Моделирование задачи проектирования комплекса технических средств АСУ

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Теоретико-множественное представление задачи морфологического анализа. Метод стоимостных характеристик достаточно сложен для математического обоснования. Формализованное описание метода проще всего провести в теоретико-множественной терминологии [1,2]. Предположим, что введением динамических составляющих динамическая задача может быть сведена к квазистатической. Для составления математической модели введем обозначения: - множество уровней иерархии; верхнему уровню соответствует полная система С; самому нижнему, N-ному уровню, - элементы ; в общей записи - k-тый элемент n-ного уровня; - множество вариантов реализации k-той подсистемы n-ного уровня иерархии подсистемами (n+1)-го уровня; - множество подсистем n-ного уровня иерархии, реализующих -вариант k-той подсистемы (п-1)-го уровня; - множество подсистем п-ного уровня, реализующих все варианты подсистем (п-1)-го уровня, при этом определяет всю систему как единое целое ().

Тогда иерархическую структуру системы можно представить следующим образом:

.

Здесь множество представляет собой множество функций, полученных в результате аппроксимации некоторых конечных множеств типа решетчатых функций позиномами или другими аналогичными гладкими функциями в области стоимостных характеристик. Кусочно-гладкая функция на каждом участке ее определения аппроксимирует принципиально отличающееся конструкторское решение, тогда как один ее гладкий участок соответствует различным вариантам одного и того же решения.

Таким образом, множества и множества конечны. Через М обозначим рассматриваемое универсальное множество подсистем:

.

Всякая последовательность

образует ветвь иерархии, а - n-ный уровень этой ветви.

Условимся, что подсистема п-ногo уровня, входящая во множество , непосредственно входит в k-тую подсистему (п-1)-го уровня; подсистема входит в подсистему , если <п, и эти подсистемы находятся в одной ветви иерархической системы, т.е. подсистема содержит подсистему .

Определение. Неделимая подсистема любого уровня, не содержащая ни одной другой подсистемы из множества М, называется элементом.

Введем обозначения: В - множество возможных реализаций системы; число возможных реализаций конечно; - множество элементов, входящих в -реализацию системы ; - множество элементов, реализующих все варианты системы; - множество подсистем не элементов; - множество элементов, входящих в множество ; - множество подсистем (не элементов), входящих во множество .

Рассмотренная иерархическая система изображается графом, имеющим прадревовидную структуру, для которой характерно отсутствие циклов.

К этой структуре можно привести и некоторые более сложные структуры, содержащие локальные циклы, если все подсистемы, входящие в цикл, заменить обобщенной подсистемой, эквивалентной им.

В общем случае в сопрягаемых ветвях число уровней может быть разным. Поэтому будем считать, что подсистема непосредственно входит в подсистему , если >п и если все р, удовлетворяющие условию , пустые. Множество элементов, непосредственно входящих в -вариант подсистемы , будем обозначать .

Математическая модель комплекса технических средств (КТС). Определение. Математической моделью КТС называется совокупность функций, отображающих проектные параметры всех подсистем и элементов в проектные параметры КТС.

Математическая модель может быть составлена также и для любой подсистемы. Таким образом, математическая модель подсистемы верхнего уровня характеризует связь ее проектных параметров с проектными параметрами ее узлов и элементов.

Введем обозначения: j-тую составляющую вектора качества, или j-тый проектный параметр k-той подсистемы п-ного уровня будем обозначать ; вектор проектных параметров k-той подсистемы обозначим ; соответствующее индекс-множество обозначим ;

.

Для каждого варианта каждой подсистемы зададимся отображением , связывающим значения вектора проектных параметров подсистемы со значениями векторов проектных параметров подсистем , непосредственно входящих в подсистему при -варианте ее реализации. Предполагается, что отображения заданы. В отображение могут входить некоторые составляющие векторов подсистем (п+1)-го уровня, не входящих непосредственно в подсистему с вектором . Условимся называть векторы проектных параметров подсистем нижнего уровня, входящие в подсистему верхнего уровня, внутренними относительно подсистемы верхнего уровня, а составляющие, непосредственно входящие в векторы , но не входящие в векторы , - внешними.

Определение. Если система С имеет прадревовидную структуру и если во всех составляющих в качестве переменных участвуют только векторы подсистем, непосредственно в нее входящих, то система С некоррелирована, или строго иерархична.

Если в строго иерархичной системе в какой-либо ее ветви имеется вариант, несовместимый со всеми вариантами любой вышележащей подсистемы, то такой вариант при синтезе бесперспективен, и его из рассмотрения следует исключить.

Учитывая эти определения, математическую модель можно задать множеством отображений

математический множественный проектный

.

Здесь и далее - множества подсистем, векторы качества которых влияют на -вариант подсистемы , - множество возможных (или допустимых) значений проектных параметров подсистемы ; - множество допустимых значений глобальных показателей качества всей системы; - множество возможных (или допустимых) значений проектных параметров подсистемы .

В дальнейшем предполагается, что каждая область непрерывна и односвязна; - знак декартова произведения множеств.

Для каждого варианта реализации можно составить отображение , связывающее значение вектора качества элементов со значениями глобальных показателей качества системы. Для является композицией отображений :

.

Теперь можно определить целевую функцию.

Целью оптимального проектирования изделия является выбор из универсального множества М такого набора подсистем и элементов (), при котором минимальными затратами обеспечивается заданное значение вектора проектных параметров . С этой целью для каждого -варианта каждой подсистемы (не элемента) стоимость определяют в виде явной функции от значений параметров подсистем, непосредственно входящих в данный -вариант этой подсистемы:

.

Стоимость каждого элемента определяют в виде явной функции от значений его вектора проектных параметров:

. (1)

Зависимость (1) и есть стоимостная характеристика (СХ) k-того элемента.

Таким образом, задается множество отображений

,(2)

где или - множество возможных значений целевой функции подсистемы или . Предполагается, что функция монотонно возрастает по всем . Целевая функция может явно зависеть также от проектных параметров подсистемы и подсистем, непосредственно не входящих в .

В случае, когда явно зависят от значений целевых функций и проектных параметров подсистем, непосредственно не входящих в подсистему , система коррелирована.

На основании системы отображений (2) для каждого варианта можно получить его общую целевую функцию в виде явной зависимости стоимости системы от векторов проектных параметров элементов системы:

.

Таким образом, задача оптимизации ставится в следующем виде: определить такой вариант реализации и такой вектор технических параметров системы

, что ,

где

;

.

Литература

1. Фишборн П. Теория полезности для принятия решений. - М.: Наука, 1978. - С. 182.

2. Вагин В.Н. Дедукция и обобщение в системах принятия решений. - М.: Наука, 1988. - С. 384.

Размещено на Allbest.ru