Неформальная постановка и обсуждение задач, возникающих при системном обобщении теории множеств на основе системной теории информации

3. Энтропия связана как с энергией, так и с информацией, поэтому возможно получить количественное соотношение между энергией и информацией, а значит и между массой и информацией. Для конкретных систем вывод подобных соотношений не представляет труда, но в общем виде они пока в науке не сформулированы:

- при сообщении энергии системе ее энтропия повышается, информационное содержание и уровень системности (организованности) уменьшается (вплоть до распада структуры системы), а при передаче энергии от системы (охлаждение) ее энтропия уменьшается, информационное содержание и уровень системности (организованности) возрастает;

- в замкнутых системах вектор потока энергии всегда направлен в сторону уменьшения ее плотности (закон возрастания энтропии);

- физические объекты представляют собой сложные системы, различные структурные уровни организации которых локализуются в пространствах различных размерностей: более глубокие (высокие) и фундаментальные (сущностные) структурные уровни локализуются в пространствах больших размерностей, а менее фундаментальные, внешние уровни (форма) - в пространствах меньших размерностей;

- объекты представляют собой каналы информационного и энергетического взаимодействия тех структурных уровней организации материи, на которых они локализованы (отличаются от окружающей среды), при этом при передаче информации осуществляется преобразование языковой формы ее представления;

- поток информации в объектах направлен из пространств высшей размерности в пространства низшей размерности, от сущности к форме, что придает антиэнтропийные свойства форме и позволяет ей сохранять устойчивость во внешней среде;

- согласно квантовой теории поля (КТП) одни объекты взаимодействуют с помощью других объектов (подобъектов), при этом подобъекты являются квантами поля, с помощью которого осуществляется взаимодействие объектов, а объекты - источниками этого поля (зарядами); мы предполагаем, что заряды локализуются в пространстве с большей размерностью, чем порождаемое ими поле, с помощью которого они взаимодействуют, т.е. не поле порождается зарядами, а наоборот, заряды являются сингулярностями поля, поле является более фундаментальным, чем заряды и является эмерджентной основой зарядов [18]. Взаимодействующие объекты (заряды) могут рассматриваться как пересечение полевых систем, т.е. систем более низкой размерности, т.е. как сингулярности поля. Например, точки пересечения линий можно рассматривать как взаимодействующие объекты (заряды), а сами линии, как квантовые поля, с помощью которых они взаимодействуют, так что возможно диаграммы Фейнмана - это нечто большее, чем просто исключительно удачное графическое изображение квантовых процессов.

Любой объект, в т.ч. человек, является системой, которую можно представить себе в качестве i-точки некоторого i-пространства, причем не только абстрактного (фазового, семантического или иного), но и вполне "физического", в смысле реально "объективно" существующего.

Развитие любого объекта, в т. ч. человека, можно представить себе как движение в некотором пространстве, которое осуществляется путем чередования состояний двух типов: локализованного в пространстве, но с неопределенным направлением перемещения (бифуркационное состояние), и с определенным направлением перемещения, но с неопределенной локализацией (детерминистское состояние).

Для особого класса геометрических фигур-фракталов получаются не только целые, но и дробные значения размерности, причем обычно превосходящие размерность элементов, из которых строится фрактал. Это означает, что фрактал обладает качественно новыми эмерджентными, системными свойствами по сравнению со своими элементами, т.е. свойствами, которыми эти элементы не обладали, и, таким образом, является системой составляющих его элементов.

На этом даже может быть основано одно из определений фракталов: фракталом называется геометрическая фигура, размерность которой превосходит размерность геометрических объектов, из которых он состоит. На основании этого определения и вышесказанного мы можем высказать гипотезу о том, что все геометрические фигуры являются фракталами, а классические фигуры, для которых ранее считалось, что они не фракталы, также являются особым видом и частным случаем фракталов.

По аналогии с введенным автором понятием "антисистемы" [16], можно предложить и определение "антифрактала": это геометрическая фигура, размерность которой меньше размерности геометрических объектов, из которых он состоит.

Остается лишь добавить, что, по-видимому, классическая геометрия от Евклида до Римана изучает геометрические фигуры, размерность которых строго равна размерности геометрических объектов, из которых они состоят, т.е. фигуры, являющиеся не системами, а множествами. Однако множество является частным случаем системы [16]. Это означает, что в рамках классической геометрии все виды i-мерных точек "по умолчанию" ошибочно считались 0-точками, т.е. точками нулевой размерности, но обнаружить это возможно только в рамках более общей системной геометрии, являющейся системным обобщением классической геометрии. Это наводит на мысль о том, что, по-видимому, фрактальная геометрия по-видимому является одним из первых разработанных разделов системной геометрии. Так предлагается называть системное обобщение классической геометрии, изучающую геометрические системы. В этой связи можно высказать геометрическую гипотезу о том, что геометрические фигуры классической геометрии являются фракталами с одним уровнем самоподобия, состоящими из системных точек, подобных фигуре в целом и той же размерности: "точка" - "фигура-в-целом" (по Дж. Хатчинсону). Это определение по смыслу совпадает с определением так называемой "истинной бесконечности" Г.В.Ф. Гегеля, согласно которому истинно бесконечной является система, подобная каждой своей части. Подобные системы, по Шеннону, обладают максимальной взаимной информацией и минимальной энтропией, к подобным системам относятся и фракталы (Дж. Хатчинсон), и живые организмы, состоящие из клеток, в каждой из которых находится полный геном, содержащий информацию о всем организме. Возможно, даже во Вселенной нет ни одного объекта, не являющегося истинно-бесконечным и не содержащего в своей сущности полной информации о всей Вселенной. Поэтому древние утверждали равенство или даже тождество "микро- и макрокосма".

Бенуа Мандельброт в своей основополагающей работе [22] пишет, что "размерность есть локальное свойство пространства". В связи с этим возникает физическая гипотеза о том, что, возможно, наше физическое пространство имеет размерность, не точно равную 3, а просто очень близкую к 3 (например, больше основания натурального логарифма e, но меньше отношения длины окружности к ее радиусу ), причем эта размерность (и статистическое распределение i-мерных точек - систем разного типа) в принципе может изменяться с течением времени и в разных областях пространства в зависимости от тех или иных физических условий, и совершенно не обязательно связанных только с гравитацией и гравитационной массой (вдруг, например, окажется, что размерность пространства изменяется во время ударов молний, землетрясений, ядерных взрывов, вблизи торнадо, а также в аномальных зонах). В этой связи возникает идея о разработке метода и прецизионной мобильной технологии измерения текущей фактической размерности пространства в различных его точках, и, если такая технология будет создана, то, возможно, также и о создании службы мониторинга и прогнозирования динамики размерности пространства. Мы уже не говорим о том, какие возможные перспективы открываются, если удастся теоретически найти и практически реализовать способы управления размерностью пространства.

Выше уже отмечалось, что смысл размерности пространства состоит в том, что она количественно показывает: во сколько раз возрастает "содержимое" тела при увеличении его линейных размеров или при уменьшении линейных размеров объектов, "заполняющих" тело. В рамках системной теории информации автором получены выражения для коэффициентов эмерджентности Хартли и Харкевича [1, 1-20], названные так автором в честь этих выдающихся ученых:

где

М - максимальная сложность элементов-подсистем (максимальная мощность базисного множества);

W - количество чистых (классических) состояний системы, т.е. количество базисных элементов;

- коэффициент эмерджентности Хартли (уровень системной организации объекта, имеющего W чистых состояний).

Непосредственно из вида выражения для коэффициента эмерджентности Хартли (5) ясно, что он представляет собой относительное превышение количества информации в системе при учете системных эффектов (смешанных состояний, иерархической структуры ее подсистем и т.п.) над количеством информации без учета системности, т.е. этот коэффициент отражает уровень системности объекта.

Таким образом, коэффициент эмерджентности Хартли отражает уровень системности объекта и изменяется от 1 (системность минимальна, т.е. отсутствует) до W/Log₂W (системность максимальна).

Здесь учтено известное из статистики соотношение, при M=W:

Очевидно, для каждого количества базисных элементов системы существует свой максимальный уровень системности, который никогда реально не достигается из-за действия правил запрета на реализацию в системе ряда подсистем различных уровней иерархии. Таким образом, коэффициент эмерджентности Хартли дает верхнюю оценку уровня системности i-точки из W базисных элементов.

Из сравнения коэффициент эмерджентности Хартли (5) с мерой Хаусдорфа (1) и кубической размерностью (3) видно, что коэффициент эмерджентности Хартли, отражающий "уровень системности", можно интерпретировать как своего рода информационную размерность системы, т.е. скорость возрастания ее системных (эмерджентных) свойств при линейном количественном увеличении мощности базисного множества системы. При этом числитель в формуле (5) можно считать максимальной информационной емкостью системы из W базисных элементов, а знаменатель, т.е. классическую меру Хартли для количества информации - минимальной информационной емкостью такой системы, т.е. ее базисного множества.

Упрощенно можно считать, что:

- пространство 0-й размерности есть одна точка 0-й размерности, т.е. классическая точка, известная в математике (в частности в геометрии, дифференциальном и интегральном исчислении), а также в основанной на них физике;

- пространство 1-й размерности - это прямая линия, состоит из точек 1-й размерности, представляющих собой системы из 2-х точек 0-й размерности, т.е. отрезков, имеющих бесконечно малую длину (не нулевую);

- пространство 2-й размерности - это плоскость, состоит из точек 2-й размерности, представляющих собой системы из 3-х точек 0-й размерности, или точки 1-й размерности и точки 0-й размерности, т.е. треугольников, имеющих бесконечно малую площадь (не нулевую);

- пространство 3-й размерности - это пространство, состоит из точек 3-й размерности, представляющих собой системы из 4-х точек 0-й размерности, или точки 3-й размерности и точки 0-й размерности т.е. тетраэдров, имеющих бесконечно малый объем (не нулевой);

.....

- пространство i-й размерности состоит из точек i-й размерности, представляющих собой системы из (i+1)-х точек 0-й размерности, или точки i-й размерности и точки 0-й размерности, т.е. i-мерных симплексов, имеющих бесконечно малый i-гиперобъем (i-мера: Sⁱ) (не нулевую).

На основе вышеизложенного можно сделать следующие предварительные выводы:

1. Сама программная идея системного обобщения математики выглядит перспективной и обоснованной.

2. Реализация этой программной идеи в семантической теории информации Харкевича позволило обобщить его формулу для семантической меры информации таким образом, что для обобщенной формулы стал выполняться обязательный для общей теории принцип соответствия с формулой Хартли в равновероятном детерминистском случае, которому удовлетворяет выражение Шеннона для количества информации. Кроме того в обобщенную формулу Харкевича входит слагаемое, аналогичное плотности информации по Шеннону. Этим самым семантическая теория информации Харкевича формально объединилась с теорией Хартли и Шеннона, от которой ранее она стояла несколько особняком. Полученная в результате этого обобщенная теория информации получила название "Системная (эмерджентная) теория информации" (СТИ), которая и явилась первым результатом реализации программной идеи системного обобщения математики.

3. Следовательно программная идея системного обобщения математики плодотворна как метатеоретическая идея, позволяющая получать более общие математические теории.

4. Вторым шагом реализации программной идеи системного обобщения математики является системное обобщение теории множеств, которая лежит в основаниях многих фундаментальных понятий и разделов математики. При обсуждении ряда задач, возникающих при попытке системного обобщения теории множеств было обнаружено, что в математике уже давно существуют математические теории, которые можно считать реализацией программной идеи системного обобщения математики и одной из таких теорий является математическая теория фракталов. Забегая вперед скажем, что, по-видимому, другой подобной теорией является теория нечетких множеств. Вполне возможно, что этим список подобных теорий не ограничивается. Сам факт существования подобных теорий может рассматриваться как подтверждение правильности программной идеи системного обобщения математики, т.к. именно в рамках этой идеи создание этих и других подобных теорий выглядит не как результат случайного озарения их авторов, а как закономерный шаг в развитии математики, который рано или поздно но неизбежно должен был быть осознанно совершен.

5. Предложены некоторые базовые понятия системной геометрии:

- введено новое научное понятие "геометрической системы", под которыми понимается не просто множество точек, но и взаимосвязи между ними различных уровней иерархии, т.е. структура;

- предложено считать, что свойства геометрических систем являются эмерджентными свойствами, возникающими за счет системного эффекта;

- в частности такое свойство как размерность пространства и геометрических систем является эмерджентным свойством, возникающим у геометрических систем определенной сложности, т.е. включающих в себя определенное количество точек;

- предложено понятие многомерной геометрической точки (i-точки), которая представляет собой систему из минимального количества точек, имеющую заданную размерность; i-точка имеет меру Sⁱ и является бесконечно малой, но не нулевой величиной меры Sⁱ;

- геометрические системы и пространства различной размерности могут состоять из точек различной размерности, статистическое распределение которых может изменяться от точки к точке;

- классические геометрические тела различной размерности могут рассматриваться как частный случай фракталов в том смысле, что могут рассматриваться как состоящие i-из точек, подобных системе в целом.

6. Предложено системное обобщение программы геометризации физики Дж. Уиллира: между геометрией и физикой нет четкой грани, и все физические свойства микро- и макро-объектов можно рассматривать как эмерджентные свойства сложных геометрических систем, являющихся их субстанциональным фундаментом. Более того, в конечном итоге также можно рассматривать и химические, биологические, психологические и социальные свойства объектов.

7. Размерность пространства является прежде всего его информационной характеристикой и отражает минимальное количество информации, которого необходимо и достаточно для идентификации положения объекта в пространстве или его скорости (согласно соотношению неопределенной Гейзенберга). Дана информационная формулировка принципа неопределенности Гейзенберга, которая является примером возможности применения теории информации и методов теории управления в физике для моделирования и физических объектов и управления ими, в т.ч. на квантовом уровне.

8. Перспективным является применение теории информации в физике, как для описания фундаментальных свойств пространства и времени, так и для моделирования физических объектов и управления ими, в т.ч. на квантовом уровне. В этой связи хотелось бы заметить, что об атомах, как системах автор писал еще в 1973 году [26], информационной сущности пространства - в 1975 [27], информационной теории времени в 1980 и 1994 годах [28, 29], а также в ряде более поздних работ.

В заключение хотелось бы особо отметить, что автор вполне осознает всю мягко сказать "неоднозначность" высказанных в данной работе мыслей и положений, поэтому необходимо подчеркнуть, что эти мысли положения приводятся исключительно в порядке обсуждения и ни в коей мере не претендуют на какую-либо полноту и завершенность. Задачи 4-8 планируется поставить и обсудить на неформальном уровне во второй части данной статьи, которая находится в стадии подготовки к печати.

Литература

1. Луценко Е.В. Автоматизированная система распознавания образов, математическая модель и опыт применения // В.И. Вернадский и современность (к 130-летию со дня рождения)": Сборник. Тезисы научно-практической конференции. Краснодар: КНА, 1993. С. 37-42.

2. Луценко Е.В. Автоматизация когнитивных операций системного анализа // Проблемы совершенствования систем защиты информации, энергоснабжения военных объектов и образовательных технологий подготовки специалистов // Материалы II межвузовской научно-технической конференции. Краснодар: КВИ, 2001. С. 131-133.

3. Луценко Е.В. Автоматизированный когнитивный системный анализ фондового рынка // Проблемы экономического и социального развития России: Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Пенза: ПГУ, 2001. С. 206-209.

4. Луценко Е.В. Системно-когнитивный анализ детерминистско-бифуркационной динамики активных систем // Проблемы совершенствования систем защиты информации, образовательного процесса и электроснабжения военных объектов: Межвузовский сборник научных работ. 2002. № 3. С. 50-53.

5. Луценко Е.В. Исследование адекватности, сходимости и семантической устойчивости системно-когнитивной модели активных объектов // Проблемы совершенствования систем защиты информации, образовательного процесса и электроснабжения военных объектов: Межвузовский сборник научных работ. 2002. №3. С. 64-70.

6. Луценко Е.В. Интерференция последствия выбора в результате одновременного осуществления альтернатив и необходимость разработки системной (эмерджентной) теории информации // Проблемы совершенствования систем защиты информации, образовательного процесса и электроснабжения военных объектов: Межвузовский сборник научных работ. 2002. №3. С. 72-74.

7. Луценко Е.В. Теоретические основы системной (эмерджентной) теории информации // Проблемы совершенствования систем защиты информации, образовательного процесса и электроснабжения военных объектов: Межвузовский сборник научных работ. 2002. №3. С. 84-93.

8. Lutsenko E.V. Conceptual principles of the system (emergent) information theory & its application for the cognitive modelling of the active objects (entities). 2002 IEEE International Conference on Artificial Intelligence System (ICAIS 2002).Computer society, IEEE, Los Alamos, California, Washington-Brussels-Tokyo, p. 268-269. http://csdl2.computer.org/comp/proceedings/icais/2002/1733/00/17330268.pdf.

9. Луценко Е.В. Автоматизированный системно-когнитивный анализ в управлении активными объектами (системная теория информации и ее применение в исследовании экономических, социально-психологических, технологических и организационно-технических систем): Монография (научное издание). Краснодар: КубГАУ, 2002. 605 с.

10. Луценко Е.В. Интеллектуальные информационные системы: Учеб. пособие для студентов специальности "Прикладная информатика (по областям)" и другим экономическим специальностям. 2-е изд., перераб. и доп.- Краснодар: КубГАУ, 2006. 615 с.

11. Луценко Е.В. Расчет эластичности объектов информационной безопасности на основе системной теории информации // Безопасность информационных технологий. М.: МИФИ, 2003. № 2. С. 82-90.

12. Луценко Е.В. Концептуальные основы системной (эмерджентной) теории информации и ее применение для когнитивного моделирования активных объектов // Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы. 2003. № 1. Таганрог: ТГРТУ, 2003. С. 23-27. Режим доступа: http://pitis.tsure.ru/files13/5.pdf.

13. Луценко Е.В. Нелокальные интерпретируемые нейронные сети прямого счета, как инструмент системно-когнитивного анализа // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. Приложение №3. 2003. С. 3-12.

14. Луценко Е.В. Математический метод СК-анализа в свете идей интервальной бутстрепной робастной статистики объектов нечисловой природы // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. Краснодар: КубГАУ, 2004. №01(3). Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2004/01/13/p13.asp.

15. Луценко Е.В. Системно-когнитивный анализ как развитие концепции смысла Шенка - Абельсона // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. Краснодар: КубГАУ, 2004. №03(5). Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2004/03/04/p04.asp.

16. Луценко Е.В. АСК-анализ как метод выявления когнитивных функциональных зависимостей в многомерных зашумленных фрагментированных данных // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. Краснодар: КубГАУ, 2005. № 03(11). Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2005/03/19/p19.asp.

17. Луценко Е.В. Количественные меры возрастания эмерджентности в процессе эволюции систем (в рамках системной теории информации) // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. Краснодар: КубГАУ, 2006. № 05(21). Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2006/05/pdf/31.pdf.

18. Луценко Е.В. Существование, несуществование и изменение как эмерджентные свойства систем. Квантовая Магия, 2008. Т. 5. Вып. 1. С. 1215-1239 [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL512008/p1215.html.

19. Луценко Е.В. Программная идея системного обобщения математики и ее применение для создания системной теории информации // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. Краснодар: КубГАУ, 2008. № 2(36). Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2008/02/pdf/11.pdf.

20. Луценко Е.В. Семантическая информационная модель СК-анализа // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. Краснодар: КубГАУ, 2008. № 2(36). Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2008/02/pdf/12.pdf.

21. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы, фракталы. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://sceptic-ratio.narod.ru/ma/dm4-3.htm.