Дифференциальные уравнения I и II порядка

5. Для любого другого вида функции f(x) применяется следующий алгоритм действий:

находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y0 = C1 * y1 + C2 * y2, где y1 и y2 - линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С1 и С2 - произвольные постоянные;

варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C1(x) y1 + C2(x) y2;

производные функций C1(x) и С2(x) определяются из системы уравнений , а сами функцииC1(x) и C2(x) находятся при последующем интегрировании.

21. Система диф уравнений, понятия и определения

Система обыкновенных дифференциальных уравнений

может быть записана в канонической форме:

в нормальной форме

или в векторной форме

Здесь

При описании систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной формой записи.

Решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений Y ' = F(x,Y) называется вектор-функция Y(x) = Ц(x) , которая определена и непрерывно дифференцируема на промежутке (a; b) и удовлетворяет системе Y ' = F(x,Y) на этом промежутке.

Задачей Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений называется следующая задача: найти решение Y(x) системы Y ' = F(x,Y) такое, чтоY(x₀) = Y₀ . Здесь

Частным решением системы дифференциальных уравнений называется решение какой-нибудь ее задачи Коши.

Вектор-функция Y = Y(x, C) = Y(x, C₁,C₂, … , C_n) , зависящая от n произвольных постоянных C₁,C₂, … , C_n называется общим решением системы дифференциальных уравнений на [a; b] , если:

-- при любых допустимых значениях постоянных C₁,C₂, … , C_n функция Y(x, C) является решением системы на [a;b] ;

-- какова бы ни была начальная точка (x₀, Y₀) из области определения правой части системы, существуют такие значения C*₁,C*₂, … , C*_n постоянных C₁,C₂, … , C_n , что функция

Y(x, C*₁,C*₂, … , C*_n ) является решением задачи Коши Y(x₀) = Y₀ .

Пусть Y(x) = Ц(x) -- решение системы, определенное на [a, b] . Тогда множество точек {Ц(x)}, x ? [a, b] -- кривая в пространстве R_n .

Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство R_n , в котором расположены фазовые траектории, фазовым пространством системы.

Пусть Y(x) = Ц(x) -- решение системы Y ' = F(x,Y) , определенное на [a,b] .

Интегральная кривая системы определяется уравнением Y = Ц(x) и изображается в (n + 1)-мерном пространстве R_n+1

Фазовая траектория -- проекция интегральной кривой на пространство R_n.

22. Интегрирование нормсистемы сведением к одному урпвнению высшего порядка

Частным случаем канонической системы дифференциальных уравнений является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.

Введением новых функций это уравнение заменяется нормальной системой n уравнений

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система n уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений -- метод исключения.

Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:

Здесь -- постоянные коэффициенты, а и -- заданные функции; и -- искомые функции. Из первого уравнения системы (1) находим

Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть (2), а вместо производную от правой части (2), получаем уравнение at второго порядка относительно

где -- постоянные. Отсюда находим . Подставив найденное выражение для и в (2), найдем .

23. Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез

.

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как - априорными вероятностями.

24. Локальная теорема Лапласса

Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Для определения значений ц(x) можно воспользоваться специальной таблицей.

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

P(k₁;k₂)=Ц(x'') - Ц(x')

Здесь

-функция Лапласа

Значения функции Лапласа находят по специальной таблице.

Пример. Найти вероятность того, что событие А насту пит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Решение. По условию, n=243; k = 70; р =0,25; q= 0,75. Так как n=243 - достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

где х = (k--np)/ vnpq.

Найдем значение х

По таблице п найдем ф(1,37) =0,1561. Искомая вероятность P(243)(70) = 1/6,75*0,1561 =0,0231.

Размещено на Allbest.ru