Основы специальной теории относительности и релятивистская механика

Брэдли объяснил открытую им в 1728 г. аберрацию неподвижных звёзд на основе корпускулярной теории света. В 1804 г. Юнг показал, однако что аберрацию можно объяснить и на основе волновой теории света. При этом Юнг сделал следующее предположение. Земля и все тела на Земле пронизаны, пропитаны эфиром, но при движении Земли и тел на её поверхности они не могут этот эфир увлечь за собой или сколь-либо существенным образом его возмутить. Поэтому возникает “эфирный ветер”, пронизывающий все тела на движущейся Земле. Тела не способны задерживать эфир, как “неспособны удерживать ветер кроны деревьев”, как писал Юнг.

Таким образом, световые волны, идущие от звезды, не будут принимать участия в движении телескопа, и если считать что телескоп направлен на истинное положение звезды, а Земля, для простоты, пусть движется перпендикулярно направлению на звезду, то изображение звезды будет смещено от центрального перекрестья в фокусе на расстояние, равное тому, которое пройдет Земля за время, пока свет будет идти через трубу телескопа.

На рисунке MN = ct, KN = vt, где t - время, требующееся свету, чтобы пройти через трубу телескопа. Таким образом, угол аберрации

Здесь рассматривается для простоты случай, когда направление движения Земли составляет точно прямой угол с направлением на звезду.

В земных условиях скорость света сумели измерить только в середине XIX в. Это сделали Физо (1849 г.) и Фуко (1865 г.) двумя различными методами (с использованием быстро вращающегося зубчатого колеса и с использованием быстро вращающегося многогранного зеркала), при этом было подтверждено значение скорости света c = 300000 км/с, полученное астрономическим методом.

Теория Френеля частичного увлечения эфира движущимся телом и его теория аберрации. Опыты Араго и Физо.

Аберрационной константой называется отношение v/c, скорости v Земли на орбите (v=30 км/с) к скорости c света в пустоте (c=300000км/с).Она очень мала :

Вопрос о том, преломляются ли по-разному стеклянной призмой лучи, идущие от звезды и от земного источника, был поставлен в первой четверти XIX в. Араго. Рассуждения его были следующие. Так как Земля движется в неподвижном эфире со скоростью v, то скорость света, идущего от звезды, в стекле призмы при приближении к звезде будет c - v, а при удалении от звезды (через полгода) будет c + v. Таким образом, показатель преломления n призмы, через которую наблюдается звезда, для света звезды должен в течение года периодически изменяться от значения n ( c - v ) до значения n ( c + v ), а потому луч от звезды должен периодически отклоняться от своего начального положения и по прошествии года должен возвращаться в свое начальное положение.

Араго в 1810 г. произвёл такой эксперимент со стеклянной призмой, направленной на определенную звезду. Он наблюдал преломление луча света звезды в призме, когда Земля двигалась к звезде (через полгода), когда Земля удалялась от звезды. Араго ожидал получить угловое смещение 2`. Но получил отрицательный результат - никакого смещения не было. Так он пришёл к заключению, что преломление в движущейся призме идентично преломлению в покоящейся призме.

Получив такой результат, Араго обратился к Френелю с просьбой объяснить его. В письме к Араго от 1818 г., опубликованном во французском научном журнале в том же 1818 г., Френель не только нашел объяснение отрицательного результата опыта Араго, но и сделал принципиально новый шаг в теории аберрации. Фактически с этого письма Френеля начинается вся оптика движущихся сред. Френель поставил более широкий вопрос - как влияет движение Земли на оптические явления на Земле? Аберрация, таким образом, у Френеля перестала быть изолированным астрономическим оптическим явлением, требующим для своего объяснения особых рассуждений.

Френель сразу отказался от объяснения опыта Араго тем, что эфир полностью увлекается Землёй, так как тогда, как пишет Френель, невозможно объяснить явление аберрации, ибо её объяснение он видел, следуя Юнгу, в том, что эфир не увлекается движущейся Землёй.

В отличие от Юнга Френель, однако, предположил, что Земля сообщает пропитывающему и окружающему её эфиру очень малую часть своей скорости (очень “пористая” Земля “частично” увлекает эфир). С помощью этого предположения Френель объяснил удовлетворительным образом не только аберрацию звёзд, но также и опыт Араго и все другие оптические явления, связанные с движением Земли.

Френель принял фактически две следующие гипотезы:

1) Различие скоростей света в стекле призмы и в окружающем её неподвижном эфире происходит исключительно из-за различия плотности эфира , пронизывающего тело призмы, и плотности эфира , находящегося вне призмы, так чтогде -показатель преломления стекла призмы. Упругость эфира вне призмы и внутри неё Френель посчитал одинаковой. Таким образом, он пришёл к соотношению

2) Далее Френель посчитал, что движущаяся в неподвижном эфире призма увлекает с собой не весь эфир, её пропитывающий, а только его часть, которая является избытком плотности эфира над плотностью эфира в пустом пространстве, т.е. плотность эфира, переносимого призмой равна

Френель предположил, что когда движется только часть такой комбинированной среды, а другая её часть покоится, скорость волны в среде, распространяющейся в направлении движения среды, увеличивается на скорость движения центра масс комбинированной системы, составленной из покоящейся и движущейся частей среды, т.е. в нашем случае увеличивается на величину таким образом, имеем формулу увеличения:Коэффициентв этой формуле называется “коэффициентом увеличения”.

Здесь -это скорость движения эфира, заключённого в объёме движущегося со скоростью тела; скорость эфира в теле , как было бы, если бы эфир совсем не увлекался движущимся, и скорость эфира в теле , как было бы, если бы эфир полностью увлекался движущимся телом.

Френель убедился в справедливости своей формулы в частных предельных случаях. Эта формула очевидно верна, когда плотность увлекаемой части эфира равна нулю, - тогда , так как по формуле

Формула очевидно также верна и тогда, когда весь эфир увлекается; тогда , так как по формуле

Фактически, как мы видим, Френель попросту угадал свою формулу увлечения, предположив простую экстраполяционную линейную зависимость для увеличения скорости волны в среде от степени увлечения среды.

Стокс в 1846 г. вывел формулу увлечения Френеля из следующей физически разумной модели. Он предположил, что при движении прозрачного тела через неподвижный эфир, входящий в тело эфир, при проходе через переднюю границу движущегося тела, скачком увеличивает свою плотность от плотности в пустом пространстве до плотности внутри тела, причём в системе отсчёта, в которой тело покоится, на переднюю границу тела, которая считается для простоты плоской, в единицу времени на единицу площади натекает масса эфира , а вытекает из неё масса эфира , где -относительная скорость движения эфира относительно тела (если -абсолютная скорость движения тела, -абсолютная скорость движения эфира, заключённого в теле, то

Так как эфир на рассматриваемой границе тела не накапливается и не исчезает с течением времени, тоа следовательно,

Возвратимся к рассуждению Френеля. Следуя Френелю, рассмотрим теперь стеклянную призму на поверхности Земли с прямым углом при вершине и углом при вершине . Пусть эта призма движется вместе с Землёй в неподвижном эфире с постоянной скоростью в направлении слева направо. Пусть на её грань нормально падает плоская световая волна с фронтом , идущая от далёкой звезды, расположенной на горизонте. На передней грани призмы, входя в стекло, волна не преломляется, так как падает на эту грань нормально. Она преломляется при выходе из стекла на задней грани призмы.

На рисунке изображено два положения призмы и в два разных момента времени, скажем, в нулевой момент времени и в момент времени за которое фронт волны как раз продвинулся из положения в положение , изображенное на рисунке.

Обозначим через - скорость световой волны в неподвижном эфире и через - скорость световой волны в неподвижной призме. Тогда, согласно волновой теории света, показатель преломления стекла призмы равен

Согласно гипотезе Френеля о частичном увлечении эфира, скорость света в движущейся призме равна

Найдем значение угла , на который отклоняется фронт (или луч) света от звезды, проходя через движущуюся призму .

Рассматривая прямоугольные и с общей гипотенузой , для отрезков и получаем очевидные соотношения:Таким образом,

Вычислим теперь отрезки и по-другому. Очевидно из рисунка, что имеем следующие простые соотношения:Из приведённого чертежа имеем, кроме того, также следующие соотношения: где - угол поворота фронта волны после прохождения его через призму. Таким образом,Учтём теперь, чтои что при малых имеем приближённое равенствопри этом, считая отношение малым, мы заменили угол , на угол , его значение при . Учтём, кроме того, что при малой разности имеем приближённое равенство

Приходим, таким образом, к следующему приближённому уравнению для определения угла :При и очевидно отсюда имеем соотношениесправедливое для неподвижной призмы, которое позволяет сократить в вышеприведённом уравнении члены нулевого порядка в обеих частях приведённого равенства. Тогда окончательно придём к уравнениюПреобразуем выражение, стоящее в правой части. Очевидно, что

Таким образом, приходим к уравнениюкоторое позволяет вычислить угол отклонения луча от звезды, движущейся со скоростью , призмой, если известен угол отклонения для этого луча покоящейся призмой.

В качестве луча, отклонение которого мы рассмотрим, возьмём луч , изображённый на рисунке. Как видим, угол преломления в движущейся призме всегда несколько меньше угла преломления в покоящейся призме.

Проследим теперь за дальнейшей судьбой луча после выхода его из призмы. Этот луч света, вышедший из призмы, движущейся вместе с Землёй, из-за движения Земли, попадёт на экране, тоже движущемся, как и призма, со скоростью , не в точку , а в точку , которая определяется из условия, что за время, пока свет распространится от точки до точки , двигаясь со скоростью , точка попадёт в точку , двигаясь со скоростью .

Таким образом, если -время распространения света от точки до точки , то



Рассмотрим теперь косоугольный C₁KN и применим к нему теорему синусов. Получим соотношение:

следовательно:

Учитывая, что , получаем:

.

Как видим, для определения угла получили в точности такое же уравнение, как и уравнение для определения . Следовательно мы должны заключить, что .

Итак, мы рассчитали положение точки K на экране, в которую падает луч света от звезды, учитывая и эффект частичного увлечения эфира движущейся призмой и эффект аберрации. Оба эти эффекта в точности скомпенсировали друг друга, т.к., как это непосредственно видно из чертежа, в точку K наш луч от звезды попадет и в том случае, когда призма и экран покоятся. Действительно, отрезок C₁K перпендикулярен “мнимому” фронту волны, отклоняющемуся в призме на угол .

Видим, что движение Земли в первом порядке по константе аберрации не оказывает никакого влияния на преломление света от звезды.

Френель из своей формулы частичного увлечения эфира вывел еще одно интересное следствие. Если трубу телескопа наполнить водой, то наличие воды в телескопе никак не будет влиять на величину аберрации.

Произвести измерение угла аберрации с помощью телескопа, труба которого наполнена водой, предложил Бошкович (1711-1787), горячий сторонник идей Ньютона и их неустанный проповедник в Италии. Такой опыт был произведен, однако, только в 1871 г. Эйри(1801-1892). Опыт подтвердил, в согласии с теорией Френеля, что угол аберрации для наполненной трубы остается таким же, как и для пустой.

Как свидетельствует Майкельсон, “внимание физиков впервые было обращено на влияние действия среды на скорость света в связи с опытом Эйри”.

Изложим теперь, следуя Лоренцу, рассуждение Френеля, объясняющее, почему заполнение трубы телескопа водой не изменяет значения угла аберрации.

Телескоп для простоты заменим примитивным оптическим прибором без линз, позволяющим, тем не менее, определить направление на звезду. Этот прибор пусть состоит из экрана ab с отверстием AB и расположенного за ним параллельно экрана ef. По взаимному расположению светлого пятна EF на экране ef и отверстия AB можно судить о направлении на звезду.

Оба этих экрана, разумеется, неподвижны относительно друг друга. Пусть прибор находится на Земле, движущейся с постоянной скоростью , скажем, в направлении слева направо.

Френель предполагает, что эфир неподвижен в межпланетном пространстве и что Земля и прибор никак не увлекают его своим движением. Это значит, что в системе отсчета, жестко связанной с Землей и прибором, эфир натекает на прибор однородным сплошным потоком с постоянной скоростью справа налево и сносит своим движением любое имеющееся в нем световое возмущение.

Ограничимся рассмотрением звезды, расположенной точно в полюсе эклиптики. Свет от такой звезды представляет собой у поверхности Земли практически неограниченную плоскую волну, которая падает перпендикулярно на отверстие AB, вырезающее ограниченно малую часть волнового фронта.

В течение времени , пока образованный отверстием AB фронт ограниченных размеров (изображаемый на рисунке отрезком AB) распространится в эфире по вертикальному направлению вниз и достигнет экрана ef, он будет постоянно сносится движением эфира в горизонтальном направлении, справа налево, так что в конце интервала времени фронт AB попадет на место EF экрана. При этом вырезанный экраном пучок света ABEF окажется наклоненным к вертикальному направлению на некоторый угол , который и является углом аберрации. При этом , где -- скорость света в неподвижном эфире, , где -- скорость движения Земли, так что

Отношение очень мало, примерно 10^-4.

Обратим внимание, что кажущееся направление на звезду (которое только и наблюдается с помощью телескопа или описанного примитивного прибора) определяется не направлением волновой нормали, которая перпендикулярна фронту волны и направлена перпендикулярно вниз по прямой , а направлением луча, т.е. направлением прямой и характеризует наклон образованного отверстием светового пучка , по отношению к вертикальному направлению.

Лоренц определяет лучи, как прямые, которые показывают, каким образом световые пучки ограничены сбоку (дифракцией полностью пренебрегается).

Изменим теперь немного конструкцию нашего примитивного оптического прибора, используемого для определения направления на звезду. Возьмем снова два параллельных экрана и , верхний снова с отверстием , но теперь заполним нижнюю часть прибора -- между плоскостями и -- плоско-параллельным слоем некоторой прозрачной среды, например, водой, с показателем преломления , где -- скорость света в неподвижном эфире, -- скорость света в неподвижном стекле. Снова возьмем свет, приходящий на Землю от звезды, расположенной точно в полюсе эклиптики, и снова все рассмотрение будем в системе отсчета, жёстко связанной с Землей и прибором, в которой эфир однородным сплошным потоком натекает на прибор справа налево со скоростью .

Из практически бесконечного фронта плоской световой волны, приходящей на Землю от рассматриваемой звезды, отверстие вырежет малую часть . Ограниченное в первый момент времени краями отверстия световое возмущение дальше, -- между экраном и поверхностью среды , -- распространяется в эфире, движущемся справа налево однородным сплошным потоком со скоростью . Поэтому образуется световой пучок , наклоненный к вертикали под очень малым углом аберрации

как мы это объяснили выше.

Определим теперь наклон светового пучка в прозрачной среде, который образуется из светового пучка . Если бы движение эфира через прозрачную среду отсутствовало, то мы имели бы пучок , имеющий угол наклона к вертикали, определяемый из закона Снеллиуса:

;

считая, что угол , а следовательно и угол очень малы. Таким образом, для длины отрезка имеем выражение

если предположить, что -- толщина слоя прозрачной среды в приборе. Движение эфира через прозрачную среду, однако, происходит. Согласно гипотезе частичного увлечения эфира прозрачным телом, эфир протекает через плоскопараллельный слой прозрачной среды справа налево горизонтальным непрерывным сплошным потоком, движущемся со скоростью

;

она меньше скорости движения Земли, которую эфир имел бы, если бы он не увлекался прозрачной средой. Вследствие переносного движения, фронт волны , распространяющийся в прозрачной среде вертикально вниз до экрана со скоростью -- скоростью света в среде -- за время

,

при попадании на экран будет снесен в горизонтальном направлении влево на расстояние

Получили для отрезка тот же результат, что и выше, когда делали предположение, что движение эфира отсутствует.

Таким образом мы должны сделать вывод, что движение рассматриваемого оптического прибора вместе с Землей со скоростью сквозь неподвижный эфир никак не сказывается на ходе лучей в нем; закон преломления остается таким же. Луч, приходящий от звезды, ведет себя в точности так же, как и луч такого же направления, идущий от земного источника.

1.6 Геометрическая оптика неоднородной прозрачной среды, пронизываемой движущимся через нее эфиром. Теорема Лоренца

Свою оптико-геометрическую теорию движущихся вместе с Землей оптических приборов Лоренц развил в 1886 г. с целью объяснения следующих трех к тому времени уже твердо установленных опытных фактов:

существует явление астрономической аберрации положений звезд, заключающееся в том, что звезды в течение года описывают на небе маленькие эллипсы (переходящие в окружности для звезд, находящихся вблизи полюса эклиптики, и дважды покрытые отрезки для звезд, находящихся вблизи экватора эклиптики);

свет от любой звезды, фиксируемый на Земле как свет, приходящий по определенному направлению и определенной частоты, будучи использованным в любых оптических экспериментах -- по отражению, по преломлению, по интерференции и т.д., ведет себя в точности так же, как и свет от земного источника, распространяющийся по тому же направлению и обладающий той же частотой;

ни в одном оптическом эксперименте, который можно произвести с земным источником света, нельзя наблюдать никакого эффекта, связанного со скоростью движения Земли на ее орбите вокруг Солнца, если ограничиться членами первого порядка малости по , где -- скорость света в пустоте.

Любой как угодно сложный оптический прибор, содержащий линзы, призмы, щели, диафрагмы и т.д., можно считать кусочно однородной средой (т.е. средой, состоящей из пространственных областей с разными показателями преломления). Будем, однако, следуя Гамильтону, полагать, что имеем дело не с такой специфической кусочно-однородной, а с произвольной оптически неоднородной средой, оптические свойства которой характеризуются заданной функцией локального показателя преломления , где -- показатель преломления в точке среды с координатами .

Среду будем считать твердой, прозрачной, неподвижной и жестко связанной с Землей, движущейся сквозь эфир, покоящийся в мировом пространстве.

Лоренц проводит рассуждение в декартовой прямоугольной системе координат , жестко связанной со средой и с Землей. При этом он предполагает, что Землю и прозрачную среду пронизывает “эфирный ветер”, характеризующийся стационарным (не зависящим от времени) полем скоростей .

Таким образом Лоренц берет развитую им самим обобщенную формулировку принципа Гюйгенса, учитывающую, что эфир движется относительно прозрачной среды, в которой мы исследуем распространение световых волн, т.е. что в среде имеется эфирный ветер.

Как при формулировке обычного принципа Гюйгенса, для неподвижного эфира, возьмем два бесконечно близких положения волнового фронта, или фронта волны, распространяющейся в покоящейся относительно Земли, но движущейся относительно мирового пространства среде, увлекающей с собой частично эфир, в два бесконечно близких момента времени t и t+dt. Пусть эти положения характеризуются двумя геометрическими поверхностями S и S¹.

Чтобы исходя из поверхности волнового фронта S построить поверхность волнового фронта S¹, надо взять каждую точку P на поверхности S и мысленно испустить из этой точки в момент времени t т.е. взять бесконечно малую поверхность около точки P, до которой к моменту времени t+dt это возмущение дошло. Такую поверхность назовем фронтом элементарной волны. На приведенном рисунке кривая ab изображает часть поверхности фронта элементарной волны, испущенной из точки P, рассматриваемой в момент времени t+dt.

Согласно принципу Гюйгенса, поверхность S¹,будет геометрической огибающей поверхностью фронтов всех элементарных волн, построенных для всех точек P поверхности S.

Одновременно с построением положения последующего фронта волны мы узнаем и дальнейший ход всех лучей. Прямой отрезок, проведенный из точки P на поверхности P, являющейся центром испускания элементарной волны, в точку P¹, расположенную на поверхности S¹ и являющуюся точкой касания этой элементарной волной огибающей поверхности S, является элементом луча. Один из элементов луча изображен отрезком PP¹ на рисунке.

Точки P и P¹, принадлежащие соответственно поверхностям S и S¹ и являющиеся началом и концом одного и того же элемента луча, называются сопряженными точками.

При помощи геометрического построения Гюйгенса можно найти последовательные положения S, S¹,S¹¹,... фронта распространяющейся волны и последовательные элементы PP¹,P¹P¹¹,P¹¹P¹¹¹,... любого луча. Каждый такой луч проходит через ряд сопряженных точек, следующих одна за другой через бесконечно малые расстояния.

В случае отсутствия в среде эфирного ветра каждая из рассмотренных бесконечно малых элементарных волн представляет собой бесконечно малую сферу радиуса c₁t, с центром, расположенным в соответствующей точке P, где c₁ - локальная скорость света в точке P среды. Для неоднородной среды скорость света является заданной функцией с₁=с₁(x,y,z) точки среды и поэтому различные элементарные волны будут иметь разные радиусы, см. рис.

В случае наличия в среде эфирного ветра элементарные волны тоже являются бесконечно малыми сферическими поверхностями, но эти поверхности теперь непрерывно сносятся движением эфира, и поэтому центры их в момент времени t+dt располагаются не в точках P испускания волн, а в бесконечно мало сдвинутых точках Q, которые находятся на бесконечно малых, прямолинейных отрезках PR, вдоль точки P эфира перемещаются при его движении за интервал времени t, t+dt. Отрезок PR имеет длину v·dt, где v - скорость эфира в точке P и он направлен вдоль вектора скорости v эфирного ветра в этой точке P. Радиусы сфер элементарных волн, однако, все равно равны c₁·dt, как в неподвижной среде, см. рис.

Точка Q может находиться и в начале (Q=P), и в конце (Q=R) отрезка PQ, а также может лежать и внутри этого отрезка. Соответственно Лоренц пользуется одной из следующих гипотез.

а) Если Q=P, то эфир не увлекается движущейся средой.

б) Если Q=P, то эфир полностью увлекается движущейся средой.

в) Если PQ=(1/n²)PR, то эфир частично увлекается движущейся средой; здесь n - локальный показатель преломления для неподвижной среды в точке P.

Рассмотрим теперь важный частный случай движения Земли и прозрачной Среды, когда они движутся в мировом пространстве поступательно равномерно прямолинейно вдоль некоторого направления с некоторой постоянной скоростью v.

Длина отрезка PQ теперь равнапричем направления отрезков PR и скорости v во всех точках P будут одинаковы.

Для частного случая поступательного равномерного прямолинейного движения Земли и прибора сквозь мировой эфир Лоренц доказал следующую замечательную теорему.

Теорема Лоренца. С точностью до членов первого порядка включительно по отношению скоростей v/c, где v - поступательно равномерного прямолинейного движения оптического прибора через неподвижный эфир, с - скорость света в пустоте, геометрический ход лучей в оптическом приборе не зависит от движения среды.



Приступим к доказательству сформулированной теоремы. Рассмотрим ход лучей в приборе относительно декартовых прямоугольных осей координат Oxyz, жестко связанных с ним. Прибор движется равномерно прямолинейно поступательно с постоянной скоростью v через неподвижный эфир.

Обратимся еще раз к рассмотренному выше рисунку. Обозначим РP¹PQ между направление светового луча, исходящего из точки P, и направлением движения среды - через q, см. рис.

На рисунке полупрямая QP направлена вдоль направления эфирного ветра. Согласно теореме косинусов, примененной к DP¹PQ, имеем следующее соотношение. Отрезок P¹Q, согласно лоренцеву принципу Гюйгенса, равен c₁·dt, где c₁ - локальная скорость света в точке P. Отрезок PQ, согласно тому же принципу, равен k·v·dt, где k=1/n², n - локальный показатель преломления в точке P, v - скорость эфирного ветра. Отрезок PP¹ равен с₁^дв·dt, где с₁^дв - локальная скорость света в точке P для Среды с эфирным ветром. Таким образом, приведенное соотношение можно представить в следующем виде:

или в виде квадратного уравнения из которого можно определить скорость с₁^дв. Решая это квадратное уравнение получимочевидно перед корнем надо взять знак плюс, иначе получили бы отрицательное значение для скорости с₁^дв. Считая скорость v движения среды через неподвижный эфир или, что то же самое, скорость эфирного ветра малой по сравнению со скоростью света с и разлагая корень в ряд по малости v², имеемСледовательно, с точностью до членов третьего порядка малости по v/c получаем приближенную формулу. Из этой формулы сразу выведем еще одну приближенную формулу, которая нам понадобится в дальнейшем: или справедливо с точностью ло членов порядка малости v³/c³₁.

Определив, с помощью лоренцева обобщенного принципа Гюйгенса, скорость с₁^дв распространения света по лучу для поступательно равномерно прямолинейно движущейся прозрачной среды, воспользуемся теперь принципом Ферма для определения хода лучей в оптическом приборе, жестко связанном с движущейся Землей и перемещающимся вместе с ней. Согласно принципу Ферма, для истинного пути L светового луча, выходящего из какой-то фиксированной точки А и приходящего в другую фиксированную точку В, криволинейный интеграл представляющий собой время распространения света по лучу, должен принять минимальное значение. Здесь ds - длина элемента дуги кривой ALB.

Пренебрегая членами второго порядка малости v²/c²₁ в вышеприведенной формуле для 1/ с₁^дв, получаем следующую простую формулу для времени t для любого мысленно воображаемого пути ALB:

Множитель v мы вынесли из-под знака интеграла, так как скорость движения среды - постоянна. Учтем далее, что показатель преломления Среды определяется формулой из которой сразу получаем с₁n=c, где с - скорость света в пустоте, - некоторая универсальная константа. Таки м образом, множитель имеет постоянное значение, и его тоже можно вынести из-под знака интеграла. Так приходим к формуле для времени распространения света по лучу ALB Легко видеть, что второй интеграл не зависит от формы пути ALB, так как он равен длине проекции прямолинейного отрезка АВ на направление эфирного ветра в нашей прозрачной среде. Первый интеграл не зависит от скорости движения среды, так как с₁ - это линейная скорость света в неподвижной среде.

При отыскании минимума времени t для различных путей ALB, соединяющих фиксированные точки А и В, второй интеграл, не зависящий от формы пути ALB, можно поэтому игнорировать. А так как первый интеграл не зависит от скорости движения нашей среды, т.е. оптического прибора, то мы видим, что форма пути истинного луча между точками А и В в движущемся оптическом приборе будет в точности такой же, как и в покоящемся приборе.

Тем самым теорема Лоренца доказана.

1.7 Теория аберрации Стокса

В 1845 г. Стокс опубликовал знаменитую работу “Об аберрации света”, в которой изложил свою теорию аберрации. В момент написания этой работы Стокс не знал еще работы Френеля 1818 г. по теории аберрации, о чем свидетельствует отсутствие ссылок на работу Френеля в его работе 1845 г. и его статья, появившаяся через несколько месяцев, уже в 1846 г., в которой Стокс подробно излагает по-своему теорию Френеля, называет ее “замечательной” и дает ей интересное дальнейшее развитие. Однако здесь же, в этой статье 1846г. Стокс отмечает, что теперь “мы столкнулись с любопытным случаем существования двух совершенно различных теорий, одинаково хорошо объясняющих явление”. И здесь же говорит о том, что не может проверить “без хорошего доказательства”, что эфир может свободно проходить через твердую массу Земли.

В работе 1845 г. Стокс пишет упоминает только об известном элементарном объяснении аберрации с помощью корпускулярной теории света, говорили о больших успехах волновой теории света, которая “просто и красиво объяснила многие сложные явления”, об отсутствии объяснения аберрации в рамках волновой теории.

Приступим к изложению содержания работы Стокса 1845 г. Однако несколько формализуем рассуждения Стокса, для лучшего понимания их сути.

Стокс предполагает, что Земля, двигаясь с постоянной скоростью в межпланетном пространстве переносит какую-то часть эфира с собой, вследствие того, что эфир вблизи её поверхности покоится относительно её поверхности, как бы “прилипает” к ней, причём скорость эфира нарастает при удалении от поверхности Земли, пока на не очень большом расстоянии, она не станет равной скорости эфира, покоящегося в межпланетном пространстве, относительно Земли. Таким образом, можно предположить, что в системе отсчёта, жёстко связанной с Землёй, эфир натекает на Землю стационарным сплошным потоком, обтекая её со всех сторон, с некоторым полем скоростей , не зависящим от времени t.

Предположим, что положение фронта световой волны, распространяющейся в стационарно движущемся эфире, в момент времени t, даётся уравнением вида составим дифференциальное уравнение, которое позволило бы определить последовательные положения фронта световой волны в различные моменты времени, т.е. определить эволюцию волнового фронта. Для этого надо найти функцию ¦.

Возмущение эфира, каковым является световая волна, в случае покоящегося эфира перемещается за интервал времени t, t+dt из точки x,y,z в точку с координатами где с -- скорость света в покоящемся эфире и где считаем, что возмущение распространяется по нормали к поверхности ¦=0, взятой в точке x,y,z. Возмущение в движущемся эфире, с заданным полем скоростей, по определению Стокса, за интервал времени t, t+dt из точки x,y,z перемещается в точку с координатами т.е. Стокс считает, что распространяющееся в эфире возмущение просто сносится движением эфира. Таким образом, положение фронта в движущемся эфире в момент времени t+dt даётся уравнением . Разлагая последнее уравнение по малости dt, получаем искомое уравнение, описывающее эволюцию волнового фронта оптической волны, распространяющейся в движущемся эфире: или ;

Хотя этого рассуждения Стокс и не приводит, но оно неявно содержится в его рассуждениях. Знак ± соответствует неопределённости направления нормали, задаваемой вектором с компонентами

Будем теперь считать, что скорость эфира, т.е. величины u, u, w малы по сравнению со скоростью света с и построим частное приближённое решение дифференциального уравнения, которое Стокс фактически и рассматривает в своей работе 1845 г. по теории аберрации.

Нулевое приближение. Положим u = u = w = 0 в приведённом уравнении для ¦, т.е. рассмотрим покоящийся эфир. Тогда легко убедиться, что уравнение нулевого приближения имеет следующее частное решение: , это решение описывает оптическую плоскую волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси z. Действительно, уравнение нулевого приближения имеет вид здесь мы взяли знак минус перед корнем, причём для приведенной нулевой функции справедливы соотношения: перед корнем мы берём знак “-”.

Первое приближение. Считая теперь скорости u, u, w малыми величинами, первого порядка малости, найдём приближённое решение приведённого полного уравнения, со знаком “-” перед корнем, переходящее при пренебрежении величинами u, u, w в решение ¦₀, в виде функции где является малой величиной первого порядка малости по u, u, w. Следуя Стоксу, считаем, что поправочная функция z зависит только от координат x, y и не зависит от координаты z. Это предположение, разумеется, несколько ограничивает произвол отыскиваемого решения. Но если нам удастся его построить, то всё в порядке. Из полного уравнения, которому удовлетворяет функция ¦, со знаком “-” перед корнем, имеем следующее приближённое уравнение для определение функции z : из которого непосредственно получаем приближённое уравнение для определения функции z. Интегрируя полученное уравнение по t, приходим к соотношению

Таким образом, окончательно приходим к следующему приближённому уравнению для определения положения фронта рассматриваемой волны в момент времени t:

Составим выражения для компонент ненормированной нормали к этой поверхности волнового фронта в точке x,y,z = - ct в момент времени t. Имеем

Обозначим через направляющие косинусы для нормали, взятой к найденной приближённо волновой поверхности. Так как величина w /c мала, то углы так что приближённо можно положить

.

В этом месте своих рассуждений Стокс прибегает к гипотезе о потенциальности поля скоростей эфира.

Гипотеза Стокса. Поле скоростей эфира потенциально, т.е. существует такая функция j(x,y,z), что

Согласно гипотезе Стокса имеем следующие очевидные простые соотношения для компонент поля скоростей: используя которые, выведенные приближённые формулы для углов a и b можно записать в виде

Следовательно для изменения углов a и b от момента времени t=t₁ до момента времени t=t₂ имеем следующие очень простые формулы:

Из этих формул нетрудно получить общеизвестный закон аберрации. Пусть свет от звезды идёт по направлению, строго перпендикулярному направлению движения Земли. Первый момент времени t=t₁ возьмём таким, чтобы фронт световой волны находился на столь большом удалении от Земли, чтобы для скорости эфира в точках этого фронта можно было считать, что предполагаем, что Земля движется в положительном направлении оси x с постоянной скоростью u. Второй момент времени t=t₂ возьмём в тот самый момент, когда волновой фронт дошёл до Земли, тогда

Следовательно, фронт, идущий от звезды плоской волны, поворачивается по приближению к Земле таким образом, что угол, составленной его нормалью с осью х, станет равным где u -- скорость движения Земли, с -- скорость света в покоящемся эфире. См. рис.

Наблюдателю на Земле будет казаться, что звезда сместилась на небе в сторону направления движения Земли на угол аберрации равный .

В 1880 г. Стокс опубликовал важное дополнение к изложенной нами сейчас работе 1845 г. Он обратил внимание на то, что в работе 1845 г. он проследил лишь за изменениями направления нормали к фронту волны, по мере распространения волны от звезды до Земли. Когда эфир покоится, траектории волновых нормалей совпадают с траекториями лучей. Когда эфир движется, с заданным полем скоростей, траектории волновых нормалей и траектории лучей перестают совпадать.

Обозначим через n -- единичный вектор нормали в некоторой точке фронта волны в момент времени t и через s -- единичный вектор направления луча в этой точке волнового фронта, рассматриваемого в момент времени t. Пусть a, b -- углы вектора нормали n с осями x, y, причём все эти углы мало отличаются от прямых

Стокс считает, что где v(u,u,w) -- поле скоростей эфира в рассматриваемой точке волнового фронта в момент времени t. Следовательно: или окончательно Приращение этих углов за интервал времени t, t+dt, когда dz= - cdt, таким образом равно

Выше мы показали, что

так что окончательно

Принимая гипотезу Стокса о потенциальности поля скоростей эфира, таким образом, заключаем, что правые части приведенных равенств равны нулю.

Итак, изменение направления луча по мере распространения равно нулю; лучи света в увлекаемом Землей эфире - приближенно прямолинейные.

1.8 Механический принцип относительности. Инвариантность относительно преобразований Галилея

Галилей еще в XVII в. сформулировал принцип относительности в механике, или механический принцип относительности.

Механический принцип относительности. Механические явления во всех инерциальных системах отсчета происходят совершенно одинаково. Нельзя с помощью механических экспериментов, производимых в движущейся инерциальной системе отсчета, определить скорость ее движения (если не производить наблюдений тел из системы отсчета, относительно которой мы хотим определить скорость движения).

Покажем, что уравнения механики математически записываются совершенно одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Для простоты рассмотрим движение материальной точки, т.е. тела, размерами которого можно пренебречь в рассматриваемой ситуации. Пусть это движение описывается в двух каких-нибудь инерциальных системах - в “покоящейся” системе K и в “движущейся” системе K'. Пусть в начальный момент времени декартовы оси этих систем совпадали и пусть система K движется вдоль оси x с постоянной скоростью v.

Координаты точки M, отсчитываемые относительно движущейся и относительно покоящейся систем отсчета K и K' связаны следующими формулами преобразования:

которые называют формулами преобразования Галилея. Время при преобразованиях Галилея никак не преобразуем, так что следует положить, что

.

Эту формулу тоже будем относить к формулам преобразования Галилея.

Рассмотрим движение материальной точки M массы m относительно той и другой систем, происходящее, к примеру, вдоль оси x, под действием некоторой заданной силы F (действующей только вдоль оси x). Тогда в системах K и K' имеем следующие уравнения движения:

которые математически совершенно одинаковы (инвариантны). При этом одно уравнение получается из другого с помощью преобразований Галилея. Действительно, согласно этим преобразованиям:

так как очевидно dv/dt = 0 (скорость v постоянна).

Самыми фундаментальными объектами в физике являются точки и волны. Поэтому интересно посмотреть, а будет ли инвариантно относительно преобразований Галилея волновое уравнение, скажем, для простоты, одномерное волновое уравнение (уравнение Даламбера) для плоских волн, распространяющихся вдоль оси x. Пусть u = u(x,t) - волновая функция и c - скорость волны. Тогда имеем уравнение

Совершим в нем преобразование Галилея, другими словами - перейдем от независимых переменных x,t к переменным x',t', считая, что неизвестная волновая функция u теперь выражена в переменных x',t', т.е.

где

Таким образом,

Следовательно,

Далее,

Следовательно,

Подставим полученные выражения для вторых производных в исходное волновое уравнение. Тогда получим, что

Или

Как видим, получили совсем не Даламбера, а другое уравнение (в которое входит v).

Таким образом, мы доказали, что одномерное волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований Галилея.

Остановимся на выяснении физического смысла полученного результата. Для определенности представим себе обычные звуковые волны в воздухе. Они являются малыми возмущениями плотности и давления малых частиц воздуха, и в так называемом акустическом приближении (когда амплитуды этих возмущений малы) описываются волновым уравнением Даламбера

когда речь идет о плоских волнах, распространяющихся вдоль оси x.

Это уравнение, однако, математически описывает звуковую волну только в покоящемся воздухе. Если мы хотим описать звуковую волну в движущемся воздухе (движущемся равномерно прямолинейно со скоростью v вдоль оси x в отрицательном направлении оси x в лабораторной системе отсчета), то мы должны использовать не приведенное волновое уравнение, а только что выведенное более сложное уравнение

Таким образом, волновое уравнение для звука в движущейся среде отличается по виду от волнового уравнения для звука в покоящейся среде. И нет ничего удивительного в том, что волновое уравнение не инвариантно относительно преобразований Галилея. Мы неявно предположили, что исходная система K - это система отсчета, в которой среда (воздух) покоится.

Поясним сказанное подробнее. Пусть у нас имеется тело, движущееся со скоростью v вдоль оси x и пусть в этом теле распространяется волна в положительном или отрицательном направлении оси x.

Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x. Относительно взятой системы отсчета она имеет скорость c_дв = c + v. Таким образом, если форма волны в нулевой момент времени дается функцией f(x), которая может быть взята произвольной, то в момент времени t она будет описываться функцией

Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно



Поэтому функция u удовлетворяет следующему уравнению

которое можно представить в виде

Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором

и получим уравнение

Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение

члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно сокращаются. Разделив на c², окончательно приходим к уравнению



которое в точности совпадет с уравнением, полученным выше.

Рассмотрим теперь волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси x. Относительно нашей системы отсчета волна будет двигаться со скоростью c_дв = c - v.

Если форма волны в нулевой момент времени t = 0 дается функцией g(x), которая может быть совершенно произвольной, то в момент времени t она будет описываться функцией

Найдем вид уравнения, которому удовлетворяет эта функция. Очевидно

Поэтому имеем уравнение

которое можно записать в следующем виде



Подействуем на это уравнение справа и слева дифференциальным оператором

и получим уравнение

Следовательно, раскрывая скобки, имеем уравнение

члены со смешанной производной, пропорциональные c, взаимно сокращаются. Разделив на c², окончательно приходим к уравнению

т.е. в точности к такому уравнению, которое мы получили для волны, распространяющейся в положительном направлении оси x.