Теория вероятностей

, .

Следствие 3 (теорема Пуассона). При неограниченном увеличении числа n независимых испытаний, в которых событие A появляется с вероятностью , относительная частота события A сходится по вероятности к средней вероятности события, то есть,

, .

Доказательство. Так как , , где - число появления события A в i-ом эксперименте, тогда получаем частный случай теоремы Чебышева, дальнейшие рассуждения аналогичны доказательству следствия 2.

Теорема (Маркова). Если для последовательности случайных величин

,

то при неограниченном возрастании n среднее арифметическое значение случайных величин , , сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, то есть,

.

Центральные предельные теоремы

При суммировании достаточно большого числа случайных величин закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному распределению при соблюдении некоторых условий. Эти условия по существу сводятся к требованию, чтобы влияние на сумму отдельных случайных величин было равномерно малым, то есть, чтобы в состав суммы не входили случайные величины, явно преобладающие над совокупностью остальных по своему влиянию на рассеивание суммы. Группа таких теорем носит общее название центральных предельных теорем. В настоящее время существуют теоремы, где сходимость последовательности случайных величин определяется другими распределениями (из класса безгранично делимых распределений) ….

Приведем две из таких теорем.

Теорема (Линдеберга-Леви).

Если последовательность независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения с математическими ожиданиями и дисперсиями , то при неограниченном возрастании n закон распределения нормированной суммы сходится по вероятности к нормальному закону с плотностью вероятностей , , для которой , , то есть, : и имеет место

,

где .

Теорема (Ляпунова).

Если в последовательности независимые случайные величины имеют математические ожидания , дисперсии и конечные абсолютные центральные моменты 3-го порядка , , удовлетворяющие условию

,

то при неограниченном увеличении n закон распределения нормированной суммы сходится по вероятности к нормальному закону с плотностью и равномерно по x имеет место

.

Замечание. В практических задачах центральную предельную теорему часто используют для вычисления вероятности того, что сумма нескольких случайных величин примет значение, принадлежащие некоторому заданному интервалу.

Список литературы

1. Павский, В.А. Лекции по теории вероятностей и элементам математической статистики /В.А. Павский. - Кемерово: КемТИПП, 2005. - 184 с.

2. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. - М.: Высшая школа, 1985. - 327 с.

3. Боровков А.А. Теория вероятностей, - М.: УРСС, 2003. - 472с.

4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа, 2002. - 576 с.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2002. - 479 с.

6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Издательство ЛКИ, 2007. - 448 с.

7. Карлин С. Основы теории случайных процессов. - М, Мир, 1971. - 536 с.

8. Кафаров В.В., Дорохова И.Н., Арутюнов С.Ю. Системный анализ процессов химической технологии. - М.: Наука, 1985. - 440 с.

9. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. - М.: Ма-шиностроение, 1979. - 432 с.

10. Ширяев А.Н. Вероятность: Учебное пособие. - В 2-х книгах. - М.: Изд-во МНЦМО, 2007. - 968 с.

Размещено на Allbest.ru