mu[I]/mu[M]-1))*eta[2]*c^(5/3)+75*(mu[I]/mu[M]-1)(3-nu[M])*eta[2]*nu[M]*c+(3/2*(15*nu[M]-7))*eta[2]*eta[3]:

C:=4*(mu[I]/mu[M]-1)(-7+5*nu[M])*eta[1]*c^(10/3)-(2*((63*(mu[I]/mu[M]-1))*eta[2]+2*eta[1]*eta[3]))*c^(7/3)-(252*(mu[I]/mu[M]-1))*eta[2]*c^(5/3)+25*(mu[I]/mu[M]-1)(nu[M]^2-7)*eta[2]*c-(4*(7+5*nu[M]))*eta[2]*eta[3]:

eta[1]:=(49-50*nu[M]*nu[I])*(mu[I]/mu[M]-1)+35*mu[I]*(nu[I]-2*nu[M])/mu[M]+70*nu[I]-35*nu[M]:

eta[2]:=5*nu[I]*(mu[I]/mu[M]-8)+7*(mu[I]/mu[M]+4):

eta[3] := mu[I]*(8-10*nu[M])/mu[M]+7-5*nu[M]:

решим уравнение вида Ay^2+2*By+C=0, интересующий нас корень y=(-2*B+(4*B^2-4*AC)^(1/2))/(2*A) в символьном виде:

y:=(1/2)*(-2*B+sqrt(4*B^2-4*A*C))/A:

графики зависимости модуля сдвига от объемной доли включения для различных сред и наполнителей:

инвар:

mu[I]:=5500:

nu[I]:=.25:

плексиглас:

mu[M]:=148:

nu[M]:=.35:

plot([x*mu[M],y*mu[M]], c=0..1, color=[black,red], style=[line,line]);

plot([x*mu[M],y*mu[M]], c=0...1, color=[black,red], style=[line,line]);

plot([x*mu[M]], c=.9..1, color=[black], style=[line]);

plot([y*mu[M]], c=.9..1, color=[red], style = [line]);

сталь легированная:

mu[I]:=8000:

nu[I]:=.25:

бетон:

mu[M]:=1700:

nu[M]:=.1:

plot([x*mu[M],y*mu[M]], c=0..1, color=[black,red], style=[line,line]);

plot([x*mu[M],y*mu[M]], c=0...1, color=[black,red], style=[line,line]);

plot([x*mu[M]], c=.9..1, color=[black], style=[line]);

plot([y*mu[M]], c=.9..1, color=[red], style=[line]);

резина мягкая вулканизированная:

mu[I]:=.15:

nu[I]:=.49:

целлулоид:

mu[M]:=65:

nu[M]:=.39:

plot([x*mu[M],y*mu[M]], c=0..1, color=[black,red], style=[line,line]);

plot([x*mu[M],y*mu[M]], c=0...1, color=[black,red], style=[line,line]);

plot([x*mu[M],y*mu[M]], c=.7..1, color=[black,red], style=[line,line]);

Размещено на Allbest.ru