Сила аналогий. Творчество Анри Пуанкаре

Об этом же сообщает Н.Н.Круликовский в монографии «Пути развития спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов» [26]: «.Важным фактором для создания общей аналитической теории собственных значений оказалась обнаруженная глубокая аналогия между рассматриваемыми вопросами теории краевых задач математической физики с алгебраической задачей приведения квадратичной формы к главным осям. На частном примере эта аналогия была рассмотрена в 1894 г. А.Пуанкаре» [26, с.3].

Что касается аналогии Д.Гильберта, то она освещается в статье Г.Вейля «Давид Гильберт и его математическое творчество» [27]. Автор пишет, что Д.Гильберт, ознакомившись с теорией интегральных уравнений Фредгольма, установил, что дифференциальное уравнение колеблющейся мембраны можно преобразовать в неоднородное интегральное уравнение с симметричным ядром. При этом задача нахождения «собственных значений» и «собственных функций» этого интегрального уравнения «является интегральным аналогом задачи о приведении квадратичной формы от n переменных к главным осям» [27, с.248].

Теория гильбертовых пространств стимулировалась также другими аналогиями, о которых говорит Л.А.Люстерник в статье «Молодость московской математической школы» [28]: «Аналогия между ортогональностью векторов (сумма произведений координат равна нулю) и ортогональностью функций (интеграл от произведений равен нулю) отражена в самой терминологии.

Разложению вектора по ортогональной системе векторов отвечает разложение функций по ортогональной системе функций. Такая же связь - с переходом от сумм к интегралам - между расстоянием в n- мерном евклидовом пространстве и квадратическим отклонением функций. Она привела к созданию так называемого гильбертова функционального пространства, в котором расстояние есть среднеквадратическое отклонение, сходимость в среднем, и в котором «полные ортогональные системы» играют роль ортогональной системы координат, коэффициенты Фурье - координат, при этом равенство Парсеваля есть аналог теоремы Пифагора» [28, с.154].

«Развитие теории линейных дифференциальных и создание теории линейных интегральных уравнений Фредгольма, которая оказалась более близкой к теории систем линейных алгебраических уравнений, - продолжает Л.А.Люстерник, - привела к созданию охватывающей все эти теории общей теории линейных операторов.

Особенную роль в развитии этой теории сыграла аналогия между теорией собственных значений матриц и собственных значений для дифференциальных и интегральных операторов. В работах Д.Гильберта 1908-1910 гг. теория линейных интегральных уравнений перерастает в теорию линейных операторов» [28, с.154].

Заслуги Ф.Лондона в переносе теории линейных операторов Д.Гильберта в область квантовой теории рассматриваются в книге М.Джеммера «Эволюция понятий квантовой механики» [29, с.289 -290].

12. Аналогия двенадцатая: вклад в теорию относительности

Несмотря на то, что создателем специальной теории относительности (СТО) считается Альберт Эйнштейн, многие ключевые идеи этой теории впервые сформулировал А.Пуанкаре.

Иначе говоря, он внес основополагающий вклад в разработку теории относительности. Как заметил А.А.Логунов, «всё последующее в этом направлении исследований - это применение и развитие его идей и методов» [30, с.150].

Французский математик вывел «преобразования Лоренца», открыл релятивистский закон сложения скоростей, сформулировал в электродинамике принцип относительности, получил соотношение между массой и энергией E = mc². Он же установил, что скорость света - верхний предел скорости передачи сигналов, а также описал относительность (субъективность) одновременности двух событий, происходящих в разных областях Вселенной.

Мы остановимся на двух релятивистских открытиях А.Пуанкаре: одно из них связано с формулировкой упомянутого принципа относительности, а второе - с «преобразованиями Лоренца». До возникновения специальной теории относительности в науке уже существовал принцип относительности - постулат, открытый Г.Галилеем и говорящий о физическом равноправии инерциальных систем отсчета в классической механике.

Это равноправие проявляется в том, что законы механики во всех таких системах одинаковы. Г.Галилей (1636) приводил в пользу своего постулата мысленный опыт, в котором рассматриваются события, происходящие в закрытой каюте под палубой корабля.

Этим опытом в свое время восхищался Н.И.Идельсон, который в книге «Этюды по истории небесной механики» [31] повествует: «Одно из самых глубоких открытий Галилея, которое мы назовем теперь принципом относительности классической механики, изложено им в «Диалоге». Этот принцип выражен здесь не в виде формул и теорем, а в виде красочного описания явлений, происходящих в закрытой каюте под палубой корабля» [31, с.86-87].

После того, как Д.Максвелл разработал теорию электромагнитных явлений, неизбежно должна была возникнуть мысль о том, что в этой теории должен существовать аналог (эквивалент) принципа относительности. Именно к этой мысли и пришел А.Пуанкаре (1904, 1905), который перенес принцип относительности Г.Галилея сначала на электромагнитные явления, а затем и на все остальные физические процессы.

A. А.Логунов в книге «Анри Пуанкаре и теория относительности» [30] указывает: «...Принцип относительности Галилея Пуанкаре распространил, без изменения его физической сущности, на все физические явления.» [30, с.26-27].

B. Говоря о том, что постоянство скорости света является следствием постулата относительности, А.А.Логунов в другом месте своей книги вновь обсуждает перенос, осуществленный А.Пуанкаре: «Следует особо подчеркнуть, что принцип постоянства скорости света, который А.Эйнштейн выдвинул как второй независимый постулат, на самом деле является частным следствием требования принципа относительности Пуанкаре, который он распространил на все физические явления» [30, с.41].

Теперь о «преобразованиях Лоренца». Имеются в виду преобразования, которым подвергаются пространственно -временные координаты (x, y, z, t) каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

На самом деле нидерландский физик, создатель электронной теории, лауреат Нобелевской премии по физике за 1902 год, Хендрик Лоренц не открывал эти преобразования. Точнее, он пытался их открыть, но получил неверный результат. Правильные преобразования вывел А.Пуанкаре.

C. И.Арнольд в очерке «Что такое математика?» [32] пишет: «Релятивистские «преобразования Лоренца» никогда великим физиком Лоренцем не рассматривались: он поставил вопрос о группе преобразований симметрии уравнений электродинамики Максвелла, но решил его неверно, указав совсем не те преобразования, которые сейчас называют его именем. Пуанкаре, излагая эту ошибочную работу Лоренца в своих лекциях, нашел правильные преобразования, а при публикации этих своих результатов назвал их «преобразованиями Лоренца», и это название сохранилось до сих пор» [32, с.43].

Используя «преобразования Лоренца» в теории, которая позже была названа специальной теорией относительности, А.Пуанкаре реализовал еще одну аналогию: он перенес эти преобразования из области электромагнетизма на все остальные физические явления. То есть в данном случае французский математик поступил с этими преобразованиями так же, как с принципом относительности Г.Галилея.

А.А.Логунов [30], анализируя статьи А.Пуанкаре 1904-1905 гг., подчеркивает: «Именно в работах [2, 3] он распространяет лоренц- инвариантность на все силы природы, в том числе и гравитационные.» [30, с.54]. Далее автор повторяет эту мысль: «Группа Лоренца, открытая на основе изучения электромагнитных явлений, была распространена А.Пуанкаре [2, 3] на все физические явления» [30, с.102]. «Пуанкаре первым распространил преобразования Лоренца на любые силы природы, в том числе и гравитационные» [30, с.140].

13. Аналогия тринадцатая: обнаружение сходства (эквивалентности) между динамикой молекул в газе и динамикой звезд в галактике

А.Пуанкаре (1906) выявил аналогию между системой звезд, объединяющихся в галактики, и газовой системой, состоящей из огромного числа молекул.

Этот результат натолкнул его на мысль, что математическое описание динамики звезд в составе галактик может быть таким же, как описание движения молекул в газовой системе.

В дальнейшем эту аналогию развивали Дж.Джинс, А.Эддингтон, К.Шварцшильд и С.Чандрасекар. Они ввели в звездную динамику функцию распределения звезд по скоростям по аналогии с тем, как Максвелл и Больцман вводили функцию распределения молекул газа по тем же скоростям.

Кроме того, А.Пуанкаре проводил аналогию между звездными скоплениями и ионизованным газом, состоящим из электронов и ионов и наблюдаемым в трубке Крукса (эта трубка также носит название катодной трубки Плюккера - Гитторфа - Гольдштейна).

Л.П.Осипков в очерке «Динамика системы звезд» [33] отмечает: «Выше неоднократно указывалось на аналогию между звездной системой, которая рассматривалась как совокупность большого числа гравитирующих точечных масс, и газом, ансамблем молекул или атомов.

Понятие «звездный газ» ввел в 1904 г. лорд Кельвин, великий классик XIX в., а далее его развил А.Пуанкаре в замечательной статье «Млечный Путь и теория газов» (1906). Динамика звездных систем до сих пор строится на основе этой концепции. Как и в теории газов, основной в звездной динамике является функция распределения звезд по координатам и скоростям...» [33, с.89-90].

Далее автор пишет о статье А.Пуанкаре «Млечный путь и теория газов»: «Анри Пуанкаре в упоминавшейся статье отметил ряд отличий «звездного газа» от идеального и указал, что более правильным было бы сопоставить звездные системы с газом в трубке Крукса. Он имел в виду ионизованный газ, состоящий из электронов и ионов, которые взаимодействуют по закону Кулона, т.е. речь шла о плазме, но в то время это слово физики еще не использовали.

Действительно, у динамики звездных систем и у теории плазмы, созданной американцем И.Ленгмюром и советскими физиками Л.Д.Ландау и А.А.Власовым, исходные положения совпадают. «Самосогласованное поле» в плазме - это регулярные силы в гравитирующих системах. Как плазму, так и звездные системы обычно считают бесстолкновительными, а теория столкновительной плазмы строилась (в том числе Л.Спитцером) по образцу теории релаксации Джинса - Чандрасекара» [33, с.92].

Размышления А.Пуанкаре о возможности использования молекулярно - кинетической теории газов в астрофизике можно найти в его книге «Наука и метод» [5], где он говорит: «Астрономия развертывает перед нами гигантские картины и поднимает грандиозные вопросы. Нечего и думать о том, чтобы подвергнуть их непосредственно экспериментальному изучению; наши лаборатории слишком малы для этого. Но аналогии с явлениями, доступными экспериментальному исследованию, могут, тем не менее, служить для астронома путеводной нитью. Так, например, Млечный путь представляет собой скопление солнц, движение которых представляется на первый взгляд совершенно капризным. Но нельзя ли сравнить это огромное скопление с молекулами газа, свойства которых развивает (изучает - Н.Н.Б.) кинетическая теория газов? Таким образом, методы физиков могут косвенным путем прийти на помощь астроному» [5, с.286-287].

Далее мы обсудим идею А.Пуанкаре, которая привела, как это ни парадоксально, к открытию явления радиоактивности, за что его соотечественник Анри Беккерель был удостоен Нобелевской премии по физике за 1903 год.

14. Аналогия четырнадцатая: формулировка гипотезы о природе рентгеновских лучей

А.Пуанкаре был одним из первых крупных ученых, узнавших об открытии рентгеновских лучей. Сразу после этого открытия, сделанного немецким физиком Вильгельмом Рентгеном (1895), французский математик внимательно проанализировал его эксперименты, в том числе приборы, применявшиеся при этом. А.Пуанкаре обратил внимание на следующий факт: рентгеновские лучи возникали в том месте катодной трубки, где катодные (электронные) лучи ударялись в стекло.

И в этом же месте на стенке катодной трубки возникало светящееся фосфоресцирующее пятно. Другими словами, рентгеновские лучи и фосфоресцирующее пятно образовывались в одном и том же месте прибора, который использовался в экспериментах В.Рентгена.

Совпадение (аналогия) рентгеновских лучей и фосфоресцирующего пятна по такому признаку, как место образования, привело А.Пуанкаре к гипотезе о том, что сама фосфоресценция, без катодных лучей, может сопровождаться испусканием лучей Рентгена.

Таким образом, аналогия заставила французского математика предположить, что источником рентгеновских лучей может быть любое фосфоресцирующее тело (вещество).

Об этой аналогии пишет В.Азерников в книге «Неслучайные случайности» [34]: «Анри Пуанкаре высказывает... любопытную гипотезу: поскольку Х-лучи образуются в том месте трубки, где катодные лучи ударяются в стекло, и поскольку в этом месте на стенке образуется светящееся фосфоресцирующее пятно, то не логично ли сделать вывод отсюда, вопрошает Пуанкаре, что и сама фосфоресценция, без катодных лучей, может сопровождаться испусканием лучей Рентгена?» [34, с.141].

Проверкой этой гипотезы занялся А.Беккерель, который расценил ее как вполне правдоподобную. Он исходил из того, что если предположение А.Пуанкаре подтвердится, то рентгеновские лучи можно будет получать без использования высоковакуумных трубок и источников питания в десятки киловольт, необходимых для этих трубок.

Подыскивая материал для опытов, А.Беккерель остановил свой выбор на уранил-калиевом бисульфате - минерале, отличающемся интенсивной люминесценцией.

В качестве детектора, фиксирующего излучение, им была использована обычная фотопластинка, изобретенная за 30 лет до этого. А.Беккерель рассчитывал - в полном соответствии с гипотезой А.Пуанкаре - обнаружить испускание рентгеновских лучей в солях урана, помещенных вместе с фотопластинкой на несколько часов на солнечный свет. Но, установив, что соли урана засвечивают фотопластинку без солнечного света (следовательно, фосфоресценция здесь не играет никакой роли), А.Беккерель выяснил, что гипотеза А.Пуанкаре неверна.

Дальнейшие исследования показали, что соли урана самопроизвольно испускают излучение, не связанное с рентгеновскими лучами, и это явление по инициативе Марии Кюри было названо «радиоактивностью».

Открытие А.Беккереля совершило революцию в науке, породив на свет ядерную физику со всеми ее техническими приложениями - атомными электростанциями, ядерным оружием и т.д.

Как отмечает А.И.Абрамов в монографии «История ядерной физики» [35], «ядерная физика зародилась в самом конце XIX в., когда французский физик Анри Беккерель в 1896 г. открыл новое явление, названное впоследствии радиоактивностью» [35, с.48].

Таким образом, явление радиоактивности было открыто А.Беккерелем в ходе проверки гипотезы А.Пуанкаре об аналогии между рентгеновскими лучами и фосфоресценцией. Хотя эта аналогия оказалась ошибочной, именно она стимулировала опыты А.Беккереля, которые, в свою очередь, стали стартовой точкой для развития ядерной физики. Если вы выдвигаете предположение, которое инициирует серию фундаментальных открытий (даже если впоследствии это предположение не найдет подтверждения), вы можете гордиться такой удачей. На долю А.Пуанкаре, как мы видим, такая удача действительно выпала!

Заключение

Ш.Алимбаев в повести «Формула гениальности» [36] пишет: «За всю историю существования человечества люди пытались понять и объяснить величайшие творческие способности гениев.

Сотни и тысячи самых больших умов всех времен и народов размышляли над этой проблемой, но так и не смогли решить ее.

Несмотря на очень большие, можно сказать, фантастические достижения во всех областях науки, несмотря на великие успехи в освоении космических пространств, проблема таланта и гениальности не только продолжает оставаться наименее изученной областью естествознания, но и белым пятном в самой науке о мозге» [36].

Анализ генезиса научных идей А.Пуанкаре показывает, что он приходил к ним благодаря простым интеллектуальным стратегиям, прежде всего, благодаря аналогии (и, конечно, эмпирической индукции).

При разработке теории автоморфных функций он использовал аналогию с теорией эллиптических функций и преобразованиями неевклидовой геометрии.

При построении качественной теории дифференциальных уравнений он смело переносил в нее топологические идеи, которые также применял, работая над задачей трех тел.

Занимаясь электродинамикой движущихся тел, он распространил в эту область (опять же руководствуясь аналогией) принцип относительности Г.Галилея и «преобразования Лоренца».

Обнаружив эквивалентность между математическим описанием динамики молекул в газовой системе и движением звезд в галактиках, он подсказал ученым (Д.Джинсу, А.Эддингтону и др.) способ построения звездной динамики.

Аналогия как прием творческого мышления доступна любому человеку, наделенному здоровым мозгом, поэтому нет смысла мистифицировать творчество тех, кого мы называем гениями. В этом, пожалуй, и должно заключаться решение проблемы таланта и гениальности, о которой говорит Ш.Алимбаев в своей книге [36].

Литература

1. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. - М.: МЦНМО, 2006. - 464 с.

2. Фрейденталь Г. Пуанкаре и теория автоморфных функций // Пуанкаре А. Избранные труды. Том 3. - М.: «Наука», 1974. - С.687-696.

3. Математика XIX века: чебышевское направление в теории функций, обыкновенные дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, теория конечных разностей. Под ред. А.Н.Колмогорова и А.П.Юшкевича. - М.: «Наука», 1987. - 318 с.

4. Математика XIX века: геометрия, теория аналитических функций. Под ред. А.Н.Колмогорова и А.П.Юшкевича. - М.: «Наука», 1981. - 270 с.

5. Пуанкаре А. Наука и метод // Пуанкаре А. О науке. - М.: «Наука», 1983. - С.283-403.

6. Прасолов В.В., Скопенков А.Б. Размышления о признании геометрии Лобачевского // Математическое просвещение. Третья серия. - 2015. - № 19. - С.99-108.

7. Понтрягин Л.С. Жизнеописание. - М.: изд-во «Прима-В», 1998. - 304 с.

8. Винберг Э.Б. О фуксовых функциях // Пуанкаре А. Избранные труды. Том 3. - М.: «Наука», 1974. - С.717-720.

9. Ожигова Е.П. Шарль Эрмит. - Ленинград: «Наука», 1982. - 288 с.

10. Тяпкин А., Шибанов А. Пуанкаре. - М.: «Молодая гвардия», 1982. - 415 с.

11. Зубков А.М. Эйлер и комбинаторика // Современные проблемы математики. Выпуск 11. - М.: МИАН, 2008. - С.5-18.

12. Ричесон Д.С. Жемчужина Эйлера. Формула Эйлера для многогранников и рождение топологии. - М.: ДМК-Пресс, 2021. - 320 с.

13. Стюарт И. Величайшие математические задачи. - М.: «Альпина нон- фикшн», 2015. - 460 с.

14. Новиков С.П. Топология в XX веке: взгляд изнутри // Успехи математических наук. - 2004. - Том 59. - № 5 (359). - С.3-28.

15. Стюарт И. Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков. - М.: «Альпина нон-фикшн», 2019. - 446 с.

16. Искьердо А. Математика теряет форму. Пуанкаре. Топология. - М.: изд-во «Де Агостини», 2015. - 176 с.

17. Четаев Н.Г. Об одной мысли Пуанкаре // сборник научных трудов Казанского авиационного института. - 1935. - № 3. - С.3-6.

18. Царицанская Ю.Ю. Александр Васильевич Васильев и математика России в конце XIX - начале XX веков // диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. - М.: МГУ, 2017. - 167 с.

19. Богатов Е.М. О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях // Известия вузов. ПНД. - 2019. - Том 27. - № 1. - С.96-114.

20. Бронштэн В.А. Как движется Луна? - М.: «Наука», 1990. - 208 с.

21. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Пуанкаре А. Избранные труды. Том 1. - М.: «Наука», 1971. - 771 с.

22. Диаку Ф., Холмс Ф. Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. - 303 с.

23. Алексеев В.М. Комментарии // Пуанкаре А. Избранные труды. Том 1. - М.: «Наука», 1971. - С.752-766.

24. Мадрид К. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление. - М.: изд-во «Де Агостини», 2014. - 1 44 с.

25. Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов // Успехи математических наук. - 1941. - № 9. - С.3-125.

26. Круликовский Н.Н. Пути развития спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов. - Томск: Томский государственный университет, 2008. - 221 с.

27. Вейль Г. Давид Гильберт и его математическое творчество // Вейль Г. Математическое мышление. - М.: «Наука», 1989. - С.214-256.

28. Люстерник Л.А. Молодость московской математической школы // Успехи математических наук. - 1967. - Том 22. - № 1 (133). - С.137-161.

29. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. - М.: «Наука», 1985. 379 с.

30. Логунов А.А. Анри Пуанкаре и теория относительности. - М.: «Наука», 2004. - 256 с.

31. Идельсон Н.И. Этюды по истории небесной механики. - М.: «Наука», 1975. 496 с.

32. Арнольд В.И. Что такое математика? - М.: МЦНМО, 2002. - 104 с.

33. Осипков Л.П. Динамика системы звезд // сборник «Галактики». Под ред. В.Г.Сурдина. - М.: «Физматлит», 2013. - С.47-115.

34. Азерников В. Неслучайные случайности. - М.: «Детгиз», 1972. - 272 с.

35. Абрамов А.И. История ядерной физики. - М.: «КомКнига», 2006. - 232 с.

36. Алимбаев Ш. Формула гениальности. - Алма-Ата: изд-во «Жалын», 1983. 288 с.

Размещено на Allbest.ru