Математическое моделирование при помощи малых выборок

-1,25

1056

-1,65

0495

-2,50

0062

-1,26

1038

-1,66

0485

-2,60

0047

-1,27

1020

-1,67

0475

-2,70

0035

-1,28

1003

-1,68

0465

-2,80

0026

-1,29

0985

-1,69

0455

-2,90

0019

-3,00

0,0014

0,30

0,6179

0,70

0,7580

-3,10

0010

0,31

6217

0,71

7611

-3,20

0007

0,32

6255

0,72

7642

-3,30

0005

0,33

6293

0,73

7673

-3,40

0003

0,34

6331

0,74

7703

-3,50

0002

0,35

6368

0,75

7734

-3,60

0002

0,36

3406

0,76

7764

-3,70

0001

0,37

6443

0,77

7794

-3,80

0,0001

0,38

6480

0,78

7823

-3,90

0000

0,39

6517

0,79

7852

0,00

0,5000

0,40

0,6554

0,80

0,7881

0,01

5040

0,41

6591

0,81

7910

0,02

5080

0,42

6628

0,82

7939

0,03

5120

0,43

6664

0,83

7967

0,04

5160

0,44

6700

0,84

7995

0,05

5199

0,45

6736

0,85

8023

0,06

5239

0,46

6772

0,86

8051

0,07

5279

0,47

6808

0,87

8078

0,08

5319

0,48

6844

0,88

8106

0,09

5359

0,49

6879

0,89

8133

0,10

0,5398

0,50

0,6915

0,90

0,8159

0,11

5438

0,51

6950

0,91

8186

0,12

5478

0,52

6985

0,92

8212

0,13

5517

0,53

7019

0,93

8238

0,14

5557

0,54

7054

0,94

8264

0,15

5596

0,55

7088

0,95

8289

0,16

5636

0,56

7123

0,96

8315

0,17

5675

0,57

7157

0,97

8340

0,18

5714

0,58

7190

0,98

8365

0,19

5753

0,59

7224

0,99

8389

0,20

0,5793

0,60

0,7257

1,00

0,8413

0,21

5832

0,61

7291

1,01

8437

0,22

5871

0,62

7324

1,02

8461

0,23

5910

0,63

7357

1,03

8485

0,24

5948

0,64

7389

1,04

8508

0,25

5987

0,65

7422

1,05

8531

0,26

6026

0,66

7454

1,06

8554

0,27

6064

0,67

7486

1,07

8577

0,28

6103

0,68

7517

1,08

8599

0,29

6141

0,69

7549

1,09

8621

1,10

0,8643

1,50

0,9332

1,90

0,9713

1,11

8665

1,51

9345

1,12

8686

1,52

9357

1,91

9719

1,13

8708

1,53

9370

1,92

9726

1,14

0,8729

1,54

0,9382

1,15

8749

1,55

9394

1,92

1,16

8770

1,56

9406

1,93

9732

1,17

8790

1,57

9418

1,94

9738

1,18

8810

1,58

9429

1,95

9744

1,19

8830

1,59

9441

1,96

9750

1,20

0,8849

1,60

0,9452

1,97

9756

1,21

8869

1,61

9463

1,98

0,9761

1,22

8888

1,62

9474

1,23

8907

1,63

9484

1,99

9767

1,24

8927

1,64

9495

1,25

8944

1,65

9505

2,00

0,9772

1,26

8962

1,66

9515

2,10

9821

1,27

8980

1,67

9525

2,20

9861

1,28

8997

1,68

9535

2,30

9893

1,29

9015

1,69

9545

2,40

9918

1,30

0,9032

1,70

0,9554

2,50

9938

1,31

9049

1,71

9564

2,60

9953

1,32

9066

1,72

9573

1,33

9082

1,73

9582

2,70

9965

1,34

9099

1,74

9591

1,35

9115

1,75

9599

2,80

9974

1,36

9131

1,76

9608

2,90

9981

1,37

9147

1,77

9616

3,00

0,9986

1,38

9162

1,78

9625

3,10

9990

1,39

9177

1,79

9633

3,20

9993

1,40

0,9192

1,80

0,9641

1,41

9207

1,81

9649

3,30

9995

1,42

9222

1,82

9656

1,43

9236

1,83

9664

3,40

9997

1,44

9251

1,84

9671

3,50

9998

1,45

9265

1,85

9678

3,60

9998

1,46

9279

1,86

9686

3,70

9999

1,47

9292

1,87

9693

1,48

9306

1,88

9699

3,80

9999

1,49

9319

1,89

9706

3,90

1,0000

Таблица 3.2

Значения вероятностей при разном объеме выборки

Нормированное отклонение	Значение при малых выборках с численностями	Значение при больших выборках
1,0 2,0 3,0	78,9 90,8 95,2	81,3 94,2 98,0	82,8 96,2 99,2	83,5 97,0 99,6	84,1 97,7 99,9

Из таблицы 3.2. видно, что с увеличением объема выборки малая выборка быстро приближается к нормальной. В то же время при очень маленькой численности выборки расхождения между значениями при данном значении весьма значительны.

Исследованиями было установлено, что распределение Стьюдента практически применимо не только в случае нормального распределения признака в генеральной совокупности. Оказалось, что оно происходит к практически приемлемым выводам и тогда, когда распределения признака в генеральной совокупности не является нормальным, а лишь симметрично и даже несколько асимметрично, но объем выборки не слишком мал.

Значения функции распределения Стьюдента затабулированы при различных значениях Поэтому при оценке выборочных характеристик пользуются готовыми таблицами:

Таблица 3.3

Таблица значений функции

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0,0	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500
0,1	0,532	0,535	0,537	0,537	0,538	0,538	538	539	539	539
0,2	0,563	0,570	0,573	0,574	0,575	0,576	576	577	577	577
0,3	0,593	0,604	0,608	0,610	0,612	0,613	614	614	614	615
0,4	0,621	0,636	0,642	0,645	0,647	0,648	649	650	651	651
0,5	0,648	0,667	0,674	0,678	0,681	0,683	684	685	685	686
0,6	0,672	0,695	0,705	0,710	0,713	0,715	716	717	718	719
0,7	0,694	0,722	0,733	0,739	0,742	0,745	747	748	749	750
0,8	0,715	0,746	0,759	0,766	0,770	0,773	775	777	778	779
0,9	0,733	0,768	0,783	0,790	0,795	0,799	801	803	804	805
1,0	0,750	0,789	0,803	0,813	0,818	0,822	825	827	828	830
1,1	0,765	0,807	0,824	0,833	0,839	0,843	846	848	850	851
1,2	0,779	0,823	0,842	0,852	0,858	0,862	865	868	870	871
1,3	0,791	0,838	0,858	0,868	0,875	0,879	883	885	887	889
1,4	0,803	0,852	0,872	0,883	0,890	0,894	898	900	902	904
1,5	0,813	0,864	0,885	0,896	0,903	0,908	911	914	916	918
1,6	0,822	0,875	0,896	0,098	0,915	0,920	923	926	928	930
1,7	0,831	0,884	0,906	0,918	0,925	0,930	933	936	938	940
1,8	0,839	0,893	0,915	0,927	0,934	0,939	943	945	947	949
1,9	0,846	0,901	0,923	0,935	0,942	0,947	950	953	955	957
2,0	0,852	0,908	0,930	0,942	0,949	0,954	957	960	962	963
2,1	0,858	0,915	0,937	0,948	0,955	0,960	963	965	967	969
2,2	0,864	0,921	0,942	0,954	0,960	0,965	968	970	972	974
2,3	0,869	0,926	0,947	0,958	0,965	0,969	972	975	976	978
2,4	0,874	0,931	0,952	0,963	0,969	0,973	976	978	980	981
2,5	0,879	0,935	0,956	0,967	0,973	0,980	979	981	983	984
2,6	0,883	0,939	0,960	0,970	0,976	0,982	982	984	986	987
2,7	0,887	0,943	0,963	0,973	0,979	0,984	985	986	988	989
2,8	0,891	0,946	0,966	0,976	0,981	0,986	987	988	990	991
2,9	0,894	0,949	0,969	0,978	0,983	0,988	988	990	991	992
3,0	0,898	0,952	0,971	0,980	0,985	0,989	990	991	992	993
3,1	0,901	0,955	0,973	0,982	0,987	0,991	991	993	994	994
3,2	0,904	0,957	0,975	0983	0,988	0,992	992	994	995	995
3,3	0,906	0,960	0,977	0,985	0,989	0,993	993	995	995	996
3,4	0,909	0,962	0,979	0,986	0,990	0,994	994	995	996	997
3,5	0,911	0,964	0,980	0,988	0,991	0,994	995	996	997	997
3,6	0,914	0,965	0,982	0,989	0,992	0,995	996	996	997	998
3,7	0,916	0,967	0,983	0,990	0,993	0,995	996	997	997	998
3,8	0,918	0,969	0,984	0,990	0,994	0,996	997	997	998	998
3,9	0,920	0,970	0,985	0,991	0,994	0,996	997	998	998	998
4,0	0,922	0,971	0,986	0,992	0,995	0,997	997	998	998	999
4,1	0,924	0,973	0,987	0,993	0,995	0,997	998	998	999	999
4,2	0,926	0,974	0,988	0,993	0,996	0,997	998	998	999	999
4,3	0,927	0,975	0,988	0,994	0,996	0,998	998	999	999	999
4,4	0,929	0,976	0,989	0,994	0,996	0,998	998	999	999	999
4,5	0,930	0,977	0,990	0,995	0,997	0,998	999	999	999	999
4,6	0,932	0,978	0,990	0,995	0,997	0,998	999	999	999	999
4,7	0,933	0,979	0,991	0,996	0,997	0,998	999	999	999	1,000
4,8	0,935	0,980	0,991	0,996	0,998	0,999	999	999	995
4,9	0,936	0,980	0,992	0,996	0,998	0,999	999	999	1,000
5,0	0,937	0,981	0,992	0,996	0,998	0,999	999	999
5,1	0,938	0,982	0,993	0,997	0,998	0,999	999	999
5,2	0,939	0,982	0,993	0,997	0,998	0,999	999	1,000
5,3	0,941	0,983	0,993	0,997	0,998	0,999	999
5,4	0,942	0,984	0,994	0,997	0,998	0,999	999
5,5	0,943	0,984	0,994	0,997	0,999	0,999	999
5,6	0,944	0,985	0,994	0,997	0,999	0,999	1,000
5,7	0,945	0,985	0,995	0,998	0,999	0,999
5,8	0,946	0,986	0,995	0,998	0,999	0,999
5,9	0,947	0,986	0,995	0,998	0,999	0,999
6,0	0,947	0,987	0,995	0,998	0,999	0,999

Значения функции распределения Стьюдента могут быть использованы различными способами в зависимости от характера решаемых задач при определении вероятности отклонения выборочной от генеральной. Наиболее часто используются:

1) Определение вероятности того, что разность между выборочной средней и генеральной средней окажется меньше на некоторую заданную величину. В нормированных отклонениях задача сводится к определению вероятности того, что окажется меньше значения , задаваемого условиями задачи, т.е. к нахождению значения

Рис 3.3 Вероятность больших отрицательных отклонений

Это есть вероятность больших отрицательных отклонений, которая на рис. 3.3 соответствует заштрихованной площади.

2) Определение вероятности того, что разность между выборочной средней и средней генеральной окажется не менее некоторой заданной величины, иначе говоря, следует найти

Рис 3.4 Вероятность больших положительных отклонений

Это есть вероятность больших положительных отклонений, которая показана в виде заштрихованной площади на рис. 3.4. эту вероятность легко найти, используя таблицы .

3) Определение вероятности того, что нормированное отклонение по абсолютной величине окажется менее , выражается

Это есть вероятность меньших по абсолютной величине отклонений. Эта вероятность может быть определена с использованием таблиц . Поскольку на практике чаще всего приходится определять эту вероятность, составленной специальной таблицы значения (табл. 3.3).

Графическая иллюстрация вероятности меньших по абсолютной величине отклонений дана на рис. 3.5

Рис 3.5 Вероятность меньших по абсолютной величине отклонений

4) Определение вероятности того, что ошибка выборки по абсолютной величине окажется не менее некоторой заданной величины. В нормированных единицах вероятность того, что по абсолютной величине окажется не менее , выразится

Это есть вероятность больших по абсолютной величине отклонений. Графически она иллюстрируется на рис. 3.6.

Рис 3.6 Вероятность больших по абсолютной величине отклонений

Для нахождения вероятности больших по абсолютной величине отклонений имеются специальные таблицы (приложение 3). Эту вероятность легко можно вычислить, также используя таблицы.

3.2 Оценка средней по малой выборки

На практике к малым выборкам относятся выборки объемом менее 30 единиц. При малых выборках выборочная дисперсия оказывается значительно смещенной. Поэтому применять функцию нормального распределения для вероятностных выводов о возможной величине ошибки было бы неправомерно. При малом объеме выборки нужно использовать несмещенную оценку дисперсии:

n-1 -эта величина называется числом степеной свободы вариации.

Теория малых выборок была разработана английским математиком-статистиком Стьюдентом. В 1908 году он выявил специальное распределение, которое позволяет и при малых выборках соотносить t и доверительную вероятность F(t). Рассматривая вместо абсолютных отклонений их отношения к независимому стандарту Стьюдент нашел распределение, которое зависит только от числа выборки.

Величина t-Стьюдента выражается как следующее соотношение:

Величина S² рассматривается здесь как независимо распределенная от числителя переменная. S определяется по данным выборки как:

Дифференциальный закон распределение Стьюдента (плотность вероятности) имеет вид:

где n-объем выборки;= С - величина соответствующая максимальной ординате кривой распределения при t=0.

где t_ф - стандартизированная (нормированная) разность, вычисляемая по результатам малой выборки.

Величины Г() и Г() являются гамма- функциями .

Распределение Стьюдента замечательно тем, что зависит только от одного параметра (объема выборки n) и не зависит от средней и дисперсии генеральной совокупности.

Распределение Стьюдента точно для любого объема выборки n и для малых выборок, что позволяет делать вероятностные выводы по малому числу наблюдений.

При увеличении объема выборки величина приближается к значению , а распределение Стьюдента приближается к нормальному. При распределение Стьюдента становится нормальным. Практически для нормального приближения считается достаточным

P(t< t_б)= S(t_б)

Это вероятность больших отрицательных отклонений (рис. 1).

Рис. 1 Рис. 2

P(t? t_б)=1- S(t)

Это вероятность больших положительных отклонений (рис. 2).

P(-t_б <t< t_б)= P(|t|<t_б)=2S(t_б)-1

Это вероятность меньших по абсолютной величине отклонений (рис. 3).

Рис 3 Рис 4



P(|t|?t_б)=2[1-S(t_б)]

Это есть вероятность больших по абсолютной величине отклонений (рис. 4).

Рассмотрим на примере изложенную выше теорию.

По экспериментальным и статистическим данным составлена табл. 1.

Таблица 1

150	160	154	152
165	161	157	156
155	159	158	161
153	157	151	166

Вычисляем среднее арифметическое значение по таблице:

При малом объеме выборки нужно пользоваться несмещенной оценкой дисперсии и стандартного отклонения:

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение данной выборки определяется как

отсюда , а Смотря по значениям в таблице, определяется и .

Величина t- Стьюдента выражается как отношение

По дифференциальному закону распределения Стьюдента (плотности вероятности) находим , где объем выборки:

где величина, которая соответствует максимальной ординате кривой распределения при Гамма - функция всегда имеет конечную величину и выражается через факториалы и по свойству гамма - функции Используя это свойство можно легко вычислить значения в выражении t - распределения.

Соответственно функция распределения Стьюдента выражается:

Расчеты показывают, что распределение Стьюдента точно для любого объема выборки n, и следовательно, и для малых выборок, что позволяет делать вероятностные выводы по малому числу наблюдений.

Размещено на Allbest.ru