Біфуркаційний аналіз динаміки одномодових твердотільних лазерів (огляд)

Поведінка системи на фазовій площині при різних співвідношеннях між параметрами керування і наведена на рис. 5.2.

Як показує рис. 5.2а, в області 1 (див. рис. 5.1) на фазовій площині існує стійкий фокус . На лінії відбувається класична біфуркація Хопфа, коли утворюються граничні цикли на фазовій площині при будь-яких початкових умовах в околі центра, що раніше відповідав фокусу (рис. 5.2б). В області 2 (рис. 5.1) виникає єдиний стійкий граничний цикл (рис. 5.2в) - фокус стає нестійким і траєкторії, що починаються з нього, потрапляють на стійкий граничний цикл зсередини, а траєкторії, що починаються при великих початкових значеннях закручуються на цикл ззовні. Виходячи з області 2 через праву (верхню) границю, система зазнає біфуркаціі Хопфа (на лінії фазові портрети мають такий вигляд, як на рис. 5.2б).

Риc. - Біфуркаційна діаграма народження стійкого коливального випромінювання при (області 1 і 2 визначають режими затухаючих коливань та стійкого періодичного випромінювання)

Аналіз отриманих результатів показав [44], що змінюючи значення параметрів керування модулятором добротності можна перевести резонатор із стану затухаючого випромінювання у стан стійких коливань. Суттєво важливим є те, що модулятор має працювати як підсилювач сигналу (завдяки параметру ), що виходить із кристала, в якому утворюються фотонний потік, але підсилення такого сигналу обмежується параметром . При цьому система зазнає реверсивного переходу утворення стійкого коливального режиму у достатньо широкому діапазоні параметра підсилення.

Вибір інших модуляторів добротності

Наступною використовується кубічна залежність модулятора добротності від інтенсивності поля фотонів де - додатні параметри. Для цієї моделі отримаємо: .

У випадку біфуркаційного параметра елементи критерію стійкості набувають значень , , звідки . Підставлення одержаних значень до виразу (5.8) дозволяє отримати критерій стійкості періодичних коливань

,

тоді інтервал стійкості для параметра накачки набирає вигляду

. (5.12)

Умова існування інтервалу (5.12) приводить до нерівності , яка уточнює попередню для параметра керування .

У випадку біфуркаційного параметра : отримаємо , звідки , а інтервал стійкості для параметра накачки набирає вигляду

. (5.13)

Умовою існування інтервалу (5.13) є виконання нерівності , яка зводиться до нерівності , що уточнює попередню для параметра керування .

Наступним розглядається біквадратичний модулятор добротності з двома параметрами керування [45]: . Для цього випадку знайдено .

При біфуркаційному значенні елементи критерію стійкості можна записати так: . З останньої нерівності випливає обмеження: . Підставлення одержаних значень елементів до залежності (5.8) дозволяє знайти інтервал стійкості для параметра накачки

, (5.14)

звідки випливає умова його існування . Остання нерівність зводиться до квадратної нерівності відносно невідомої :

,

яка виконується для значень з інтервалу , де , . Звідси можна знайти інтервал стійкості для параметра керування :

. (5.15)

Для біфуркаційного значення отримаємо , , звідки . Для параметра накачки знайдено інтервал стійкості

, (5.16)

який існує за умови виконання нерівності . Умова існування інтервалу (5.16) зводиться до квадратної нерівності відносно :

.

Розв'язання квадратної нерівності дозволяє знайти інтервал стійкості для параметра керування :

. (5.17)

Приклад розрахунків елементів граничного циклу.

Аналітичні залежності, що знайдено в результаті біфуркаційного аналізу моделі, дають можливість проводити розрахунки елементів граничного циклу. При квадратичному модуляторі добротності у випадку біфуркаційного параметра показник Флокке (5.8), від'ємність якого відповідає стійкості періодичних коливань, набуває таких значень

.

Оскільки множник змінний за величиною, але завжди додатний, то знак визначається лише знаком виразу . Однак визначення амплітуди коливань вимагає врахування знакосталих множників. У випадку для забезпечення стійкості періодичних коливань параметр керування повинен набувати значень з інтервалу . Остаточно вибір параметру визначається рівнем параметра накачки. З залежності (5.10) випливає, що збільшення параметра приводить до зменшення верхньої межі максимального значення параметра накачки, а отже, і до зменшення потужності випромінювання лазера. На основі цих міркувань для параметра вибрано інтервал зміни . За формулою (5.10) обчислюється верхня межа параметра накачки, а нижня визначається умовою збудження генерації . Запас стійкості періодичної генерації визначається ще двома множниками та , добуток яких утворює число порядку . За результатами розрахунків для побудовано графіки залежностей параметра накачки та критерію стійкості від параметра керування (рис. 5.3), які демонструють, що стійкість випромінювання зростає в міру зменшення параметра накачки.

У випадку біфуркаційного параметра показник Флокке (5.8) набирає вигляду

,

додатність чи від'ємність якого визначається виразом , оскільки . Запас стійкості періодичної генерації визначається значенням . За результатами розрахунків для верхньої межі параметра накачки та значення критерію побудовано графіки залежностей і від параметра керування (рис. 5.4). Дані розрахунків свідчать про протилежну залежність: стійкість випромінювання зменшується в міру зменшення параметра накачки.

Для кубічного модулятора добротності у випадку біфуркаційного параметра показник Флокке (5.8) набирає вигляду

.

Якщо , то для забезпечення стійкості періодичних коливань параметр керування повинен задовольняти нерівність: . Графіки залежностей параметрів накачки та критерію стійкості від параметра керування представлені на рис. 5.5.

У випадку біфуркаційного параметра показник Флокке (5.8) набирає вигляду

.

Графіки залежностей параметра і критерію стійкості від параметра керування наведені на рис. 5.6, що засвідчує спадання стійкості за типом релаксаційних коливань малої амплітуди.

У випадку біквадратичного модулятора добротності для біфуркаційного параметра показник Флокке (5.8) набуває значення

У цьому випадку вибором за формулою (5.15) визначається інтервал зміни параметра , за формулою (5.14) знаходяться нижня та верхня межі параметра накачки. Результати розрахунків інтервалів стійкості для параметра накачки , значення множника залежно від параметра для наведено в табл. 5.1.

Таблиця 5.1 - Залежність параметра накачки та критерію стійкості від параметра керування

Дані таблиці показують, що при , тоді критерій стійкості набуває від'ємного значення незалежно від параметра накачки та стаціонарного розв'язку (точка абсолютної стійкості) та набирає максимального значення за абсолютною величиною.

У випадку біфуркаційного параметра показник Флокке має вигляд

Розрахунок елементів починається з визначення інтервалу для параметра керування за формулою (5.17). Результати розрахунків показують, що при елементи граничного циклу набувають значень: , , множник стає від'ємним незалежно від та . У цьому випадку не має обмеження, критерій набуває максимального значення за абсолютною величиною.

Графіки залежностей абсолютних величин критеріїв стійкості періодичної генерації від параметрів керування наведено на рис. 5.7, рис. 5.8. Аналіз графіків показує, що множники мають дві точки максимуму та одну точку мінімуму, а в коренях цих множників стійка генерація випромінювання переходить в нестійку. Оскільки кожне визначає свій інтервал зміни параметра керування, то існує множина інтервалів стійкості, які відокремлені один від одного інтервалами нестійкості.

Рисунок 5.4 - Залежності параметра накачки (крива 1), критерію стійкості (крива 2) від параметра керування

Рисунок 5.5 - Залежності параметра накачки (крива 1), критерію стійкості (крива 2) від параметра керування

Рисунок 5.6 - Залежності параметра накачки (крива 1), критерію стійкості (крива 2) від параметра керування

Рисунок 5.7 - Залежність критерію стійкості періодичної генерації від параметра керування

Рисунок 5.8 - Залежність критерію стійкості періодичної генерації від параметра керування

Отримані аналітичні залежності дозволяють вивчати вплив параметрів лазера на його динаміку. Для з'ясування впливу параметра на довжину інтервалу стійкості для параметра накачки необхідно знайти похідні по змінній від правих кінців інтервалів (5.10), (5.11), (5.12) - (5.14), (5.16). Зокрема, для квадратичного модулятора добротності у випадку біфуркаційного параметра маємо: . Оскільки , то похідна додатна, звідки випливає, що зростання параметра приводить до збільшення довжини інтервалу стійкості для параметра накачки . У випадку біфуркаційного параметра можна записати: , оскільки . Таким чином, зростання параметра приводить до збільшення інтервалу стійкості і в цьому випадку. У випадку кубічного та біквадратичного модуляторів добротності зростання параметра також приводить до збільшення інтервалу стійкості для параметра накачки.

При проведенні біфуркаційного аналізу динамічної моделі (5.3) отримано залежності, що не містять параметра , оскільки параметр був поданий як функція решти параметрів. Ця обставина, з одного боку, полегшила знаходження критерію стійкості та інтервалів стійкості, а з іншого стала на перешкоді вивченню впливу параметра на динаміку випромінювання фотонів в періодичному режимі. У роботі [46] було застосовано інший підхід, що дозволило вивчити вплив сумарного параметра на динаміку генерації. Зокрема, встановлено, що збільшення параметра приводить до зменшення частоти модуляції , збільшення періоду коливань . Показано, що зростання приводить до зменшення інтервалу стійкості параметрів керування. Параметр має протилежний вплив, а саме його збільшення приводить до збільшення інтервалу стійкості параметрів керування. Однак, вплив параметра значно менший ніж параметра , оскільки обмеження накладені на модель (5.3) роблять його величину порядку . Крім того, зростання параметра приводить до збільшення параметра накачки, при якому можливий стаціонарний розв'язок системи (5.3).

Побудова розв'язку динамічної моделі

Згідно з алгоритмом біфуркації народження циклу за формулами (3.4) - (3.7) знаходяться його елементи. Врахування значень зазначених елементів та матриці перетворення системи дозволяє отримати періодичний розв'язок динамічної системи:

(5.18)

Аналіз виразу (5.18) показує, що розв'язок містить елемент , який залежить від параметрів керування. Отже, вибір параметра керування істотно впливає і на сам розв'язок. Наприклад, як показано у [46], у випадку біквадратичного модулятора при періодична генерація є стійкою для будь-яких . Одночасно сам розв'язок набирає найпростішого вигляду

. (5.19)

Цей факт можна використати для дослідження динаміки лазера за межами інтервалів стійкості деяких параметрів, що становить окрему проблему [47, 48]. Розв'язок (5.19) в квадратичному наближенні за параметром набирає вигляду

, ,

де ; ;

; .

Аналітичний вигляд граничного циклу може бути поданий у вигляді

,

де .

Важливим результатом біфуркаційного аналізу системи (5.3) є знаходження першого наближення до невідомої частоти модуляції яку називають частотою Рабі [10]. Частота Рабі для класичної моделі Статца-Демарса визначається як [10]. У роботі [46] показано, що частота Рабі для моделі Статца-Демарса є частковим випадком одержаної формули. Зокрема, для квадратичного модулятора добротності отримано

. (5.20)

Для класичної моделі Статца-Демарса [10] за відсутності модулятора добротності , ,, тому , . При цих значеннях параметрів частота (5.20) набирає вигляду , тобто, є частотою Рабі класичної моделі.

Зазначений результат залишається правільним для випадку всіх трьох моделей. Зокрема, у випадку біквадратичного модулятора добротності рівняння (5.4) зводиться до залежності , тоді частота набирає вигляду

. (5.21)

Оскільки у випадку класичної моделі , то з формули (5.21) випливає, що . Враховуючи додатність величини (5.21), можна отримати інший вигляд умови модуляції . Для моделі Статца-Демарса остання нерівність зводиться до нерівності , тобто умова модуляції переходить в умову генерації випромінювання класичної моделі.

Таким чином, у результаті проведення біфуркаційного аналізу балансної моделі встановлено, що внесення в резонатор твердотільного лазера модулятора добротності викликає стійку амплітудну модуляцію випромінювання при біфуркаційному значенні параметра керування модулятором добротності. Теоретично підтверджено експериментальні факти існування багатьох порогів стійкості для параметра накачки, продемонстрована наявність достатньо широких інтервалів змінювання біфуркаційного параметра для забезпечення стійкого режиму періодичної генерації. Знайдено аналітичні оцінки біфуркаційних порогів, з'ясовано умови стійкості періодичної генерації. Одержано періодичні розв'язки для інтенсивності випромінювання та інверсної заселеності рівнів. Запропоновано методику розрахунку елементів граничних циклів.